專題8.1 期中期末專項復習之勾股定理十八大必考點（舉一反三）（北師大版）（解析版）

專題8.1勾股定理十八大考點【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1勾股數】 1【考點2勾股樹】 3【考點3利用勾股定理求兩點間距離】 7【考點4利用勾股定理求線段長度】 9【考點5勾股定理中的分類討論】 13【考點6勾股定理中的規(guī)律探究】 16【考點7以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】 19【考點8利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）】 22【考點9利用勾股定理證明兩條線段的平方和（差）】 25【考點10利用勾股定理求面積】 30【考點11勾股定理在網格中的應用】 33【考點12勾股定理在翻折中的應用】 38【考點13利用勾股定理求最值】 42【考點14勾股定理的證明】 47【考點15勾股定理與無理數】 54【考點16判斷是否是直角三角形】 58【考點17利用勾股定理構造圖形解決實際問題】 62【考點18利用勾股定理確定在幾何體中的最短距離】 65【考點1勾股數】【例1】（2022·遼寧·興城市第二初級中學八年級階段練習）下列各組數是勾股數的是_________（填序號）．①6，8，10；②1.5，2，2.5；③32，42，52；④7，24，25；⑤3，【答案】①④##④①【分析】根據勾股數的特點判斷即可．【詳解】①．62②．1.5，2，2.5中，1.5，2.5不是正整數，故不是勾股數；③．32④．72⑤．(3)2+(故答案為：①④．【點睛】本題考查了勾股數，解答此題要深刻理解勾股數的定義，并能夠熟練運用．必須根據勾股數是正整數，同時還需驗證較小兩數的平方和是否等于最大數的平方．【變式1-1】（2022·黑龍江·肇東市第十中學八年級期中）若3，4，a是一組勾股數，則a＝_____．【答案】5【分析】分a為最長邊，4為最長邊兩種情況討論，根據勾股數是正整數，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【詳解】解：①a為最長邊，a=32+4②4為最長邊，a=42-故答案為5．【點睛】此題考查勾股數，解題關鍵在于掌握勾股定理的運算公式．【變式1-2】（2022·河南安陽·八年級階段練習）在學習“勾股數”的知識時，小明發(fā)現了一組有規(guī)律的勾股數，并將它們記錄在如下的表格中．a68101214…b815243548…c1017263750…則當a=24時，b+c的值為（

）A．162 B．200 C．242 D．288【答案】D【分析】先根據表中的數據得出規(guī)律，根據規(guī)律求出b、c的值，再求出答案即可．【詳解】解：從表中可知：a依次為6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，即24=2×(10+2)，b依次為8，15，24，35，48，…，即當a=24時，b=12c依次為10，17，26，37，50，…，即當a=24時，c=12所以當a=24時，b+c=143+145=288．故選：D．【點睛】本題考查了勾股數，能根據表中數據得出b=(n+2)2-1【變式1-3】（2022·全國·八年級專題練習）我們學習了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發(fā)現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過．（1）請你根據上述的規(guī)律寫出下一組勾股數：________；（2）若第一個數用字母n（n為奇數，且n≥3）表示，那么后兩個數用含n的代數式分別表示為________．【答案】

11，60，61

n2-1【分析】（1）分析所給四組的勾股數∶3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41，可得下一組勾股數：11、60、61；（2）根據所提供的例子發(fā)現股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．【詳解】解：（1）∵112∴下一組勾股數為：11、60、61；故答案為：11，60，61．（2）后兩個數表示為n2-12∵n2n2∴n2又∵n≥3，且n為奇數，∴由n，n2-12故答案為：n2-12【點睛】此題考查了勾股數之間的關系，解題的關鍵是根據題目中所給的勾股數及關系式進行猜想、證明即可．【考點2勾股樹】【例2】（2022·北京·前門外國語學校八年級階段練習）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是5、3、2、3，則最大正方形E的面積是（

）A．13 B．26 C．47 D．94【答案】C【分析】設正方形A，B，C，D的邊長依次為a，b，c，d，鄰近A的正方形邊長為e，鄰近D的正方形邊長為f，最大正方形的邊長為g，根據正方形的面積公式和勾股定理依次計算即可．【詳解】如圖，設正方形A，B，C，D的邊長依次為a，b，c，d，鄰近A的正方形邊長為e，鄰近D的正方形邊長為f，最大正方形的邊長為g，且a=5，b=3，c=2，d=3，所有的三角形都是直角三角形．所以a2所以g=5=47，故選C．【點睛】本題考查了正方形的面積和勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．【變式2-1】（2022·山東菏澤·八年級階段練習）閱讀材料：分析探索題：細心觀察如圖,認真分析各式,然后解答問題．OA22=QA32=OA421請用含有n(n為正整數)的等式S2推算出OA10=3求出S1【答案】（1）2n；（2）210；（3【分析】（1）S1=2，S2=22（2）OA22=(2)2+4=8，QA3（3）根據上面Sn的規(guī)律，分別算出平方加起來即可【詳解】（1）∵S1=2，S2∴觀察規(guī)律得出Sn（2）∵OA2QA3OA4則OA102（3）由上面Sn則S=2=4+8+12+……40=（4+40）×10÷2=220【點睛】此題考查了勾股定理、算術平方根，解題的關鍵是觀察題中給出的結論，由此結論找出規(guī)律進行計算，千萬不可盲目計算．【變式2-2】（2022·湖北·隨州市曾都區(qū)教學研究室八年級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為1，其面積為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為S2…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，則S100A．2299 B．22100 C．【答案】C【分析】根據等腰直角三角形的性質可得出S2+S2=S【詳解】解：∵正方形ABCD的邊長為1，ΔCDE∴DE2+C∴S觀察，發(fā)現規(guī)律：S1=12=1，S2=∴S當n=100時，S100故選：C．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質、勾股定理以及規(guī)律型中數的變化規(guī)律，解題的關鍵是找出規(guī)律，本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，寫出部分Sn的值，根據數值的變化找出變化規(guī)律是關鍵．【變式2-3】（2022·山東·濟寧市兗州區(qū)東方中學八年級期中）有一個邊長為1的正方形，經過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過一次“生長”后，變成了如圖，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（）A．2022 B．2021 C．2020 D．1【答案】A【分析】根據勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結合圖形總結規(guī)律，根據規(guī)律解答即可．【詳解】解：由題意得，正方形A的面積為1，由勾股定理得，正方形B的面積+正方形C的面積＝1，∴“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3，∴“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4，……∴“生長”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2022．故選：A．【點睛】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．【考點3利用勾股定理求兩點間距離】【例3】（2022·河北邢臺·八年級期中）在平面直角坐標系中，已知點A-2,1，點B4,6，點C-4,2，點DA．AB=2CD B．BC=2AD C．AC=2BD D．BC=2CD【答案】B【分析】先根據兩點間距離公式求得相關線段的長，然后再代入判斷即可．【詳解】解：∵A-2,1，點B4,6，點C∴AB=-2-42BC=-4-42AC=-2+42∴A.AB=2CD，該選項錯誤，不符合題意；B.BC=2AD，該選項正確，符合題意；

C.AC=2BD，該選項錯誤，不符合題意；D.BC=2CD，該選項錯誤，不符合題意．故選B．【點睛】本題主要考查了兩點間距離公式，運用兩點間距離公式求出相關線段的長成為解答本題的關鍵．【變式3-1】（2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學校八年級階段練習）在平面直角坐標系中，點P(-1，2)到原點的距離是_____________【答案】5【分析】根據勾股定理，即可求解．【詳解】解∶點P(-1，2)到原點的距離是12故答案為：5【點睛】本題考查了直角坐標系中，用勾股定理推導出的兩點之間的坐標距離公式，熟記公式是解答的關鍵．【變式3-2】（2022·北京亦莊實驗中學八年級期末）平面直角坐標系中兩點，其中點A的坐標為1,1，點B的坐標為4,5，則AB兩點間的距離是_________．【答案】5【分析】利用勾股定理即可求解．【詳解】∵A(1,1)，B(4,5)，∴AB=(4-1)即AB之間的距離為5．故答案為：5．【點睛】本題考查了應用勾股定理求解直角坐標系中兩點之間的距離的知識，熟練掌握勾股定理并靈活運用是解答本題的關鍵．【變式3-3】（2022·上海市崇明區(qū)橫沙中學八年級期末）在直角坐標平面內，已知點A???(m,???0)、B???(0,???【答案】±4【分析】由A??(m,??0)、B??(0,??【詳解】解：∵A??(m,??∴A??∵AB=5，∴m2∴m=±4．故答案為：±4．【點睛】本題主要考查了利用勾股定理求兩點距離，掌握兩點間的距離公式是解決此題的關鍵．【考點4利用勾股定理求線段長度】【例4】（2022·重慶八中八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠D=∠ACB=90°，AD=8，CD=6，且四邊形ABCD的面積為49，則AB的長為______．【答案】5【分析】在Rt△ACD中由勾股定理求出AC的長，再由四邊形ABCD的面積求出BC的長，最后在Rt△ABC中由勾股定理求出AB的長．【詳解】解：∵∠D=90°，AD=8，CD=6，∴Rt△ACD中由勾股定理可知：AC=∵四邊形ABCD的面積為49，且∠ACB=90°∴12AD?CD+12AC?BC=49∴BC=5在Rt△ABC中由勾股定理可知：AB=故答案為：55【點睛】本題考查了勾股定理求線段長、勾股定理的應用等，本題屬于基礎題，計算過程中細心即可．【變式4-1】（2022·全國·八年級專題練習）如圖，矩形ABCD中，AD=8，AB=6，將矩形ABCD繞點D順時針旋轉得到矩形EFGD，邊BC與DE交于點P，延長BC交FG于點Q，若BQ=2BP，則BP的長為______．【答案】25【分析】連接DQ，過點P作PH//EF，設PC=a，分別解得BP,BQ,CQ,GQ的長，繼而證明△PHQ?△PCD(AAS)，由全等三角形的性質得到PC=HQ=a,EP=FH=a，由此解得PD=8-a，最后在Rt△PCD中，利用勾股定理解得a的值，據此解題．【詳解】如圖，連接DQ，過點P作PH//EF，設PC=a，則矩形ABCD中BC=AD=8,AB=CD=6BP=8-a,BQ=2BP∴BQ=2(8-a)=16-2aCQ=16-2a-8=8-2a∴GQ=8-2a,FQ=2a∵FG//ED∴∠FQP=∠QPD在△PHQ與△PCD中，∠FQB=∠CPD∴△PHQ?△PCD(AAS)∴PC=HQ=a,EP=FH=a∴PD=8-a在Rt△PCD中，P(8-a)∴64-16a+∴a=∴BP=PQ=8-a=8-7故答案為：254【點睛】本題考查旋轉變換、矩形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．【變式4-2】（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC＝BC＝2，CD＝CE，∠CBD＝15°，連接AE，BD交于點F，則BF的長為（

）A．22 B．2 C．23 D【答案】B【分析】由已知證得△ACE?△BCD，進而確定△ABF三個內角的大小，求得BF=1【詳解】解：∵∠ACB=90°,∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE∴∠ACE=∠BCD又∵AC=BC,CD=CE∴△ACE?△BCD∴∠CAE=∠CBD=15°∵在等腰直角三角形中∠ABC=∠BAC=45°∴∠ABF=∠ABC+∠CBD=60°,∴∠AFB=180°-∠ABF-∠BAF=90°∴BF=1∵AB=A∴BF=2故選：B．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，勾股定理；熟練掌握相關知識是解題的關鍵．【變式4-3】（2022·全國·二模）七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造，被譽為“東方魔板”．由邊長為62的正方形ABCD可以制作一副如圖中圖1所示的七巧板，現將這副七巧板在正方形EFGH內拼成如圖中圖2所示的“拼搏兔”造型（其中點Q，R分別與圖2中的點E，G重合，點P在邊EH上），則“拼搏兔”所在正方形EFGH的邊長是_____．【答案】6【分析】根據題意連接EG，GM⊥EN交EN的延長線于M，利用勾股定理解決問題即可．【詳解】解：如圖2中，連接EG，作GM⊥EN交EN的延長線于M．∵正方形ABCD的邊長為62，∴PD=DR=RC=32∴PR=PD2+DR2=6，∴GM＝PR=6，EM＝3+3+6+6＝18，∴EG＝EM∴EH＝EG2故答案為：65【點睛】本題考查正方形的性質，七巧板，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．【考點5勾股定理中的分類討論】【例5】（2022·山東·德州市第五中學八年級期中）已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC邊上的高AD=8，則邊BC的長為（

）A．21 B．6 C．21或6 D．21或9【答案】D【分析】分類討論，當三角形的高在三角形內部時、外部時，用勾股定理進行計算即可得．【詳解】解：如圖所示，在Rt△ACD中，AC=10，AD=8，由勾股定理得，CD=A在Rt△ABD中，AB=17，AD=8，由勾股定理得，BD=A∴當AD在三角形ABC內部時，BC=BD+當AD在三角形ABC外部時，BC=BD-CD=15-6=9綜上，BC的長為21或9，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，解題的關鍵是要分類討論．【變式5-1】（2022·陜西榆林·八年級期中）已知直角三角形的兩邊長分別為3和5，求第三邊的長．【答案】第三邊的長為4或34．【分析】由于此題中直角三角形的斜邊不能確定，故應分5是直角三角形的斜邊和直角邊兩種情況討論．【詳解】解：∵直角三角形的兩邊長分別為3和5，∴①當5是此直角三角形的斜邊時，設另一直角邊為x，則x=52②當5是此直角三角形的直角邊時，設斜邊為y，則y=5綜上所述，第三邊的長為4或34．【點睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．【變式5-2】（2022·安徽安慶·八年級期中）定義：如圖，點M，N把線段AB分割成三條線段AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點．若AM=1，MN=2，則BN的長為______．【答案】3或5##5或3【分析】分兩種情況：①當MN為最大線段時，由勾股定理求出BN；②當BN為最大線段時，由勾股定理求出BN即可．【詳解】解：分兩種情況：①當MN為最大線段時，∵點M、N是線段AB的勾股分割點，∴BN=M②當BN為最大線段時，∵點M、N是線段AB的勾股分割點，∴BN=M綜上所述：BN的長為3或5．故答案為：3或5．【點睛】本題考查了新定義“勾股分割點”、勾股定理；理解新定義，熟練掌握勾股定理，進行分類討論是解決問題的關鍵．【變式5-3】（2022·云南·保山市第七中學八年級階段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，動點P從點B出發(fā)，沿射線BC以2cm/s的速度移動，設運動的時間為t(1)求BC邊的長．(2)當△ABP為直角三角形時，求t的值．【答案】(1)BC=8(2)t的值為4或25【分析】（1）利用勾股定理求解即可得；（2）先求出BP=2tcm，再分①當∠APB=90°，②當∠BAP=90°兩種情況，利用勾股定理求解即可得．（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得BC∴BC=64（2）由題意知BP=2tcm①當∠APB=90°時，如圖1，點P與點C重合，BP=BC=8cm∴t=8÷2=4．②當∠BAP=90°時，如圖2，CP=BP-BC=(2t-8)cm，AC=6在Rt△ACP中，AP在Rt△BAP中，AP因此62解得t=25綜上所述，當△ABP為直角三角形時，t的值為4或254

圖1

圖2【點睛】本題考查了勾股定理，較難的是題（2），正確分兩種情況討論是解題關鍵．【考點6勾股定理中的規(guī)律探究】【例6】（2022·河南濮陽·八年級期中）如圖，OP=1，過點P作PP1⊥OP，且PP1=1，得OP1=2；再過點P1作P1P2⊥OP1且A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】C【分析】根據勾股定理分別求出每個直角三角形斜邊長，根據結果得出規(guī)律，即可得出答案．【詳解】解：∵OP=1，OP1=同理：OP∴OP故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，解此題的關鍵是能根據求出的結果得出規(guī)律．【變式6-1】（2022·山東·濟南市章丘區(qū)寧家埠中學八年級階段練習）如圖，已知△ABC是腰長為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰Rt△ADE，…，依此類推，則第2022個等腰直角三角形的斜邊長是__________．

【答案】21011【分析】先根據勾股定理計算第1個，第2個，第3個，第4個等腰直角三角形的斜邊長，找到規(guī)律后即可求出第2022個等腰直角三角形的斜邊長．【詳解】根據勾股定理可得第1個Rt△ABC的斜邊AC=12第2個Rt△ACD的斜邊AD=(2第3個Rt△ADE的斜邊AE=22第4個Rt△AEF的斜邊AF=22第n個等腰直角三角形的斜邊=(2∴第2022個等腰直角三角形的斜邊=(2【點睛】本題考查了勾股定理及找規(guī)律求等腰直角三角形的斜邊長，找到規(guī)律是解題的關鍵．【變式6-2】（2022·湖北湖北·八年級期末）圖1是第七屆國際數學教育大會（ICME-7）的會徽圖案，它是由一串有公共頂點O的直角三角形（如圖2）演化而成的．如圖2中的OA1=A1A2=A2A3=???AA．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】OA1＝1，OA2＝12+12＝2，OA3＝12【詳解】解：找到OAn＝所以OA1到OA20的值分別為1，2，3…故正整數為1＝1，4＝2，9＝3，16＝4．故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理的靈活運用，本題中找到OAn＝【變式6-3】（2022·山東濟寧·一模）如圖甲，直角三角形ABC的三邊a，b，c，滿足a2+b2＝c2的關系．利用這個關系，探究下面的問題：如圖乙，△OAB是腰長為1的等腰直角三角形，∠OAB＝90°，延長OA至B1，使AB1＝OA，以OB1為底，在△OAB外側作等腰直角三角形OA1B1，再延長OA1至B2，使A1B2＝OA1，以OB2為底，在△OA1B1外側作等腰直角三角形OA2B2，…，按此規(guī)律作等腰直角三角形OAnBn（n≥1，n為正整數），則A2B2的長及△OA2021B2021的面積分別是（）A．2，22020 B．4，22021 C．22，22020 D．2，22019【答案】A【分析】根據等腰直角三角形的性質分別求出A1B1，A2B2，A3B3，進而得出規(guī)律，求出A2021B2021，再利用三角形的面積公式即可求出△OA2021B2021的面積．【詳解】解：∵△OAB是腰長為1的等腰直角三角形，∴OA＝AB＝1，∵AB1＝OA，∴OB1＝2，∴A1B1＝OA1＝22OB1＝2∵A1B2＝OA1，∴OB2＝22，∴A2B2＝OA2＝22OB2＝2＝（2）2∵A2B3＝OA2，∴OB3＝4，∴A3B3＝OA3＝22OB3＝22＝（2）3???∴A2021B2021＝（2）2021，∴△OA2021B2021的面積＝12×（2）2021×（2）2021＝22020故選：A．【點睛】本題考查找規(guī)律——圖形的變化，利用等腰直角三角形的性質確定變化規(guī)律是解決問題的關鍵．【考點7以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】【例7】（2022·黑龍江·綏棱縣克音河鄉(xiāng)學校八年級期中）如圖，Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，∠ACB=90°，分別以AB，BC，AC為直徑作三個半圓，則陰影部分的面積等于（

）cm2A．18 B．24 C．36 D．48【答案】B【分析】陰影部分面積可以看成是以AC、BC為直徑的兩個半圓加上一個直角三角形ABC的面積減去一個以AB為直徑的半圓的面積．【詳解】解：S陰影=直徑為AC的半圓的面積+直徑為BC的半圓的面積+S△ABC-直徑為AB的半圓的面積=1=1=1=1=12×6×8=24cm故選：B．【點睛】本題考查了不規(guī)則圖形面積的計算公式和勾股定理的應用，陰影部分可以看作是幾個規(guī)則圖形的面積的和或差，學會把不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形是解題的關鍵．【變式7-1】（2022·廣東·東莞市南城開心實驗學校八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°．若AB=15，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為（

）A．150 B．200 C．225 D．無法計算【答案】C【分析】根據勾股定理列式求解，從而得出答案．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得，AC∴正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為225，故選：C．【點睛】本題主要考查了勾股定理，正方形的面積等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．【變式7-2】（2022·河南·靈寶市實驗中學八年級階段練習）如圖，以直角三角形的三邊a，b，c為邊，向外作正方形，等腰直角三角形，等邊三角形和半圓，上述四種情況的面積關系滿足S1+SA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據勾股定理得到三角形三邊a、b、c的關系，根據等邊三角形、半圓形、等腰直角三角形及正方形的面積求法，逐一驗證S1【詳解】由勾股定理得a2第一個圖形中，S1=a2，S2第二個圖形中，S1=14a2，第三個圖形中，S1=34a2，第四個圖形中，S1=π8a2，綜上所述，滿足題意的圖形有4個，故選D．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，等腰三角形、等邊三角形、圓和正方形面積求法，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【變式7-3】（2022·浙江杭州·八年級期末）已知ΔABC中，∠ACB=90°，如圖，作三個等腰直角三角形ΔACD，ΔEAB，ΔFCB，AB，AC，BC為斜邊，陰影部分的面積分別為S1，S2，S3（1）當AC=6，BC=8時，①求S1②求S4-S2-（2）請寫出S1，S2，S3【答案】（1）①9；②9；（2）S4【分析】（1）①在等腰直角三角形ΔACD中，根據勾股定理AD=CD=32②設SΔBEG=S5，則SΔBEA（2）設SΔBEG=S5，假設一個等腰直角三角形的斜邊為a，則面積為14a2【詳解】解：（1）①∵ΔACD是等腰直角三角形，AC=6，∴AD=CD=32∴S②∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，∵ΔEAB和ΔFCB是等腰直角三角形，∴AE=BE=52，CF=BF=4設SSΔBEA（2）設SΔBEG如圖，等腰直角三角形的面積公式S△ABC=1∵等腰直角三角形ΔACD，ΔEAB，ΔFCB，∴S△ADC∵AC∴14AC∴S4∴S4【點睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形的性質，三角形的面積，有一定難度，解題關鍵是將勾股定理和直角三角形的面積公式進行靈活的結合和應用．【考點8利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）】【例8】（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點，則MC2－MB2等于（

）A．29 B．32 C．36 D．45【答案】D【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分別表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出結果．【詳解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2?AD2，CD2＝AC2?AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2?AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2?AD2＋MD2，∴MC2?MB2＝（AC2?AD2＋MD2）?（AB2?AD2＋MD2）＝AC2?AB2＝45．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的知識，題目有一定的技巧性，比較新穎，解答本題需要認真觀察，分別兩次運用勾股定理求出MC2和MB2是本題的難點，重點還是在于勾股定理的熟練掌握．【變式8-1】（2022·河北·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF//BC交AC于M，若A．8 B．16 C．32 D．64【答案】D【分析】根據角平分線的定義推出△ECF為直角三角形，然后根據勾股定理求得CE2+CF2=EF2．【詳解】∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=4，EF=8，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=64．故選：D．【點睛】此題考查角平分線的定義，直角三角形的判定，勾股定理的運用，解題關鍵在于掌握各性質定義.【變式8-2】（2022·北京·首都師大二附八年級期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O，若AB=6，CD=10【答案】136【分析】在Rt△BOC和Rt△AOD中，根據勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD【詳解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△BOC和Rt△AOD中，根據勾股定理得，BO2在Rt△AOB和Rt△COD中，根據勾股定理得，BO∴BO2+C∴AD故答案為：136．【點睛】本題考查勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理在實際問題中的應用，從題中抽象出勾股定理這一數學模型是解題關鍵．【變式8-3】（2022·陜西·咸陽市秦都區(qū)電建學校八年級階段練習）如圖，射線AM⊥AN于點A、點C、B在AM、AN上，D為線段AC的中點，且DE⊥BC于點E．（1）若BC=10，直接寫出AC（2）若AC=8，△ABC的周長為24，求△ABC的面積；（3）若AB=6，C點在射線AM上移動，問此過程中，BE【答案】（1）100；（2）24；（3）是定值，值是36【分析】（1）根據AC⊥AB，由勾股定理即可得解；（2）由△ABC周長及其三邊符合勾股定理，列式，聯立方程即可得AB和BC的長，代入三角形面積公式計算即可；（3）根據DE⊥BC，得Rt△BDE和Rt【詳解】解：（1）AC（2）因為AM⊥AN，所以△ABC是直角三角形．因為AC=8，△ABC的周長為24，所以AB=16-BC，所以16-BC2+82=B所以S△ABC（3）在Rt△BDE中，BE2=BD所以BE因為D為線段AC的中點，所以AD=DC，所以BE在Rt△ABD中，B所以BE故在點C移動的過程中，BE2-E【點睛】本題考查了勾股定理的應用，熟悉勾股定理的使用條件是解決本題的關鍵．【考點9利用勾股定理證明兩條線段的平方和（差）】【例9】（2022·全國·八年級專題練習）如圖，四邊形ABCD中，BD⊥AC交于點E．求證：AD2+BC2＝AB2+CD2．【答案】證明見解析【分析】由BD⊥AC，利用勾股定理即可求得：在Rt△AED中，AD2＝AE2+DE2，在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2，在Rt△CED中，CD2＝CE2+DE2，繼而證得結論【詳解】證明：∵BD⊥AC，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠DEC＝90°，∴在Rt△AED中，AD2＝AE2+DE2，在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2，在Rt△CED中，CD2＝CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，注意掌握數形結合思想的應用．【變式9-1】（2022·全國·八年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D為斜邊BC中點，DE⊥DF，求證：EF【答案】證明見解析【分析】延長ED到G，使DG＝DE，連接EF、FG、CG，證明△EDF≌△GDF（SAS），△BDE≌△CDG（SAS），根據全等三角形的性質得出BE＝CG，∠B＝∠BCG，進而可得AB∥CG，在Rt△FCG中，由勾股定理即可得證．【詳解】證明：延長ED到G，使DG＝DE，連接EF、FG、CG，如圖所示：在△EDF和△GDF中DF=DF∠EDF=∠FDG=∴△EDF≌△GDF（SAS），∴EF＝FG又∵D為斜邊BC中點∴BD＝DC在△BDE和△CDG中，BD=DC∠BDE=∠CDG∴△BDE≌△CDG（SAS）∴BE＝CG，∠B＝∠BCG

∴AB∥CG∴∠GCA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°在Rt△FCG中，由勾股定理得：F∴EF【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，勾股定理，證明∠GCA＝90°是解題的關鍵．【變式9-2】（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB上一點，作等腰Rt△DCE，且∠DCE=90°，連接AE．(1)求證：△CEA≌(2)求證：BD【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據等腰直角三角形的性質可得AC=BC，CD=EC，∠ACB=∠DCE=90°，根據角的和差關系可得∠ACE=∠BCD，利用SAS即可證明△CEA≌△CDB；（2）根據△CEA≌△CDB可得∠CAE=∠B=45°，BD=AE，即可得出∠EAD=90°，根據勾股定理即可得結論．(1)∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=EC，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，∴∠ACE=∠BCD，在△CDB與△CEA中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△CDB≌(2)∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45°，由（1）得△CDB≌∴∠EAC=∠B=45°，BD=AE，∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=45°+45°=90°，∴AE∴BD【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質及勾股定理，熟練掌握相關性質及判定定理是解題關鍵．【變式9-3】（2022·福建·漳平市教師進修學校八年級階段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，在Rt△ABD中，∠D=90°，AD與BC交于點E，且（1）∠CAE=∠DBC；（2）AC【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）根據三角形內角和定理確定∠CEA+∠CAE=90°，∠DEB+∠DBC=90°，再根據等角的余角相等即可證明；（2）延長BD交AC延長線于點F．先根據全等三角形的判定定理得到△ADF≌△ADB，進而得到BF=2BD，再根據全等三角形的判定定理得到△ACE≌△BCF，進而得到【詳解】證明：（1）如下圖所示，標出∠1，∠2，∠3．∵∠ACB=90°，∠ADB=90°，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠DBC=90°．∵∠1和∠2是對頂角，∴∠1=∠2．∴∠3=∠DBC，即∠CAE=∠DBC．（2）在（1）中圖延長BD交AC延長線于點F．由（1）可知∠3=∠DBC，即∠3=∠DBE．∵∠DBE=∠DAB，∴∠3=∠DAB．∵∠ADB=90°，∴∠ADF=90°．∴∠ADF=∠ADB．在△ADF和△ADB中，∵∠3=∠DAB,∴△ADF≌∴FD=BD．∴BF=2BD．∵∠ACB=90°，即∠ACE=90°，∴∠BCF=90°．∴∠ACE=∠BCF．由（1）可知∠3=∠DBC，即∠3=∠CBF．在△ACE和△BCF中，，∵∠3=∠CBF,∴△ACE≌△BCFASA∴AE=BF．∴AE=2BD∵在Rt△ACE中，A∴AC【點睛】本題考查三角形的內角和定理，等角的余角相等，全等三角形的判定定理和性質，勾股定理，綜合應用以上知識點是解題關鍵，同時注意等價代換思想的使用．【考點10利用勾股定理求面積】【例10】（2022·四川廣元·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分別以四邊形ABCD的四條邊為邊向外作四個正方形，面積分別為S1，S2，S3，S4．若S1A．183 B．87 C．119 D．81【答案】B【分析】利用勾股定理的幾何意義解答．【詳解】解：由題意可知：S1=AB2，S2如圖，連接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD即S1因此S4=故選：B．【點睛】本題主要考查的是勾股定理的靈活運用，解答的關鍵是利用兩個直角三角形公共的斜邊．【變式10-1】（2022·安徽·潛山市羅漢初級中學八年級階段練習）如圖，點E是正方形ABCD內一點，∠AEB=90°．若AE=2，BE=3，則正方形ABCD的面積為（A．10 B．13 C．36 D．169【答案】B【分析】利用勾股定理求出AB【詳解】解：∵∠AEB=90°，∴AB∴正方形ABCD的面積＝AB故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理，即在直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方和等于斜邊長的平方．【變式10-2】（2022·廣東·河源市東華實驗學校八年級期中）已知直角三角形的三邊分別為7，n+1，n+2（n+2是斜邊），則該三角形的面積為_________．【答案】84【分析】直角三角形的三邊已知，且n+2是斜邊，由勾股定理，即可求出n的值，由此可求出答案．【詳解】解：直角三角形的三邊分別為7，n+1，n+2（n+2是斜邊），∴72+(n+1)2∴2n=46，即n=23，∴直角三角形的三邊分別是：7，24，25（斜邊），∴三角形的面積是：12×7×24=84故答案是：84．【點睛】本題主要考查直角三角形的勾股定理，三角形的面積，掌握直角三角形的勾股定理和面積公式是解題的關鍵．【變式10-3】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在直線l上依次擺放著7個正方形，斜放置的三個正方形的面積分別是4，6，8，正放置的四個正方形的面積分別是S1,S2【答案】12【分析】如圖，易證△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=4+8=12．【詳解】解：如圖，∵∠EDC=∠CBA=∠ECD+∴∠ECD=∵在△CDE和△ABC中，∠EDC=∠CBA∠ECD=∠CAB∴△CDE≌△ABC（AAS），∴AB=CD，BC=DE，∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=8，同理可證FG2+LK2=HL2=4，∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=4+8=12．故答案為：12．【點睛】本題考查了全等三角形的證明，考查了勾股定理的靈活運用，本題中證明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解題的關鍵．【考點11勾股定理在網格中的應用】【例11】（2022·廣東·湛江市雷陽實驗學校八年級階段練習）如圖，正方形網格中的每個小正方形變成都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點按下列要求畫圖：(1)畫一個三角形△ABC，使它的三邊長分別為8，5，3.(2)求方格圖中所畫的△ABC的面積【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）分別畫出三邊長為8，5，3的線段，順次連線即可；（2）利用三角形面積公式計算即可．（1）解：如圖，∵AB=22+22=∴△ABC即為所求；（2）△ABC的面積=12【點睛】此題考查了勾股定理作圖，計算網格中圖形的面積，正確掌握勾股定理是解題的關鍵．【變式11-1】（2022·江西景德鎮(zhèn)·八年級期中）（1）已知△ABC三邊長分別為22，13，17，小迪在解決這一問題時有以下思路：先畫如圖①的正方形網格（小正方形邊長均為1），再畫出格點三角形ABC，利用外接長方形面積減去周圍三個直角三角形的面積，即可求出△ABC的面積．請你幫助小迪計算出△ABC（2）若△DEF三邊長分別為5a，10a，13a，在圖②的正方形網格（小正方形邊長均為a）中，畫出格點三角形DEF（3）若△OPQ三邊長分別為2m2+n2，9m2+16n2，m2【答案】（1）5；（2）作圖見解析，72a2；（【分析】（1）用長為4寬為3的長方形面積減去周圍三個三角形的面積求解即可；（2）先根據勾股定理的確定周圍三個三角形的邊長，再作圖即可，再利用外接長方形面積減去周圍三個直角三角形的面積，即可求出面積；（3）先根據勾股定理的確定周圍三個三角形的邊長，再作圖即可，再利用外接長方形面積減去周圍三個直角三角形的面積，即可求出面積．【詳解】（1）△ABC的面積=3×4-1所以，△ABC的面積為5；（2）5a是直角邊長分別為a,2a的直角三角形的斜邊長，10a是直角邊長分別為a,3a的直角三角形的斜邊長，13a作圖如下：△DEF的面積=3a×3a-1（3）2m2+n2是直角邊長分別為2m,2n的直角三角形的斜邊長，9m2格點三角形OPQ如圖所示：△OPQ的面積=3m?6n-1【點睛】本題考查了勾股定理的應用及三角形的面積問題，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【變式11-2】（2022·福建·莆田市城廂區(qū)南門學校八年級階段練習）如圖所示，正方形網格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形．(1)使三角形的三邊長分別為3，25，5（在圖①中畫一個即可）；(2)使三角形為鈍角三角形，且面積為6（在圖②中畫一個即可）．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先在正方形網格中取線段長為整數的線段BC＝3，然后根據勾股定理找出點A的位置；（2）先在正方形網格中取EF＝2；然后由三角形的面積公式入手，求得EF邊上的高線的長度，最后根據鈍角三角形的定義確定點D的位置．（1）解：如圖所示，BC＝3，AB＝12+22=△ABC即為所求；（2）解：如圖所示：根據三角形的面積公式知，12×EF×h解得hD△DEF是符合題意的鈍角三角形．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，作圖﹣﹣應用與設計作圖．此題屬于開放題，答案不唯一，利用培養(yǎng)發(fā)散思維能力．【變式11-3】（2022·江西贛州·八年級期末）在8×8的網格中，每個小正方形的邊長都是1，僅用無刻度的直尺完成以下作圖（保留必要的作圖痕跡）．(1)在圖1中，畫一個面積為5的正方形．(2)在圖2中，畫一個面積為92【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【分析】（1）根據題意以及格點和勾股定理找到為5的線段作為正方形的邊長即可求解．（2）同理找到長為32（1）如圖面積為5的正方形，∵正方形的邊長為1+2∴正方形的面積為5（2）如圖，面積為92根據格點可得邊長為12×3【點睛】本題考查了無刻度的直尺作圖，勾股定理與網格，利用網格和勾股定理構造長為5以及32【考點12勾股定理在翻折中的應用】【例12】（2022·山東·濟南市章丘區(qū)寧家埠中學八年級階段練習）如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6，BC＝8．現將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據折疊的性質可得AC＝AE＝6，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°，利用勾股定理列式求出AB，從而求出BE，設CD＝DE＝x，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式計算即可得解．【詳解】解：∵△ACD與△AED關于AD成軸對稱，∴AC＝AE＝6，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°，在Rt△ABC中，AB∴AB＝10，BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，設CD＝DE＝x，則DB＝BC﹣CD＝8﹣x，在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2解得x＝3，即CD＝3，故選：B．【點睛】本題考查了翻折變換的性質，勾股定理的應用，熟記性質并表示出Rt△DEB的三邊，然后利用勾股定理列出方程是解題的關鍵．【變式12-1】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）如圖所示，把一張矩形紙片ABCD按所示方法進行兩次折疊，得到直角三角形BEF，若BC=1，則BE的長度為（

）A．2-1 B．2+12 C．2【答案】A【分析】首先根據矩形的性質，得出∠ADA'=∠B=∠C=∠A=90°，AD=BC=1，CD=AB，然后再根據折疊的性質，得出∠ADE=45°，進而得出AE=AD，利用勾股定理，得出DE的長，再由第二次折疊，得出CD=DE，進而得出AB=2【詳解】解：由折疊補全圖形如圖所示，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADA'=∠B=∠C=∠A=90°，AD=BC=1，CD=AB，由第一次折疊得：∠DA'E=∠A=90°，∠ADE=1∴∠AED=∠ADE=45°，∴AE=AD=1，在Rt△ADE中，根據勾股定理得，DE=2由第二次折疊可知，CD=DE，∴AB=2∴BE=AB-AE=2故選：A【點睛】本題考查了圖形的折疊和勾股定理，搞清楚折疊中線段的數量關系是解本題的關鍵．【變式12-2】（2022·江蘇·揚州市梅嶺中學八年級階段練習）如圖，把矩形ABCD沿EF折疊，使點C落在點A處，點D落在點G處，若CD＝2，AD＝3，則邊AE的長為_____．【答案】136##【分析】根據勾股定理列方程可求解【詳解】根據折疊知，AG=CD=2,GE=DE,∠G=∠D=90設AE=x，則GE=3-x．根據勾股定理，得：4+(3-x)解得，x=136故答案為：13【點睛】本題考查了折疊問題，勾股定理的應用，利用折疊的性質，發(fā)現對應邊、對應角的關系為關鍵．【變式12-3】（2022·山西·太原師范學院附屬中學八年級階段練習）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，DE⊥AC，CD＝13BC，DE＝2，P是直線AC上一點，把△CDP沿DP所在的直線翻折后，點C落在直線DE上的點H處，CP的長是_____【答案】53或【分析】分兩種情況：當P點在E點左邊時；當P點在E點右邊時．分別畫出圖形，利用折疊性質和勾股定理解答即可．【詳解】解：當P點在E點左邊時，如圖1，由折疊性質得PC＝PH，DC＝DH，∵∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，∴BC＝10，∵CD＝13BC∴CD=1∵DE⊥AC，DE＝2∴CE=(∴DH＝CD＝103∴EH＝ED+DH＝2+103＝16設PC＝x，則PH＝x，PE＝x-83∵PH∴x2解得，x＝203即CP＝203當P點在E點右邊時，如圖2，由折疊知，DH＝DC＝103∴EH＝DH﹣DE＝103設PC＝a，則PE＝CE-PC＝83-a，PH＝a∵PH∴a2解得，a＝53即PC＝53綜上，PC＝53或20故答案為：53或20【點睛】本題考查了折疊的性質、勾股定理等知識，注意分類討論的思想是解答本題的關鍵．【考點13利用勾股定理求最值】【例13】（2022·全國·八年級專題練習）如圖，等邊△ABC的邊長為2，AD是邊BC上的中線，M是AD上的動點，E是邊AC上的中點，若AE=1，求EM+CM的最小值為（

）A．1 B．2 C．2 D．3【答案】D【分析】先連接BM，再根據MB=MC，將EM+CM轉化為EM+BM，最后根據兩點之間線段最短，求得BE的長，即為EM+CM的最小值．【詳解】解：連接BM，∵等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線∴AD是BC邊上的高線，即AD垂直平分BC∴MB=MC當B、M、E三點共線時，EM+CM=EM+BM=BE∵等邊△ABC中，E是AC邊的中點∴直角三角形ABE中，BE=AB即EM+CM的最小值3故選D.【點睛】本題主要考查了等邊三角形的軸對稱性質和勾股定理的應用等知識，熟練掌握和運用等邊三角形的性質以及軸對稱的性質是解決本題的關鍵．解題時注意，最小值問題一般需要考慮兩點之間線段最短或垂線段最短等結論．【變式13-1】（2022·廣東湛江·八年級期末）如圖Rt△ABC，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，若動點P在邊AB上移動，則線段CP的最小值是_______．【答案】125##2.4##【分析】過C作CP1⊥AB于P1，由垂線段最短可知，當點P運動到點P1的位置時，CP【詳解】解：過C作CP1⊥AB由垂線段最短可知，當點P運動到點P1的位置時，CP在Rt△ABC中，AC=5∴S△ABC∴12∴CP∴則線段CP的最小值是:125故答案為：125【點睛】本題考查了勾股定理、垂線段最短，等面積法求高，掌握勾股定理和垂線段最短是解題的關鍵．【變式13-2】（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，鐵路上A、B兩站相距8km，C、D為兩個村莊，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A、B，已知AC=2km，BD=4km，現在要在鐵路AB上修建一個中轉站P，使得P到C、D兩村的距離和最短．請在圖中畫出P點的位置，并求出PC+PD【答案】圖見解析，10【分析】根據軸對稱求最短路線作出C點對稱點C′，連接C′D即可得出P點位置，再利用勾股定理得出C′D即為中轉站P到C、D兩村莊的距離和最小值．【詳解】解：作C點關于AB的對稱點C'，連接C'D與AB過C'作C'E⊥DB則BE=AC'∴DE=BD+BE=6在Rt△DECC'∴C∴PC+PD的最小值為10km【點睛】此題主要考查了利用軸對稱求最短路線問題，根據已知得出P點位置是解題關鍵．【變式13-3】（2022·全國·八年級課時練習）如圖，長方形紙片ABCD中，AB＝8，BC＝10，折疊紙片的一邊AD，使點D落在BC邊上的點F處，AE為折痕，請回答下列問題：（1）求線段DE的長度；（2）若點P為線段AE上的一個動點，連接BP和FP，則線段BP+FP的最小值是．【答案】（1）5；（2）2【分析】（1）由折疊知AF＝AD＝10，設DE＝EF＝x，則EC＝DC?DE＝8?x，在Rt△CEF中，利用勾股定理列方程即可得出答案；（2）由折疊知：D、F關于AE對稱，得PF＝PD，則BP＋PF＝BP＋PD≥BD，最小值即為BD的長．利用勾股定理求出其長度即可．【詳解】解：（1）長方形紙片ABCD中，折疊紙片，使點D落在BC邊上的點F處，則AF＝AD＝BC＝10，BF＝AFFC＝BC?BF＝10?6＝4，∵折疊紙片，使點D落在BC邊上的點F處，折痕為AE，∴DE＝EF，設DE＝EF＝x，則EC＝DC?DE＝8?x，又∵△EFC為直角三角形，∴FC2＋EC2＝FE2，即42＋（8?x）2＝x2，∴x＝5，∴DE＝5；（2）連接BP，PF，PD，BD，∵折疊紙片，使點D落在BC邊上的點F處，折痕為AE，∴D、F關于AE對稱，∴PF＝PD，則BP＋PF＝BP＋PD≥BD，∴BP＋PF最小為BD，BD＝BC∴BP＋PF最小值為：241故答案為：241【點睛】本題主要考查了翻折的性質，勾股定理的應用等知識，明確點D、F關于AE對稱是解題的關鍵．【考點14勾股定理的證明】【例14】（2022·安徽省安慶市外國語學校八年級期中）閱讀理解：【問題情境】教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1，利用此圖，可以驗證勾股定理嗎？【探索新知】從面積的角度思考，不難發(fā)現：大正方形的面積＝小正方形的面積＋4個直角三角形的面積從而得數學等式：；（用含字母a、b、c的式子表示）化簡證得勾股定理：a2＋b2＝c2【初步運用】（1）如圖1，若b＝2a，則小正方形面積：大正方形面積＝；（2）現將圖1中上方的兩直角三角形向內折疊，如圖2，若a＝4，b＝6此時空白部分的面積為；【遷移運用】如果用三張含60°的全等三角形紙片，能否拼成一個特殊圖形呢？帶著這個疑問，小麗拼出圖3的等邊三角形，你能否仿照勾股定理的驗證，發(fā)現含60°的三角形三邊a、b、c之間的關系，寫出此等量關系式及其推導過程．知識補充：如圖4，含60°的直角三角形，已知yx【答案】【探索新知】a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab；【初步運用】（1）5：9；（2）28；【遷移運用】a2＋b2＋ab＝c2，理由見解析【探索新知】根據大正方形的面積＝小正方形的面積＋4個直角三角形的面積，構建關系式即可解決問題；【初步運用】（1）如圖1，求出小正方形的面積，大正方形的面積即可．（2）根據空白部分的面積＝小正方形的面積-2個直角三角形的面積計算即可．【遷移運用】根據大正三角形面積＝三個全等三角形面積＋小正三角形面積，構建關系式即可．【詳解】解：[探索新知]由題意：大正方形的面積＝（a＋b）2＝c2＋4×12ab∴a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab，∴a2＋b2＝c2，故答案為：a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab；[初步運用]（1）由題意：b＝2a，∴c=a∴小正方形面積：大正方形面積=c故故答案為5：9．（2）由題意得：空白部分的面積＝小正方形的面積-2個直角三角形的面積∴空白部分的面積為=a故答案為28．[遷移運用]結論：a2＋b2＋ab＝c2．理由：如圖所示，過點A作AD⊥BC于D，過點G作GH⊥EM于H，過點E作EF⊥AB于F，由題意：AD=32AB=∵大正三角形面積＝三個全等三角形面積＋小正三角形面積∴12∴（a＋b）2＝3ab＋c2，∴a2＋b2＋ab＝c2．【點睛】本題主要考查了勾股定理的證明，正確理解題意是解題的關鍵．【變式14-1】（2022·江蘇·八年級單元測試）（1）【閱讀】公元前6世紀，古希臘數學家畢達哥拉斯發(fā)現了直角三角形的三邊之間的數量關系：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于__________，這個結論在中國稱之為“勾股定理”．（2）【驗證】我國三國時期的數學家趙爽利用四個全等的直角三角形拼成如圖1的“弦圖”（史稱“趙爽弦圖”），其中四邊形ABDE和四邊形CFGH都是正方形，巧妙地用面積法給出了勾股定理的證明過程，請你將他下面的證明過程補充完整：已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c．求證：a證明：由圖可知S∵S正方形ABDE=c2，S△ABC∴即c2（3）【操作】如圖2，將等腰直角三角板ABD頂點A放在直線l上，過點B作BC⊥l，過點D作DE⊥l，垂足分別為C、E．求證：CE＝BC＋DE．（4）【發(fā)現】聰聰認真觀察圖2后發(fā)現：如果設AC＝b，BC＝a，AB＝c，此圖也可以利用面積法證明勾股定理．請你幫聰聰完成證明過程．（5）【拓展】如圖3．將圖1中的這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（粗線）的周長為24，OC＝3，直接寫出該飛鏢狀圖案的面積．【答案】（1）斜邊的平方；（2）12ab，(a﹣b)；（3）見解析；（4）見解析；（5）飛鏢狀圖案的面積＝【分析】（1）由勾股定理內容可知；（2）根據圖形可得；（3）證明Rt△ABC≌Rt△DAE，可得BC=AE，AC=DE，轉化線段即可；（4）運用等面積法表示梯形BCED的面積，變形即可；（5）首先求出AB=5，可知OB=3，OA=4，可求飛鏢圖形的面積．【詳解】（1）斜邊的平方．（2）S△ABC＝12ab，正方形FCHG邊長為（a﹣b（3）解：在等腰直角三角板ABD中由已知得AD＝AB，∠BAD＝90°∴∠BAC＋∠DAE＝90°又∵BC⊥l，DE⊥l∴∠BCA＝∠DEA＝90°，∠BAC＋∠ABC＝90°∴∠DAE＝∠ABC∴Rt△ABC≌Rt△DAE（AAS）∴BC＝AE，AC＝DE又∵CE＝AC＋AE∴CE＝BC＋DE．（4）解：由上可知BC＝AE＝a，AC＝DE＝b∴S梯形BCED＝12(BC＋DE)×CE＝12(a＋b)2＝12a2＋ab＋又∵S梯形BCED＝S△ABC＋S△ABD＋S△ADE＝12ab＋12c2＋∴12a2＋ab＋12b2＝12ab＋12c整理得a2＋b2＝c2（5）解：∵飛鏢模型的周長為24，觀察可知4（AB+AC）=24∴AB+AC=6∵OB=OC∴AB=5，OB=3，OA=4∴飛鏢狀圖案的面積＝4S△ABO＝4×12×3×4＝24【點睛】本題考查了勾股定理的驗證和運用，理解勾股定理解決問題的關鍵．【變式14-2】（2022·貴州·仁懷市周林學校八年級階段練習）用四個全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個正方形，它是美麗的弦圖，其中四個直角三角形的直角邊長分別為a，b（a<b），斜邊長為c．(1)結合圖①，求證：a2(2)如圖②，將這四個全等的直角三角形無縫隙無重疊地拼接在一起，得到圖形ABCDEFGH．若該圖形的周長為48，OH=6．求該圖形的面積；(3)如圖③，將八個全等的直角三角形緊密地拼接成正方形PQMN，記正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面積分別為S1、S2、S3，S1+S2+S3【答案】(1)見解析(2)S=96；(3)8【分析】（1）用兩種方法分別表示中間小正方形面積即可；（2）設AH=BC=x，則AB=12-x，在Rt△AOB中，由勾股定理列出方程即可求出BC的長，從而解決問題；（3）設正方形EFGH的面積為x，其他八個全等三角形的面積為y，則S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，根據S1+S2+S3=24（1）證明：S小正方形S小正方形即b2∴a2（2）解：∵AB+BC=48÷4=12，設AH=BC=x，則AB=12-x，OB=OH=6．在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB即62解得：x=2，∴AB=12-x=10，∴S=12×6×8×4=96（3）解：設正方形EFGH的面積為x，其他八個全等三角形的面積為y，∵S1+S2+S∴S1=8y+x，S2=4y+x，S3∴S1+S2+S3=3x+12∴x+4y=8，∴S2=8故答案為：8．【點睛】本題主要考查了勾股定理的證明，勾股定理的應用等知識，運用整體思想、方程思想是解題的關鍵．【變式14-3】（2022·山東濟寧·八年級期中）如圖，點C在線段BD上，AC⊥BD，CA=CD，點E在線段CA上，且滿足DE=AB，連接DE并延長交AB于點F．(1)求證：DE⊥AB；(2)若已知BC=a，AC=b，AB=c，請借助本題提供的圖形，用等積法證明勾股定理a2（提示：用兩種不同的方法表示出△ABD的面積）【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由“HL”可證Rt△ABC≌Rt△DCE，得出∠BAC=∠EDC，進而求出∠BFD=90°，即可得出答案；（2）根據S△ABD=12?AB?DF,S△ABE=12?AB?EF=12?cx,S△ABD=S△BCE+S△ACD+（1）證明：∵AC⊥BD，∴△ABC和△DCE都是直角三角形，∵CA=CD，DE=AB，∴Rt△ABC≌∴∠BAC=∠CDE，∵∠BAC+∠ABC=90°，∴∠CDE+∠ABC=90°，∴∠BFD=90°，∴DE⊥AB；（2）解：∵Rt△ABC≌∴DE=AB=c，CE=BC=a，設EF=x，則DF=c+x，∵DE⊥AB，∴S△ABD=1∵S△ABD∴12∴a2【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，利用面積關系證明勾股定理是本題的關鍵．【考點15勾股定理與無理數】【例15】（2022·山東·青島超銀中學八年級期中）為了比較17與10+1的大小，可以構造如圖所示的圖形進行推算，其中∠C＝90°，BC＝4，D在BC上，且CD＝3，AC＝1．通過計算可得17__10+1．（填“＞”或“＜”或“＝”）【答案】＜【分析】依據勾股定理即可得到AD＝CD2+AC2=10，AB＝AC2+BC2＝17，BD＝BC－CD＝1，BD+AD＝10+1，再根據△ABD【詳解】解：∵∠C＝90°，BC＝4，CD＝3，AC＝1，∴AD＝CD2+AC2=10，AB＝AC2+BC∴BD+AD＝10+1，又∵△ABD中，AD+BD＞AB，∴17＜10+1，故答案為：＜．【點睛】本題主要考查了三角形三邊關系以及勾股定理的運用，解題時注意：三角形兩邊之和大于第三邊.【變式15-1】（2022·河南·鄭州外國語中學八年級期中）如圖，長方形OABC放在數軸上，OA＝2，OC＝1，以A為圓心，AC長為半徑畫弧交數軸于P點，則P點表示的數為（

）A．2﹣5 B．﹣5C．5-2 D．【答案】A【分析】利用勾股定理列式求出AC，然后根據數軸寫出點P所表示的數即可．【詳解】解：∵長方形OABC的長OA為2，寬OC為1，∴由勾股定理得，AC=2∴AP=5，∵點A表示的數是2，∴點P表示的數是2-5．故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理，實數與數軸，主要是無理數在數軸上的表示，熟記定理是解題的關鍵．【變式15-2】（2022·安徽黃山·八年級期末）如圖，在正方形網格中，每個小正方形邊長都為1，則網格上△ABC中，邊長為無理數的邊長有(

)A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【詳解】如圖所示：AB＝52+BC=22+3AC=32+4所以無理數的邊長有2個.故選C.【變式15-3】（2022·江西·南昌市心遠中學八年級期末）某課外學習小組在一次活動中．對如何畫出在數軸上表示“±a(a≥0的整數A同學說：按照下圖可畫出表示(第1個數)2(第2個數)5，（第3個數）10，(第n個數)的7點；B同學說：我找到了表示-5,-C同學說：以上兩位同學的方法都不能在數軸上畫出，表示3,7等無理數點來．我可以在A同學的基礎上完美地畫出表示“±a問題1按A同學的畫法，第4個數應是．第n個數是．2請你在圖2上補畫出表示-83C同學說的更完美的方法你能畫出嗎?若能使用直尺和圓規(guī)在同一數軸上畫出表示：5,6【答案】（1）17；n2+12；（【分析】（1）由題意可得，第4個數是以4，1為直角邊構成的直角三角形斜邊長，根據勾股定理即可求解；第n個數是以n，1為直角邊構成的直角三角形斜邊長，勾股定理求解即可；（2）在-2處，作垂直于x軸且長度為2的線段，再畫弧即可，同理可求得-13（3）按照（1）中的方法，做出5的點，過該點作垂直于x軸且長度為1的線段，然后畫弧與x軸正半軸交點即表示6，同理可求7．【詳解】解：（1）由題意可得，第4個數是以4，1為直角邊構成的直角三角形斜邊長，由勾股定理得，斜邊長為42+1第n個數是以n，1為直角邊構成的直角三角形斜邊長，由勾股定理得，斜邊長為n2+12，第故答案為17；n（2）∵8∴8為以2，2為直角邊構成的直角三角形斜邊長同理可得：13為以3，2為直角邊構成的直角三角形的斜邊邊長，20為以4，2為直角邊構成的直角三角形的斜邊邊長，n2+4為以n，分別在-2、-3，-4，-n處，作垂直于x軸且長度為2的線段，原點為圓心，以對應的斜邊長為半徑，畫弧，與負半軸的交點即表示-8,-（3）按照（1）中的方法做出表示5的點，過該點作垂直于x軸且長度為1的線段，以5,1為直角邊作直角三角形，此時斜邊長為(5)2+12同理以過6的點作垂直于x軸且長度為1的線段，以6,1為直角邊作直角三角形，此時斜邊長為(6)2+12【點睛】此題考查了勾股定理在數軸上的應用，理解題意找到無理數的平方對應的整數平方和，構造直角三角形是解題的關鍵．【考點16判斷是否是直角三角形】【例16】（2022·全國·八年級單元測試）分別以下列四組數為一個三角形的邊長：（1）6、8、10，（2）5、12、13，（3）8、15、17，（4）4、5、6，其中能構成直角三角形的有__．（填序號）【答案】（1）（2）（3）【分析】只需計算兩短邊的平方和是否等于最長邊的平方，即可得出答案．【詳解】解：（1）62+82＝102，可以構成直角三角形；（2）52+122＝132，能構成直角三角形；（3）82+152＝172，能構成直角三角形；（4）52+42≠62．不能構成直角三角形；故答案為：（1）（2）（3）．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，如果兩條邊的平方和等于第三條邊的平方，那么這個三角形是直角三角形，熟記勾股定理的逆定理，正確計算是解題的關鍵．【變式16-1】（2022·黑龍江綏化·八年級期末）已知，如圖，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，且∠A=90°．(1)求BD的長．(2)判斷△BCD是什么三角形，并說明理由？【答案】(1)5(2)直角三角形，理由見解析【分析】（1）根據勾股定理求解即可；（2）根據勾股定理的逆定理求解即可．（1）如圖，在△ABD中，AB=3，AD=4，∠A=90°，∴由勾股定理得BD即BD=5（2）△BCD是直角三角形．理由如下：在△BCD中，BC=13，CD=12，BD=5，∴BC2=169∴BC∴△BCD是直角三角形．【點睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．注意：勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．【變式16-2】（2022·全國·八年級階段練習）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．(1)求BC的長；(2)求△ABC的面積；(3)判斷△ABC的形狀．【答案】(1)15(2)150(3)△ABC是直角三角形【分析】1)根據勾股定理求出BC即可；(2)根據勾股定理求出AD，根據AB＝AD+BD求出AB，再求出面積即可；(3)根據勾股定理的逆定理判斷即可．（1）解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，由勾股定理得：BC＝CD（2）在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝AC∵BD＝9，∴AB＝AD+BD＝16+9＝25，∴△ABC的面積S＝12（3）∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理和三角形的面積等知識點，能熟記勾股定理和勾股定理的逆定理的內容是解此題的關鍵．【變式16-3】（2022·重慶·八年級期中）有一旅游景點C在一條筆直河流的一側，河邊有兩個碼頭A，B.并且AB=AC，由于某種原因，由C到A的路已經不通，為方便游客決定在河邊H點新建一個碼頭(點A，H，B在同一直線上)，并新修一條筆直的公路CH，測得BC=10千米，CH=8千米，BH=6千米．(1)判斷△BCH的形狀，并說明理由；(2)求原路線AC的長．【答案】(1)△BCH是直角三角形，理由見解析(2)原來的路線AC的長為253【分析】（1）根據勾股定理的逆定理解答即可；（2）設AC=AB=x千米，則AH=AB-BH=x-6千米，在Rt△ACH（1）△BCH是直角三角形，理由是：在△CHB中，∵CH2+B∴CH∴△BCH是直角三角形且∠CHB=90°；（2）設AC=AB=x千米，則AH=AB-BH=x-6在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-6，CH=8，由勾股定理得：AC∴x解得x=25答：原來的路線AC的長為253【點睛】此題考查勾股定理的應用，解決本題的關鍵是掌握勾股定理的逆定理和定理．【考點17利用勾股定理構造圖形解決實際問題】【例17】（2022·山東德州·八年級期末）如圖，某自動感應門的正上方A處裝著一個感應器，離地面的高度AB為2.5米，一名學生站在C處時，感應門自動打開了，此時這名學生離感應門的距離BC為1.2米，頭頂離感應器的距離AD為1.5米，則這名學生身高CD為（）米．A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6【答案】D【分析】過點D作DE⊥AB于E，得到CD=BE，DE=BC=1.2米，由勾股定理得出AE，進而得到BE=AB-AE=1.6米，即可得出答案．【詳解】解：過點D