2023六年級數(shù)學下冊教材分析

款數(shù)版裸程探灌曲驗數(shù)科書

大耳極微學千冊教材今折

（主講：沈重予）

全冊教材支配

六年級其次學期是小學階段最終一個學期，運用六年級（下冊）教科

書。這冊教科書里把教學內容編排成八個單元，前七個單元教學新學問，

完成《數(shù)學課程標準（試驗稿）》規(guī)定的內容和任務。第八單元是總復習，

系統(tǒng)整理小學數(shù)學中的主要學問，進一步完善認知結構，進一步駕馭重要

的思想方法，進一步提高應用學問解決實際問題的實力。

教學的新學問仍舊有四個領域的內容。“數(shù)與代數(shù)”領域教學百分數(shù)的

應用、比例的意義和性質、正比例和反比例、以及解決問題的策略。百分

數(shù)的應用是在初步理解百分數(shù)的意義，能夠進行百分數(shù)與小數(shù)互化的基礎

上編排的，利用百分數(shù)的概念解決實際問題，深化理解百分數(shù)的意義，體

會它在日常生活和生產勞動中的廣泛應用。比例的意義和性質是在初步相

識比和比的基本性質，能夠組成比、求比值、化簡比的基礎上編排的，有

助于體會圖形放大與縮小的含義，相識比例尺以及解決有關比例尺的實際

問題。正比例和反比例是在常見數(shù)量關系的基礎上編排的，建立正比例和

反比例的概念，能進一步理解和把握數(shù)量關系，感受常量與變量，初步體

會函數(shù)關系。在解決問題的策略這個單元里，體驗轉化思想，感受轉化是

解決問題的常用方法，它能溝通學問間的聯(lián)系，使困難問題變得比較簡潔。

“空間與圖形”領域教學圓柱和圓錐，圖形的放大與縮小，用方向和距離

確定位置。圓柱和圓錐都是平面與曲面圍成的立體圖形，是在圓的學問與

長方體、正方體學問的基礎上編排的，相識圓柱和圓錐的特征，理解圓柱

側面積和表面積的含義及計算方法，探究并應用圓柱和圓錐的體積計算公

式，能發(fā)展空間觀念和思維實力。圖形的放大與縮小是新增加的教學內容，

初步理解圖形放大與縮小的含義，在方格紙上按規(guī)定的比畫出簡潔圖形放

大或縮小后的圖形，充溢了圖形變換的學問和實力。確定位置也是新增加

的教學內容，在東北、東南、西北、西南的基礎上理解北偏東、北偏西、

南偏東、南偏西的含義，還要利用量角、畫角的技能和比例尺的學問，描

述物體所在的位置，進一步發(fā)展方向感?！敖y(tǒng)計與概念”領域教學扇形統(tǒng)計

圖，是在相識圓以及百分數(shù)的基礎上編排的。要求相識扇形統(tǒng)計圖的特點，

理解統(tǒng)計圖中各個百分數(shù)的詳細含義，利用已知的總數(shù)以及各部分所占的

百分比，計算各部分有多少，但不要求制作扇形統(tǒng)計圖。結合新學問的教

學，編排三次實踐活動。一次是利用圓柱的體積，測量不規(guī)則形態(tài)物體的

體積；一次是比較圖形放大后與放大前邊長的比與面積的比，發(fā)覺面積的

變更規(guī)律；還有一次是多種方法測量間隔較遠的兩地的距離。實踐活動的

內容與新學問關系緊密，讓學生在操作、探究、合作中擴展學問、增長才

能。

總復習也分四個領域編排。在“數(shù)與代數(shù)”領域整理接連相識的數(shù)，

溝通各種形式的數(shù)的聯(lián)系，進一步清晰數(shù)的概念，用數(shù)描述與溝通客觀現(xiàn)

象；整理接連學會的運算，在整、小、分數(shù)的計算法則、運算依次、運算

律上求同存異，進一步理解運算的意義，通過計算解決實際問題；整理式

與方程的學問，用字母表示數(shù)和數(shù)量關系，進一步提高運用方程解決問題

的實力。另外，還整理了比與比例、正比例與反比例等學問內容。在“空

間與圖形”領域復習平面圖形和立體圖形，按形態(tài)特征整理一般圖形與特

殊圖形的關系，按推導方法整理平面圖形面積計算公式，用“底面積義高”

整合立體圖形的體積計算方法；復習圖形變換的學問，通過平移、旋轉變

更圖形的位置，通過放大或縮小變更圖形的大?。粡土暣_定位置的方法，

用數(shù)對表示物體的位置，用方向與距離表示地點或路途。在“統(tǒng)計與概率”

領域復習收集、整理數(shù)據(jù)的方法，呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖，反映數(shù)據(jù)

狀況的統(tǒng)計量；復習可能性的學問，簡潔應用可能性。在“綜合應用”里

編排四個小型課題，支配調查探討，用統(tǒng)計方法了解事情，提出并解決問

題。

各單元教材分析

第一單元百分數(shù)的應用

一、教學內容

六年級（上冊）“相識百分數(shù)”這個單元里，初步教學百分數(shù)的意義，

用百分數(shù)描述部分與整體或兩個同類數(shù)量間的倍數(shù)關系；教學了百分數(shù)與

分數(shù)、小數(shù)的相互改寫，解決簡潔的求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的問

題。本單元在此基礎上編排，通過應用百分數(shù)解決實際問題，進一步理解

百分數(shù)的意義，體會百分數(shù)的廣泛應用。

日常生活和生產勞動常常應用百分數(shù)，如用百分數(shù)表示一個數(shù)量比另

一個數(shù)量多或少的關系，又如利息與納稅的計算、折扣的設計與計算等。

應用百分數(shù)解決問題可以列式計算，也可以列方程解答。這些都是本單元

的教學內容。

全單元的教學內容比較多，編排6道例題、四個練習以及全單元的整

理與練習，大致分成五段教學。

例1、練習一，求一個數(shù)比另一個數(shù)多百分之幾（或少百分之幾）。這

一段是接著六年級（上冊）求簡潔的百分率編排的。

例2、例3、練習二，依據(jù)國家規(guī)定的稅率和利率，計算應納稅金額和

可得利息金額。這一段應用百分數(shù)的乘法解決實際問題。

例4、練習三，解決有關折扣的問題，包括設計折扣和依據(jù)折扣求現(xiàn)價

或原價的問題。這一段里有列方程解題，也有列算式解題，列方程求原價

是重點。

例5、例6練習四，列方程解決稍困難的百分數(shù)問題或分數(shù)問題。在六

年級（上冊）“分數(shù)四則混合運算”里只教學稍困難的求一個數(shù)的百分之幾

是多少的問題，已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)的問題支配在本

單元，由百分數(shù)問題帶出。

“整理與練習”綜合全單元的學問內容，進一步應用百分數(shù)解決實際

問題。

二、教材編寫特點和教學建議

1.應用概念、聯(lián)系閱歷進行推理，求一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）百分

之幾。

例1是一個數(shù)比另一個數(shù)多百分之幾的問題，“試一試”是一個數(shù)比另

一個數(shù)少百分之幾的問題。學生有求一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）幾的閱歷，

已能求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾。教材充分利用這些資源，引導學生

通過推理，探究例題與“試一試”的算法，激勵解決問題方法多樣化。

?線段圖直觀。例1畫出表示東山村原支配造林面積和實際造林面積

的線段圖，還在圖上標出了表示實際比原支配多的那一段，幫助理解“實

際造林比原支配多百分之幾”的含義。讓學生體會這是把原支配造林面積

作為單位“1”，實際多造林的公頃數(shù)與原支配造林面積相比。求實際造林

比原支配多的公頃數(shù)占原支配的百分之幾，須要分兩步解答。

?思路與解法多樣。例題用兩種方法求得實際造林比原支配多25%,

“兔”的思路是：實際比原支配多造林的4公頃占原支配造林面積的25%,

他先算了4公頃；“鳥”的思路是：實際造林面積是原支配的125%,比原支

配多25%,他先算了125%。教材希望這些解法都是學生在線段圖的幫助下

想到的，在溝通時激勵思路與方法多樣化，允許學生選擇解法。

?類推并比較?！霸囈辉嚒苯鉀Q的問題與例1貌似相同、實質不同。所

謂貌似相同，因為兩個問題都是實際造林面積和原支配造林面積的關系，

學生往往會從實際比原支配多25%得出原支配比實際少25%這個錯誤結論。

其實，這兩個問題有質的區(qū)分，首先是數(shù)量關系不同，作為單位“1”的數(shù)

量不同，列出的算式不同；其次是兩個問題的結果不同：實際比原支配多

25%、原支配比實際少20%o為此教材里有比較兩題的結果，分析結果不同

緣由的支配。

?設計題組，加強概念。解答求百分率的實際問題是應用百分數(shù)意義

進行推理的過程，每一個求百分率的問題都計算一個數(shù)是另一個數(shù)的百分

之幾，各個百分率都有特定的詳細含義。練習一里編排一些題組，旨在進

一步加強百分數(shù)的概念。如第4題分別把會游泳人數(shù)或不會游泳人數(shù)與全

班人相比，得到的兩個百分數(shù)是不同的。第5題里既有相同條件求不同的

百分率，也有不同條件求相同的百分率，從中體會數(shù)量關系和解題過程的

不同。第7題里雖然三個百分率的計算思路一樣，由于利用的條件不同，

因而結果也不同。

2,促進閱歷遷移，求一個數(shù)的百分之幾是多少。

納稅和收入利息都是生活中常見的求一個數(shù)的百分之幾是多少的問

題。例2教學納稅的問題，例3教學利息的問題，它們的解題思路與數(shù)量

關系有相像的地方，相宜編排在一起教學。收獲利息要繳納利息稅，在教

學利息的問題前先教學納稅問題，是合理的支配。另外，稅率和利率都是

國家的有關部門規(guī)定的，一般公民不須要計算稅率和利率，只要依據(jù)規(guī)定

的稅率和利率計算應繳納多少稅、能收入多少息。所以，這兩道例題和練

習二里只涉及求一個數(shù)的百分之幾是多少的問題。

?創(chuàng)建遷移的氛圍，讓學生主動解決納稅問題。例2求60萬元的5%

是多少萬元，從5%的概念動身，利用5%與高意義上的共同點，讓學生在

60萬元的工基礎上，通過推理懂得求一個數(shù)的百分之幾是多少也用乘法計

100

算。計算60X5%轉化成60x1-,再次體會兩者的數(shù)量關系是一樣的，用

100

乘法求一個數(shù)的百分之幾是多少是合理的。把60X5%轉化成60X0.05是計

算百分數(shù)乘法的常用策略，當一個數(shù)乘分數(shù)的計算比較麻煩時，把百分數(shù)

化成小數(shù)計算的優(yōu)越就顯現(xiàn)了。

例2計算應繳納的營業(yè)稅，“試一試”和練習中還要計算應繳納的車輛

購置稅、增值稅、個人所得稅等，都是我國現(xiàn)行的主要稅種。稅率雖然不

同，計算應納稅額的原理與方法是致的。學生獨立解決一些關于納稅的問

題，實現(xiàn)例題到練習題的遷移。

?接受和理解利息的算法。利息有規(guī)定的算法，把算法告知學生，理

解算法的數(shù)量關系，是比較相宜的教學方法。例3在亮亮存款的情境里出

現(xiàn)“利息=本金X利率義時間”，在底注說明本金、利息、利率的意思，讓

學生理解年利息是按年利率計算的，是求本金的百分之幾；假如存期超過1

年，還要把年利息乘時間。依據(jù)利息的計算公式列式求得利息，能對利息

的算法有進一步的體驗。

我國的稅法規(guī)定，獲得利息要繳納利息稅，“試一試”計算應繳納的利

息稅以及納稅后的實得利息。例3與“試一試”有序地結合，為“練一練”

和解答練習二第5、6題作了充分的打算。依據(jù)本金、利率、時間、稅率計

算稅后實得利息的步驟較多，因此，教科書里的實際問題一般設計成連續(xù)

的兩問，先算應得利息，再算實得利息，適當降低解決問題的思路坡度，

削減錯誤。

3.解答“打折扣”的實際問題，溝通各類百分數(shù)問題的聯(lián)系。

學生已能解答求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的問題，以及求一個數(shù)

的百分之幾是多少的問題，例④教學已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這

個數(shù)的問題，并溝通三類百分數(shù)問題的聯(lián)系。

?以百分數(shù)乘法為相等關系，列方程解決實際問題。例4已知《趣味

數(shù)學》打八折是12元，求書的原價是多少。教材先告知學生八折是80%,

還在底注里介紹什么是打折扣，以及折扣的含義，指出幾折就是非常之幾，

也就是百分之幾十。然后讓學生思索原價和實際售價的關系，聯(lián)系打折扣

的含義，得到數(shù)量關系”原價X80%=實際售價”。在這個關系式里，已知

實際售價、求原價，假如設原價為x元，就能列方程解決問題。

?用不同方法檢驗，溝通百分數(shù)問題的聯(lián)系。檢驗實際問題的答案，

一般不采納代入原方程的方法，因為把X的值代入原方程只能檢驗解方程，

不能檢驗列方程。教材激勵學生聯(lián)系折扣的含義，用多種方法檢驗?！巴谩?/p>

檢驗實際售價12元是不是原價15元的80%,“鳥”檢驗原價15元的書打八

折后的實際售價是不是12元。例題及兩種檢驗，都在原價、現(xiàn)價、折扣三

個數(shù)量里已知兩個，求另一個，它們是有關折扣的三類實際問題。例題的

解答及其檢驗，體現(xiàn)了各類百分數(shù)問題的內在聯(lián)系。

?進行解決各類問題的練習，敏捷應用數(shù)量關系。練習三里編排了關

于折扣的各種問題，第1題已知原價和折扣，求打折后的售價；第2題已

知打的折扣以及打折后的實際售價，求打折前的原價；第4題依據(jù)原價和

現(xiàn)在售價，求打的折扣。學生解決這些問題，能進一步理解折扣的含義和

實際應用，敏捷駕馭數(shù)量關系。解答這些題都從折扣的詳細含義分析數(shù)量

關系，首先是“原價X折扣=現(xiàn)價”。在這個關系式里，假如已知原價求現(xiàn)

價，可以列乘法算式計算；假如已知現(xiàn)價求原價，列方程是常用的方法。

然后是“現(xiàn)價?原價=折扣”，即現(xiàn)在售價是原來價錢的百分之幾十，就是

打了幾折。練習三的第3題，把已知的百分數(shù)改說成打的折扣，啟示學生

求打的折扣就是求現(xiàn)價占原價的百分之幾十，為第4題作了鋪墊。

4.列方程解答較困難的百分數(shù)問題。

例5把男生人數(shù)作為單位“1”，例6把九月份用水量作單位“1”，兩

道題都求單位“1”是多少，在例4的基礎上列方程解答。

?利用線段圖顯示相等關系，分散列方程的難點。求單位“1”是多少

的百分數(shù)問題一般列方程解答，找到相等關系既是關鍵，又常常是難點。

例5用兩條線段分別表示美術組的男生人數(shù)和女生人數(shù)，先畫表示男生人

數(shù)的線段是因為男生人數(shù)看作單位“1”。讓學生在圖右邊的括號里填寫總

人數(shù)，體會總人數(shù)是男生人數(shù)與女生人數(shù)的和，從而找到相等關系。例6

用兩條線段分別表示九月份和十月份的用水量，先畫表示九月份用水量的

線段是因為把它看成單位“1”的量。十月份用的水比九月份少，也就是“九

月份用水量一十月份比九月份節(jié)約的用水量=十月份用水量”，這正是實際

問題的相等關系。教材利用線段圖直觀反映例5里的兩個數(shù)量的相并關系，

例6里兩個數(shù)量的相差關系，有助于學生理解相等關系。

兩道例題列出的方程都形如“x±ax=b”，不僅設單位“1”的量數(shù)為x,

還要用含有x的式子表示女生人數(shù)或十月份節(jié)約用水的立方米數(shù)，這是列

方程的難點。教材讓學生在例5的線段圖上用0.8x表示女生人數(shù)，看著例

6的線段圖思索十月份比九月份節(jié)約的立方米數(shù)怎樣表示，能有效化解難

點。

?加強數(shù)量關系的練習，提高找尋相等關系的實力。第11頁“練一練”

第1題和例5相像，第2題是例5的變式。這些題的特征比較明顯，有些

題已知兩個數(shù)量的和是多少，求兩個數(shù)量各多少；有些題已知兩個數(shù)量相

差多少，求兩個數(shù)量各多少。已知的和或相差數(shù)常常是分析數(shù)量關系的切

入口，兩個數(shù)量相加得到它們的總數(shù)、兩個數(shù)量相減得到它們的相差數(shù)，

往往是實際問題里的主要數(shù)量關系，也是列方程的相等關系。第12頁“練

一練”消化例6的思路，在說數(shù)量關系前先讓學生試著畫出線段圖，在線

段圖直觀啟示下簡潔說出數(shù)量關系。學生看著線段圖，聯(lián)系已有的閱歷，

可能說出不同的數(shù)量關系式。如美術組人數(shù)一舞蹈組人數(shù)=美術組比舞蹈

組多的人數(shù)；美術組人數(shù)一美術組比舞蹈組多的人數(shù)=舞蹈組人數(shù)；舞蹈

組人數(shù)十美術組比舞蹈組多的人數(shù)=美術組人數(shù)。要指導學生從中選擇用

于列方程的相等關系，從他們現(xiàn)有的解方程實力動身，選用的數(shù)量關系式

必需保證未知數(shù)都在等號的左邊。

?帶出稍困難的分數(shù)問題。六年級（上冊）只教學較困難的分數(shù)乘法

問題，把稍困難的求單位“1”是多少的問題支配在本單元，由百分數(shù)問題

帶出來，如練習四第14?16題。這些題的解題思路與方法，和求單位“1”

的百分數(shù)問題很接近，學生解答百分數(shù)問題的閱歷能夠遷移到解答分數(shù)問

題上。教材不編排分數(shù)問題的例題，把解答分數(shù)問題支配在練習四的最終

中，意圖是非常明顯的，讓學生在獨立解答這些題的過程中實現(xiàn)認知同化。

其次單元圓柱和圓錐

一、教學內容

學生已經(jīng)駕馭了長方體和正方體的特征、表面積與體積的計算方法，

還直觀相識了圓柱。在這些學問的基礎上，本單元教學圓柱和圓錐，主要

內容有：圓柱和圓錐的特征，圓柱的側面積與表面積，圓柱和圓錐的體積

計算。

全單元編排了5道例題、四個練習以及整理與練習，大致分成五段教

學。

例1、練習五，圓柱和圓錐的形態(tài)特征；

例2、例3、練習六，圓柱的側面積和表面積；

例4、練習七，圓柱的體積；

例5、練習八，圓錐的體積；

“整理與練習”綜合應用全單元的學問，“實踐活動”擴展學問、開拓

視眼。

二、教材編寫特點和教學建議

1.按“整體一部分一整體”的線索，分別教學圓柱和圓錐的結構特點。

學生相識幾何體一般先整體感知形態(tài)，再細致探討結構與特征，在此

基礎上歸納描述，建立形體概念。

例1先教學圓柱的特征，再教學圓錐的特征。這是因為學生對圓柱已

有直觀感受，對圓錐比較生疏。圓柱和圓錐的形態(tài)雖然有明顯的區(qū)分，但

它們都有圓形底面、彎曲的側面。先相識圓柱，有利于相識圓錐。

?在現(xiàn)實的情境中初步相識圓柱和圓錐。例題在圖畫里呈現(xiàn)很多圓柱、

圓錐形態(tài)的物體，讓學生從中找出圓柱形態(tài)物體，告知他們有些物體的形

態(tài)是圓錐，還要回憶生活中的其他例子，體會這兩種形態(tài)的物體是比較常

見的，為相識圓柱和圓錐的特征搜集了豐富的材料。

?視察溝通，分別描述圓柱和圓錐的結構特點。教材要求學生細致視

察圓柱和圓錐，發(fā)覺它們的特征。圓柱的特征突出三點：從上到下始終一

樣粗；兩個底面是相同的圓形；側面是一個曲面。圓錐的特征也突出三點；

有一個頂點；一個底面是圓形；側面是一個曲面。在學生溝通的基礎上，

出現(xiàn)圓柱和圓錐的幾何圖形，圖文結合指出圓柱和圓錐的“底面”“側面”

和“高”。這些都是與形態(tài)特征有關的概念，還是接著教學側面積、表面積、

體積必需的基礎學問。

圓柱與圓錐的高都是特定的概念，圓柱的高是它兩個底面之間的距離，

圓錐的高是它頂點究竟面圓心的距離。教材在圓柱和圓錐的幾何圖形里用

虛線畫出了圓柱兩個底面圓心間的線段，圓錐頂點究竟面圓心的線段，還

在圖形外面標注“高”，讓學生理解圓柱和圓錐的高分別是這兩條線段的長，

還示意了測量圓柱、圓錐的高的方法。

?通過識別加強形體概念。第19頁“練一練”找出圓柱形或圓錐形的

物體，進一步突出圓柱和圓錐的特征，加強形體概念。有些物體的底面是

多邊形，不是圓形；有些物體的兩個底面都是圓形，但大小不同；有些物

體的兩個底面雖然是相同的圓，但兩底之間不一樣粗，它們都不是圓柱形

的物體。

?在練習里發(fā)展空間觀念。練習五第1題鞏固有關圓柱、圓錐特征的

基礎學問。第2題指出圓柱、圓錐的三視圖，體會從正面、側面看到的形

態(tài)要用平面圖形來表示。第3、4題體會“形”旋轉成“體”，“形”的尺寸

確定“體”的底面大小和高的長短。第5題利用教科書供應的材料制作圓

柱、圓錐，體會側面是平面圖形卷成的曲面，學會測量底面直徑和高的方

法，計算底面周長和面積，復習圓的學問。學生的空間觀念在視察、操作、

制作的過程中得到發(fā)展。

2.綻開圓柱的側面、表面、探討側面積和表面積的計算方法。

例2教學圓柱的側面積，例3教學圓柱的表面積。這樣支配，符合學

問間的關系，突出側面積是認知的重點。

?指導綻開圓柱側面的方法，理解側面綻開后的形態(tài)。例2計算圓柱

形罐頭側面的商標紙的面積，在問題情境里，學生知道商標紙是圍到圓柱

側面上的，于是產生把商標紙綻開的愿望。教材指導“沿著接縫剪開“，接

縫的長是圓柱的高，沿著接縫剪就是沿著高剪，綻開是一張長方形紙。學

生在“圍一剪一展一圍”的活動中，體會了圓柱側面綻開是一個長方形。

?指引方向，探究側面積的算法。計算長方形面積的方法是“長義寬”,

怎樣利用圓柱的底面直徑和高計算側面積？須要解決的問題是長方形的長

和寬與圓柱有什么關系。教材讓學生探討這些關系，發(fā)覺長方形的長等于

圓柱的底面周長、長方形的寬等于圓柱的高。這樣，圓柱的側面積就可以

通過“底面周長X高”計算。得出側面積算法是推理的結果，在推理過程

中，形象思維和抽象思維都得到熬煉，空間觀念得到培育。

?畫出表面綻開圖，探討表面積的算法。學生有計算長方體、正方體

的表面積的閱歷，知道表面積是物體各個面的面積總和。例3教學圓柱的

表面積，創(chuàng)建已有學問、閱歷遷移的氛圍，要求學生在方格紙上畫出一個

圓柱的綻開圖。為了能順當?shù)禺媹D，例題的第一個問題是沿高綻開側面，

得到的長方形長和寬各是幾厘米？指導學生應用圓柱側面積學問，先畫出

側面的綻開圖。其次個問題是兩個底面分別是多大的圓？指導學生依據(jù)圓

柱立體圖形里的底面直徑，畫出兩個底面圓。通過畫圖，看到圓柱的綻開

圖是一個側面（長方形）和兩個底面（圓形）組成的，由此得出“圓柱的

側面積與兩個底面積的和，叫做圓柱的表面積?！痹谛〗M里探討“怎樣計算

圓柱的表面積”，一要理出解決問題的思路和步驟，二要依據(jù)已知的圓柱的

有關條件，說說側面積與底面積的算法。由于圓柱表面積計算比較困難，

一般分步解答。

?敏捷應用側面積、表面積學問，解決實際問題。練習六是圓柱側面

積、表面積的實際應用，解答問題要重視“數(shù)學化”，把實際問題抽象成計

算側面積、底面積或表面積的數(shù)學問題。如第1題求鋁皮面積是計算圓柱

形隊鼓的側面積，計算羊皮面積是求圓柱形隊鼓的兩個底面積。再如通風

管是沒有底面的，彩紙糊的燈籠只有下底和側面。另外，計算圓柱的側面

積和表面積，常常要進行繁瑣的乘法運算。為此，本單元提倡學生運用計

算器，把精力用于“數(shù)學化”上，用于規(guī)劃解決問題的步驟上。

3.應用轉化策略，教學圓柱的體積計算公式。

把未知轉化成已知是解決新奇問題的常用策略，也是創(chuàng)新精神、實踐

實力的表現(xiàn)。教學圓柱的體積公式，運用了轉化策略，分三步進行。

?建立“等底”“等高”概念，形成“等積”猜想。例4教學圓柱體積

的計算方法，首先出示一個長方體、一個正方體、一個圓錐，圖文結合指

出它們的底面積相等、高也相等。因為圓柱的體積計算公式是轉化成等底、

等高的長方體后推導的，學生須要形成“等底”“等高”概念。然后從長方

體、正方體的體積都可以“底面積X高”計算，得到等底、等高的長方體

與正方體的體積相等。由此猜想，圓柱的體積也與等底、等高的長方體相

等，形成了探討圓柱體積算法的思路。

?害k拼圓柱，轉化成長方體。圓柱的體積是否與等底、等高的長方

體相等，要看它能不能轉化成相應的長方體。學生有圓轉化成長方形的閱

歷，以此為基礎，把圓柱的底面平均分成16份，切開后拼成了一個近似的

長方體。這里講“近似”，是因為拼成的物體的“長”是8段弧組成的曲線。

由此想像，假如把圓柱的底面平均分成32份、64份……切開后拼成的物體

的“長”越來越接近線段，拼成的物體越來越接近長方體。在切、拼操作

以及想像中，實現(xiàn)了圓柱轉化成長方體。

?通過推理，得到圓柱體積計算公式。切、拼把圓柱轉化成長方體，

圓柱的體積公式還要通過推理得到。教材先指導學生探討拼成的長方體與

原來的圓柱的關系，看到兩個物體的體積相等、底面積相等、高也相等。

再體會“底面積X高”既是計算長方體的體積，也算得了圓柱的體積。由

此得出圓柱的體積公式，并用字母表示，便于記憶和應用。

4.“估計一驗證”探究圓錐的體積公式。

就小學生現(xiàn)有的學問，把圓錐轉化成體積相等的其他物體有些困難。

因此，教學圓錐體積公式采納的方法與圓柱不同

-相識等底、等高的圓錐與圓柱，估計圓錐體積是圓柱的幾分之幾。

例5圖示了一個圓柱和一個圓錐，指出它們的底面積相等，高也相等。從

圖畫直觀，學生能確定圓錐的體積比圓柱小，教材讓學生估計這個圓錐的

體積是圓柱的幾分之幾。這里的估計不要求精確，也不要求全體學生有相

同的答案，說成；或其他分數(shù)都允許。估計要經(jīng)過驗證才能確認或修正，

“估計一驗證”是解決問題的一種策略。

?通過試驗，發(fā)覺等底等高的圓柱與圓錐的體積關系。首先打算器材,

找等底等高的圓柱、圓錐容器各一個，教材圖示了比較底面積和比較高的

方法。然后在圓錐容器里裝滿沙子，倒入空的圓柱容器里，看看幾次正好

倒?jié)M。從倒沙子試驗得出圓錐體積是等底等高圓柱體積的g,確認或者修正

原來的估計。

?利用圓柱體積算圓錐體積，推導圓錐的體積公式。上面試驗的結論

可以用數(shù)學式子表示：圓錐的體積=等底等高圓柱的體積X；。圓柱的體積

通過“底面積X高”計算，所以圓錐的體積=底面積義高X；。

-編排等底等高圓柱與圓錐的體積關系的專項練習。駕馭圓錐體積計

算方法的關鍵在理解和應用等底等高圓錐、圓柱的體積關系，即圓柱的體

積是等底等高圓錐的3倍，圓錐的體積是等底等高圓柱的g。練習八里有這

方面的專項訓練，如第2題、第4題、第5題等。第2題在圓錐容器里注

滿水倒入等底等高的空圓柱容器，水只占圓柱容器空間的;。因此，水面的

高只是圓柱高的;。第5題里的圓錐只與底面直徑9厘米、高4厘米的圓柱

的體積相等。圓錐與底面直徑3厘米、高9厘米的圓柱的體積不相等，因

為圓錐的底面積不是圓柱底面積的3倍。

5.測量形態(tài)不規(guī)則的物體的體積。

生活中有大量形態(tài)不規(guī)則的物體，它們的體積如何測量？實踐活動《測

量物體的體積》解決這個問題。

?轉化成圓柱算體積。把土豆放入存水的圓柱容器，能測量體積。教

材支配小組合作學習，先測量圓柱容器的底面積，以及放入土豆前的水面

高度；再把土豆放進去，測量放土豆后的水面高度。學生能夠從水面上升，

體會那段圓柱的體積就是土豆的體積。進行這項活動要留意兩點，一是在

圓柱容器的里面測量它的底面直徑和水面高度，并算出底面積。二是幫助

學生理解水面高度變更與土豆體積的關系。

?利用質量與體積的比值算體積。同一種材料，物體的質量與體積的

比值（即比重）是確定的，物體的質量除以比重的商是物體的體積。如鐵

的比重是每立方厘米7.8克，一塊質量為780克的鐵塊的體積是780?7.8

=100（立方厘米）。這次實踐活動的其次個內容就是應用這種關系算體積，

分三步進行。第一步用測量土豆體積的方法分別測量兩塊鐵塊的體積，用

天平稱出這兩塊鐵塊的質量。其次步把兩塊鐵塊的體積和質量填入教材設

計的表格，分別算出質量與體積的比值，發(fā)覺比值是相同的。第三步用天

平稱出另一塊鐵塊的質量，通過質量除以比重求出體積。開展這項活動也

要留意兩點，一是先測量的兩塊鐵塊的體積要盡量精確，否則，得不到“質

量與體積的比值確定"。二是幫助學生理解質量除以比重的商是體積。

第三單元比例

一、教學內容

本單元教學“數(shù)與代數(shù)”領域里的比例的意義、比例的性質、解比例;

還教學“空間與圖形”領域里的圖形放大與縮小、比例尺的意義、解決與

比例尺有關的實際問題。

把兩個領域的學問結合起來教學，既能給予比例豐富的現(xiàn)實意義，又

能理解圖形放大、縮小的數(shù)學含義，還能使解決比例尺的實際問題有更多

的思路與方法。

全單元編排7道例題、三個練習，分成四段教學。

例1?例3、練習九，圖形的放大與縮小、比例的意義；

例4?例5、練習十，比例的性質、解比例；

例6、例7、練習十一，比例尺的意義和解決實際問題；

“實踐活動”進一步體驗圖形的放大與縮小。

二、教材編寫特點和教學建議

1.在現(xiàn)實情境和畫圖活動中，教學圖形放大與縮小的含義。

圖形放大與縮小是圖形的一種變更方式，探討的對象與內容非常詳細，

教學應在現(xiàn)實的情境中進行。

?聯(lián)系“倍”和“比”的學問，揭示圖形放大的含義。例1先教學圖

形的放大，在長方形畫放大的情境中，要求學生說說“兩幅畫長的關系、

寬的關系”。有些學生用“倍”描述，有些學生用“比”表示，都利用了已

有的學問、閱歷。這里要留意的是，應當把放大后的畫（其次幅畫）與放

大前的畫（第一幅畫）比。教材歸納學生的思索，指出長方形的每條邊放

大到原來的2倍，放大后的長方形與原來長方形對應邊長的比是2：1,就

是把原來的圖形按2:1的比放大。在這一段話里，揭示了圖形放大的詳細

含義，示范了圖形放大的規(guī)范表述。

?促進認知遷移，體會圖形縮小的含義。在初步理解長方形按2：1的

比放大以后，教材提問：假如把第一幅畫按1：2的比縮小，長和寬應是原

來的幾分之幾？各是多少厘米？引導學生感受圖形的縮小，初步形成圖形

縮小的概念。

教學時，可以把圖形按2：1的比放大與圖形按1：2的比縮小進行比

較。突出比的前項指變更后的圖形，后項指原來的圖形。2：1的前項大于

后項，表示圖形放大；1：2的前項小于后項，表示圖形縮小。

?在方格紙上畫圖形，進一步體會圖形放大與縮小。例2在方格紙上

依據(jù)規(guī)定的比畫出長方形放大后與縮小后的圖形，先思索放大或縮小后的

長、寬各是幾格，進一步理解3：1與1：2在圖形放大、縮小情境里的含

義，加強對圖形放大、縮小的體驗。

2.以圖形放大為素材，教學比例的意義。

在圖形放大的情境中能夠寫出很多組對應邊長度的比，這些比的比值

是相同的。利用這些比教學比例，一方面使組成的比例有詳細的含義，有

利于理解比例的意義。另方面通過對應邊長度的比組成比例，能進一步理

解圖形的放大。

?分別寫出各張照片長和寬的比，分析兩個比的關系。例3要求分別

寫出放大前照片的長與寬的比，放大后照片的長與寬的比。這兩個比也是

相對應的，都是同一圖形里兩條邊的長度比，而且都把長作前項，寬作后

項。學生思索兩個比有什么關系，有人從比值的角度發(fā)覺它們的比值都是

1.6,有人從化簡比的角度發(fā)覺它們化簡后都是8：5O上面的活動有兩個作

用，一是為教學比例積累素材。二是發(fā)展對圖形放大的體會：長方形放大，

不僅放大后與放大前長的比與寬的比相同，而且放大前長與寬的比和放大

后長與寬的比也相同。

?依據(jù)比值相等寫出等式，揭示比例的意義。兩個比的比值都是1.6,

兩個比都能化簡成8：5,這些都表明兩個比相等，因此可以寫成等式。等

式的左、右各是一個比，表示兩個比相等，教材指出“表示兩個比相等的

式子叫做比例”，讓學生在現(xiàn)實的情境里首次感知比例的意義。

?寫出照片放大后與放大前對應邊的長度比，推斷能不能組成比例。

依據(jù)圖形放大，學生還能寫出放大后與放大前兩個圖形的長的比和寬的比，

推斷這兩個比能否組成比例，只要看它們的比值是否相等。經(jīng)過寫出比、

求比值，比較比值的大小、寫成比例等一系列活動，能進一步體會比例的

意義，學會推斷兩個比能不能組成比例的方法。

?在常見數(shù)量關系中體驗比例的意義。圖形放大與縮小為教學比例供

應了生動的素材，相識比例不能局限于圖形的變更。因此，練習九第3題、

第7題擴展素材的范圍，在常見數(shù)量關系里寫比、求比值、組成比例，進

一步加強概念，也為教學正比例作些鋪墊。

3.在圖形縮小的情境中教學比例的性質。

比例的性質可用來解比例，也是解決實際問題須要的學問。

?利用三角形縮小的數(shù)據(jù)寫比例，相識比例的內項與外項。例4呈現(xiàn)

三角形縮小的情境，縮小前、后的圖形里標有底、高的數(shù)據(jù)。學生依據(jù)圖

形縮小的含義，利用圖中的數(shù)據(jù)，能夠寫出很多比例。每個比例都由6、4、

3、2四個數(shù)組成，四個數(shù)在比例中的位置有規(guī)律，這些都為教學比例的性

質創(chuàng)建有利條件。

教材舉一反三，先在6：3=4：2里講解并描述比例的內項與外頂，再

讓學生指出其他比例的內項、夕卜項，剛好鞏固學問。

?在寫出的比例中發(fā)覺基本性質。比例的性質希望學生主動發(fā)覺，因

為性質比較明顯。自己發(fā)覺性質，相識深刻、記憶堅固、便于應用。發(fā)覺

性質是由表及里、由詳細到抽象、由個案到全體的過程?！巴谩笨吹搅?、4、

3、2四個數(shù)在比例中的位置規(guī)律，“猴”發(fā)覺了性質的詳細表現(xiàn)。教材要求

再寫出一些比例，體會規(guī)律存在于每個比例中。在此基礎上，用字母表示、

用語言講解并描述，理解比例的基本性質。

4.結合解決實際問題教學解比例。

例5用比例學問解決實際問題，包括三點內容：依據(jù)圖形放大的意義

寫出比例，應用比例性質求未知項，指出什么是解比例。

?依據(jù)圖形放大，寫出比例。例題要求寫兩張照片長的比與寬的比組

成的比例，在這個比例里有三項是已知的，一項是未知的。因此，像列方

程解決問題那樣，設放大后照片的寬是X厘米，列出的比例是含有未知數(shù)

的等式。

?解比例是例題的主要教學內容。教材里寫出了兩個內項的積等于兩

個外項的積這一步，讓學生思索依據(jù)是什么，體會應用比例的性質能夠求

出比例中的未知項，并通過“試一試”“練一練”學會解比例。

5.寫圖上距離和實際距離的比，理解比例尺的含義。

例6教學比例尺的意義，計算平面圖的比例尺。

?相識圖上距離和實際距離。例題給出了草坪長50米、寬30米，草

坪平面圖長5厘米、寬3厘米。要求學生分別寫出長、寬的圖上距離和實

際距離的比。教材沒有對圖上距離、實際距離作說明，讓學生在問題情境

中體會、識別。

?指導統(tǒng)一單位。教材指出：圖上距離和實際距離的單位不同，先要

統(tǒng)一成相同單位，寫出比后再化簡。統(tǒng)一單位，可以把高級單位化成低級

單位，也可以把低級單位聚成高級單位，由學生自主選擇。在溝通中體會,

實際距離改寫成厘米為單位較便利些。假如把圖上距離改寫成米為單位，

在化簡比的時候較麻煩?！昂铩睂懥碎L的圖上距離與實際距離的比，“鳥”

寫了寬的圖上距離和實際距離的比，兩個比化簡成相同的比。因此，求平

面圖的比例尺，只要利用一組對應的圖上距離和實際距離就夠了。

?揭示比例尺的意義。通過寫圖上距離與實際距離的比，學生初步感

受了比例尺的內涵。在此基礎上，教材指出“圖上距離和實際距離的比，

叫做比例尺?！眱蓚€數(shù)學式子，既精煉地表示了比例尺的意義，又表達了求

比例尺的方法。

?相識線段比例尺。線段比例尺是比例尺的另一種表示形式。教學線

段比例尺有兩點作用，一是進一步體會比例尺的意義，二是能便利地解決

求圖上距離或實際距離的問題。教材通過說明比例尺1：1000的詳細含義

引出線段比例尺，突出線段比例尺的特點，能直觀地表示圖上1厘米相當

于實際若干米（千米）。線段比例尺與數(shù)字比例尺的意義是一樣的，可以相

互轉化。如P49“練一練”第1題，左圖的比例尺是1：2200000表示圖上

1厘米相當于實際距離2200000厘米（即22千米），相應的線段比例尺也是

圖上1厘米表示實際22千米。右圖的線段比例尺是圖上1厘米相當于實際

22米（即2200厘米），相應的數(shù)字比例尺就是1：2200o

6.利用比例尺，求實際距離或圖上距離。

利用已知的比例尺，可以求實際距離或者求圖上距離。例7是求實際

距離的問題，求圖上距離的問題支配在練習里。例7激勵解決問題的方法

多樣化，“猴”聯(lián)系數(shù)字比例尺的意義解題，“兔”利用線段比例尺解題。

另外，還教學列比例解決問題。

7.支配實踐活動，進一步理解圖形放大、縮小的概念。

實踐活動《面積的變更》探究圖形放大，面積變更與邊長變更的聯(lián)系。

第一項活動是測量長方形放大后與放大前的長、寬，按圖形放大的概念分

別寫出長的比和寬的比，估計放大后長方形面積與放大前的比是幾比幾，

通過計算檢驗估計，初步體驗圖形放大時邊長變更的比與面積變更的比是

不同的。其次項活動測量正方形、三角形、圓的有關長度并計算面積，把

數(shù)據(jù)填入表格，發(fā)覺面積變更與長度變更的關系。第三項活動應用發(fā)覺的

變更關系在校內平面圖里提出問題、解決問題。

各項活動的內容多、容量大，要細致看書，明白每項活動的任務與要

求。發(fā)覺規(guī)律須要過程，三項活動體現(xiàn)出“初步感知一探討發(fā)覺一理解應

用”的過程，學生不僅獲得學問，也