2022年江西省撫州市高考理科數(shù)學(xué)押題試卷及答案解析

2022年江西省撫州市高考理科數(shù)學(xué)押題試卷

本試卷滿分150分。考試用時120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的市（縣、區(qū)）、學(xué)校、班級、姓名、考場號、座

位號和考生號填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼

粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項

的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只

有一個是符合題目要求的。

1.集合-X-2=0},N={-2,-1,0,1,2},則MON=（）

A.{-1,2}B.{-2,1}C.{-2}D.{2}

2.復(fù)數(shù)Z=等的模為（）

lV2

A.1B.2C.V2D.一

2

3.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)實現(xiàn)脫貧目標(biāo)后，在奔小康的道路上，繼續(xù)大步前進(jìn)，依托本地區(qū)蘋果種植的優(yōu)

勢，經(jīng)過3年的發(fā)展，蘋果總產(chǎn)量翻了一番，統(tǒng)計蘋果的品質(zhì)得到了如下餅圖：70,80

是指蘋果的外徑，則以下說法中不正確的是（）

A.80以上優(yōu)質(zhì)蘋果所占比例增加

B.經(jīng)過3年的努力，80以上優(yōu)質(zhì)蘋果產(chǎn)量實現(xiàn)翻了一番的目標(biāo)

C.70?80的蘋果產(chǎn)量翻了一番

D.70以下次品蘋果產(chǎn)量減少了一半

4.下邊程序框圖的算法思路源于數(shù)學(xué)名著《幾何原本》中的“輾轉(zhuǎn)相除法”，執(zhí)行該程序框

圖（圖中“加表示膽除以"的余數(shù)），若輸入的加，〃分別為297,57,則輸出的

m—()

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A.3B.6C.9D.12

x+2,(x<0),

5.已知函數(shù)/'(x)=|i則/(/(a))=2,貝(]a=()

x+-/(x>0),

A.0或1B.-1或1C.0或-2D.-2或-1

6.某機構(gòu)通過抽樣調(diào)查，利用2X2列聯(lián)表和非統(tǒng)計量研究患肺病是否與吸煙有關(guān)計算得

犬=3.305,經(jīng)查對臨界值表知P（犬》2.706）心0.10,P（片23.841）七0.05,現(xiàn)給出

四個結(jié)論，其中正確的是（）

A.因為犬＞2.706,故有90%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”

B.因為玄＜3.841,故有95%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”

C.因為片＞2.706,故有90%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙無關(guān)”

D.因為片＜3.841,故有95%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙無關(guān)”

7.函數(shù)/（x）=sinx-cosx的圖像可以由函數(shù)g（x）=sinx+cosx的圖像（）

7T71

A.向右平移一單位得到B.向左平移一單位得到

44

nn

C.向右平移二單位得到D.向左平移二單位得到

8.a,p是兩個不同的平面，加，n是兩條不同的直線，則下列命題中真命題的個數(shù)為（）

①若加〃a〃仇則機與a所成的角等于〃與0所成的角；

②若"Da=4,則根與〃是異面直線；

③若機Ca,a//p,則m〃，7；

④若a_L0,aAnX,m,則〃J_a.

A.1B.2C.3D.4

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xy

9.己知為、尸2是雙曲線-三=1(a>0,b>0)的左、右焦點，過門的直線/與雙曲

a2bz

線的左支交于點A,與右支交于點8,若|AFi|=2a,且依8|=|4放|,則雙曲線的離心率為

()

V7_廠5

A.—B.V7C.V5D.-

23

10.已知拋物線C：V=16x,直線/：x=4與C交于A、B兩點，M是射線BA上異于A、

B的動點，圓Ci與圓C2分別是△OMA和的外接圓(。為坐標(biāo)原點)，則圓C\

與圓C2面積的比值()

A.小于1B.大于1

C.等于1D.與M點的位置有關(guān)

11.已知定點A(0,I),P是圓C：(X-2)2+(y-%)2=1(meR)上的動點，則“m=1”

是“NR1C的最大值為30°”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.已知a>l,b>\,則下列關(guān)系式不可能成立的是()

A.ehnaWabB.ehlna^abC.aeb^hlnaD.aeYblna

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后

的橫線上.

13.已知平面向量a=(-1,nt),b=(2,3-m),若a||b,則m=.

14.(I-x)2(1+x)4展開式中/的系數(shù)為.

1771

15.已知a、0均為銳角，且cos(a+p)=,,sin(0—￡)=3,則cosa=.

16.已知正三棱錐S-4BC的底面邊長為32，P,Q,R分別是棱S4,AB,AC的中點，若

△PQR是等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球的表面積為.

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三、解答題：共70分。解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17-21題為必考題，

每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答，（一）必考題：共

60分

17.（12分）已知｛“"｝是等差數(shù)列，41+（72+43=12,04=8.

（1）求｛“"｝的通項公式；

（2）若對于任意“6N+,點A”（即，兒）都在曲線y=2,上，過4作x軸的垂線，垂足

為Bn,記△O4B”的面積為Sn,求數(shù)列｛%｝的前n項和Tn.

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18.(12分)如圖，四棱錐尸-ABCZ)的底面為正方形，孫，平面A8C￡>,M是PC的中點,

PA=AB.

(1)求證：4M，平面28。；

(2)求二面角P-BD-M的余弦值.

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19.（12分）活動組織者把3份不同的“X病毒”咽拭子隨機分到3個組，并根據(jù)份額，增

加不含“X病毒”的正常咽拭子，使每組有20份咽拭子.規(guī)定每組先混合檢測，即將20

份咽拭子分別取樣混合在一起檢驗，若結(jié)果為陰性，則這20份咽拭子全為陰性，只需檢

驗一次就夠了；若檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這2份咽拭子究竟哪份為陽性，就需要對

這20份再逐一檢驗，此時這20份咽拭子的檢驗次數(shù)總共為21次.三組樣本檢驗規(guī)則相

同，每次檢測費為60元.

（1）求檢測次數(shù)為23次的概率；

（2）設(shè)本次活動檢測總費用為丫元，求丫的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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xyV2

20.（12分）已知橢圓C：—+—=1Ca>b>0）經(jīng)過點P（l,一）,且兩焦點與短軸的

a2b22

兩個端點的連線構(gòu)成一個正方形.

（1）求橢圓C的方程；

5__>T

（2）設(shè)加（一，0）,過橢圓C的右焦點F作直線/交C于A,B兩點,試問：是

4

否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

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21.(12分)若方程f(x)=工有實數(shù)根刈，則稱刈為函數(shù)/(x)的一個不動點.已知函數(shù)

f(JC)=，欣+(a+l)x-alnx(e為自然對數(shù)的底數(shù))aER.

(1)當(dāng)aNO時/(%)是否存在不動點？并證明你的結(jié)論；

(2)若a=-e,求證/(x)有唯一不動點.

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（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，若多做，則按所做的第一

題計分.作答時請先涂題號.

22.（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為產(chǎn)=?（f為參數(shù)），曲線C

（y=kt

的參數(shù)方程為卜=2+C0S（P，（＜P為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，X軸非負(fù)半軸為極軸建

（y=sincp

立極坐標(biāo)系.

（1）求直線/的普通方程和曲線C的極坐標(biāo)方程；

（2）若直線/和曲線C交于A,B兩點，且日4=3幾，求實數(shù)k的值.

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選做題

23.關(guān)于x的不等式|ox-3|Wx的解集為[1,b],其中。＞1.

(1)求實數(shù)a,b的值；

22

(2)若正數(shù)〃?，相滿足m+；；=Q,求一+八的最小值.

九m

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2022年江西省撫州市高考理科數(shù)學(xué)押題試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只

有一個是符合題目要求的。

1.集合M={4?-x-2=0},N={-2,-1,0,1,2},則MDN=()

A.{-1,2}B.{-2,1}C.{-2}D.{2}

【解答】解：???集合M={x|/r-2=0}={-1,2},

N={-2,-1,0,1,2},

AA/nN={-1,2},

故選：A.

2.復(fù)數(shù)Z=鼠的模為(〉

lV2

A.1B.2C.V2D.—

2

【解答】解：?.?z=^=僦&=一,

|z|=yjl2+(-1)2=y/2,

故選：C.

3.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)實現(xiàn)脫貧目標(biāo)后，在奔小康的道路上，繼續(xù)大步前進(jìn)，依托本地區(qū)蘋果種植的優(yōu)

勢，經(jīng)過3年的發(fā)展，蘋果總產(chǎn)量翻了一番，統(tǒng)計蘋果的品質(zhì)得到了如下餅圖：70,80

是指蘋果的外徑，則以下說法中不正確的是()

A.80以上優(yōu)質(zhì)蘋果所占比例增加

B.經(jīng)過3年的努力，80以上優(yōu)質(zhì)蘋果產(chǎn)量實現(xiàn)翻了一番的目標(biāo)

C.70?80的蘋果產(chǎn)量翻了一番

D.70以下次品蘋果產(chǎn)量減少了一半

【解答】解：設(shè)原蘋果總產(chǎn)量為小則經(jīng)過3年的發(fā)展蘋果總產(chǎn)量為2“，

3年前80以上優(yōu)質(zhì)蘋果所占比例50%,3年后80以上優(yōu)質(zhì)蘋果所占比例60%,所占比例

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增加，故A正確；

3年前80以上優(yōu)質(zhì)蘋果的產(chǎn)量為50%Xa=0.5a,3年后80以上優(yōu)質(zhì)蘋果的產(chǎn)量為60%

X2a=1.2a,

???80以上優(yōu)質(zhì)蘋果產(chǎn)量實現(xiàn)翻了一番的目標(biāo)，故B正確；

3年前70?80蘋果的產(chǎn)量為30%Xq=0.3a,3年后70?80蘋果的產(chǎn)量為30%X2a=0.6a,

70?80的蘋果產(chǎn)量翻了一番，故C正確；

3年前70以下次品蘋果的產(chǎn)量為20%Xa=0.2a,3后70以下次品蘋果的產(chǎn)量為10%X

2a—0.2a,

???70以下次品蘋果的產(chǎn)量沒變，故。錯誤.

故選：D.

4.下邊程序框圖的算法思路源于數(shù)學(xué)名著《幾何原本》中的“輾轉(zhuǎn)相除法”，執(zhí)行該程序框

圖(圖中表示機除以"的余數(shù))，若輸入的，”，“分別為297,57,則輸出的

m=()

A.3B.6C.9D.12

【解答】解：由程序框圖可得，

第一次循環(huán)，r=12,加=57,”=12,r=0不成立，循環(huán)繼續(xù)，

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第二次循環(huán)，r=9,/n=12,〃=9,r=0不成立，循環(huán)繼續(xù)，

第三次循環(huán)，〃=3,m=9,〃=3,r=0不成立，循環(huán)繼續(xù)，

第四次循環(huán)，r=0,m=3,〃=3,r=0成立，循環(huán)結(jié)束，輸出機=3.

故選：A.

x+2,(%<0),

5.已知函數(shù)/(%)=]1則/(/(〃))=2,則a=()

x+才(%>0),

A?0或1B.-1或1C?0或-2D.-2或-1

x+2,(%<0),

【解答】解：因為/(%)=1,/(/(?))=2,

x+-/(%>0)/

當(dāng)a&-2時，f(a)=Q+2W0,

f(/(a))=/(〃+2)=a+4=2,

所以a=-2,

當(dāng)-2V〃W0時，〃+2>0,

/(〃)=a+2>0,

f(f(a))—f(a+2)=a+2+=2,

所以a=-1,

11C

當(dāng)a>0時，a+2>2,y=x+?在x>2時單調(diào)遞增，顯然滿足f(f(a))=

2的a此時不存在，

綜上，〃=-I或a=-2.

故選：D.

6.某機構(gòu)通過抽樣調(diào)查，利用2X2列聯(lián)表和K統(tǒng)計量研究患肺病是否與吸煙有關(guān)計算得

K2=3.305,經(jīng)查對臨界值表知P（非》2.706）弋0.10,P（K>3.841）?=0.05,現(xiàn)給出

四個結(jié)論，其中正確的是（）

A.因為犬>2.706,故有90%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”

B.因為長2<3.841,故有95%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”

C.因為犬>2.706,故有90%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙無關(guān)”

D.因為長2<3.841,故有95%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙無關(guān)”

【解答】解：：2.706<用2<3.841,

...有90%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”，沒有95%的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”.

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故選：A.

7.函數(shù)/(x)=siri￥-cosx的圖像可以由函數(shù)g(x)=sinx+cosx的圖像()

7171

A.向右平移i單位得到B.向左平移了單位得到

44

7171

C.向右平移二單位得到D.向左平移二單位得到

22

【解答】解：f(x)=sinx-cosx=或5譏(％—*)的圖像可以由函數(shù)g(x)=sinx+cosx=

TT7g

y/2sin(x+4)向右平移a個單位即可；

故選：C.

8.a,P是兩個不同的平面，加，〃是兩條不同的直線，則下列命題中真命題的個數(shù)為()

①若加〃①a〃0,則機與a所成的角等于〃與0所成的角；

②若加Ca,〃Ca=A,A即b則加與〃是異面直線；

③若〃?Ca,小邙，a//p,則m//n\

④若a_L0,aG0=m,則〃_La.

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：a,0是兩個不同的平面，血，〃是兩條不同的直線，

對于①，，機與a、B成等角，又〃?〃鹿，與a、0成等角，

則相與a所成角等于〃與0所成角，故①正確；

對于②，若〃Cza,〃Oa=A,Agm,則相與〃平行、相交或異面，故②錯誤；

對于③，若mCa,〃仁0,a〃0,則相與〃相交、平行或異面，故③錯誤；

對于④，若a_L0,aDp=m,nX.m,則〃與a相交、平行或〃ua,故④錯誤.

故選：A.

x2y2

9.已知為、尸2是雙曲線"一個=1(。>0,b>0)的左、右焦點，過F1的直線/與雙曲

a2b2

線的左支交于點A,與右支交于點3,若|4Q|=2a,且|48|=|4放|,則雙曲線的離心率為

()

夕L/-5

A.—B.V7C.V5D.一

23

【解答】解：由雙曲線的定義得|A尸2|-|AFi|=2a,〈IA尸1|=2辦，|AB|=|A尸2|=4小...IB尸1|

=6(7,

V|BF1|-\BF2\=2af|可得|①可-|5尸2|=6a-\BFi\=2a,

：.\BF2\=4a.

第14頁共23頁

故△ABF2為等邊三角形，

在△AM尸2中,|—正2|2=|AF1P+|4五2『-2|4尸1|?依夫21cos120。,

又尸|尸2『=4《2,.*.c2=7t?2

...雙曲線的離心率e=用.

故選：B.

3。W：

10.已知拋物線C：/=l6x,直線/：x=4與C交于A、8兩點，M是射線84上異于A、

B的動點，圓Ci與圓C2分別是△OMA和的外接圓（。為坐標(biāo)原點），則圓Ci

與圓C2面積的比值（）

A.小于1B.大于1

C.等于ID.與例點的位置有關(guān)

【解答】解：由拋物線C：>2=麻，可得焦點尸（4,0）,

因為直線x=4與拋物線交于A,B兩點,不妨設(shè)A在B的上方，

所以4（4,8）,B（4,-8）,

A,8兩點關(guān)于x軸對稱，

所以O(shè)A=OB,

所以N0A8=N0BA,

設(shè)圓。與圓C2的半徑分別為Ri,R2,

在△O/VM和△OMB中，

由正弦定理可得，2Ri=，制4才2R2=7黑RA，

SITIZ-UADSITIZ-UD/\

所以有2RI=2R2,

即Rl=R2,

故兩圓的面積相等，

所以面積的比值為1,

故選：C.

11.已知定點A（0,1）,P是圓C：（X-2）2+（y〃?）2=1（W6R）上的動點，則“機=1”

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是“/B4C的最大值為30°”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：圓C:(X-2)2+(y-巾)2=1的圓心C(2,w),半徑為1,

APAC的最大值o直線AP與圓相切點P,

在直角三角形APC中，/B4C=30°,CP=\,；.AC=2,

y)22+(m—l)2=2,.".m=1,

是/熱C的最大值為30°的充要條件，

故選：C.

12.已知。>1,b>\,則下列關(guān)系式不可能成立的是()

A.^Ina^abB.eblna^abC.aeb^blnaD.a&Wblna

【解答】解：對于e%aWab,兩邊取對數(shù)得歷(eb/na)Win(.ab),

'.bTnbWlna-In(Ina),

構(gòu)造函數(shù)/(x)^x-lnx(x>0),[Q)=l

當(dāng)x>l時，，(x)>0,f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，

當(dāng)0<x<l時，/(x)<0,f(x)是單調(diào)減函數(shù)，

若則力-歷b〈勿〃-/〃(伍。)，即故A正確；

若KlnaWb,PJlJh-Inh^lna-InUna),eblna^ah,故5正確；

構(gòu)造函數(shù)g(x)=Y，A(x)=等，

g，(x)=絲=eX(Xjl),當(dāng)X>1時，g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，；.g(x)>g(1)

%X

=e,

九'(%)=與弊，當(dāng)x>e時，h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)OVxVc時，hf(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,

1ebIna

:.h(x)Wh(e)=.,.尤>1時，g(x)>h(x),，了~>二"，

第16頁共23頁

aeb^blna成立,aeb^b不可能成立，故C正確，D錯誤.

故選：

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后

的橫線上.

13.已知平面向量a=(-1,加)，b=(2,3-/n),若Q||b,則m=-3?

【解答】解：Va=(-1,m),b=(2,3-且Q||b,

-(3-m)-2/?i=0,即tn=-3.

故答案為：-3.

14.(1-X)2(1+JC)4展開式中/的系數(shù)為-I.

【解答】解：因為(1-X)2(1+x)4=(1-2x+?)(1+x)4,

所以展開式中含x2的項為lxC4X2—2xxC|x+x2xC4X0=—x2,

所以/的系數(shù)為-1,

故答案為：-1.

15.已知a、0均為銳角，且cos(a+p)=q，sin(g—看)=訝,則cosa=1.

【解答】解：；a、。均為銳角，且cos(a+0)=s譏("急=；,

?'?sin(a+0)=J1-得=竽'=

??sinp——2~,cosp—2，

/.cosa=cos[(a+p)-p]

=cos(a+P)cosp+sin(a+P)sinp

_114點百

-7X2+~7~X~2

13

=14,

故答案為：—.

14

16.已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為3vLP,Q,R分別是棱SA,AB,AC的中點，若

△PQR是等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球的表面積為27n.

【解答】解：在正三棱錐S-A8C中，P,Q,R分別是棱SA,AB,4c的中點，

則PQ//SB,PR//SC,PQ=^1SB=*1SC=PR,而△PQR是等腰直角三角形，即NQPR

第17頁共23頁

=90°,

因此，/8SC=90°,SBLSC,即有正三棱錐S-ABC的側(cè)棱SA,SB,SC兩兩垂直，

以SA,SB,SC為棱的平行六面體是正方體，這個正方體與正三棱錐S-A8C有相同的

外接球，

因正三棱錐S-ABC的底面邊長為3a,則側(cè)棱SA=3,

于是得正三棱錐S-ABC外接球半徑r=^SA2+SB2+SC2=竽，

所以三棱錐的外接球的表面積為4n，=27m

故答案為：27n.

三、解答題：共70分。解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17-21題為必考題，

每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答，（一）必考題：共

60分

17.（12分）已知（“"｝是等差數(shù)列，。1+。2+。3=12,04=8.

（1）求（如｝的通項公式;

（2）若對于任意“6N+,點A”（即，為）都在曲線y=2》上，過4作x軸的垂線，垂足

為B?,記的面積為Sn,求數(shù)列｛%｝的前n項和Tn.

【解答】解：（1）數(shù)列｛坳｝是等差數(shù)列，“1+。2+“3=12,44=8,設(shè)公差為4;

所以『i+g+f=12,解得杓=2.

故an=2n；

（2）由于4（即,樂）都在曲線y=2”上,

故%=22n=4n；

nn

當(dāng)〃片0時,SA0AnBn=2x2nx4=n?4,

所以7；=1x41+2x42+...+n-4n①，

第18頁共23頁

47；=1x42+2x43+...+n-4n+】②,

4

①-②得：；n23n上券-n+1-

-37=1x4-n-4+i+(44-4+...4-4)=43

故圖=竽F"1f*

18.(12分)如圖，四棱錐P-A3CD的底面為正方形，抬，平面ABC。，M是PC的中點,

PA=AB.

(1)求證：AM_L平面PBD；

(2)求二面角P-B￡>-M的余弦值.

【解答】(1)證明：因為ABCD是正方形，物_L平面48CD,所以AB、A。、4P兩兩垂

直，

建系如圖，不妨設(shè)AB=a,B(a,0,0),D(0,a,0),P(0,0,a),A(0,0,0),

aaa

M(-,-),

222

TQQQTT

AM=(—,—,一),BD=(-a,a,0),BP=(-a,0,a),

222

因為茄?而)=0,AMrBP=0,所以AM_L平面PBD

(2)解：由(1)知m=(1,1,1)是平面PBQ的法向量，

-aa

BD=(-a,a,0),BM=(—5a,—,—),

222

令展(1,1,0),

因為BO?￡=0,BM'n=0,所以￡是平面MB。的法向量，

因為二面角P-BD-M為銳角,

TTL

所以二面角P-BD-M的余弦值為工~~=r=點6=—

|m|-ln|x/3V23

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Az

Bx

19.(12分)活動組織者把3份不同的“X病毒”咽拭子隨機分到3個組，并根據(jù)份額，增

加不含“X病毒”的正常咽拭子，使每組有20份咽拭子.規(guī)定每組先混合檢測，即將20

份咽拭子分別取樣混合在一起檢驗，若結(jié)果為陰性，則這20份咽拭子全為陰性，只需檢

驗一次就夠了；若檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這2份咽拭子究竟哪份為陽性，就需要對

這20份再逐一檢驗，此時這20份咽拭子的檢驗次數(shù)總共為21次.三組樣本檢驗規(guī)則相

同，每次檢測費為60元.

(1)求檢測次數(shù)為23次的概率；

(2)設(shè)本次活動檢測總費用為丫元，求丫的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【解答】解：(1)3份不同的“X病毒”被分到三個組的情況有3X3X3=27種，

檢查次數(shù)為23次，說明3份不同的“X病毒”被分到同一組，分到同一組的情況有3種

情況，

31

故檢測次數(shù)為23次的概率為一=

279

(2)由題意可得,y所有可能取值為1380,2580,3780,

31

P(K=1380)=方=1

?足2

P(7=2580)=第x篇=母，

°Z/3

房2

P(丫=3780)=考=1

故y的分布列為：

Y138025803780

p122

故E(X)=1380X1+2580x1+3780x|=

VJ7O

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xyV2

20.(12分)已知橢圓C：—+—=1(a>b>0)經(jīng)過點P(l,一),且兩焦點與短軸的

a2b22

兩個端點的連線構(gòu)成一個正方形.

(1)求橢圓C的方程；

5__>T

(2)設(shè)例(-，0),過橢圓C的右焦點F作直線/交C于A,8兩點，試問：M力是

4

否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

【解答】解：(1)由題意可知，兩焦點與短軸的兩個端點的連線構(gòu)成一個正方形，

工2y2

則。=魚上所以橢圓方程：—T4--=1,

2b2b2

將P(l,孝)代入，可得房=1,所以“2=2,

x2

所以橢圓C的方程：—+y2=l；

(2)是定值，理由如下：由條件知F(l,0),

當(dāng)直線/不與x軸重合時，可設(shè)直線/的方程為x=(y+l,設(shè)A(xi,yi),B(%2,”)，

由廣2］：11n?可得(P+2)y2+2ty-1=0,

-2=0

2t1

所以yi+丫2=-產(chǎn)+2,丫1丫2=—產(chǎn)+2,

-5555

2

貝lj-MB=Qi-4，yj-(x2-4-”)=Oi-4)(%2-,)+y02=(t+1)丫。2-

1、1

4f(zyi+丫2)+正

二("+1).(一六)一％(一號)+擊=舒^+金=一磊(為定值)，

當(dāng)直線/與x軸重合時，A,8兩點的坐標(biāo)分別為(一/，0),(V2,0),

所以忌.麻=(—四一,，0)(^-1,0)=一卷

TT7

綜上可得，為定值，定值為一

21.(12分)若方程/(x)=》有實數(shù)根刈，則稱刈為函數(shù)f(x)的一個不動點.已知函數(shù)

f(x)=戶4(a+l)x-alnx(e為自然對數(shù)的底數(shù))?eR.

(1)當(dāng)a20時/(x)是否存在不動點？并證明你的結(jié)論；

(2)若a=-e,求證/(x)有唯?一不動點.

【解答】解：(1)當(dāng)“20時f(x)不存在不動點,

ex

證明:由/(x)=x可得,一+Q%—alnx=0,

x

第21頁共23頁

令F(x)=-4-ax-alnxfx>0,

貝產(chǎn)(x)=