遼寧省沈陽市渾南區(qū)重點學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題(含答案)

絕密★啟用前2023-2024學(xué)年渾南區(qū)重點學(xué)校高二(上)第二次月考數(shù)學(xué)學(xué)科滿分：150分考試時間：120分鐘一．選擇題（共8小題）1．當(dāng)圓C：x2+y2+6y﹣3＝0的圓心到直線l：mx+y+m﹣1＝0的距離最大時，m＝（）A． B．4 C． D．﹣42．已知直線l1：kx﹣y+3k+5＝0恒過點A，已知B（2，8），動點P在直線l2：x﹣y+1＝0上，則|PA|+|PB|的最小值為（）A． B． C． D．3．如圖，把橢圓繞短軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體稱為“扁橢球”，其中a稱為扁橢球長半徑，b稱為扁橢球短半徑，稱為扁橢球的“扁率”．假設(shè)一扁橢球的短半徑為，且一棱長為1的正方體內(nèi)接于扁橢球（即正方體的8個頂點都在扁橢球球面上），則此扁橢球的扁率為（）A． B． C． D．4．已知過橢圓左焦點F且與長軸垂直的弦長為，過點P（2，1）且斜率為﹣1的直線與C相交于A，B兩點，若P恰好是AB的中點，則橢圓C上一點M到F的距離的最大值為（）A．6 B． C． D．5．設(shè)拋物線E：y2＝8x的焦點為F，過點M（4，0）的直線與E相交于A，B兩點，與E的準(zhǔn)線相交于點C，點B在線段AC上，|BF|＝3，則△BCF與△ACF的面積之比＝（）A． B． C． D．6．已知橢圓+＝1（a＞b＞0）的左右焦點為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與橢圓交于AB兩點，P為AB的中點，4|F1P|＝|AB|，tan∠APF1＝，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．7．如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE．在翻折過程中，直線A1C與平面ABCD所成角的正弦值最大為（）A． B． C． D．8．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的左右焦點，過F2的直線交雙曲線于B，D兩點，且，E為線段DF1的中點，若對于線段DF1上的任意點P，都有成立，則雙曲線的離心率是（）A． B． C．2 D．二．多選題（共4小題）（多選）9．若直線L的一個方向向量，且L經(jīng)過點（1，﹣2），則下列結(jié)論正確的是（）A．直線L的傾斜角為150° B．直線L在x軸上的截距為﹣2 C．直線L與直線垂直 D．直線L上不存在與原點距離等于0.1的點（多選）10．下列命題中正確的是（）A．雙曲線x2﹣y2＝1與直線x+y﹣2＝0有且只有一個公共點 B．平面內(nèi)滿足||PA|﹣|PB||＝2a（a＞0）的動點P的軌跡為雙曲線 C．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則t＞4 D．已知雙曲線的焦點在y軸上，焦距為4，且一條漸近線方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（多選）11．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，定點M（a，4）和動點A，B都在拋物線C上，且△MOF（其中O為坐標(biāo)原點）的面積為3，則下列說法正確的是（）A．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x B．設(shè)點R是線段AF的中點，則點R的軌跡方程為 C．若（點A在第一象限），則直線AB的傾斜角為 D．若弦AB的中點N的橫坐標(biāo)2，則|AB|弦長的最大值為7（多選）12．已知雙曲線的左、右焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），P是C右支上一點，下列結(jié)論正確的有（）A．若C的離心率為，則過點M（2，3）且與C的漸近線相同的雙曲線的方程是 B．若點，則|AP|+|PF2|的最小值為 C．過F1作∠F1PF2的角平分線的垂線，垂足為Q，則點Q到直線的距離的最大值為3a D．若直線PF2與其中一條漸近線平行，與另一條漸近線交于點M，且，則C的離心率為三．填空題（共4小題）13．已知雙曲線，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點，若左支上存在一點P，使得F2P的中點M滿足，則雙曲線的離心率e的取值范圍是．14．已知圓C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1，從坐標(biāo)原點O向圓C作兩條切線OP，OQ，切點分別為P，Q，若∠POQ＝，則|a﹣b+3|的取值范圍是．15．已知F是橢圓C：的左焦點，點P為該橢圓上一動點，若在橢圓內(nèi)部，則|PF|+|PA|的最大值為；的最小值為．16．如圖拋物線Γ1的頂點為A，焦點為F，準(zhǔn)線為l1，焦準(zhǔn)距為4；拋物線Γ2的頂點為B，焦點也為F，準(zhǔn)線為l2，焦準(zhǔn)距為6．Γ1和Γ2交于P、Q兩點，分別過P、Q作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過F的直線與封閉曲線APBQ交于C、D兩點，則下列說法正確的是①|(zhì)AB|＝5；②四邊形MNST的面積為；③；④|CD|的取值范圍為．四．解答題（共6小題）17．已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標(biāo)為A（﹣1，4）、B（﹣2，﹣1）、C（2，3）．（1）求邊BC的中垂線所在的直線方程和平行四邊形ABCD的頂點D的坐標(biāo)；（2）求△BCD的面積．18．某公園有一圓柱形建筑物，底面半徑為2米，在其南面有一條東西走向的觀景直道（圖中用實線表示），建筑物的東西兩側(cè)有與直道平行的兩段輔道（圖中用虛線表示），觀景直道與輔道距離5米．在建筑物底面中心O的北偏東45°方向米的點A處，有一臺360°全景攝像頭，其安裝高度低于建筑物高度．請建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并解決問題：（1）在西輔道上與建筑物底面中心O距離4米處的游客，是否在攝像頭監(jiān)控范圍內(nèi)？（2）求觀景直道不在攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度．19．已知圓C與圓（x+4）2+（y﹣3）2＝2關(guān)于直線8x﹣6y+25＝0對稱．（Ⅰ）求圓C的方程；（Ⅱ）直線y＝kx+m與圓C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點．設(shè)直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，當(dāng)k1k2＝3時，求k的取值范圍．20．如圖，平面五邊形ABCDE中，△ADE是邊長為2的等邊三角形，CD∥AE，CD＝AE，，將△ADE沿AD翻折，使點E翻折到點P．（Ⅰ）證明：PC⊥BC；（Ⅱ）若PC＝3，求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．21．已知拋物線H：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，拋物線H上的一點M的橫坐標(biāo)為5，O為坐標(biāo)原點，cos∠OFM＝﹣．（1）求拋物線H的方程；（2）若一直線經(jīng)過拋物線H的焦點F，與拋物線H交于A，B兩點，點C為直線x＝﹣1上的動點．①求證：∠ACB≤．②是否存在這樣的點C，使得△ABC為正三角形？若存在，求點C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．22．已知橢圓C：的右頂點為，過左焦點F的直線x＝ty﹣1（t≠0）交橢圓于M，N兩點，交y軸于P點，，，記△OMN，△OMF2，△ONF2（F2為C的右焦點）的面積分別為S1，S2，S3．（1）證明：λ+μ為定值；（2）若S1＝mS2+μS3，﹣4≤λ≤﹣2，求m的取值范圍．參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．當(dāng)圓C：x2+y2+6y﹣3＝0的圓心到直線l：mx+y+m﹣1＝0的距離最大時，m＝（）A． B．4 C． D．﹣4【分析】求出直線所過定點A（﹣1，1），根據(jù)CA與直線l垂直時，圓心到直線的距離最大，kAC?kl＝﹣1，求解即可．【解答】解：因為圓C：x2+y2+6y﹣3＝0的圓心為C（0，﹣3），半徑，又直線l：mx+y+m﹣1＝0，化為l：m（x+1）+y﹣1＝0，則直線l過定點A（﹣1，1），故當(dāng)CA與直線l垂直時，圓心到直線的距離最大，此時有kAC?kl＝﹣1?﹣4?（﹣m）＝﹣1，解得．故選：C．2．已知直線l1：kx﹣y+3k+5＝0恒過點A，已知B（2，8），動點P在直線l2：x﹣y+1＝0上，則|PA|+|PB|的最小值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)直線的點斜式方程判斷直線所過的定點，再結(jié)合點關(guān)于線對稱的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解答】解：由kx﹣y+3k+5＝0化簡得y﹣5＝k（x+3），所以A（﹣3，5），如下圖所示：由圖形可知，點A、B在直線x﹣y+1＝0的同側(cè)，且直線x﹣y+1＝0的斜率為1，設(shè)點B關(guān)于直線x﹣y+1＝0的對稱點為點B′（a，b），則，解得a＝7，b＝3，即點B′（7，3），由對稱性可知．故選：D．3．如圖，把橢圓繞短軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體稱為“扁橢球”，其中a稱為扁橢球長半徑，b稱為扁橢球短半徑，稱為扁橢球的“扁率”．假設(shè)一扁橢球的短半徑為，且一棱長為1的正方體內(nèi)接于扁橢球（即正方體的8個頂點都在扁橢球球面上），則此扁橢球的扁率為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正方體與“扁橢球”的對稱性，可得正方體的對角面的頂點在橢圓上，又易知正方體的對角面的矩形的長為，寬為1，從而都可得P（，）在橢圓上，從而建立方程即可求解．【解答】解：由題意可知正方體的對角面的頂點在橢圓上，如圖所示，又易知正方體的對角面的矩形的長為，寬為1，∴在直角坐標(biāo)系中，可得矩形的一個頂點P為（，），又P在橢圓橢圓上，且b＝，∴，∴a＝1，∴扁橢球的“扁率”e＝＝．故選：B．4．已知過橢圓左焦點F且與長軸垂直的弦長為，過點P（2，1）且斜率為﹣1的直線與C相交于A，B兩點，若P恰好是AB的中點，則橢圓C上一點M到F的距離的最大值為（）A．6 B． C． D．【分析】利用橢圓的方程和性質(zhì)及直線與橢圓位置關(guān)系即可解決．【解答】解：由過橢圓左焦點F且與長軸垂直的弦長為，可得橢圓過點，代入方程得．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，兩式作差得：，因為P恰好是AB的中點，所以x1+x2＝4，y1+y2＝2，又因為直線AB斜率為﹣1，所以，將它們代入上式得a2＝2b2，則聯(lián)立方程解得．所以橢圓C上一點M到F的距離的最大值為．故選：D．5．設(shè)拋物線E：y2＝8x的焦點為F，過點M（4，0）的直線與E相交于A，B兩點，與E的準(zhǔn)線相交于點C，點B在線段AC上，|BF|＝3，則△BCF與△ACF的面積之比＝（）A． B． C． D．【分析】利用三角形面積公式，可把△BCF與△ACF的面積之比轉(zhuǎn)化為BC長與AC長的比，再根據(jù)拋物線的焦半徑公式轉(zhuǎn)化為A，B到準(zhǔn)線的距離之比，借助|BF|＝4求出B點坐標(biāo)，得到AB方程，代入拋物線方程，解出A點坐標(biāo)，就可求出BN與AE的長度之比，得答案．【解答】解：∵拋物線方程為y2＝8x，∴焦點F的坐標(biāo)為（2，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣2，如圖，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），過A，B分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為E，N，則|BF|＝x2+2＝3，∴x2＝1，把x2＝1代入拋物線y2＝8x，得，y2＝﹣2，∴直線AB過點M（4，0）與（1，﹣2），方程為2x﹣3y﹣8＝0，代入拋物線方程，解得，x1＝16，∴|AE|＝16+2＝18，∵在△AEC中，BN∥AE，∴＝＝＝＝．故選：C．6．已知橢圓+＝1（a＞b＞0）的左右焦點為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與橢圓交于AB兩點，P為AB的中點，4|F1P|＝|AB|，tan∠APF1＝，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【分析】設(shè)|AB|＝2m，則|AP|＝|PB|＝m，由已知可得cos∠APF1＝，由余弦定理可求得|F1P|＝m，進(jìn)而可得|AF1|2+|AP|2＝|PF1|2，可得|F1F2|＝，可求橢圓的離心率．【解答】解：設(shè)|AB|＝2m，則|AP|＝|PB|＝m，∵tan∠APF1＝，可得cos∠APF1＝，在△AF1P中，|AF1|2＝|PF1|2+|AP|2﹣2|PF1|?|AP|cos∠APF1，∵4|F1P|＝|AB|，∴|F1P|＝m，∴|AF1|2＝m2+m2﹣2×m?m?＝m2，∴|AF1|＝m，∴|AF1|2+|AP|2＝|PF1|2，∴AF1⊥AB，∴|F1B|＝＝＝m，∴|AF1|+|AB|+|F1B|＝m+2m+m＝6m＝4a，∴m＝a，|AF1|＝m＝a，|AF2|＝2a﹣a＝a，∴|F1F2|＝＝＝a，∴2c＝a，∴e＝＝．故選：B．7．如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE．在翻折過程中，直線A1C與平面ABCD所成角的正弦值最大為（）A． B． C． D．【分析】取DE，DC的中點O，F(xiàn)，點A的軌跡是以AF為直徑的圓，以O(shè)A，OE為x，y軸，過O與平面AOE垂直的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用向量法可求線面角的最大值．【解答】解：分別取DE，DC的中點O，F(xiàn)，點A的軌跡是以AF為直徑的圓，以O(shè)A，OE為x，y軸，過O與平面AOE垂直的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C（﹣2，1，0），平面ABCD的其中一個法向量為＝（0，0，1），由A1O＝1，設(shè)A1（cosα，0，sinα），α∈[0，2π），則＝（cosα+2，﹣1，sinα），記直線A1C與平面ABCD所成角為θ，則sinθ＝＝＝，令t＝cosα+∈[，]，sinθ＝≤＝，所以直線A1C與平面ABCD所成角的正弦值最大為．故選：B．8．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的左右焦點，過F2的直線交雙曲線于B，D兩點，且，E為線段DF1的中點，若對于線段DF1上的任意點P，都有成立，則雙曲線的離心率是（）A． B． C．2 D．【分析】畫出圖形，取F1B中點Q，連接DQ，PQ，EQ，推出恒成立，設(shè)|BF2|＝m，由得：|BD|＝2m，結(jié)合雙曲線定義以及勾股定理，推出離心率即可．【解答】解：取F1B中點Q，連接DQ，PQ，EQ，∵＝＝＝，＝＝＝，∵對于線段DF1上的任意點P，都有成立，∴，則，∴恒成立，∴EQ⊥DF1，又EQ∥BD，∴BD⊥DF1，設(shè)|BF2|＝m，由得：|BD|＝2m，根據(jù)雙曲線定義可知：|DF1|＝|DF2|﹣2a＝3m﹣2a，|BF1|＝|BF2|+2a＝m+2a，∵，即4m2+（3m﹣2a）2＝（m+2a）2，∴，∴|DF1|＝2a，|DF2|＝4a，又，∴20a2＝4c2，∴，則離心率e＝．故選：D．二．多選題（共4小題）（多選）9．若直線L的一個方向向量，且L經(jīng)過點（1，﹣2），則下列結(jié)論正確的是（）A．直線L的傾斜角為150° B．直線L在x軸上的截距為﹣2 C．直線L與直線垂直 D．直線L上不存在與原點距離等于0.1的點【分析】根據(jù)題意先將直線的方程求出來；對于A，由直線斜率與傾斜角的關(guān)系即可判斷；對于B，在直線方程中令y＝0，求出x的值即可判斷；對于C，判斷兩直線斜率之積是否為﹣1即可；對于D，算出原點到直線L的距離即可判斷．【解答】解：因為直線L的一個方向向量為，所以直線L的斜率為，又L經(jīng)過點（1，﹣2），所以直線L的方程為：，整理得．對于A，由于直線L的斜率為，所以其傾斜角為120°，故A選項不正確；對于B，在直線方程中令y＝0，解得，所以L在x軸上的截距等于，故B選項不正確；對于C，將直線方程變形得，所以其斜率為，又直線L的斜率為，所以，所以直線L與直線垂直，故C選項正確；對于D，由于原點到直線的距離為，這表明了原點到直線L上的任意一點的距離至少是，因為，因此L上不存在與原點距離等于0.1的點，故D選項正確．故選：CD．（多選）10．下列命題中正確的是（）A．雙曲線x2﹣y2＝1與直線x+y﹣2＝0有且只有一個公共點 B．平面內(nèi)滿足||PA|﹣|PB||＝2a（a＞0）的動點P的軌跡為雙曲線 C．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則t＞4 D．已知雙曲線的焦點在y軸上，焦距為4，且一條漸近線方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【分析】聯(lián)立求出雙曲線x2﹣y2＝1與直線x+y﹣2＝0只有一個交點，可判斷A；舉出反例可判斷B；根據(jù)焦點在y軸上，得到不等式組，求出t＞4，可判斷C；由雙曲線焦距和漸近線方程，得到b＝1，，得到雙曲線方程，可判斷D．【解答】解：對于A，解方程組得唯一解，所以雙曲線x2﹣y2＝1與直線x+y﹣2＝0有且只有一個公共點，所以A對；對于B，當(dāng)|AB|＝2a時，滿足||PA|﹣|PB||＝2a的動點P的軌跡為兩條射線，不是雙曲線，所以B錯；對于C，若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則4﹣t＜0且t﹣1＞0，解得t＞4，所以C對；對于D，設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，由2c＝4，則c＝2，漸近線方程為，即，由c2＝a2+b2，解得b＝1，，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以D錯．故選：AC．（多選）11．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，定點M（a，4）和動點A，B都在拋物線C上，且△MOF（其中O為坐標(biāo)原點）的面積為3，則下列說法正確的是（）A．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x B．設(shè)點R是線段AF的中點，則點R的軌跡方程為 C．若（點A在第一象限），則直線AB的傾斜角為 D．若弦AB的中點N的橫坐標(biāo)2，則|AB|弦長的最大值為7【分析】根據(jù)三角形MOF的面積求得p，從而求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用相關(guān)點代入法、焦半徑、弦長等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案．【解答】解：對于A．由S△MOF＝×p×4＝p＝3，可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝6x，故A錯誤；對于B．拋物線的焦點為，，，則，yA＝2yR，代入y2＝6x，得，整理得，所以點R的軌跡方程為，故B正確；對于C．由于，所以A，F(xiàn)，B三點共線，設(shè)直線AB的傾斜角為θ（0＜θ＜π），|AF|＝xA+，xA＝|AF|﹣，|AF|cosθ+＝xA＝|AF|﹣，解得|AF|＝，同理可得|BF|＝，依題意，即，，所以θ為銳角，所以，故C正確；對于D．設(shè)直線AB的方程為x＝my+t，由，消去x并化簡得y2﹣6my﹣6t＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，x1+x2＝4＝m（y1+y2）+2t，則2t＝4﹣6m2，，所以當(dāng)時，|AB|max＝7，2t＝4﹣6m2＝4﹣1＝3，解得t＝，滿足Δ＝36m2+24t＞0．故D正確．故選：BCD．（多選）12．已知雙曲線的左、右焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），P是C右支上一點，下列結(jié)論正確的有（）A．若C的離心率為，則過點M（2，3）且與C的漸近線相同的雙曲線的方程是 B．若點，則|AP|+|PF2|的最小值為 C．過F1作∠F1PF2的角平分線的垂線，垂足為Q，則點Q到直線的距離的最大值為3a D．若直線PF2與其中一條漸近線平行，與另一條漸近線交于點M，且，則C的離心率為【分析】利用共漸近線的雙曲線方程可判斷A；利用|AP|+|PF|＝|AP|+|PF|﹣2a≥|AF1|﹣2a可判斷B；利用已知可得Q是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓上一點．可求點Q到直線的距離的最大值判斷C；根據(jù)對稱性，不妨設(shè)直線PF2的方程為，聯(lián)立方程組可求得M的坐標(biāo)，進(jìn)而求得P的坐標(biāo)，利用P在雙曲線上，可求雙曲線的離心率．【解答】解：對于選項A，因為C的離心率為，所以，則．因為雙曲線與C的漸近線相同，所以設(shè)雙曲線的方程為，將M（2，3）代入得，解得λ＝﹣2，則雙曲線的方程為，故A不正確．對于選項B，因為P是C右支上一點，所以|PF1|﹣|PF2|＝2a，則|AP|+|PF|＝|AP|+|PF|﹣2a≥|AF1|﹣2a＝，故B正確．對于選項C，如圖，延長F1Q并與PF2相交于點B，連接OQ．由題可知，Q為BF1的中點，則，|BF2|＝|PB|﹣|PF2|＝|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以|OQ|＝a，則Q是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓上一點．點O到直線的距離，所以點Q到直線的距離的最大值為2a，故C不正確；對于選項D．根據(jù)對稱性，不妨設(shè)直線PF2的方程為，聯(lián)立方程組，得M（，），由，得P（，），代入C的方程得＝1，則C的離心率．故D正確．故選：BD．三．填空題（共4小題）13．已知雙曲線，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點，若左支上存在一點P，使得F2P的中點M滿足，則雙曲線的離心率e的取值范圍是．【分析】根據(jù)，且雙曲線上的點到焦點的最小距離為c﹣a，得到，進(jìn)而求得離心率的范圍．【解答】解：因為O，M分別為F1F2，PF2的中點，所以．又雙曲線上的點到焦點的最小距離為c﹣a，所以，解得，因此雙曲線的離心率e的取值范圍是．故答案為：．14．已知圓C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1，從坐標(biāo)原點O向圓C作兩條切線OP，OQ，切點分別為P，Q，若∠POQ＝，則|a﹣b+3|的取值范圍是[3﹣2，3+2]．【分析】由題意可得|OC|＝2|CQ|＝2，可得C的軌跡方程，進(jìn)而可得a＝2cosθ，b＝2sinθ，代入可求|a﹣b+3|的取值范圍．【解答】解：由圓C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1，知圓心C（a，b），半徑為r＝1，由∠POQ＝，可得∠COP＝，所以|OC|＝2|CQ|＝2，所以圓心C的軌跡方程為x2+y2＝4，所以a＝2cosθ，b＝2sinθ，所以|a﹣b+3|＝|2cosθ﹣2sinθ+3|＝|2（θ+）+3|，所以|a﹣b+3|的取值范圍是[3﹣2，3+2]．故答案為：[3﹣2，3+2]．15．已知F是橢圓C：的左焦點，點P為該橢圓上一動點，若在橢圓內(nèi)部，則|PF|+|PA|的最大值為8；的最小值為．【分析】由橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|＝2a＝6，利用三角形三邊大小關(guān)系可得：|PF1|+|PA|＝8﹣|PF2|+|PA|≤8+|AF2|即可得出．利用橢圓的第二定義，轉(zhuǎn)化求解最小值即可．【解答】解：如圖所示：由橢圓C：可得a＝3，F(xiàn)（﹣2，0），右焦點F2（2，0）．在橢圓內(nèi)部，∵|PF|+|PF2|＝2a＝6，∴|PF|+|PA|＝6﹣|PF2|+|PA|≤6+|AF2|＝8+＝2+6＝8．∴當(dāng)且僅當(dāng)三點P，F(xiàn)2，A共線時，|PF|+|PA|取得最大值為8．橢圓的離心率為：e＝，過P作PN垂直橢圓的左準(zhǔn)線于N，左準(zhǔn)線方程為x＝﹣．|PF|＝；＝≥，的最小值為＝＝．故答案為：8；．16．如圖拋物線Γ1的頂點為A，焦點為F，準(zhǔn)線為l1，焦準(zhǔn)距為4；拋物線Γ2的頂點為B，焦點也為F，準(zhǔn)線為l2，焦準(zhǔn)距為6．Γ1和Γ2交于P、Q兩點，分別過P、Q作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過F的直線與封閉曲線APBQ交于C、D兩點，則下列說法正確的是①②③④①|(zhì)AB|＝5；②四邊形MNST的面積為；③；④|CD|的取值范圍為．【分析】根據(jù)拋物線的定義可得|AB|＝5判斷①，以A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件可得拋物線Γ1的方程為y2＝8x，可得，進(jìn)而判斷②，利用拋物線的定義結(jié)合條件可得可判斷③，利用拋物線的性質(zhì)結(jié)合焦點弦的性質(zhì)可判斷④．【解答】解：設(shè)直線AB與直線l1，l2分別交于G、H，由題可知|GA|＝|AF|＝2，|FB|＝|BH|＝3，所以|GH|＝|MN|＝10，|AB|＝5，故①正確；如圖以A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則F（2，0），l1：x＝﹣2，所以拋物線Γ1的方程為y2＝8x，連接PF，由拋物線的定義可知|PF|＝|MP|，|PF|＝|NP|，又|MN|＝10，所以xP＝3，代入y2＝8x，可得，所以，又|MN|＝10，故四邊形MNST的面積為，故②正確；連接QF，因為|QF|＝|QT|＝|QS|，所以∠QFT＝∠QTF，∠QFS＝∠QSF，所以，故，故③正確；根據(jù)拋物線的對稱性不妨設(shè)點D在封閉曲線APBQ的上部分，設(shè)C，D在直線l1，l2上的射影分別為C1，D1，當(dāng)點D在拋物線BP，點C在拋物線AQ上時，|CD|＝|CC1|+|DD1|，當(dāng)C，D與A，B重合時，|CD|最小，最小值為|CD|＝5，當(dāng)D與P重合，點C在拋物線AQ上時，因為，直線，與拋物線Γ1的方程為y2＝8x聯(lián)立，可得3x2﹣13x+12＝0，設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），則，，所以；當(dāng)點D在拋物線PA，點C在拋物線AQ上時，設(shè)CD：x＝ty+2，與拋物線Γ1的方程為y2＝8x聯(lián)立，可得y2﹣8ty﹣16＝0，設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），則y3+y4＝8t，，當(dāng)t＝0，即CD⊥AB時取等號，故此時；當(dāng)點D在拋物線PA，點C在拋物線QB上時，根據(jù)拋物線的對稱性可知，；綜上，，故④正確．故答案為：①②③④．四．解答題（共6小題）17．已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標(biāo)為A（﹣1，4）、B（﹣2，﹣1）、C（2，3）．（1）求邊BC的中垂線所在的直線方程和平行四邊形ABCD的頂點D的坐標(biāo)；（2）求△BCD的面積．【分析】（1）直接利用中點坐標(biāo)公式和點斜式求出結(jié)果；（2）利用點到直線的距離公式和三角形的面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（1）如圖，設(shè)BC邊中點為E，∵B（﹣2，﹣1）、C（2，3），∴邊BC的中垂線所在的直線的斜率為﹣1，由直線的點斜式方程得邊BC的中垂線所在的直線為y﹣1＝﹣1（x﹣0），即x+y﹣1＝0．設(shè)AC邊中點為M，則M點坐標(biāo)為，設(shè)點D的坐標(biāo)為（x，y），由已知得M為線段BD的中點，故：，解得，∴D（3，8）．（2）由B（﹣2，﹣1）、C（2，3）得，直線BC的方程為：x﹣y+1＝0，∴D到直線BC的距離，∴．18．某公園有一圓柱形建筑物，底面半徑為2米，在其南面有一條東西走向的觀景直道（圖中用實線表示），建筑物的東西兩側(cè)有與直道平行的兩段輔道（圖中用虛線表示），觀景直道與輔道距離5米．在建筑物底面中心O的北偏東45°方向米的點A處，有一臺360°全景攝像頭，其安裝高度低于建筑物高度．請建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并解決問題：（1）在西輔道上與建筑物底面中心O距離4米處的游客，是否在攝像頭監(jiān)控范圍內(nèi)？（2）求觀景直道不在攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度．【分析】（1）先結(jié)合題意建立直角坐標(biāo)系，寫出A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而可求直線AB的方程，然后結(jié)合點到直線的距離公式即可判斷；（2）對直線l的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，然后結(jié)合點到直線的距離公式可求直線方程，進(jìn)而可求D，E的坐標(biāo)，可求．【解答】解：（1）設(shè)O為原點，正東方向為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，O（0，0），因為，∠AOx＝45°，則A（10，10），依題意得，游客所在位置為B（﹣4，0），則直線AB的方程為5x﹣7y+20＝0，所以圓心O到直線AB的距離，所以直線AB與圓O相離，所以游客在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)，（2）由圖知，過A的直線與圓O相切或相離時，攝像頭監(jiān)控不會被建筑物擋住，所以設(shè)直線l過點A且和圓切，（1）若直線l垂直于x軸，則直線l不會和圓相切；（2）若直線l不垂直于x軸，設(shè)l：y﹣10＝k（x﹣10），整理得l：kx﹣y+10﹣10k＝0，所以圓心O到直線l的距離為，解得或，所以或，即3x﹣4y+10＝0或4x﹣3y﹣10＝0，觀景直道所在直線方程為y＝﹣5，設(shè)兩條直線與y＝﹣5的交點為D，E，由，解得x＝﹣10，y＝﹣5，由，解得，所以，答：觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度為8.75米．19．已知圓C與圓（x+4）2+（y﹣3）2＝2關(guān)于直線8x﹣6y+25＝0對稱．（Ⅰ）求圓C的方程；（Ⅱ）直線y＝kx+m與圓C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點．設(shè)直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，當(dāng)k1k2＝3時，求k的取值范圍．【分析】（Ⅰ）設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為（a，b），則，然后求解即可；（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y＝kx+b，聯(lián)立直線與圓的分析，消y整理可得：（1+k2）x2+2kbx+b2﹣2＝0，即b2＜2k2+2，①，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），結(jié)合韋達(dá)定理，k1?k2＝3，然后結(jié)合直線的斜率公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）圓C與圓（x+4）2+（y﹣3）2＝2關(guān)于直線8x﹣6y+25＝0對稱．設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為（a，b），則，解得，即圓C的方程為x2+y2＝2；（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y＝kx+b，聯(lián)立，消y整理可得：（1+k2）x2+2kbx+b2﹣2＝0，由題意有Δ＝4k2b2﹣4（1+k2）（b2﹣2）＞0，即b2＜2k2+2，①設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2＝，x1x2＝，又k1?k2＝3，則＝3，即y1y2＝3x1x2，即（kx1+b）（kx2+b）＝3x1x2，即（k2﹣3）x1x2+kb（x1+x2）+b2＝0，即b2＝3﹣k2，②又b2≥0，即k2﹣3≤0，即，將②代入①可得：2k2+2＞3﹣k2，即或k，綜上可得：k的取值范圍為．20．如圖，平面五邊形ABCDE中，△ADE是邊長為2的等邊三角形，CD∥AE，CD＝AE，，將△ADE沿AD翻折，使點E翻折到點P．（Ⅰ）證明：PC⊥BC；（Ⅱ）若PC＝3，求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）在平面圖形中取AD中點O，則有OP⊥AD，OC⊥AD，再應(yīng)用線面垂直的判定、性質(zhì)能證明PC⊥BC；（Ⅱ）由（Ⅰ）得OP⊥AD，OC⊥AD，則二面角P﹣AD﹣B的平面角為∠POC，在△POC中利用余弦定理即可；在平面POC內(nèi)作OM⊥OC，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OM所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點的坐標(biāo)，利用向量法能求出直線PB與平面PCD所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）證明：在平面圖形中取AD中點O，連接OC，OE，∵△ADE是邊長為2的等邊三角形，∴OE⊥AD，OD＝1，故翻折后有OP⊥AD，又∵CD∥AE，∴∠CDO＝∠DAE＝，∵CD＝AE＝2，∴OC⊥AD，且PO∩OC＝O，∴AD⊥平面POC，∵，∴AD∥BC，∴BC⊥平面POC，∵PC?平面POC，∴PC⊥BC；（Ⅱ）由（Ⅰ）得OP⊥AD，OC⊥AD，∴二面角P﹣AD﹣B的平面角為∠POC，在△POC中，OC＝OP＝，PC＝3，由余弦定理得cos∠POC＝﹣，∴，二面角P﹣AD﹣B的大小是，在平面POC內(nèi)作OM⊥OC，交PC于M，∵AD⊥平面POC，∴以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OM所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由（Ⅰ）得四邊形OABC為矩形，∵∠POC＝，OP＝，∴A（1，0，0），D（