2023-2024學(xué)年山東德州禹城市綜合實驗高中高三10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

高三10月份月考數(shù)學(xué)試題（滿分150分時間120分鐘）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.只有一項是符合題目要求的.3x4Axx2BxZ0x2eABR1.設(shè)集合，，則（）12A.B.C.D.2.如圖，在平行四邊形ABCD中，O為對角線的交點，E為AD的中點，F(xiàn)為CO的中點，若，則x2y（）5332A1B.2C.D.的公比為，則是為單調(diào)遞增數(shù)列的（）aq1a3.設(shè)等比數(shù)列qnnA.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件4.已知向量a，b2，向量a在向量b上的投影向量的坐標(biāo)為（）211,21552A2B.C.D.,,22225.八卦是中國古老文化的深奧概念，如圖示意太極八卦圖．現(xiàn)將一副八卦簡化為正八邊形ABCDEFGH，設(shè)其邊長為a，中心為O，則下列選項中不正確的是（）A.ABABB.0CDaD.C.和HD是一對相反向量6.阻尼器是一種以提供運(yùn)動的阻力，從而達(dá)到減振效果的專業(yè)工程裝置．深圳一高樓平安金融中心的阻尼器減震裝置，是亞洲最大的阻尼器，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，由物理學(xué)知識可知，某阻尼器模型的運(yùn)動過程可近似為單擺運(yùn)動，其離開平衡位置的位移s（單位；cm）和時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為13π2sAsintA0,，若振幅是2，圖像上相鄰最高點和最低點的距離是5，且過點，則和的值分別為（）2ππππ,2π,π,2π,D.A.B.C.63637.已知定義在R上的函數(shù)滿足f1xf1x，且fx是偶函數(shù)，當(dāng)1x3時，fx1fx2xf40，則（）2452911A.B.C.D.344ππππtan，tan是方程x233x40的兩根，且，，則的值為8.已知2222（）π2ππ2ππ2πD.A.B.C.或或333333二、多項選擇題：f(x)sinxx9.已知函數(shù)則（）πA.f(x)的最小正周期為π2B.f(x)在上單調(diào)遞增πC.直線x是f(x)圖象的一條對稱軸4πD.f(x)的圖象可由y10.已知定義在R上的奇函數(shù)則（2sinx的圖象向左平移個單位長度得到4f(xx,y)f，，且當(dāng)fxfyx1時，fx0，）f10A.B.有2個零點fxC.在fx上為減函數(shù),0(x02D.不等式的解集是11.已知中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c10，bcosCcosB2，若點P所在平面內(nèi)一點，0，則下列說法是邊BC上一點，Q是AC的中點，點O是正確的是（）ABAC6ABACBC0A.若，則B.若CA在104方向上的投影向量為，則PQ的最小值為CBCBC.若點P為BC的中點，則0ABAC為定值18BC0APABAC，則D.若ABAC12.已知函數(shù)fxxxax1，則（）1A.當(dāng)a0時，函數(shù)fx的最小值為1eB.當(dāng)a1時，函數(shù)的極大值點為fxx1在定義域上單調(diào)遞增fxaC.存在實數(shù)使得函數(shù)xaa10恒成立，則實數(shù)的取值范圍為D.若f三.填空題（共4小題）13.已知向量a3),|b|2,|a2b|25，則a與b夾角的大小為_____________．1014.已知ab1，若ba，abba，則ab=．a(chǎn)b3π2π315.已知函數(shù)fxsin2xfxf，則______．16.已知cos0，3sincos21，則tan2四.解答題（共6小題）______.17.如圖，平行四邊形ABCDAC和BD交于點ME在BCBE:EC1:2DE與AB的延長線交于點F，記ABa，b．（1）試用a，b表示、；（2）試用a，b表示．cb1．18.已知在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且abac（1）求角A的大?。籅ACa=3，求ABC的面積．（2）若AD平分并交BC于D，且AD=2，Sn的前項和為，已知成等差數(shù)列，且2an1，n，Sn4S319.設(shè)數(shù)列n.（1）求的通項公式；an1bnbT的前n項和為n，若對任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求n（2）若，log2a2n1log2a2n3n的最小值.SnnSn1n1的前項和為2n2anS,a20.已知數(shù)列nn1（1）求數(shù)列的通項公式；ana（2）令n的前項和b，求數(shù)列．nnn2nnafxxaxx,x.1221.已知函數(shù)存在兩個極值點xa的取值范圍；（1）求fxfxa的最小值.（2）求12x3lnx2f(x)ax22ax,g(x)2ax,aR．x22.設(shè)函數(shù)exxe（1）討論f(x)的單調(diào)性;a[0)g(x)4a3．（2）若，求證：高三10月份月考數(shù)學(xué)試題（滿分150分時間120分鐘）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.只有一項是符合題目要求的.3x4Axx2BxZ0x2eABR1.設(shè)集合，，則（）12A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合A，根據(jù)集合的特征求出集合B，然后利用集合的運(yùn)算即可求解.A{x|x23x4{x|x1或x，【詳解】集合BxZ0x22集合所以，eA{x|4xR)B，則，RC.故選：2.如圖，在平行四邊形ABCD中，O為對角線的交點，E為AD的中點，F(xiàn)為CO的中點，若，則x2y（）5332A.1B.2C.D.【答案】B【解析】1EFOCODx,y的值，進(jìn)一步計算即可.【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算法則，求得【詳解】如圖：,進(jìn)而求得21121212EFCDOC)因為21,21xy,x2y所以2故選：3.設(shè)等比數(shù)列的公比為，則是為單調(diào)遞增數(shù)列的（）aq1aqnnA.充分不必要條件C.充要條件【答案】DB.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【解析】【分析】通過做差，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可an1n1qn1qn11qn1(q【詳解】q10an1n0,則為單調(diào)遞減數(shù)列an若,則為單調(diào)遞增數(shù)列的不充分條件anq1所以是若為單調(diào)遞增數(shù)列,則an0aqn1(q0,則n11anq10q110為單調(diào)遞增數(shù)列的不必要條件an,q1是即故或所以故10是為單調(diào)遞增數(shù)列既不充分也不必要條件q1an的故選：D4.已知向量a，A.2b2，向量a在向量b上的投影向量的坐標(biāo)為（）211,212,,B.C.D.225522【答案】B【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義計算即可.b222222，211【詳解】由題意易知ab22212，babbaa,bb,.而a在b上的投影向量為：822bbb故選：B5.八卦是中國古老文化的深奧概念，如圖示意太極八卦圖．現(xiàn)將一副八卦簡化為正八邊形ABCDEFGH，設(shè)其邊長為a，中心為O，則下列選項中不正確的是（）A.ABABB.0CDaD.C.和HD是一對相反向量【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡、運(yùn)算，即可求解.【詳解】對于A中，由正八邊形ABCDEFGH中，可得ABCBCD135，KCB45，所以BKC90ABCD，即，則KBC所以ABACABADAB(ACAD)AB0，所以A正確；135，對于B中，由正八邊形ABCDEFGH中，可得45，則aa45aacos1350，所以B正確；對于C中，由和HD方向相反，但長度不等，因此不是一對相反向量，所以C錯誤；ABBCCDEFFGCDa對于D中，由ABEFBCFG0，可得，所以D正確.故選：C.6.阻尼器是一種以提供運(yùn)動的阻力，從而達(dá)到減振效果的專業(yè)工程裝置．深圳一高樓平安金融中心的阻尼器減震裝置，是亞洲最大的阻尼器，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，由物理學(xué)知識可知，某阻尼器模型的運(yùn)動過程可近似為單擺運(yùn)動，其離開平衡位置的位移s（單位；cm）和時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為13π2sAsintA0,，若振幅是2，圖像上相鄰最高點和最低點的距離是5，且過點，則和的值分別為（）2ππππ,2π,π,2π,D.A.B.C.6363【答案】A【解析】π，【分析】先由振幅得到A2，再由最高點和最低點的距離為結(jié)合勾股定理可得5T6，從而求得π再將代入即可求得，問題得解.B26【詳解】根據(jù)題意，由振幅是2易知A2，1st13是B1,2st的最高點，故，則3BC，過C作CDyBDCD不妨記B相鄰的最低點為C，連接軸，過B作，交點為D，如圖，2TT則CD，BD224，，故22，得T6，545222πT12π2πππ3，得πs2sint13又因為，故，所以，3T63π3πππ3是B2s2sint2，得2π，即因為的點，故2sin32π2πkZ，6ππ，所以因為，26π故π，故選：A..6.7.已知定義在R上的函數(shù)滿足f1xf1x，且fx是偶函數(shù)，當(dāng)1x3時，fx1fx2xf40，則（）2452911A.B.C.D.344【答案】C【解析】fx1f1xf1xfx的一個周期，然后利用周期性求函數(shù)值【分析】根據(jù)即可.是偶函數(shù)和得到是4fxfx，則fx3fx，fx1【詳解】因為是偶函數(shù)，所以，所以f1xf1xfx3f1xfx的一個周期，因為因為，則是43240645log2406，1log24042，，所以2221440111f4042log2404f40.221644故選：C.ππππtan，tan是方程x233x40的兩根，且，，則的值為8.已知2222（）π2ππ2ππ2πD.A.B.C.或或333333【答案】B【解析】tan33,tantan4，即tantan0π0，得，【分析】由韋達(dá)定理得tan再根據(jù)兩角和的正切公式解決即可.tan，tan是方程x233x40的兩根，【詳解】由題知，所以tantan33,tantan4，即tantan0，ππππ因為所以所以，，2π22π200，，22π0，tantan1tantan333因為)2π30，所以，3故選：B二、多項選擇題：f(x)sinxx9.已知函數(shù)則（）πA.f(x)的最小正周期為π2B.f(x)在上單調(diào)遞增πC.直線x是f(x)圖象的一條對稱軸4πD.f(x)的圖象可由y2sinx的圖象向左平移個單位長度得到4【答案】BC【解析】【分析】化簡函數(shù)解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷ABC，結(jié)合函數(shù)圖象變換判斷D.πf(x)sinxxf(x)2sinx【詳解】可化為，4π4f(x)2sinx2π函數(shù)的最小正周期為，A錯誤；ππππ0xx當(dāng)時，，2444ππ44ysinx,因為在上單調(diào)遞增，π2所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，正確；Bπππ當(dāng)x時，x，442π所以直線x是f(x)圖象的一條對稱軸，C正確；4ππ42sinx的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)g(x)2sinx函數(shù)y的圖象，D錯誤.4故選：BC.f(xx,y)f，，且當(dāng)fxfy時，x1fx0，10.已知定義在R上的奇函數(shù)則（）f10A.B.有2個零點fxC.在fx上為減函數(shù),0(x02的解集是D.不等式【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)賦值法可判斷A，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可判斷CB,結(jié)合的性質(zhì)得fx的圖象，數(shù)形結(jié)fx合即可判斷D.ffxf(y)【詳解】在xy1，得ffff，故正確；0中，令A(yù)又為R上的奇函數(shù)，fx，，至少有三個零點，故錯誤；∴Bf10f00fxxxx2xx21f20，設(shè)x1，，且，則，121x1x2x12x1fx，fxfxfxf2xfxff01211111f(x)f(xf(x)(0,)上是增函數(shù)，由于fx∴在上也是增函數(shù)，故fx,0∴在12C錯誤：fx1由題意，畫出的圖象如圖，x0x0等價于x1，0或0fx10fx1由圖可知不等式的解集為x|1x,故D正確.故選:AD11.已知中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c10，bcosCcosB2，若點P是邊BC上一點，Q是AC的中點，點O是所在平面內(nèi)一點，0，則下列說法正確的是（）ABAC6ABACBC0A.若，則B.若CA在，則PQ的最小值為10方向上的投影向量為CBCB4C.若點P為BC中點，則0的ABAC為定值18BC0APABAC，則D.若ABAC【答案】ACD【解析】PQBC【分析】對于A，根據(jù)向量加法的運(yùn)算法則及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡計算；對于B，易知當(dāng)PQ取得最小值，計算可得；對于，根據(jù)向量加法結(jié)合律律及平行四邊形法則計算可得；對于D，C時，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算律計算即可.【詳解】解：如圖，設(shè)BC的中點為E，連接QE，∵bcosCcosB2，由余弦定理可得：a2b2ab2c2a2c2b22a2bc2，∴2，∴a2，2ac2aOQOE，OA22又0，∴，∴，∴ABACBC0對A選項，∵，∴2AEBC0，∴，又E為中點，11BEBCa1ABc10∴，又，∴AEABBE221013，22ABAC2AE6∴，故A選項正確；對B選項，∵CA在方向上的投影向量為，∴，又Q是AC的中點，在BC上，∴當(dāng)PCBCB110PQBC時，PQ最小，此時PQAB，故B選項錯誤；22對C選項，若點P為BC的中點，即P與E點重合，∵OQOE，∴OQOP，∴0，故C選項正確；ABACBC0，∴對D選項，∵的平分線與BC垂直，ABACAAE3，∴是以BC為底邊的等腰三角形，∴，又由選項分析知2∴根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義知9，APABACAP2AE2APAE2918∴，故D選項正確．故選：ACD．12.已知函數(shù)fxxxax1，則（）1A.當(dāng)a0時，函數(shù)fx最小值為1eB.當(dāng)a1時，函數(shù)的極大值點為fxx1在定義域上單調(diào)遞增fxaC.存在實數(shù)使得函數(shù)xaa10恒成立，則實數(shù)的取值范圍為D.若f【答案】AD【解析】ABx在上恒成立即可判斷fx01gxxC，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)求得其最小值，即可判斷D.x【詳解】因為函數(shù)fxxxax1fxx1ax，其中，，則1e當(dāng)a0時，則fxx1，令，fx0，可得x1exfx0，則函數(shù)fx單調(diào)遞減，當(dāng)當(dāng)時，1x,f(x)>0，則函數(shù)單調(diào)遞增，fx時，e111e有極小值，即最小值fx時，xf1e，故A正確；當(dāng)e當(dāng)a1時，則，令fxxfx0，可得x1，x時，fx0，則函數(shù)fx單調(diào)遞減，當(dāng)當(dāng)當(dāng)x時，f(x)>0單調(diào)遞增，fx，則函數(shù)有極小值，則x1時，函數(shù)fxx1為極小值點，故B錯誤；在定義域上單調(diào)遞增，fxa假設(shè)存在實數(shù)使得函數(shù)則在x上恒成立，即x1a0x在上恒成立，yx的值域為R，fx0ax在x上恒成立，因為所以yx1所以函數(shù)無最小值，在定義域上單調(diào)遞增，故C錯誤；fxa故不存在實數(shù)使得函數(shù)x在x0恒成立，即xxax10若f上恒成立，1axx即在上恒成立，x111x1，則，gxxgxgx0x1令當(dāng)當(dāng)當(dāng)，則，令xxx2x2x時，gxgx，則函數(shù)單調(diào)遞減，0x時，gx0，則函數(shù)gx單調(diào)遞增，有極小值，即最小值，所以a1，故D正確；x1時，gxgxg11故選：AD三.填空題（共4小題）13.已知向量a3),|b|2,|a2b|25，則a與b夾角的大小為_____________．π【答案】【解析】42(ab)20，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義計算即可求解.【分析】根據(jù)題意可得a2【詳解】由a3)，得，2ab25由，得(ab)20，224422a,b4220，即a4abb20，得2a,bπ，所以a,b，又2ππa,b所以，即a與b的夾角為.44π故答案為：.410314.已知ab1，若baab，abba，則=．a(chǎn)b【答案】43【解析】103【詳解】因為ab1，所以a1ba，又ab，b1103103logba10a3，整理得ba)2,logbab1解得logba3或logba（舍去）3因此ab3，因為,bb3,a33，ab43abba，所以b3bbb3，bb3ππ315.已知函數(shù)fxsin2xfxf，則______．2312【答案】【解析】2π2π3ff【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，解出的值，代入函數(shù)即可求得.ππ2πππ【詳解】由已知，，則2ffx2cos2xfsinxf2cosfsin2222π21，fxsin2xxf所以，π3π3π312所以，fsin2.32312.故答案為：216.已知cos0，3sincos21，則tan2______.3【答案】0.754【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系計算即可.【詳解】由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及已知條件可知：221sin3sin2110sin26sin0，sin23sin2112當(dāng)sin21cos，此時0，不合題意；234sin,cos2當(dāng)，符合題意；5353sin2所以.4故答案為：4四.解答題（共6小題）17.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC和BD交于點ME在BCBE:EC1:2DE與AB的延長線交于點F，記ABa，b．（1）試用a，b表示、；（2）試用a，b表示．1111abab，1）；22223DFab（2）.2【解析】1）利用向量加法的平行四邊形法則求出，再利用向量減法法則求出作答.3（2）利用平行線的性質(zhì)探求出【小問1詳解】，再利用向量減法法則求解作答.2ABCDACBD交于點M，平行四邊形的對角線和121111CACD)(ABAD)ab，21212211(ABAD)ab.2222【小問2詳解】點E在BC上，且BE:EC1:2，BE//AD，則33BEFADF，1313AFABa于是所以，即BFAF，，223AFADab2cb1．18.已知在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且abac（1）求角A的大??；BACa=3，求ABC的面積．（2）若AD平分并交BC于D，且AD=2，A1）；333（2）.2【解析】1）變形給定的等式，再利用余弦定理求解作答.（2）根據(jù)給定條件，結(jié)合（1bc，進(jìn)而求出bc計算作答.【小問1詳解】cb1，則c(ac)b(ab)(ac)(ab)c22abc，因，整理得：b2abacb2c2a212在ABC中，由余弦定理得：A，而0A，bcA所以.3【小問2詳解】在ABC中，AD平分并交BC于D，則CAD，而BACAD=2，61211SSScADsinBADbADsinCADbcsinBAC顯然有，即，2213csinbsinbcsin，整理得：bc則bc，又a=3，662323bc)2a2bc，即有bc)2bc90，而bc0，解得6，由（1）知，41213332所以ABC的面積S.bcsinBAC622的前項和為，已知Sn成等差數(shù)列，且2a1，n，Sn4S319.設(shè)數(shù)列n.n（1）求的通項公式；an1bnbT的前n項和為n，若對任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求n（2）若，log2a2n1log2a2n3n的最小值.1）an2n1（2）6【解析】1）根據(jù)a1anS2aaSanS與的關(guān)系求通項即可；n，，成等差數(shù)列，可得，再根據(jù)nn1n（2）利用裂項相消法求出T，從而可求得T的范圍，即可求出的范圍，即可得解.nn【小問1詳解】a1anS，成等差數(shù)列，n解：因為，2aaSS2aa，1所以，即n1nnnaSS2n2n1，當(dāng)n2時，nnn1a2a即由，n1naS2a0，n，得43所以數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，anaS2aaa28aa2a4a2a2，所以，1則，即431231111an2n；所以【小問2詳解】11111bn，解：2n12n322n12n3log22n1log22n31111123557111111Tn則，2n12n3232n361Tn因為恒成立，所以，61所以的最小值.6SnnSn1n1的前項和為2n2anS,a20.已知數(shù)列nn1（1）求數(shù)列的通項公式；ana（2）令n的前項和b，求數(shù)列．nnn2nna4n3n1）4n5T5n（2）2n【解析】SnnS是等差數(shù)列，從而求得，然后利用n【分析1）根據(jù)等差數(shù)列的定義可得數(shù)列1,n1ana；n求得SS,n2nn1（2）利用錯位相減法求解即可.【小問1詳解】SSn1n11111a1n2n21，因為，nSnn是首項為，公差為的等差數(shù)列，12所以數(shù)列Snn2n1，所以Sn2n2n，則aSS2n2n2nn4n3，2當(dāng)n2時，nnn1當(dāng)n1時，上式也成立，a4n3所以；n【小問2詳解】an4n3n，2n12n594n32nn，2222311594n74n3n，22223242n2n11144442n4n3n兩式相減得222223242n11112n14n3122n12154n5，n1224n5T5n所以.2nafxxaxx,x.1221.已知函數(shù)存在兩個極值點xa（1）求的取值范圍；fxfxa的最小值.（2）求121）（2）e2【解析】1）根據(jù)極值點的定義可知x2axa0有兩個不等正根，由一元二fx0，即gxa次方程根的分布可構(gòu)造不等式組求得的取值范圍；xxxxa為aaa，令f1f2a（2）由（1）可知，由此化簡1212ha，利用導(dǎo)數(shù)可求得，即為所求的最小值.haaaaa4【小問1詳解】aaxxaxa2由題意知：定義域為，；fxfx1x2x2令gxx2axa有兩個不等正根gx，則01,2，Δa24a0xxa0a，實數(shù)的取值范圍為.a4，解得：12xxa012【小問2詳解】由（1）知：a4，是2的兩根，則gxx,x01212a；1aaf1f2a1a12a2a12