2023-2024學(xué)年山東省青島市高三上冊期中數(shù)學(xué)模擬試題（附解析）

2023-2024學(xué)年山東省青島市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題說明：1．本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷.滿分150分.答題時間120分鐘.2．請將第Ⅰ卷題目的答案選出后用2B鉛筆涂在答題紙對應(yīng)題目的代號上；第Ⅱ卷用黑色簽字筆將正確答案寫在答題紙對應(yīng)的位置上，答在試卷上作廢.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中；只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．和是單位向量且滿足，則的夾角為（

）A． B． C． D．4．如圖，某四邊形的直觀圖是正方形，且，則原四邊形的面積等于（

）

A．2 B． C．4 D．5．已知數(shù)列的前項和為，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．10126．如圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），已知該扇環(huán)的面積為，兩段圓弧所在圓的半徑分別為3和6，則該圓臺的體積為（

）

A． B． C． D．7．定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．8．已知平面直角坐標(biāo)系中，點，，其中點在第一象限.若，且，則的值為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．9．下列命題中錯誤的有（）A．平行向量就是共線向量B．相反向量就是方向相反的向量C．與同向，且，則D．兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件10．若滿足，則（

）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)存在兩個不同的零點B．函數(shù)既存在極大值又存在極小值C．當(dāng)時，方程有且只有兩個實根D．若時，，則的最小值為12．若數(shù)列滿足為數(shù)列的前項和，則（

）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程是．14．已知函數(shù)的圖像如圖所示，則．15．已知底面為正方形的四棱錐的五個頂點在同一個球面上，，，，則四棱錐外接球的體積為．16．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則數(shù)列的前2022項和為.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．在中，角所對的邊分別為，滿足．(1)求的值；(2)若，且的面積為，求的周長．18．在中，是上的點，平分，.(1)求的值；(2)若，，求的長.19．?dāng)?shù)列前項和滿足，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)對任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)項的個數(shù)記為，求數(shù)列前項和．20．如圖為一塊邊長為的等邊三角形地塊，現(xiàn)對這塊地進行改造，計劃從的中點出發(fā)引出兩條成角的線段和（，，分別在邊，上），與和圍成四邊形區(qū)域，在該區(qū)域內(nèi)種上花草進行綠化改造，設(shè).

(1)當(dāng)時，求花草綠化區(qū)域的面積；(2)求花草綠化區(qū)域的面積的取值范圍.21．已知函數(shù)(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在最大值，求最大值和的取值范圍．(3)當(dāng)時，求證：．22．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足：，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)數(shù)列和的公共項組成的數(shù)列記為，求的通項公式；(3)記數(shù)列的前項和為，證明：1．C【分析】求得集合，求得集合，根據(jù)集合的并集運算，即可求解，得到答案．【詳解】由題意可得集合，集合，所以.故選.2．B【分析】待定系數(shù)法結(jié)合復(fù)數(shù)相等即可求解.【詳解】設(shè)，則，則，則，解得：，則.故選：B3．D【分析】根據(jù)單位向量模長為1，將兩邊同時平方利用數(shù)量積定義即可得的夾角為.【詳解】由和是單位向量可得，又可得，即，可知，所以.故選：D4．D【分析】求出正方形的面積，根據(jù)直觀圖和原圖形面積之間的關(guān)系，即可求得答案.【詳解】由題意可知，即，故，所以，則原四邊形的面積為，故選：D5．C【分析】由已知推得，進而得出的前幾項，觀察可得的周期，根據(jù)數(shù)列的周期性，求和即可得出答案.【詳解】易知，由得.又，所以，，，故數(shù)列是以3為最小正周期的周期數(shù)列，所以.故選：C.6．A【分析】根據(jù)題意求出圓臺上下底面半徑，圓臺的高，代入圓臺的體積計算公式即可求解.【詳解】圓臺的側(cè)面展開圖是一扇環(huán)，設(shè)該扇環(huán)的圓心角為，則其面積為，解得，所以扇環(huán)的兩個圓弧長分別為和，設(shè)圓臺上下底面的半徑分別為，高為，所以，解得，，解得，作出圓臺的軸截面，如圖所示：

圖中，，過點向作垂線，垂足為，則，所以圓臺的高，則上底面面積，，由圓臺的體積計算公式可得.故選：A.7．B【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，結(jié)合可將不等式化為，可得不等式解集為.【詳解】根據(jù)定義域為且可知，又，所以對，恒成立；即可知函數(shù)在上單調(diào)遞減；又，可得，不等式可化為，解得，可得不等式的解集為.故選：B8．C利用二倍角和兩角和差公式可化簡等式求得，利用兩角和差正切公式可求得結(jié)果.【詳解】由得：，即.點在第一象限，，，，，即.如圖，設(shè)，則，.故選：C.易錯點經(jīng)：本題的易錯點是考生忽略已知條件“點在第一象限”，從而不能確定，還有部分考生不能在平面直角坐標(biāo)系中確定點在點的下方，導(dǎo)致考生可能會分兩種情況求解的值.9．BC【分析】根據(jù)平行向量和共線向量的定義即可判斷A的正誤；根據(jù)方向相反的向量和相反向量的定義即可判斷B的正誤；根據(jù)向量的定義即可判斷C的正誤；根據(jù)平行向量和相等向量的定義即可判斷D的正誤．【詳解】由平行向量和共線向量的定義可知，A選項正確；因為相反向量是方向相反，長度相等的兩個向量，所以B選項錯誤；因為向量是既有大小又有方向的量，所以任何兩個向量都不能比較大小，所以C選項錯誤；因為兩個向量平行不能推出兩個向量相等，而兩個向量相等可以推出這兩個向量平行，因此兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件，所以D正確．故選：BC.10．AD【分析】利用重要不等式計算即可.【詳解】由題意得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故A正確，B錯；，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故C錯，D正確.故選：AD.11．ABC【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和極值以及函數(shù)的圖象，最后直接判斷選項．【詳解】對于A．，解得，所以A正確；對于B．，當(dāng)時，，當(dāng)時，或，所以是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以是函數(shù)的極小值，是函數(shù)的極大值，所以B正確．對于C．當(dāng)時，，根據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是，再根據(jù)單調(diào)性可知，當(dāng)時，方程有且只有兩個實根，所以C正確；對于D：由圖象可知，t的最大值是2，所以D不正確．故選：ABC.易錯點點睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，極值點，以及函數(shù)的圖象，首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，判斷零點兩側(cè)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，本題易錯的地方是是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，但當(dāng)時，，所以圖象是無限接近軸，如果這里判斷錯了，那選項容易判斷錯了．12．BCD【分析】先用退位相減法求出，再用分組求和法求出，即可判定選項A,B；采取一定的放縮后裂項相消求和，即可判定選項C；用錯位相減法即可求出，則選項D可判定.【詳解】因為當(dāng)時，，當(dāng)時，可得原式與之相減可得則可得所以數(shù)列是從第二項開始為常數(shù)數(shù)列，又，可得，即，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，也符合上式，故，故選項A錯誤，選項B正確；，當(dāng)時，當(dāng)時，故選項C正確；因為，所以；所以兩式相減可得：，故選項D正確；故選：BCD.13．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解切線方程.【詳解】，，，所以曲線在點處的切線方程是，即.故14．【分析】結(jié)合函數(shù)圖象由，解得，得到，進而得到，然后由函數(shù)圖象過點求解.【詳解】由圖可知：，所以，所以，所以，因為函數(shù)圖象過點，所以，所以，解得，又因為，解得.故本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題.15．【分析】利用勾股定理得到，然后根據(jù)線面垂直的判定定理得到平面，即可得到點為四棱錐外接球的球心，然后求外接球半徑和體積即可.【詳解】因為四邊形為正方形，，所以，因為，所以，因為，，平面，所以平面，連接交于點，過點作平面交于點，因為四邊形為正方形，所以，分別為的中點，，由題意得點為四棱錐外接球的球心，所以外接球半徑為，外接球體積.故答案為.16．2022【分析】由為奇函數(shù)，可得，再由，得，然后利用倒序相加法可求得結(jié)果.【詳解】由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，所以，所以，所以，因此數(shù)列的前2022項和為，故202217．(1)(2)6【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換，結(jié)合三角恒等變換求得，由此可求的值；（2）利用（1）的結(jié)論再結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理，求出即可得解．【詳解】（1）在中，，由正弦定理有：，可得：，則有，因為，故，從而，又，所以，得．（2），，由，則有，由余弦定理，，得，解得，由解得，所以的周長為6.18．(1)；(2)【分析】（1）由題意結(jié)合正弦定理即可求得最終結(jié)果；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論和同角三角函數(shù)基本關(guān)系整理計算即可求得的大小，在中，由正弦定理求的長．【詳解】（1）在中，是上的點，平分，，由內(nèi)角平分線定理可得：，由正弦定理有：．（2）由結(jié)合（1）的結(jié)論有：，則：，整理可得：，由，得，在中，，則，由正弦定理可得，，即，得．19．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)求出是以為首項，為公比的等比數(shù)列，得到的通項公式，并求出；（2）得到，解不等式求出，推出為等比數(shù)列，利用公式求出前項和.【詳解】（1），①，當(dāng)時，，當(dāng)時，②，兩式①-②得，即，其中，也滿足上式，故是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故；；（2），令，解得，又，故，則，故，所以為等比數(shù)列，首項為，公比為3，所以.20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)角度確定為平行四邊形，進而和均為邊長為的等邊三角形，則利用面積割補法求解即可；（2）將面積表示為，方法一：利用正弦定理用表示出和，令，利用三角變換及正切函數(shù)的單調(diào)性求得，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求得，即可求解面積范圍；方法二：運用三角形相似，得出線段間的數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性求得范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，，四邊形為平行四邊形，則和均為邊長為的等邊三角形，又，.花草綠化區(qū)域的面積為.（2）方法一：由題意知：，，，在中，，由正弦定理得.在中，，，由正弦定理得：，.令，，，，，，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.即，，即花草地塊面積的取值范圍為.方法二：由已知得，，又，，在和中有：，，，得，又是的中點，，，且當(dāng)在點時，，所以，所以，設(shè)，，且，令，則，時，，在單調(diào)遞減，時，，在上單調(diào)遞增，時，有最小值2，當(dāng)或時，，所以花草地塊面積的取值范圍為.21．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)，(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分析單調(diào)性；（2）分和兩種情況討論；（3）構(gòu)造函數(shù)，，根據(jù)單調(diào)性得到，即，再結(jié)合即可得證.【詳解】（1）當(dāng)時，，定義域為，，令得，令得，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.（2），當(dāng)時，，所以此時在上單調(diào)遞增，無最大值；當(dāng)時，令得，令得，所以此時在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以，所以，.（3）由（2）得，當(dāng)時，，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，，則，又，所以.22．(1)(2)(3)證明見解析；【分析】（1）由等比數(shù)列和等差數(shù)列定義并