2023學(xué)年完整公開(kāi)課版曲線(xiàn)與方程

2.1.1曲線(xiàn)與方程xy0如圖,是直線(xiàn)表示y=x(x∈R)的圖象么？①滿(mǎn)足y=x(x∈R)的每一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)都在直線(xiàn)上；②直線(xiàn)上每一個(gè)點(diǎn)(x,y)都滿(mǎn)足方程y=x(x∈R).思考：如圖,是圓表示(x-a)2+(y-b)2=r2的圖象么？①滿(mǎn)足(x-a)2+(y-b)2=r2的每一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)都在圓上；②圓上每一個(gè)點(diǎn)(x,y)都滿(mǎn)足方程(x-a)2+(y-b)2=r2思考：xy.C即點(diǎn)曲線(xiàn)C坐標(biāo)（x,y）方程F(x,y)=0

按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)幾何對(duì)象X,y制約關(guān)系代數(shù)表示↑↑

一般地,在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線(xiàn)C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)與二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系:(1)曲線(xiàn)上的點(diǎn)坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn).方程f(x,y)=0叫做這條曲線(xiàn)C的方程;曲線(xiàn)C叫做這個(gè)方程f(x,y)=0的曲線(xiàn).1.“曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解”

,闡明曲線(xiàn)上沒(méi)有坐標(biāo)不滿(mǎn)足方程的點(diǎn)，也就是說(shuō)曲線(xiàn)上所有的點(diǎn)都符合這個(gè)條件而毫無(wú)例外.無(wú)魚(yú)目混珠的情況。2.“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上”,闡明符合條件的所有點(diǎn)都在曲線(xiàn)上而毫無(wú)遺漏.由曲線(xiàn)的方程的定義可知:如果曲線(xiàn)C的方程是f(x,y)=0，那么點(diǎn)P0(x0,y0)在曲線(xiàn)C上的充要條件是f(x0,y0)=0說(shuō)明：例1

:判斷下列命題是否正確解:(1)不正確，不具備②，應(yīng)為x=3,(2)不正確,不具備①，應(yīng)為y=±1.(3)不正確,不具備②,應(yīng)為x=0(-3≤y≤0).(1)過(guò)點(diǎn)A（3，0）且垂直于x軸的直線(xiàn)的方程為︱x︱=3(2)到x軸距離等于1的點(diǎn)組成的直線(xiàn)方程為y=1(3)△ABC的頂點(diǎn)A(0,3)，B(-2,0)，C(2,0)，O為BC中點(diǎn)，則中線(xiàn)AO的方程x=0例2.證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k(k>0)的點(diǎn)的軌跡方程是xy=±k.M

第一步，設(shè)M(x0,y0)是曲線(xiàn)C上任一點(diǎn)，證明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；歸納:

證明已知曲線(xiàn)的方程的方法和步驟

第二步，設(shè)(x0,y0)是f(x,y)=0的解，證明點(diǎn)M(x0,y0)在曲線(xiàn)C上.1．已知坐標(biāo)滿(mǎn)足方程F(x，y)＝0的點(diǎn)都在曲線(xiàn)C上，那么(

)．A．曲線(xiàn)C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程F(x，y)＝0B．凡坐標(biāo)不適合F(x，y)＝0的點(diǎn)都不在C上C．不在C上的點(diǎn)的坐標(biāo)必不適合F(x，y)＝0D．不在C上的點(diǎn)的坐標(biāo)有些適合F(x，y)＝0，有些不適合F(x，y)＝0答案C2．下列選項(xiàng)中方程表示圖中曲線(xiàn)的是(

)．解析對(duì)于A(yíng)，x2＋y2＝1表示一個(gè)整圓；對(duì)于B，x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0，表示兩條相交直線(xiàn)；對(duì)于D，由lgx＋lgy＝0知x>0，y>0.答案C3．方程x2＋xy＝x表示的曲線(xiàn)是(

)．A．一個(gè)點(diǎn)B．一條直線(xiàn)C．兩條直線(xiàn)D．一個(gè)點(diǎn)和一條直線(xiàn)解析由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表示兩條直線(xiàn)．故選C.答案C4．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的圖形是()．A．兩個(gè)點(diǎn)B．四個(gè)點(diǎn)C．兩條直線(xiàn)D．四條直線(xiàn)解析由已知∴即或

或或.答案B7．已知曲線(xiàn)C的方程為x＝，說(shuō)明曲線(xiàn)C是什么樣的曲線(xiàn)，并求該曲線(xiàn)與y軸圍成的圖形的面積．解由x＝，得x2＋y2＝4.又x≥0，∴方程x＝表示的曲線(xiàn)是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的右半圓，從而該曲線(xiàn)C與y軸圍成的圖形是半圓，其面積S＝π·4＝2π.所以所求圖形的面積為2π.２.１.２求曲線(xiàn)的方程

則這個(gè)方程就叫做曲線(xiàn)的方程，這條曲線(xiàn)就叫做方程的曲線(xiàn)。

在直角坐標(biāo)系中，某曲線(xiàn)C上的所有點(diǎn)與一個(gè)二元方程實(shí)數(shù)解建立如下關(guān)系：1.曲線(xiàn)的方程、方程的曲線(xiàn)的定義：一.復(fù)習(xí)引入（1）曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；（2）以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上。2.解析幾何有兩類(lèi)問(wèn)題:一是利用曲線(xiàn)求方程;二是利用方程研究曲線(xiàn)的性質(zhì).其中最基本的方法是坐標(biāo)法.二.新課1.如何求曲線(xiàn)(點(diǎn)的軌跡)方程？求曲線(xiàn)方程的實(shí)質(zhì)是將產(chǎn)生曲線(xiàn)的幾何條件逐步轉(zhuǎn)化為含動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的代數(shù)方程的過(guò)程.

在直角坐標(biāo)系下：2.例題講解例1.設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是(－1,－1)和(2，3),求線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程？xyoABEx1.已知線(xiàn)段AB長(zhǎng)為5，動(dòng)點(diǎn)P到線(xiàn)段AB兩端點(diǎn)的距離相等，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。求曲線(xiàn)方程的一般步驟：1.建系設(shè)點(diǎn):建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)表示曲線(xiàn)上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)；（如果題目中已確定坐標(biāo)系就不必再建立）2.尋找條件:寫(xiě)出適合條件P的點(diǎn)M的集合;3.列出方程:用坐標(biāo)表示條件p(M),列出方程f(x,y)=0；4.化簡(jiǎn):化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式；5.檢驗(yàn):檢驗(yàn)以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)。Ex2.△ABC頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是(0,0)和(4,0)，

BC邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為3，求頂點(diǎn)A的軌跡方程。以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在曲線(xiàn)上？思考？xBCyA(x－2)2+y2=9

(x≠5且x≠-1)D求曲線(xiàn)方程的一般步驟：1.建系設(shè)點(diǎn):建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)表示曲線(xiàn)上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)；2.尋找條件:寫(xiě)出適合條件P的點(diǎn)M的集合;3.列出方程:用坐標(biāo)表示條件p(M),列出方程f(x,y)=0；4.化簡(jiǎn):化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式；5.檢驗(yàn):檢驗(yàn)以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)。檢驗(yàn)是否產(chǎn)生增解或漏解Ex3.

以AB所在直線(xiàn)為x軸，AB的垂直平分線(xiàn)為y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系.求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程。yx0Ex4.已知點(diǎn)C到直線(xiàn)L的距離為8，若動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)C和直線(xiàn)L的距離相等，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。例3.已知一條直線(xiàn)l和它上方的一個(gè)點(diǎn)A，點(diǎn)A到l的距離是2,一條曲線(xiàn)也在l的上方，它上面的每一點(diǎn)到A的距離減去到l的距離的差都是2,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求這條曲線(xiàn)的方程.例3.已知一條直線(xiàn)l和它上方的一個(gè)點(diǎn)A，點(diǎn)A到l的距離是2,一條曲線(xiàn)也在l的上方，它上面的每一點(diǎn)到A的距離減去到l的距離的差都是2,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求這條曲線(xiàn)的方程.取直線(xiàn)l為x軸,過(guò)點(diǎn)A且垂直于直線(xiàn)l的直線(xiàn)為y軸,建立坐標(biāo)系xOy,解：因?yàn)榍€(xiàn)在x軸的上方，所以y＞0,所以曲線(xiàn)的方程是