新教材高中數(shù)第4章數(shù)列4等差數(shù)列4等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式案含解析新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

PAGE10-4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第1課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程(難點(diǎn))．2．掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用(重點(diǎn))．3．會(huì)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值(重點(diǎn)).1.通過(guò)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算及an與Sn關(guān)系的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).有一次，老師與高斯去買(mǎi)鉛筆，在商店發(fā)現(xiàn)了一個(gè)堆放鉛筆的V形架，V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放100支．老師問(wèn)：“高斯，你知道這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆嗎？”思考：計(jì)算1＋2＋3＋…＋99＋100.1．等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式是用倒序相加法推導(dǎo)的．2．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公差與項(xiàng)數(shù)求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d思考：等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)中，運(yùn)用了哪條性質(zhì)？[提示]運(yùn)用性質(zhì)“等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq.”從而a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1.3．等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值(1)若a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得{Sn}的最小值．(2)若a1>0，d<0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為正數(shù)項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得{Sn}的最大值．特別地，若a1>0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則S1是{Sn}的最大值．思考：我們已經(jīng)知道當(dāng)公差d≠0時(shí)，等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，類(lèi)比二次函數(shù)的最值情況，等差數(shù)列的Sn何時(shí)有最大值？何時(shí)有最小值？[提示]由二次函數(shù)的性質(zhì)可以得出：當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，Sn先減后增，有最小值；當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，Sn先增后減，有最大值；且n取最接近對(duì)稱(chēng)軸的正整數(shù)時(shí)，Sn取到最值．1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)數(shù)列的前n項(xiàng)和就是指從數(shù)列的第1項(xiàng)a1起，一直到第n項(xiàng)an所有項(xiàng)的和． ()(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化簡(jiǎn)后關(guān)于n與an的函數(shù)式即為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． ()(3)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn都可以寫(xiě)成二次函數(shù)Sn＝An2＋Bn． ()[提示](1)正確．由前n項(xiàng)和的定義可知正確．(2)錯(cuò)誤．例如數(shù)列{an}中，Sn＝n2＋2.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又因?yàn)閍1＝S1＝3，所以a1不滿(mǎn)足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命題錯(cuò)誤．(3)錯(cuò)誤．當(dāng)公差為零時(shí)，Sn為一次函數(shù)．[答案](1)√(2)×(3)×2．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，d＝2，則S20＝()A．230B．420C．450D．540B[S20＝20a1＋eq\f(20×19,2)d＝20×2＋20×19＝420.]3．(教材P23練習(xí)T2改編)等差數(shù)列－1，－3，－5，…的前n項(xiàng)和是－100，那么n的取值為()A．8B．9C．10D．11C[根據(jù)公式Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d得－100＝－n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)，解得n＝10.]4．(一題兩空)在等差數(shù)列{an}中，a1＝20，an＝54，Sn＝999，則d＝________，項(xiàng)數(shù)n＝________.eq\f(17,13)27[由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(54＝20＋n－1d，,999＝\f(n20＋54,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝27，,d＝\f(17,13).))]5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝eq\f(1,2)，S4＝20，則S6＝________.48[設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知得4a1＋eq\f(4×3,2)×d＝20，即4×eq\f(1,2)＋eq\f(4×3,2)d＝20，解得d＝3，所以S6＝6×eq\f(1,2)＋eq\f(6×5,2)×3＝3＋45＝48.]等差數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算【例1】在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8；(2)已知a2＋a4＝eq\f(48,5)，求S5.[思路探究](1)由于有兩個(gè)已知條件，所以可以通過(guò)列方程組求出基本量a1，d來(lái)解決問(wèn)題，也可以運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解；(2)由于只有一個(gè)已知條件，需要結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求解，也可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式求解．[解](1)法一：∵a6＝10，S5＝5，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝10，,5a1＋10d＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝3.))∴a8＝a6＋2d＝16.法二：∵S6＝S5＋a6＝15，∴15＝eq\f(6a1＋a6,2)，即3(a1＋10)＝15.∴a1＝－5，d＝eq\f(a6－a1,5)＝3.∴a8＝a6＋2d＝16.(2)法一：∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝eq\f(48,5)，∴a1＋2d＝eq\f(24,5).∴S5＝5a1＋10d＝5(a1＋2d)＝5×eq\f(24,5)＝24.法二：∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝eq\f(48,5)，∴S5＝eq\f(5a1＋a5,2)＝eq\f(5,2)×eq\f(48,5)＝24.求數(shù)列的基本量的基本方法求數(shù)列的基本量的基本方法是構(gòu)建方程或方程組或運(yùn)用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行處理，1“知三求一”：a1，d，n稱(chēng)為等差數(shù)列的三個(gè)基本量，在通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，都含有四個(gè)量，已知其中的三個(gè)可求出第四個(gè).2“知三求二”：五個(gè)量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程組求解.[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，若a2＋a4＝4，a5＝8，則S10＝()A．125B．115C．105D．95(2)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，若S9＝27，a10＝8，則S14＝()A．154B．153C．77D．78(1)D(2)C[(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a4＝2a1＋4d＝4，,a5＝a1＋4d＝8))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－4，,d＝3，))S10＝10×(－4)＋eq\f(10×9,2)×3＝95.(2)根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，若S9＝27，即S9＝eq\f(9×a1＋a9,2)＝9a5＝27，解得a5＝3，又a10＝8，∴S14＝eq\f(14×a1＋a14,2)＝eq\f(14×a5＋a10,2)＝77.故選C.]等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用【例2】某抗洪指揮部接到預(yù)報(bào)，24小時(shí)后有一洪峰到達(dá)，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來(lái)之前臨時(shí)筑一道堤壩作為第二道防線(xiàn)．經(jīng)計(jì)算，除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調(diào)用20臺(tái)同型號(hào)翻斗車(chē)，平均每輛車(chē)工作24小時(shí)．從各地緊急抽調(diào)的同型號(hào)翻斗車(chē)目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車(chē)到達(dá)，一共可調(diào)集25輛，那么在24小時(shí)內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道防線(xiàn)？[思路探究]因?yàn)槊扛?0分鐘到達(dá)一輛車(chē)，所以每輛車(chē)的工作量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．工作量的總和若大于欲完成的工作量，則說(shuō)明24小時(shí)內(nèi)可完成第二道防線(xiàn)工程．[解]從第一輛車(chē)投入工作算起，各車(chē)工作時(shí)間(單位：小時(shí))依次設(shè)為a1，a2，…，a25.由題意可知，此數(shù)列為等差數(shù)列，且a1＝24，公差d＝－eq\f(1,3).25輛翻斗車(chē)完成的工作量為：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝500，而需要完成的工作量為24×20＝480.∵500>480，∴在24小時(shí)內(nèi)能構(gòu)筑成第二道防線(xiàn)．遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點(diǎn)：1抓住實(shí)際問(wèn)題的特征，明確是什么類(lèi)型的數(shù)列模型.2深入分析題意，確定是求通項(xiàng)公式an，或是求前n項(xiàng)和Sn，還是求項(xiàng)數(shù)n.[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)《張丘建算經(jīng)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十織迄，問(wèn)織幾何．”其大意為：有個(gè)女子不善織布，每天比前一天少織同樣多的布，第一天織五尺，最后一天織一尺，三十天織完，則三十天共織布()A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺(2)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有金，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤．?dāng)啬┮怀?，重二斤．?wèn)次一尺各重幾何？”其大意是：“現(xiàn)有一根金杖，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細(xì)的一端截下一尺，重2斤．問(wèn)依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)題中的已知條件，若金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，則中間3尺的重量為()A．6斤B．9斤C．9.5斤D．12斤(1)B(2)B[(1)由題意知，該女子每天織布的數(shù)量組成等差數(shù)列{an}，其中a1＝5，a30＝1，∴S30＝eq\f(30×5＋1,2)＝90，即共織布90(尺)．(2)依題意，金杖由細(xì)到粗各尺重量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{an}．設(shè)首項(xiàng)為2，則a5＝4，∴中間3尺的重量為a2＋a3＋a4＝3a3＝eq\f(a1＋a5,2)×3＝eq\f(2＋4,2)×3＝9(斤)．]等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的函數(shù)特征[探究問(wèn)題]1．Sn＝An2＋Bn的函數(shù)特征怎樣？[提示](1)當(dāng)A＝0，B＝0時(shí)(此時(shí)a1＝0，d＝0)，Sn＝0，此時(shí)Sn是關(guān)于n的常數(shù)函數(shù)；(2)當(dāng)A＝0，B≠0時(shí)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(此時(shí)a1≠\f(d,2)，d＝0))，Sn＝Bn，此時(shí)Sn是關(guān)于n的一次函數(shù)(正比例函數(shù))；(3)當(dāng)A≠0，B＝0時(shí)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(此時(shí)a1＝\f(d,2)，d≠0))，Sn＝An2，此時(shí)Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)；(4)當(dāng)A≠0，B≠0時(shí)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(此時(shí)a1≠\f(d,2)，d≠0))，Sn＝An2＋Bn，此時(shí)Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)．2．已知一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2－5n，試畫(huà)出Sn關(guān)于n的函數(shù)圖象．你能說(shuō)明數(shù)列{an}的單調(diào)性嗎？該數(shù)列前n項(xiàng)和有最值嗎？[提示]Sn＝n2－5n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(25,4)，它的圖象是分布在函數(shù)y＝x2－5x的圖象上的離散的點(diǎn)，由圖象的開(kāi)口方向可知該數(shù)列是遞增數(shù)列，圖象開(kāi)始下降說(shuō)明了{(lán)an}前n項(xiàng)為負(fù)數(shù)．由Sn的圖象可知，Sn有最小值且當(dāng)n＝2或3時(shí)，Sn最小，最小值為－6，即數(shù)列{an}前2項(xiàng)或前3項(xiàng)和最小．【例3】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝33n－n2，(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)則{an}的前多少項(xiàng)和最大？[思路探究](1)利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)，也可由Sn的結(jié)構(gòu)特征求a1，d，從而求出通項(xiàng)．(2)利用Sn的函數(shù)特征求最值，也可以用通項(xiàng)公式找到通項(xiàng)的變號(hào)點(diǎn)求解．[解](1)法一：(公式法)當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝32＝34－2×1，滿(mǎn)足an＝34－2n.故{an}的通項(xiàng)公式為an＝34－2n.法二：(結(jié)構(gòu)特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是關(guān)于n的缺常數(shù)項(xiàng)的二次型函數(shù)，所以{an}是等差數(shù)列，由Sn的結(jié)構(gòu)特征知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)＝－1，,a1－\f(d,2)＝33，))解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.(2)法一：(公式法)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故數(shù)列{an}的前17項(xiàng)大于或等于零．又a17＝0，故數(shù)列{an}的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大．法二：(函數(shù)性質(zhì)法)由y＝－x2＋33x的對(duì)稱(chēng)軸為x＝eq\f(33,2)，距離eq\f(33,2)最近的整數(shù)為16，17.由Sn＝－n2＋33n的圖象可知：當(dāng)n≤17時(shí)，an≥0，當(dāng)n≥18時(shí)，an<0，故數(shù)列{an}的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大．1．(變條件)將例題中的條件“Sn＝33n－n2”變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求其前n項(xiàng)和Sn的最大值．[解]法一：∵S9＝S17，a1＝25，∴9×25＋eq\f(99－1,2)d＝17×25＋eq\f(1717－1,2)d，解得d＝－2.∴Sn＝25n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169.∴當(dāng)n＝13時(shí)，Sn有最大值169.法二：同法一，求出公差d＝－2.∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.∵a1＝25>0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝－2n＋27≥0，,an＋1＝－2n＋1＋27≤0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n≤13\f(1,2)，,n≥12\f(1,2)，))又∵n∈N*，∴當(dāng)n＝13時(shí)，Sn有最大值169.法三：∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a13＋a14＝0.∵a1>0，∴d<0.∴a13>0，a14<0.∴當(dāng)n＝13時(shí)，Sn有最大值169.法四：設(shè)Sn＝An2＋Bn.∵S9＝S17，∴二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為x＝eq\f(9＋17,2)＝13，且開(kāi)口方向向下，∴當(dāng)n＝13時(shí)，Sn取得最大值169.2．(變結(jié)論)本例中條件不變，令bn＝|an|，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.[解]由數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝34－2n知，當(dāng)n≤17時(shí)，an≥0；當(dāng)n≥18時(shí)，an<0.所以當(dāng)n≤17時(shí)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.當(dāng)n≥18時(shí)，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn＝n2－33n＋544.故Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(33n－n2n≤17，,n2－33n＋544n≥18.))1．在等差數(shù)列中，求Sn的最小(大)值的方法(1)利用通項(xiàng)公式尋求正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，則從第一項(xiàng)起到分界點(diǎn)該項(xiàng)的各項(xiàng)和為最大(小)值．(2)借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值．2．尋求正、負(fù)項(xiàng)分界點(diǎn)的方法(1)尋找正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，可利用等差數(shù)列的性質(zhì)或利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))來(lái)尋找．(2)利用到y(tǒng)＝ax2＋bx(a≠0)圖象的對(duì)稱(chēng)軸距離最近的一側(cè)的一個(gè)整數(shù)或離對(duì)稱(chēng)軸最近且關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)整數(shù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)即為正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)．3．求解數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和，應(yīng)先判斷{an}的各項(xiàng)的正負(fù)，然后去掉絕對(duì)值號(hào)，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問(wèn)題．1．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，有下面幾種常見(jiàn)變形(1)Sn＝n·eq\f(a1＋an,2)；(2)Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n；(3)eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是公差為\f(d,2)的等差數(shù)列)).2．(1)若d＞0，則在等差數(shù)列{an}中有an－an－1＝d＞0，即an＞an－1(n≥2)，所以數(shù)列單調(diào)遞增．當(dāng)a1≥0時(shí)，有Sn＞Sn－1(n≥2)，即S1＜S2＜S3＜…＜Sn－1＜Sn＜…，所以Sn的最小值為S1；當(dāng)a1＜0時(shí)，則一定存在某一自然數(shù)k，使a1＜a2＜a3＜…＜ak≤0＜ak＋1＜ak＋2＜…＜an＜…(或a1＜a2＜a3＜…＜ak＜0≤ak＋1＜ak＋2＜…＜an＜…)，則Sn的最小值為Sk.(2)若d＜0，則在等差數(shù)列{an}中有an－an－1＝d＜0，即an＜an－1(n≥2)，所以數(shù)列單調(diào)遞減．當(dāng)a1＞0時(shí)，則一定存在某一自然數(shù)k，使a1＞a2＞a3…＞ak≥0＞ak＋1＞ak＋2＞…＞an＞…(或a1＞a2＞a3＞…＞ak＞0≥ak＋1＞ak＋2＞…＞an＞…)，則Sn的最大值為Sk；當(dāng)a1≤0時(shí)，有Sn＞Sn＋1，即S1＞S2＞S3＞…＞Sn＞Sn＋1＞…，所以Sn的最大值為S1.3．?dāng)?shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和的四種類(lèi)型及其求解策略(1)等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為非負(fù)數(shù)，這種情形中數(shù)列{|an|}就等于數(shù)列{an}，可以直接求解．(2)等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，這種數(shù)列只有前邊有限項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，從某項(xiàng)開(kāi)始其余所有項(xiàng)都為負(fù)數(shù)，可把數(shù)列{an}分成兩段處理．(3)等差數(shù)列{an}中，a1＜0，d＞0，這種數(shù)列只有前邊有限項(xiàng)為負(fù)數(shù)，其余都為非負(fù)數(shù)，同樣可以把數(shù)列分成兩段處理．(4)等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，則{|an|}的前n項(xiàng)和為{an}前n項(xiàng)和的相反數(shù)．4．常用的數(shù)列求和公式1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)；2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2；12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(nn＋12n＋1,6).1．等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝6，a3＝4，則公差d等于()A．1B．eq\f(5,3)C．2D．3C[設(shè){an}的公差為d，首項(xiàng)為a1，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋\f(3×2,2)d＝6，,a1＋2d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝2.))]2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10＝100，則a4＋a7＝()A．12B．20C．40D．100B[法一：由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式得：S10＝10a1＋eq\f(10×9,2)d＝100，即2a1＋9d＝20，從而a4＋a7＝a1＋3d＋a1＋6d＝2a1＋9d＝20.法二：S10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝100，∴a1＋a10＝20，a4＋a7＝a1＋a10＝20.故選B.]3．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝43－3n，則Sn取得最大值時(shí)，n＝()A．13B．14C．15D．14或15B[由數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝43－3n，可得該數(shù)列為遞減數(shù)列，且公差為