幾何概型 省賽獲獎(jiǎng)

幾何概型

對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),該區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣,而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn).這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn),稱為幾何概型.幾何概型的特點(diǎn):(1)基本事件有無限多個(gè);(2)基本事件發(fā)生是等可能的.

一般地,在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn),記“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A,則事件A發(fā)生的概率:注:(2)D的測(cè)度不為0,當(dāng)D分別是線段、平面圖形、立體圖形時(shí),相應(yīng)的“測(cè)度”分別是長度、面積和體積.（1）古典概型與幾何概型的區(qū)別在于：幾何概型是無限多個(gè)等可能事件的情況，而古典概型中的等可能事件只有有限多個(gè)；（3）區(qū)域應(yīng)指“開區(qū)域”，不包含邊界點(diǎn)；在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)是指：該點(diǎn)落在內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性只與該部分的測(cè)度成正比而與其性狀位置無關(guān)．練習(xí):1.如圖是半圓及其內(nèi)接正方形ABCD,現(xiàn)向半圓內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn),求該點(diǎn)落在正方形內(nèi)的概率.2.在區(qū)間[0,10]中,任意取一個(gè)數(shù),則它與4之和大于10的概率是多少?2/53.已知實(shí)數(shù)x,y可以在0<x<2,0<y<2的條件下隨機(jī)的取值,那么取出的數(shù)對(duì)滿足(x-1)2+(y-1)2<1的概率是多少?π/44.有一個(gè)半徑為5的圓,現(xiàn)將一枚半徑為1的硬幣向圓投去,如果不考慮硬幣完全落在圓外的情況,求硬幣完全落在圓內(nèi)的概率.4/95.在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為圓心,半徑為1且位于x軸上方的半圓與x軸正半軸交于點(diǎn)A,M是半圓上的任意一點(diǎn),記弧AM的長為m,求m大于1的概率.π-1/π例1:(會(huì)面問題)甲、乙二人約定在12點(diǎn)到５點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先到者等一個(gè)小時(shí)后即離去,設(shè)二人在這段時(shí)間內(nèi)的各時(shí)刻到達(dá)是等可能的，且二人互不影響。求二人能會(huì)面的概率。解：以x,y分別表示甲、乙二人到達(dá)的時(shí)刻，于是0≤x≤5,0≤y≤5.即點(diǎn)M落在圖中的陰影部分.所有的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，即有無窮多個(gè)結(jié)果.由于每人在任一時(shí)刻到達(dá)都是等可能的，所以落在正方形內(nèi)各點(diǎn)是等可能的..M(x,y)x012345y54321二人會(huì)面的條件是：

012345yx54321y=x+1y=x-1記“兩人會(huì)面”為事件A假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙,送報(bào)人可能在早上6:30—7:30之間把報(bào)紙送到你家,你父親離開家去工作的時(shí)間在早上7:00—8:00之間,問你父親在離開家前能得到報(bào)紙(稱為事件A)的概率是多少?解:以橫坐標(biāo)X表示報(bào)紙送到時(shí)間,以縱坐標(biāo)Y表示父親離家時(shí)間建立平面直角坐標(biāo)系,由于隨機(jī)試驗(yàn)落在方形區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的,所以符合幾何概型的條件.根據(jù)題意,只要點(diǎn)落到陰影部分,就表示父親在離開家前能得到報(bào)紙,即時(shí)間A發(fā)生,所以練習(xí)1:國家安全機(jī)關(guān)監(jiān)聽錄音機(jī)記錄了兩個(gè)間諜的談話,發(fā)現(xiàn)30min的磁帶上,從開始30s處起,有10s長的一段內(nèi)容包含間諜犯罪的信息.后來發(fā)現(xiàn),這段談話的部分被某工作人員擦掉了,該工作人員聲稱他完全是無意中按錯(cuò)了鍵,使從此后起往后的所有內(nèi)容都被擦掉了.那么由于按錯(cuò)了鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？練習(xí)2解:記事件A:按錯(cuò)鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉．則事件A發(fā)生就是在０—40s時(shí)間段內(nèi)按錯(cuò)鍵．故課堂小結(jié)1.古典概型與幾何概型的區(qū)別.相同：兩者基本事件的發(fā)生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限個(gè)，幾何概型要求基本事件有