第12講 圓的對(duì)稱性（解析版）

第12講圓的對(duì)稱性目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握?qǐng)A的軸對(duì)稱性和中心對(duì)稱性及其相關(guān)的性質(zhì)；2.理解在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并運(yùn)用它解決有關(guān)問題.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01圓的對(duì)稱性1.圓的對(duì)稱性圓的對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線。注意：①圓的對(duì)稱軸是直線，不能說直徑是它的對(duì)稱軸，而應(yīng)該說“直徑所在的直線”或“經(jīng)過圓心的直線”是它的對(duì)稱軸；②圓的對(duì)稱軸有無數(shù)條。2.圓是中心對(duì)稱圖形圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。實(shí)際上一個(gè)圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，都能與原來的圖形重合，這種性質(zhì)是圓的旋轉(zhuǎn)不變性，圓的中心對(duì)稱性是其旋轉(zhuǎn)不變性的特例。知識(shí)點(diǎn)02圓心角、弧、弦的關(guān)系1.圓心角角的頂點(diǎn)在圓心，角的兩邊與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這樣的角叫做圓心角。2.弦心距圓心到弦的距離（圓心到弦的垂線段的長）叫做弦心距。3.圓心角、弧、弦的關(guān)系：

（1）定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（2）推論在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．

注意：①一個(gè)角要是圓心角，必須具備頂點(diǎn)在圓心這一特征；

②注意關(guān)系中不能忽視“同圓或等圓”這一前提.

EQ\o\ac(○,3)實(shí)際上，在同圓或等圓中，相等的圓心角不但所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，而且所對(duì)弦的弦心距也相等。同理，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。能力拓展能力拓展考法01利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求解【典例1】如圖，是的直徑，點(diǎn)E在上，點(diǎn)D，C是的三等分點(diǎn)，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵點(diǎn)D，C是的三等分點(diǎn)，∴，∵，∴，∴；故選A．【即學(xué)即練】如圖，等腰三角形ABC的頂角，以腰AB為直徑作圓，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則弧DE的度數(shù)是（

）A．18° B．36° C．72° D．80°【答案】B【詳解】解：設(shè)圓心為，連接、，，，，，，，，，，，即弧的度數(shù)為，故選：B．考法02利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求證【典例2】如圖所示，A、B、C、D是⊙O上的點(diǎn)，，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，，，故A選項(xiàng)正確；，即，故B選項(xiàng)正確；，，故D選項(xiàng)正確；不能證明，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【即學(xué)即練】如圖，AB是⊙O的直徑，弦MN∥AB，分別過M，N作AB的垂線，垂足為C，D．以下結(jié)論：①AC＝BD；②；③若四邊形MCDN是正方形，則MN＝AB；④若M為的中點(diǎn)，則D為OB中點(diǎn)；所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④【答案】B【詳解】解：如圖所示，連接OM，ON，BN，∵M(jìn)C⊥AB，ND⊥AB，∴∠OCM=∠ODN=90°，∵M(jìn)N∥AB，∴∠CMN+∠MCD=180°，∴∠CMN=90°，∴四邊形CMND是矩形，

∴CM=DN，又∵OM=ON，∴Rt△OCM≌Rt△ODN（HL），∴OC=OD，∠COM=∠DON，∴OA-OC=OB-OD即AC=BD，，故①②正確；當(dāng)四邊形MCDN是正方形時(shí)，MC=CD，∵OC=OD，∴CM=2OC，∴，∴，故③錯(cuò)誤；若M是的中點(diǎn)，∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°，∵ON=OB，∴△ONB是等邊三角形，∵ND⊥OB，∴OD=BD，故④正確，故選B．

分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．如圖，是的直徑，已知，，那么的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵，，∴，∵，∴；故選C．2．如圖，在中，．若以點(diǎn)C為圓心，長為半徑的圓與交于點(diǎn)D，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖所示：連接CD，∵在中，即的度數(shù)是故選：B．3．在⊙O中，弦AB等于圓的半徑，則它所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為（）A．120° B．75° C．60° D．30°【答案】C【詳解】解：連接OA、OB，如圖，∵OA=OB=AB，∴OAB為等邊三角形，∴∠AOB=60°，即弦AB所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為60°．故選：C．4．下列說法中，正確的個(gè)數(shù)為（）（1）在同圓或等圓中，弦相等則所對(duì)的弧相等；（2）優(yōu)弧一定比劣弧長；（3）弧相等則所對(duì)的圓心角相等；（4）在同圓或等圓中，圓心角相等則所對(duì)的弦相等．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【詳解】解：（1）在同圓或等圓中，弦相等則所對(duì)的弧相等，故錯(cuò)誤，弦所對(duì)的弧有優(yōu)弧或劣弧，不一定相等．（2）優(yōu)弧一定比劣弧長，故錯(cuò)誤，條件是同圓或等圓中；（3）弧相等則所對(duì)的圓心角相等，故正確；（4）在同圓或等圓中，圓心角相等則所對(duì)的弦相等，故正確；故選：B．5．如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，則∠CED＝（）A．42° B．48° C．21° D．16°【答案】C【詳解】解：點(diǎn)A、B、C、D、E在上，，，，，故選：C．6．如圖，將命題“在同圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦也相等”改寫成“已知……求證……”的形式，下列正確的是（

）A．已知：在⊙O中，＝．求證：∠AOB＝∠COD，AD＝BC．B．已知：在⊙O中，＝．求證：∠AOB＝∠COD，AB＝CD．C．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求證：AD＝BC．D．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求證：AB＝CD．【答案】B【詳解】A．所對(duì)的圓心角應(yīng)為∠AOD，所對(duì)的圓心角應(yīng)為∠BOC，相等的圓心角應(yīng)為，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．所對(duì)的圓心角為∠AOB、所對(duì)的弦為AB，所對(duì)的圓心角為∠COD、所對(duì)的弦為CD，故B選項(xiàng)正確；C．由題意可知，已知條件只有一個(gè)弧相等，而求證的結(jié)論有兩個(gè)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．由題意可知，已知條件只有一個(gè)弧相等，而求證的結(jié)論有兩個(gè)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．7．已知上有兩點(diǎn)、，且圓心角，則劣弧的度數(shù)為_________．【答案】【詳解】解：如圖：∵，∴劣弧的度數(shù)為．故答案為：．8．弦AB把⊙O分成兩條弧，它們的度數(shù)的比是4：5，則這兩條弧的度數(shù)分別為__________．【答案】160°，200°【詳解】∵弦AB把⊙O分成度數(shù)比為4:5的兩條弧，整個(gè)圓周的度數(shù)為360°，∴劣弧的度數(shù)為360°×=160°，優(yōu)弧的度數(shù)為360°-160°=200°.即這兩條弧的度數(shù)分別為160,200.故答案為160°，200°.9．已知：如圖所示，A，B，C，D是⊙上的點(diǎn)，且，，求的度數(shù)．【答案】．【詳解】解：∵A，B，C，D是上的點(diǎn)，，∴，即，∴，∵，∴．10．如圖，已知AB、CD是⊙O的直徑，DF∥AB交⊙O于點(diǎn)F，BE∥DC交⊙O于點(diǎn)E.（1）求證：BE=DF；（2）寫出圖中4組不同的且相等的劣弧(不要求證明).【答案】（1）見解析；（2）答案不唯一，圖中相等的劣弧有：弧DF=弧BE，弧EC=弧FA，弧AC=弧BD，弧DA=弧BC．【詳解】(1)∵DF∥AB，BE∥DC，∴∠EBA=∠COA=∠CDF.∴弧ECA=弧CAF，∴弧BE=弧DF，∴BE=DF；(2)由（1）可得，弧DF=弧BE；∵弧ECA=弧CAF，∴弧EC=弧FA；∵，∴弧AC=弧BD；∵弧BE＋弧EC=弧AF＋弧DF；∴弧DA=弧BC．∴綜上所述，圖中相等的劣弧有：弧DF=弧BE，弧EC=弧FA，弧AC=弧BD，弧DA=弧BC．題組B能力提升練1．下列說法中，不正確的是（

）A．過圓心的弦是圓的直徑 B．等弧的長度一定相等C．周長相等的兩個(gè)圓是等圓 D．直徑是弦，半圓不是弧【答案】D【詳解】A.直徑是通過圓心且兩個(gè)端點(diǎn)都在圓上的線段，故正確B.能重合的弧叫等弧，長度相等，故正確C.周長相等的圓其半徑也相等，為等圓，故正確D.直徑是弦，半圓是弧，故錯(cuò)誤故選：D2．如圖，的弦、的延長線相交于點(diǎn)，，，的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，故選：B．3．在圓中，與半徑相等的弦所對(duì)的圓心角的度數(shù)為(

)A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【詳解】解：如圖，∵OA=OB=AB，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOB=60°．故選：C．4．在同圓中，若弧和弧都是劣弧，且弧弧，那么和的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法比較它們的大小【答案】C【詳解】解：如圖，作的中點(diǎn)，連接、，則，∵，∴，∴，在中，∵，∴，故選項(xiàng)C正確．故選：C5．如圖，A，B是上的點(diǎn)，，C是的中點(diǎn)，若的半徑為2，則四邊形ACBO的面積為（）A． B．2 C．4 D．【答案】D【詳解】解：連，如圖，是的中點(diǎn)，，，又，和都是等邊三角形，．故選：D．6．如圖，是弧所在圓的圓心．已知點(diǎn)B、C將弧AD三等分，那么下列四個(gè)選項(xiàng)中不正確的是（

）A． B． C． D．．【答案】B【詳解】解：連接AB、BC，OB，∵點(diǎn)B、C將弧AD三等分，∴，∴，故A選項(xiàng)正確；∵，∴AB=BC=CD，∵AB+BC>AC，∴AC<2CD，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵，∴，故C選項(xiàng)正確；∵，∴∠AOB=∠BOC=∠COD，∴，∴，故D選項(xiàng)正確；故選：B．7．如圖，在⊙O中，直徑，則弦AC所對(duì)圓周角為______．【答案】【詳解】解：如圖：連接，∵，∴，∴，故答案為：．8．如圖，在同圓中，若，則______．（“”“”或“”）【答案】【詳解】解：取的中點(diǎn)E，連接，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，故答案為：．9．如圖，已知是的直徑，弦．(1)求證：弧?。?2)若弧AC的度數(shù)為，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：連接，，，，，，，；（2）解：的度數(shù)是，，，，，．10．已知AB是⊙O的直徑．（1）如圖①，，∠MON＝35°，求∠AON的大??；（2）如圖②，E，F(xiàn)是⊙O上的兩個(gè)點(diǎn)，AD⊥EF于點(diǎn)D，若∠DAE＝20°，求∠BAF的大?。敬鸢浮浚?）75°；（2）20°【詳解】解：（1）∵，∠MON＝35°，∴∠MON＝∠MOC＝∠BOC＝35°，∴∠AON＝180°﹣∠MON﹣∠MOC﹣∠BOC＝180°﹣35°﹣35°﹣35°＝75°；（2）連接BF，∵AD⊥直線，∴∠ADE＝90°，∵∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝110°，∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴∠ABF＋∠AEF＝180°，∴∠ABF＝70°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝20°．題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖，是的直徑，若弧度數(shù)是，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖，連接，∵弧度數(shù)是，∴，∵，∴，即，∴．故選：C2．如圖，AB為的直徑，，，劣弧BC的長是劣弧BD長的2倍，則AC的長為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【詳解】如圖，連接，，是直角三角形，且是等邊三角形是直徑，故選D3．下列說法正確的個(gè)數(shù)有（）①半圓是??；②面積相等的兩個(gè)圓是等圓；③所對(duì)的弦長相等的兩條弧是等弧；④如果圓心角相等，那么它們所對(duì)的弦一定相等；⑤等弧所對(duì)的圓心角相等A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【詳解】解：①半圓是弧，正確；②面積相等的兩個(gè)圓，半徑相等，故是等圓，正確，③所對(duì)的弦長相等的兩條弧是等弧，錯(cuò)誤，可能一條是優(yōu)弧，一條是劣?、苋绻麍A心角相等，那么它們所對(duì)的弦一定相等，錯(cuò)誤，應(yīng)該同圓或等圓中．⑤等弧所對(duì)的圓心角相等，正確．故選：B．4．如圖，⊙是的外接圓，邊的垂直平分線與相交于D點(diǎn)，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，連接OA、OB、OC，∵，，∴，∴，，∵OD垂直平分邊，∴，∴，∴的度數(shù)為．故選：B．5．如圖，點(diǎn)C，D是劣弧上兩點(diǎn)，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，則所在圓的半徑長為（）A． B． C．2 D．【答案】D【詳解】解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，連接BC，如圖：則∵CD∥AB，∴∠ECD=∠CEA=90°，∵CD∥AB，∴∠ECD=∠CEA=90°，∴∠CEF=∠DCE=∠DFE=90°，∴四邊形CDFE是矩形，∴EF=CD=2,∴CD∥AB，∴∠ABC=∠BCD,∴,∴AC=BD,又∵CD∥AB，∴四邊形ABDC是等腰梯形，∵AB=6,CD=2,根據(jù)等腰梯形的對(duì)稱性可知：∴BE=BF+EF=2+2=4,在∴在，∴，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可知,在,∴，∵BO＞0，∴BO=，故選：D．6．如圖，AB是半圓O的直徑，小宇按以下步驟作圖：（1）分別以A、B為圓心，大于AO長為半徑作弧，兩弧交于P點(diǎn)，連接OP與半圓交于C點(diǎn)；（2）分別以A、C為圓心，大于AC長為半徑作弧，兩弧交于Q點(diǎn)，連接OQ與半圓交于D點(diǎn)；（3）連接AD、BD、BC，BD與OC交于E點(diǎn)．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下輪結(jié)論：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE．所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】D【詳解】由（1）可知，OP垂直平分AB，由（2）可知，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴，∴BD平分∠ABC，故①正確；連接DC，AC，∵OD垂直平分AC，∴，又∵，，∴，∴，又∵，∴，∴BC∥OD，故②正確；∴，，∴，∴，設(shè)，則，，∴，∴CE＝OE，故③正確；故選D．7．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，AB為的直徑，C為弧BD的中點(diǎn)，若∠DAB=50°，則∠ADC=______°．【答案】115【詳解】解：連接，如下圖：∵AB為的直徑∴∵四邊形ABCD內(nèi)接于∴∴∵點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，∴∴∴故答案為：8．如圖，AB是⊙O的直徑，弦，分別過M、N作AB的垂線，垂足為C、D，以下結(jié)論①AC＝BD；②AM＝BN；③若四邊形MCDN是正方形，則MN＝AB；④若M為弧AN的中點(diǎn)，則D為OB中點(diǎn)．所有正確結(jié)論的序號(hào)是___．【答案】①②④【詳解】解：連接OM、ON，AM如圖，∵M(jìn)C⊥AB、ND⊥AB，∴∠OCM=∠ODN=90°，∵，∴∠CMN+∠MCD=180°，∴∠CMN=90°，∴四邊形CMND是矩形，∴CM=DN，在Rt△OMC和Rt△OND中，，∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），∴OC=OD，∠COM=∠DON，∴，故②正確，∵OA=OB，OC=OD，∴AC=BD，故①正確，當(dāng)四邊形MCDN是正方形時(shí)，CM=2OC，∴OM=OC，∴AB=2OM=OC=MN，故③錯(cuò)誤，若M是的中點(diǎn)，連接BN，而∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°，∵ON=OB，∴△ONB是等邊三角形，∵ND⊥OB，∴OD=DB，故④正確．故答案為：①②④．9．如圖，，，，在⊙O上，連接，相交于點(diǎn)．（1）如圖1