四川省德陽(yáng)市什邡中學(xué)2023-2024學(xué)年高二平實(shí)班上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

四川省什邡中學(xué)高2022級(jí)平實(shí)班第三學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】由，得，則，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限．故選：A．2.在△ABC中，，，，則（）A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意利用余弦定理直接求解即可.【詳解】因?yàn)椤鰽BC中，，，，所以由余弦定理知，，即，化簡(jiǎn)整理得，解得或（舍去）.故選：C3.已知點(diǎn)和點(diǎn)，則以線(xiàn)段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求圓心與半徑可得標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)為直徑端點(diǎn)，所以中點(diǎn)，即為圓心，由，則圓的半徑，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.4.國(guó)家射擊運(yùn)動(dòng)員甲在某次訓(xùn)練中10次射擊成績(jī)單位：環(huán)，6，9，7，4，8，9，10，7，5，則這組數(shù)據(jù)第70百分位數(shù)為（）A.7 B.8 C. D.9【答案】C【解析】【分析】由百分位數(shù)的概念和計(jì)算公式可直接求解.【詳解】將10次射擊成績(jī)按照從小到大順序排序?yàn)椋?，5，6，7，7，7，8，9，9，10，因?yàn)?，所以?0百分位數(shù)為，故選：.5.若，，直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直，則ab的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)兩直線(xiàn)垂直得到a和b之間的關(guān)系：；再利用基本不等式即可求出ab的最大值.【詳解】由直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直，所以，即.又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以ab的最大值為．故選：C．6.過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F，若△ABF的面積為，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得四邊形為矩形，設(shè)，，根據(jù)雙曲線(xiàn)定義和△ABF的面積可得，故可求的值.【詳解】如圖，因?yàn)橐訟B為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F，所以AB為直徑的圓的方程為，圓也過(guò)左焦點(diǎn)，所以AB與相等且平分，所以四邊形為矩形，所以．設(shè)，，則，所以．因?yàn)椋裕驗(yàn)椤鰽BF的面積為，所以，得，所以，得，所以，所以，得，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為．故選：D．7.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是橢圓E：上位于x軸上方的點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn).延長(zhǎng)PO，PF交橢圓E于Q，R兩點(diǎn)，，，則橢圓E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，及，得四邊形為矩形，設(shè)，利用橢圓的定義，及條件所給出的長(zhǎng)度關(guān)系，可表示出，，，利用勾股定理，求出m，推斷出點(diǎn)P的位置，求出離心率.【詳解】如圖，設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，，，由題，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以四邊形為平行四邊形，又因?yàn)?，所以四邊形為矩?設(shè)，則，又因?yàn)?，則，，，在中，，即，解得或（舍去），故點(diǎn)P為橢圓的上頂點(diǎn).由，所以，即，所以離心率.故選：B.【點(diǎn)睛】解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合，抓住橢圓的對(duì)稱(chēng)性，將圖形關(guān)系用含a，b，c的代數(shù)式表示出來(lái)，即可求解離心率.8.在矩形中，，將沿對(duì)角線(xiàn)翻折至的位置，使得平面平面，則在三棱錐的外接球中，以為直徑的截面到球心的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如圖，取的中點(diǎn)為，連接，過(guò)作，垂足為，連接，可證為三棱錐的外接球的球心，利用解直角三角形可求，據(jù)此可求球心到以為直徑的截面的距離.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)為，連接，過(guò)作，垂足為，連接.因三角形為直角三角形，故，同理，故，所以為三棱錐的外接球的球心，而，因?yàn)椋矫?，平面平面，平面平面，故平面，而平面，?在直角三角形中，，故，故，在直角三角形中，，故，故.設(shè)球心到以為直徑的截面的距離為，則，故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：三棱錐外接球的球心，可根據(jù)球心的定義來(lái)判斷（即球心到各頂點(diǎn)的距離相等），而球面截面圓的半徑、球心到截面的距離、球的半徑可構(gòu)成直角三角形.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9.圓和圓的交點(diǎn)為，，則有（）A.公共弦所在直線(xiàn)方程為B.線(xiàn)段中垂線(xiàn)方程為C.公共弦的長(zhǎng)為D.為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則到直線(xiàn)距離的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】?jī)蓤A方程作差后可得公共弦方程，從而可判斷A；求出垂直平分線(xiàn)的方程判斷B；利用垂徑定理計(jì)算弦長(zhǎng)判斷C；求出圓到直線(xiàn)的距離的最大值判斷D．【詳解】圓的圓心，半徑，的圓心，半徑，顯然，即圓與圓相交，對(duì)于A，將方程與相減，得公共弦AB所在直線(xiàn)的方程為，即，A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，直線(xiàn)的斜率，則線(xiàn)段AB中垂線(xiàn)的斜率為，而線(xiàn)段中垂線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，于是線(xiàn)段AB中垂線(xiàn)方程為，即，B正確；對(duì)于C，點(diǎn)到直線(xiàn)距離為，因此，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓心到直線(xiàn)的距離為，因此點(diǎn)P到直線(xiàn)AB距離的最大值為，D正確．故選：ABD10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)在的值域?yàn)镈.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位【答案】ACD【解析】【分析】先由圖象信息求出表達(dá)式，從而即可判斷A；注意到是的對(duì)稱(chēng)中心當(dāng)且僅當(dāng)，由此即可判斷B；直接由換元法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求值域?qū)Ρ燃纯膳袛郈；直接按題述方式平移函數(shù)圖象，求出新的函數(shù)解析式，對(duì)比即可判斷.【詳解】如圖所示：由圖可知，又，所以，所以，又函數(shù)圖象最高點(diǎn)為，所以，即，所以，解得，由題意，所以只能，故A選項(xiàng)正確；由A選項(xiàng)分析可知，而是的對(duì)稱(chēng)中心當(dāng)且僅當(dāng)，但，從而函數(shù)的圖象不關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在值域?yàn)椋蔆選項(xiàng)正確；若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，則得到的新的函數(shù)解析式為，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.11.如圖，在四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，為的中點(diǎn)，，則（）A.平面 B.平面平面C.三棱錐的體積為 D.異面直線(xiàn)和所成的角的余弦值為【答案】ABD【解析】【分析】A項(xiàng)，通過(guò)證明線(xiàn)線(xiàn)平行即可得出結(jié)論；B項(xiàng)，通過(guò)證明平面，即可得出結(jié)論；C項(xiàng)，通過(guò)等積法即可求出三棱錐的體積；D項(xiàng)，將異面直線(xiàn)和所成的角轉(zhuǎn)化為同一個(gè)平面上兩條直線(xiàn)的夾角，即可求出異面直線(xiàn)和所成的角的余弦值.【詳解】由題意，在四棱錐中，連接交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，在中，為中點(diǎn)，∴∥,∴異面直線(xiàn)和所成的角即為（或其補(bǔ)角），∵面，平面，∴平面，A正確；在四棱錐中，平面，又，∴，∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面，B正確；在中，，，∴∥，，∴是等腰直角三角形，，∵平面，∴平面平面，∵平面平面，平面，∴平面.∵為的中點(diǎn)，∴三棱錐的體積為：，C錯(cuò)誤；在Rt中，，∴，在Rt中，，在Rt中，為的中點(diǎn)，∴，在Rt中，，D正確.故選：ABD.12.已知雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，P是C上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.C的漸近線(xiàn)方程為B.若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C有交點(diǎn)，則C.點(diǎn)P到C的兩條漸近線(xiàn)的距離之積為D.當(dāng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合時(shí)，直線(xiàn)PA，PB的斜率之積為2【答案】AC【解析】【分析】由雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程可判斷A，通過(guò)對(duì)比直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)斜率之間的關(guān)系可求解B，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可求C，PA，PB的斜率相乘后，結(jié)合雙曲線(xiàn)方程化簡(jiǎn)可得定值，則D可判斷.【詳解】雙曲線(xiàn)，則，對(duì)于A，C的漸近線(xiàn)方程為，A正確；對(duì)于B，由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為可知，若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C有交點(diǎn)，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)，則，點(diǎn)P到C的兩條漸近線(xiàn)的距離之積為，C正確；對(duì)于D，易得，，設(shè)，則，所以直線(xiàn)PA，PB的斜率之積為，D錯(cuò)誤．故選：AC.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，則__________．【答案】##【解析】【分析】首先求的值，再用表示齊次分式，即可求解.【詳解】，.故答案為：14.已知，，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與線(xiàn)段相交，那么直線(xiàn)的斜率的取值范圍是__________________【答案】【解析】【分析】畫(huà)出圖形，由題意得所求直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足或，用直線(xiàn)的斜率公式求出和的值，解不等式求出直線(xiàn)的斜率的取值范圍．【詳解】如圖所示：由題意得，所求直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足或，即，或，或，故答案為：．15.已知命題：，使得，若是真命題，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】分離變量可得，結(jié)合能成立的思想和二次函數(shù)最值的求法可求得結(jié)果.【詳解】由得：；，使得，；為開(kāi)口方向向上，對(duì)稱(chēng)軸為的拋物線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，，的取值范圍為.故答案為：.16.已知為單位向量，若，則的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由題設(shè)以為x、y軸構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，，令結(jié)合已知有，又，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到上點(diǎn)距離的范圍，即可得結(jié)果.【詳解】由為單位向量，且，故，以為x、y軸構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，如下圖示，則，令，則，又，所以，即，故的終點(diǎn)在圓心為，半徑為1的圓上，而，故，所以，只需確定點(diǎn)到上點(diǎn)距離的范圍即可，而到的距離為，故，則.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題化為求定點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的范圍，進(jìn)而求目標(biāo)式的范圍.四、解答題（共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知向量與的夾角為60°，＝1，．（1）求及；（2）求.【答案】（1）2，1；（2）.【解析】【分析】（1）利用模長(zhǎng)坐標(biāo)公式求，再由數(shù)量積的定義求；（2）應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求即可.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，則【小問(wèn)2詳解】由，所以.18.夜幕降臨，華燈初上，豐富多元的夜間經(jīng)濟(jì)，通過(guò)夜間商業(yè)和市場(chǎng)，更好滿(mǎn)足了民眾個(gè)性化、多元化、便利化的消費(fèi)需求，豐富了購(gòu)物體驗(yàn)和休閑業(yè)態(tài)．打造夜間經(jīng)濟(jì)，也是打造城市品牌、促進(jìn)產(chǎn)業(yè)融合、推動(dòng)消費(fèi)升級(jí)的新引擎．為不斷創(chuàng)優(yōu)夜間經(jīng)濟(jì)發(fā)展環(huán)境，近朋，某市商務(wù)局對(duì)某熱門(mén)夜市開(kāi)展“服務(wù)滿(mǎn)意度大調(diào)查”，隨機(jī)邀請(qǐng)了100名游客填寫(xiě)調(diào)查問(wèn)卷，對(duì)夜市服務(wù)評(píng)分，并繪制如下頻率分布直方圖，其中為非常不滿(mǎn)意，為不滿(mǎn)意，為一般，為基本滿(mǎn)意，為非常滿(mǎn)意，為完美．（1）求的值及估計(jì)分位數(shù)：（2）調(diào)查人員為了解游客對(duì)夜市服務(wù)的具體意見(jiàn)，對(duì)評(píng)分不足60分的調(diào)查問(wèn)卷抽取2份進(jìn)行細(xì)致分析，求恰好為非常不滿(mǎn)意和不滿(mǎn)意各一份的概率．【答案】18.；分位數(shù)為.19.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1，求出；判斷出分位數(shù)所在區(qū)間，再設(shè)出分位數(shù)，列出方程即可求解；（2）列舉出基本事件的所有樣本點(diǎn)即所求事件樣本點(diǎn)，按古典概型即可求解.【小問(wèn)1詳解】由，解得；由低于90分的頻率為，則分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)樣板數(shù)據(jù)的分位數(shù)約為分，則，解得,即分位數(shù)為.【小問(wèn)2詳解】非常不滿(mǎn)意的游客有人，設(shè)編號(hào)為,不滿(mǎn)意的游客有人，設(shè)編號(hào)為，則基本事件的總數(shù)有：工15種，事件“恰好為非常不滿(mǎn)意和不滿(mǎn)意各一份”有：工8種，故.19.已知圓：，直線(xiàn)：，與圓相交于，兩點(diǎn)，．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求過(guò)點(diǎn)并與圓相切的直線(xiàn)方程．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的半徑以及直線(xiàn)與圓相交所得的弦長(zhǎng)求解出圓心到直線(xiàn)的距離，由此列出關(guān)于的方程即可求解出結(jié)果；（2）分別考慮直線(xiàn)的斜率存在與不存在兩種情況，直線(xiàn)斜率不存在時(shí)直接求解，直線(xiàn)斜率存在時(shí)利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閳A的半徑，，所以圓心到直線(xiàn)的距離，所以，所以，所以或.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為，圓心到的距離為，所以與圓相切；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，即，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以，所以，所以直線(xiàn)方程為，所以過(guò)點(diǎn)并與圓相切的直線(xiàn)方程為或.20.已知向量．（1）若，求的值；（2）記，在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c．且滿(mǎn)足，求函數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）通過(guò)向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，結(jié)合二倍角公式轉(zhuǎn)化求解即可；（2）利用正弦定理，結(jié)合三角形的內(nèi)角和通過(guò)的范圍，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)值的范圍即可．【詳解】解：（1）所以；（2），由正弦定理得，，．，．，，，．．又，．故函數(shù)的取值范圍是．21.如圖，平面，.（1）求證：平面；（2）若二面角的余弦值為，求直線(xiàn)與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）兩種方法，一是通過(guò)題意，得到平面的法向量，然后結(jié)合，通過(guò)計(jì)算可得，從而得到平面；二是通過(guò)證明、，得到平面平面，進(jìn)而推出平面；（2）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出平面和平面的法向量，并結(jié)合題意條件，求解出的長(zhǎng)，然后根據(jù)平面，求解出，即可.【小問(wèn)1詳解】依題意，可以建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），