三角超越函數(shù)的命題方向

三角超越函數(shù)的命題方向含有三角函數(shù)的超越函數(shù)是課標高考命題的重要模型函數(shù),針為三角函數(shù)的豐富性質(zhì),研究含有三角函數(shù)的超越函數(shù)的高考命題方向是十分必要且有價值的.[母題結構]:含有三角函數(shù)的超越函數(shù)的高考命題方向有:包裝復合、基本性質(zhì)、不等研究和數(shù)列問題,其中,數(shù)列問題歸屬到下一個母題中.[母題解析]:略.1.包裝復合子題類型Ⅰ:(2015年安徽高考試題)設函數(shù)f(x)=x2-ax+b.(Ⅰ)討論函數(shù)f(sinx)在(-,)內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出最值;(Ⅱ)記f0(x)=x2-a0x+b0,求函數(shù)|f(sinx)-f0(sinx)|在[-,]上的最大值D;(Ⅲ)在(Ⅱ)中,取a0=b0=0,求z=b-滿足條件D≤1時的最大值.[解析]:(Ⅰ)設t=sinx,則t=sinx在(-,)上遞增,f(t)=t2-at+b(-1<t<1);①當a≥2時,f(t)在(-1,1)上遞減f(sinx)在(-,)內(nèi)遞減,無極值;②當a≤-2時,f(t)在(-1,1)上遞增f(sinx)在(-,)內(nèi)遞增,無極值;③當-2<a<2時,在(-,)內(nèi)存在唯一的x0,使得sinx0=,且f(t)在(-1,)上遞減,在(,1)上遞增f(sinx)在(-,x0)上遞減,在(x0,)上遞增f(sinx)有極小值=f()=b-,無極大值;(Ⅱ)當-≤x≤時,|f(sinx)-f0(sinx)|=|(a-a0)sinx-(b-b0)|≤|(a-a0)sinx|+|b-b0|≤|a-a0|+|b-b0|;當(a-a0)(b-b0)≥0時,取x=-,等號成立;當(a-a0)(b-b0)<0時,取x=-,等號成立D=|a-a0|+|b-b0|;(Ⅲ)當a0=b0=0時,由D≤1|a|+|b|≤1|b|≤1b≤1z=b-≤b≤1,且當a=0,b=1時,z=1z的最大值為1.[點評]:三角函數(shù)具有豐富的性質(zhì),如單調(diào)性、有界性和對稱性等;利用三角函數(shù)的性質(zhì),或包裝,或復合出常規(guī)函數(shù),或常規(guī)函數(shù)的性質(zhì),是高考命題方向之一.[同類試題]:1.(2007年安徽高考試題)設函數(shù)f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4,x∈R,其中|t|≤1,f(x)的最小值記為g(t).(Ⅰ)求g(t)的表達式;(Ⅱ)討論g(t)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的單調(diào)性并求極值.2.(2007年遼寧高考試題)已知函數(shù)f(x)=x3-9x2cosα+48xcosβ+18sin2α,g(x)=(x),且對任意的實數(shù)t均有g(1+e-|t|)≥0,g(3+sint)≤0.(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;(Ⅱ)若對任意的m∈[-26,6],恒有f(x)≥x3-mx-11,求x的取值范圍.2.基本性質(zhì)子題類型Ⅱ:(2017年北京高考試題)已知函數(shù)f(x)=excosx-x.(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,]上的最大值和最小值.[解析]:(Ⅰ)由f(x)=excosx-xf(0)-1,(x)=ex(cosx-sinx)-1(0)=0切線方程:y=1;(Ⅱ)由(x)=ex(cosx-sinx)-1(x)=-2exsinx當x∈[0,]時,(x)<0(x)在[0,]上遞減當x∈[0,]時,(x)≤(0)=0f(x)在[0,]上遞減fmax(x)=f(0)=1;fmin(x)=f()=-.[點評]:由于正弦與余弦三角函數(shù)的導函數(shù)不僅具有周期性,而且它們之間還具有“對偶性”,因此,利用導數(shù)研究含有三角函數(shù)的超越函數(shù),往往需要二次求導,并注意利用三角函數(shù)的基本性質(zhì).[同類試題]:3.(2017年山東高考理科試題)已知函數(shù)f(x)=x2+2cosx,g(x)=ex(cosx-sinx+2x-2),其中e≈2.17828…是自然對數(shù)的底數(shù).(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(π,f(π))處的切線方程;(Ⅱ)令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),討論h(x)的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值.4.(2012年福建高考試題)已知函數(shù)f(x)=axsinx-(a∈R),且在[0,]上的最大值為.(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;(Ⅱ)判斷函數(shù)f(x)在(0,π)內(nèi)的零點個數(shù),并加以證明.3.不等研究子題類型Ⅲ:(2013年遼寧高考理科試題)已知函數(shù)f(x)=(1+x)e-2x,g(x)=ax++1+2xcosx.當x∈[0,1]時,(Ⅰ)求證:1-x≤f(x)≤;(Ⅱ)若f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.[解析]:(Ⅰ)當x∈[0,1]時,由1-x≤f(x)1-x≤(1+x)e-2x(1+x)e-x≥(1-x)ex;令h(t)=(1-t)et,t∈[-1,1],則(t)=-tet;①當t∈[0,1]時,(t)≤0h(x)≤h(0)=1;②當t∈[-1,0]時,(t)≥0h(-x)=h(t)≥h(0)=1h(-x)≥h(x)(1+x)e-x≥(1-x)ex1-x≤f(x);又由f(x)≤(1+x)e-2x≤(1+x)2≤e2xex≥x+1成立;(Ⅱ)設T(x)=f(x)-g(x),則T(0)=0,所以,由T(x)≥0(0)≥0a≤-3;當a≤-3時,T(x)=f(x)-g(x)≥1-x-g(x)=-x(a+1++2cosx);令m(x)=a+1++2cosx,則(x)=x-2sinx(x)=1-2cosx<0(x∈[0,1])(x)≤(0)=0m(x)≤m(0)=a+3≤0f(x)≥g(x).綜上,實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-3].[點評]:對關于含有三角函數(shù)的超越函數(shù)的不等式問題,應掌握如下常見的不等式:當x≥0時,sinx≤x;當x≤0時,sinx≥x;當x∈[0,]時,x≤sinx≤x.[同類試題]:5.(2014年北京高考試題)已知函數(shù)f(x)=xcosx-sinx,x∈[0,].(Ⅰ)求證:f(x)≤0;(Ⅱ)若a<<b在(0,)上恒成立,求a的最大值與b的最小值.6.(2012年全國高考試題)設函數(shù)f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)設f(x)≤1+sinx,求a的取值范圍.4.子題系列:7.(2014年江蘇高考試題)已知函數(shù)f0(x)=(x>0),設fn(x)為fn-1(x)的導數(shù),n∈N*.(Ⅰ)求2f1()+f2()的值;(Ⅱ)證明:對任意的n∈N*,等式|nfn-1()+fn()|=成立.8.(2017年山東高考文科試題)已知函數(shù)f(x)=x3-ax2,a∈R.(Ⅰ)當a=2時,求曲線y=f(x)在點(3,f(3))處的切線方程;(Ⅱ)設函數(shù)g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,討論g(x)的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值.9.(2008年全國Ⅱ高考試題)設函數(shù)f(x)=.(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)如果對任何x≥0,都有f(x)≤ax,求a的取值范圍.10.(2013年遼寧高考文科試題)(Ⅰ)證明:當x∈[0,1]時,x≤sinx≤x;(Ⅱ)若不等式ax+x2++2(x+2)cosx≤4對x∈[0,1]恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.5.子題詳解:1.解:(Ⅰ)由f(x)=(sinx-t)2+4t3-3t+3≥4t3-3t+3,且當sinx=t時,等號成立g(t)=4t3-3t+3;(Ⅱ)由(t)=12(t+)(t-)g(t)在(-1,-)和(,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(-,)內(nèi)單調(diào)遞減;g(t)的極小值=g()=2,極大值=g(-)=4.2.解:(Ⅰ)由g(x)=(x)=3x2-18xcosα+48cosβ,g(1+e-|t|)≥0,g(3+sint)≤0g(2)=01-3cosα+4cosβ=0,又g(4)≤02-3cosα+2cosβ≤01-cosα≤0cosα=12cosβ=1f(x)=x3-9x2+24x;(Ⅱ)由f(x)≥x2-mx-11xm-9x2+24x+11≥0-26x-9x2+24x+11≥0,且6x-9x2+24x+11≥0--≤x≤1.3.解:(Ⅰ)由(x)=2x-2sinx(π)=2π切線方程:y=2πx-π2-2;(Ⅱ)由(x)=2(ex-a)(x-sinx);①當a≤0時,h(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增h(x)的極小值=h(0)=-2a-1;②當0<a<1時,h(x)在(-∞,lna),(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(lna,0)上單調(diào)遞減h(x)的極大值=h(lna),h(x)的極小值=h(0);③當a=1時,h(x)在R上單調(diào)遞增;④當a>1時,h(x)在(-∞,0),(lna,+∞)上遞增,在(0,lna)上遞減h(x)的極大值=h(0),h(x)的極小值=h(lna).4.解:(Ⅰ)由f(x)在[0,]上的最大值為f()≤a≤1;當a<1時,f(x)=axsinx-≤ax-≤a-<,矛盾a=1f(x)=xsinx-;(Ⅱ)由(x)=sinx+xcosx當x∈(0,]時,(x)>0f(x)在(0,]上單調(diào)遞增;當x∈(,π)時,由(x)=2cosx-xsinx<0(x)在(,π)上單調(diào)遞減;又()=1>0,(π)=-π<0(x)在(,π)上有唯一零點x0f(x)在(0,x0]上單調(diào)遞增,在(x0,π)上單調(diào)遞減f(x0)>f()=>0,由f(0)=f(π)=-<0f(x)的零點個數(shù)=2.5.解:(Ⅰ)由f(x)=xcosx-sinx(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx<0f(x)在[0,]內(nèi)單調(diào)遞減f(x)≤f(0)=0;(Ⅱ)當x∈(0,)時,f(x)的值域為(,1)a的最大值=,b的最小值=1.6.解:(Ⅰ)略;(Ⅱ)由f(x)≤1+sinxf(π)≤1aπ-1≤1a≤;當x∈[0,]時,由y=sinx與y=x的圖像知,x≤sinx;①當x∈[0,]時,f(x)=ax+cosx≤x+cosx≤sinx+1;②當x∈[,π]時,f(x)=ax+cosx≤x+cosx=1+(x-)-sin(x-)≤1+sin(x-)-sin(x-)=1≤1+sinx.綜上,a的取值范圍是(-∞,].7.解:由f0(x)=f1(x)=0(x)=-f2(x)=1(x)=--+2f1()+f2()=-1;(Ⅱ)由f0(x)=xf0(x)=sinx,等式兩邊分別對x求導得:f0(x)+x0(x)=cosxf0(x)+xf1(x)=cos(x+)2f1(x)+xf2(x)=sin(x+2);下面用數(shù)學歸納法證明等式:nfn-1(x)+xfn(x)=sin(x+);①當n=1時,由上可知等式成立;②假設當n=k時等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sin(x+),等式兩邊分別對x求導得:(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=cos(x+)=sin[x+]當n=k+1時,等式也成立.綜合①②可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin(x+)對所有的n∈N*都成立;令x=得:nfn-1()+xfn()=sin(+)|nfn-1()+fn()|=.8.解:(Ⅰ)由(x)=x2-2x切線方程:3x-y-9=0;(Ⅱ)由(x)=(x-a)(x-sinx);①當a=0時,g(x)在R上遞增;②當a>0時,g(x)在(-∞,0),(a,+∞)上遞增,在(0,a)上遞減g(x)的極大值=g(0)=-a,g(x)的極小值=g(a)=-a3-sina;③當a<0時,g(x)在(-∞,a),(0,+∞)上遞增,在(a,0)上遞減g(x)的極大值=g(a)=-a3-sina,g(x)的極小值=g(0)=-a;9.解:(Ⅰ)f(x)在[2kπ-,2kπ+](k∈Z)內(nèi)單調(diào)遞增,f(x)在[2kπ+,2kπ+](k∈Z)內(nèi)單調(diào)遞減;(Ⅱ)令g(x)=ax-f(x),則g(0)=0,當x≥0時,恒有g(x)≥0(0)≥0a≥;當a≥時,令2+cosx=t≥1,則==-≤(x)≥0g(x)≥g(0)=0f(x)≤ax.綜上,a∈[,+∞).10.解:(Ⅰ)當x=0時,不等式成立;當x∈(0,1]時,由f(x)單調(diào)遞減<f()<f(1)≤f(x)<1x<sinx<x;(Ⅱ)當x∈[0,1]時,ax+x2++2(x+2)cosx-4=(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2≤(a+2)x+x2+-4(x+2)(x)2=(a+2)x,所以,當a≤-2時,不等式ax+x2++2(x+2)cosx≤4對x∈[0,1