對弧長的曲線積分

第十一章積分學(xué)定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間域平面域空間域曲線積分曲線域曲面域曲線積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分1精選課件第一節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對弧長的曲線積分的計算法對弧長的曲線積分

第十一章2精選課件一、問題的提出假設(shè)曲線形細長構(gòu)件在平面所占實例:曲線形構(gòu)件的質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量分割求和取極限近似值精確值其線密度為弧段為

,3精選課件二、對弧長的曲線積分的概念1.定義4精選課件被積函數(shù)積分弧段積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量5精選課件注意：1.被積函數(shù)可代入曲線弧方程6精選課件2.存在條件：4.推廣3.物理意義：曲線形構(gòu)件的質(zhì)量7精選課件5.性質(zhì)(l為曲線弧

L

的長度)8精選課件性質(zhì)５特殊地那么有若在上9精選課件三、對弧長曲線積分的計算定理10精選課件注意:特殊情形(1)如果方程為極坐標(biāo)形式:那么11精選課件12精選課件推廣:13精選課件例1解(1)L是由(0,0)點到(2,0)點間的直線段.(2)L是上由(2,0)點到(2,3)點間的直線段.(3)L是的上半圓周.(4)L是連接由(1,0)點到(0,1)點間的直線段.14精選課件15精選課件例解16精選課件例2.計算其中(1)L是拋物線與點

B(1,1)之間的一段弧

.解:上點

O(0,0)(2)L是折線OAB,其中A(1,0),B(1,1),O(0,0)

.17精選課件說明:積分路徑起點與終點相同,但積分路徑不同,積分值不一定相等.18精選課件例3解19精選課件例4解由對稱性,知20精選課件思考:例4中

改為計算解:

令,那么圓

的形心在原點,故,如何21精選課件例5.計算其中為球面解:化為參數(shù)方程那么22精選課件例6.計算其中L為雙紐線解:

在極坐標(biāo)系下它在第一象限局部為利用對稱性,得23精選課件補充：利用對稱性化簡第一類曲線積分計算使用對稱性時應(yīng)注意：１.積分曲線關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱性；２.被積函數(shù)在積分曲線上關(guān)于另外坐標(biāo)軸的奇偶性．24精選課件

例.計算其中L為右半單位圓解:其中L1為L在第一象限的局部25精選課件四、幾何與物理意義26精選課件27精選課件例7.計算半徑為R,中心角為的圓弧L

對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I(設(shè)線密度

=1).解:

建立坐標(biāo)系如圖,那么28精選課件例8.有一半圓弧其線密度解:故所求引力為求它對原點處單位質(zhì)量質(zhì)點的引力.29精選課件1.定義2.性質(zhì)(l

曲線弧L

的長度)五、小結(jié)30精選課件3.計算?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧31精選課件思考題對弧長的曲線積分的定義中的符號可能為負(fù)嗎？解答的符號永遠為正，它表示弧段的長度.32精選課件思考與練習(xí)1.橢圓周長為a,求提示:原式=利用對稱性分析:33精選課件2.

設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為(1)求它關(guān)于z

軸的轉(zhuǎn)動慣量(2)求它的質(zhì)心.解:

設(shè)其密度為

ρ(常數(shù)).(2)L的質(zhì)量而(1)34精選課件故重心坐標(biāo)為35精選課件3.計算曲線積分

其中

為螺旋的一段弧.解:

線36精選課件練習(xí)題37精選課件38精選課件練習(xí)題答案39精選課件備用題1.

設(shè)

C

是由極坐標(biāo)系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求