橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程3

第二章圓錐曲線與方程普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書

-------人教A版數(shù)學(xué)選修2-12.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(第一課時(shí))在我們實(shí)際生活中，同學(xué)們見過橢圓嗎？能舉出一些實(shí)例嗎？想一想1.問題情境2003年10月15日是全中國人感到驕傲和自豪的日子：這一天在中國發(fā)生了什么震驚世人的事件？中國人終于實(shí)現(xiàn)了什么夢想?生活中的橢圓生活中的橢圓

如何精確地設(shè)計(jì)、制作、建造出現(xiàn)實(shí)生活中這些橢圓形的物件呢？思考1：生活中處處有橢圓，我們?nèi)绾斡米约旱碾p手畫橢圓呢？先來回憶如何畫圓？[1]取一條細(xì)繩，無彈性。[2]把它的兩端固定在板上的兩點(diǎn)F1、F2[3]用粉筆尖（M）把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移動(dòng)看看畫出的圖形請(qǐng)同學(xué)們觀察，并思考下面兩個(gè)問題：(1)動(dòng)點(diǎn)（移動(dòng)的粉筆尖）運(yùn)動(dòng)出的軌跡是什么？(2)動(dòng)點(diǎn)滿足怎樣的幾何條件？M數(shù)學(xué)活動(dòng)思考2：如何定義橢圓？圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓M結(jié)合實(shí)驗(yàn)以及“圓的定義”,思考討論一下應(yīng)該如何定義橢圓？它應(yīng)該包含幾個(gè)要素？（1）在平面內(nèi)（2）到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離等于定長2a（3）定長2a﹥|F1F2|F1F2P思考3：在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點(diǎn)距離大小有怎樣的關(guān)系？1、改變兩圖釘?shù)木嚯x，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？動(dòng)點(diǎn)P的軌跡：線段F1F2.

PF1F2動(dòng)點(diǎn)M的軌跡：不存在.

2、繩長能小于圖釘間距離嗎？平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距．1.橢圓的定義F1F2M集合表示：思考3:如何推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?步驟一：建立直角坐標(biāo)系,設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)步驟二：找關(guān)系式步驟三：列方程步驟四：化簡方程步驟五：驗(yàn)證求曲線方程的一般步驟:探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案？OxyF1F2P(-c,0)(c,0)xOF1F2P(0,-c)(0,c)yOxyF1F2POxyOxy解：以經(jīng)過橢圓焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系xoy。設(shè)M（x，y）是橢圓上的任一點(diǎn)，則橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(-c,0)和F2(c,0)，點(diǎn)M與兩焦點(diǎn)的距離之和為常數(shù)2a。（a>c）

2a故由橢圓的定義得2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程由兩點(diǎn)間的距離公式，可知：XYOF1F2(c,0)M(-c,0)(x,y)即：兩邊平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因2a>2c，即a>c，故a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式,可得：yMxoF1F2(-c,0)(c,0)(x,y)兩邊同時(shí)除以a2(a2-c2)得：這就是所求橢圓的軌跡方程，它表示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2．3.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程分析我們把方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2－b2．思考4:如果橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)是F1(o,-c)、F2(0,c).這里c2=a2-b2．方程是怎樣呢？yMxoF1F2(-c,0)(c,0)(x,y)由兩點(diǎn)間的距離公式，可知：xy設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則有F1(0,-c)，F(xiàn)2(0,c)，又由橢圓的定義可得：

|MF1|+|MF2|=2ayMxy只須將(1)方程的x、y互換即可得到這個(gè)也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

xOXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0,c)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1（3）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。（4）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)a、b、c的值。（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上。MOxyF1F2MO標(biāo)準(zhǔn)方程中，分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上標(biāo)準(zhǔn)方程相同點(diǎn)焦點(diǎn)位置的判斷不同點(diǎn)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)a、b、c的關(guān)系焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上xyF1F2課堂練習(xí)1、口答

5346322、求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，及橢圓上任一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和.3、如圖，求滿足下列條件的橢圓的方程XYOF1F2(c,0)M(-c,0)(x,y)4、填空：(1)已知橢圓的方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：____________焦距等于______;若CD為過左焦點(diǎn)F1的弦，則?F2CD的周長為________543(3,0)、(-3,0)6２0F1F2CD判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的準(zhǔn)則：焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上。|CF1|+|CF2|=2a(2)已知橢圓的方程為：,則

a=_____，b=_______，c=_______，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：__________，焦距等于_________;

21(0,-1)、(0,1)2PF1F2課堂練習(xí)練一練:設(shè)F1