認(rèn)識一元二次方程 省賽獲獎

第2章一元二次方程1一元二次方程（2）

學(xué)習(xí)新知檢測反饋九年級數(shù)學(xué)上新課標(biāo)[北師]

幼兒園某教室矩形地面的長為8m,寬為5m,現(xiàn)準(zhǔn)備在地面正中間鋪設(shè)一塊面積為18m2的地毯,四周未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同(如圖所示),你能求出這個寬度嗎?

如果設(shè)所求的寬度為xm,那么列出的方程為(8-2x)(5-2x)=18,你能估算出x大約是多少嗎?

觀察思考學(xué)習(xí)新知

如果設(shè)所求的寬度為xm,那么列出的方程為(8-2x)(5-2x)=18,你能估算出x大約是多少嗎?

(1)x可能小于0嗎?可能大于4嗎?可能大于2.5嗎?說說你的理由.

探索嘗試分析:因?yàn)?0m2>18m2,所以x不可能小于0,因?yàn)?-2x,5-2x都是大于0的,所以x不可能大于4,也不可能大于2.5.分析:x的大致范圍是0到2.5之間.但這只是一個大致的估計(jì),精確度還有待于我們進(jìn)一步去探討.(2)你能確定x的大致范圍嗎?

x00.511.522.5(8-2x)(5-2x)4028181040

(3)計(jì)算,填寫下表:分析:由上表可以看出,如果寬度大于1,那么地毯的面積會小于18,不符合要求.如果寬度小于1,那么地毯的面積會大于18,也不符合要求.提示:通過表格的計(jì)算可以知道所求的寬度的大致范圍,通過解一元一次方程等方法可以求出具體的寬度.(4)你知道所求寬度x(m)是多少嗎?你還有其他求解方法嗎?

問題探究

在前一節(jié)課的問題中,梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程(x+6)2+72=102,即x2+12x-15=0.

(1)小明認(rèn)為底端也滑動了1m,他的說法正確嗎?為什么?

分析:若底端也滑動了1m,此(1+6)2+72<102,因此滑動的距離是大于1m的.

(2)底端滑動的距離可能是2m嗎?可能是3m嗎?為什么?

分析:通過計(jì)算,可以得出下表,根據(jù)表格可知,如果底端滑動的距離是2m或者3m,那么x2+12x-15的值都大于0,即(x+6)2+72>102,所以底端滑動的距離小于2m.(3)你能猜出滑動距離x(m)的大致范圍嗎?根據(jù)前面的分析,得出x的取值范圍大致是1<x<1.5,但這還不是一個很精確的數(shù)字.x00.511.52－15－8.75－25.2513

(4)x的整數(shù)部分是幾?十分位是幾?分析:通過計(jì)算,得出下表:2.當(dāng)x取1.2和1.3的時候,哪個數(shù)字更接近真實(shí)值?x1.11.21.31.4－0.590.842.293.76根據(jù)上表思考:1.當(dāng)x取1.3和1.4的時候,哪個數(shù)字更接近真實(shí)值?(1.3更接近)(1.2更接近)綜合上述分析,我們可以進(jìn)一步確定x的取值范圍是1.1<x<1.2.所以x的整數(shù)部分是1,十分位是1.(大于真實(shí)值)3.當(dāng)x取1.1的時候,與真實(shí)值是什么關(guān)系?(小于真實(shí)值)4.當(dāng)x取1.2的時候,與真實(shí)值是什么關(guān)系?估計(jì)一元二次方程近似解的基本思路:將一元二次方程變形為一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),分別將x1,x2代入等式左邊,當(dāng)獲得的值為一正、一負(fù)時,方程必定有一根x0,而且x1<x0<x2.這是因?yàn)楫?dāng)a+bx1+c<0(或>0)而a+b+c>0(或<0)時,在x1到x2之間由小變大時,ax2+bx+c的值也將由小于0(或大于0),逐步變成大于0(或小于0),其間ax2+bx+c的值必有等于0的時候,此時的x的值就是原方程的根x0.[知識拓展]課堂小結(jié)在解決某些實(shí)際問題的時候,可以根據(jù)實(shí)際情況確定出方程解的大致范圍.一般采用“夾逼法”,選取的未知數(shù)數(shù)值計(jì)算的結(jié)果的絕對值越接近0,這個數(shù)值就越接近未知數(shù)的真實(shí)值.(2)根據(jù)實(shí)際情況確定方程的解的大致范圍;

(1)將方程變?yōu)橐辉畏匠痰囊话阈问?

采用“夾逼法”求一元二次方程近似解的一般步驟:(3)根據(jù)方程的解的大致范圍,在這個范圍內(nèi)取一個整數(shù)值,然后把這個值代入方程左邊的代數(shù)式進(jìn)行驗(yàn)證,看是否能使方程左邊代數(shù)式的值為0,如果為0,那么這個數(shù)就是方程的解;如果不為0,那么根據(jù)這個整數(shù)再找出一個使方程左邊的值最接近于0但小于0的整數(shù),這個數(shù)就是方程的解的整數(shù)部分;(4)保留整數(shù)部分不變,小數(shù)部分可參照求整數(shù)部分的方法進(jìn)行,以此類推可得出該方程更準(zhǔn)確的近似解.

3.解:(1)由題意得,網(wǎng)球場的長和寬分別為(80-2x)m,(60-2x)m,則可列方程(80-2x)(60-2x)=3500,整理得x2-70x+325=0.

(2)x的值不可能小于0,因?yàn)槿诵械赖膶挾炔豢赡転樨?fù)數(shù).

(3)x的值不可能大于40,也不可能大于30,因?yàn)楫?dāng)x>30時,網(wǎng)球場的寬60-2x<0,這不符合實(shí)際,當(dāng)然x更不可能大于40.

1.根據(jù)下表,判斷方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數(shù))的一個解x的范圍是 (

)A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26解析:由表中的數(shù)據(jù)可知,當(dāng)x的值由3.24變化到3.25時,ax2+bx+c的值由-0.02變化到0.03,所以在3.24到3.25之間存在一數(shù)值,使ax2+bx+c的值等于0.故選C.C檢測反饋

2.用22cm長的鐵絲,折成一個面積為15cm2的矩形,設(shè)矩形的一邊長為xcm,則x的大致范圍是 (

)

A.x>0 B.0<x<1

C.1<x<2 D.2<x<3

C

（2題）解析:對于實(shí)際問題的近似解的問題,應(yīng)先根據(jù)實(shí)際問題確定其解的大致范圍,再通過具體計(jì)算進(jìn)行“夾逼”,逐步獲得其近似解,“夾逼”思想是近似計(jì)算的重要思想.由題意可列出方程(11-x)x=15,整理得x2-11x+15=0,估算此一元二次方程解的范圍如下表所示:

由此可知,當(dāng)x在1~2之間取某一值時,

x2-11x+15可能等于零.故選C.

3.如圖所示,某大學(xué)為改善校園環(huán)境,計(jì)劃在一塊長80m,寬60m的長方形場地的中央建一個長方形網(wǎng)球場,網(wǎng)球場占地面積為3500m2,四周為寬度相等的人行道,設(shè)人行道的寬為xm.

(1)你能根據(jù)題意列出相應(yīng)的方程嗎?由題意得,網(wǎng)球場的長和寬分別為(80-2x)m,(60-2x)m,則可列方程(80-2x)(60-2x)=3500,整理得x2-70x+325=0.