2023-2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)培優(yōu)教案8.2《兩條直線的位置關(guān)系》 (原卷版)

頁第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.結(jié)合斜率公式，判斷兩條直線平行或垂直，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合解方程組求兩條相交直線的交點坐標(biāo)，凸顯數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．3．結(jié)合距離問題，考查距離公式的應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行：①對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2.(2)兩條直線垂直：①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝﹣1.②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1⊥l2.2．兩條直線的交點的求法直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點坐標(biāo)就是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．3．三種距離公式類型條件距離公式兩點間的距離點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)點到直線的距離點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩平行直線間的距離兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))[澄清盲點誤點]一、關(guān)鍵點練明1．過點(1,0)且與直線x﹣2y﹣2＝0平行的直線方程是()A．x﹣2y﹣1＝0B．x﹣2y＋1＝0C．2x＋y﹣2＝0D．x＋2y﹣1＝02．已知點(a,2)(a>0)到直線l：x﹣y＋3＝0的距離為1，則a等于()A.eq\r(2)B．2﹣eq\r(2)C.eq\r(2)﹣1D.eq\r(2)＋13．點(a，b)關(guān)于直線x＋y＋1＝0的對稱點是()A．(﹣a﹣1，﹣b﹣1)B．(﹣b﹣1，﹣a﹣1)C．(﹣a，﹣b)D．(﹣b，﹣a)4．過兩直線l1：x﹣3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點和原點的直線方程為__________．二、易錯點練清1．平行線3x＋4y﹣9＝0和6x＋8y＋2＝0的距離是()A.eq\f(8,5)B．2C.eq\f(11,5)D.eq\f(7,5)2．若直線l1：x＋y﹣1＝0與直線l2：x＋a2y＋a＝0平行，則實數(shù)a＝________.3．已知直線(m＋1)x＋(2m﹣1)y＝3與(3m﹣1)x﹣(2m2﹣11m＋5)y＝5平行，則實數(shù)m的值為________．考點一兩直線的平行與垂直[典題例析](1)(多選)直線l1：x＋my﹣1＝0，l2：(m﹣2)x＋3y＋1＝0，則下列說法正確的是()A．若l1∥l2，則m＝﹣1或m＝3B．若l1∥l2，則m＝﹣1C．若l1⊥l2，則m＝﹣eq\f(1,2)D．若l1⊥l2，則m＝eq\f(1,2)(2)已知直線l1：mx＋y﹣1＝0與直線l2：(m﹣2)x＋my﹣2＝0，則“m＝1”是“l(fā)1⊥l2”的()A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件(3)已知經(jīng)過點A(﹣2,0)和點B(1,3a)的直線l1與經(jīng)過點P(0，﹣1)和點Q(a，﹣2a)的直線l2互相垂直，則實數(shù)a的值為________．[方法技巧]由一般式方程確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1與l2垂直的充要條件A1A2＋B1B2＝0l1與l2平行的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1與l2相交的充分條件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1與l2重合的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)[提醒]當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件．[針對訓(xùn)練]1．“直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y﹣2＝0平行”是“m＝2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．已知直線l1：mx＋y＋4＝0和直線l2：(m＋2)x﹣ny＋1＝0(m＞0，n＞0)互相垂直，則eq\f(m,n)的取值范圍為________．3．若直線l1：x＋2my﹣1＝0與l2：(3m﹣1)x﹣my﹣1＝0平行，則實數(shù)m的值為________．考點二兩直線的交點與距離問題[典例](1)經(jīng)過兩條直線l1：x＋y﹣4＝0和l2：x﹣y＋2＝0的交點，且與直線2x﹣y﹣1＝0垂直的直線方程為________________.(2)直線l過點P(﹣1,2)且到點A(2,3)和點B(﹣4,5)的距離相等，則直線l的方程為________________．[方法技巧]1．求過兩直線交點的直線方程的方法求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．2．利用距離公式解題的注意點(1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0﹣a|，到直線y＝b的距離d＝|y0﹣b|；(2)應(yīng)用兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)分別化為相等．[針對訓(xùn)練]1．點(0，﹣1)到直線y＝k(x＋1)距離的最大值為()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．22．若直線l與兩直線y＝1，x﹣y﹣7＝0分別交于M，N兩點，且MN的中點是P(1，﹣1)，則直線l的斜率是()A．﹣eq\f(2,3)B.eq\f(2,3)C．﹣eq\f(3,2)D.eq\f(3,2)3．已知l1，l2是分別經(jīng)過A(1,1)，B(0，﹣1)兩點的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時，直線l1的方程是__________．考點三兩直線的對稱問題考法(一)點關(guān)于點的對稱[例1]過點P(0,1)作直線l使它被直線l1：2x＋y﹣8＝0和l2：x﹣3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為____________________．[方法技巧]若點M(x1，y1)和點N(x，y)關(guān)于點P(a，b)對稱，則由中點坐標(biāo)公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))進而求解．考法(二)點關(guān)于線的對稱[例2]已知入射光線經(jīng)過點M(﹣3,4)，被直線l：x﹣y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為________________．[方法技巧]1．若點A(a，b)與點B(m，n)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)對稱，則直線Ax＋By＋C＝0垂直平分線段AB，即有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))2．幾個常用結(jié)論(1)點(x，y)關(guān)于x軸的對稱點為(x，﹣y)，關(guān)于y軸的對稱點為(﹣x，y)．(2)點(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關(guān)于直線y＝﹣x的對稱點為(﹣y，﹣x)．(3)點(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為(2a﹣x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點為(x,2b﹣y)．考法(三)線關(guān)于線對稱[例3]直線l1：2x＋y﹣4＝0關(guān)于直線l：x﹣y＋2＝0對稱的直線l2的方程為________．[方法技巧]求直線l1關(guān)于直線l對稱的直線l2，有兩種處理方法：(1)在直線l1上取兩點(一般取特殊點)，利用求點關(guān)于直線的對稱點的方法求出這兩點關(guān)于直線l的對稱點，再用兩點式寫出直線l2的方程．(2)設(shè)點P(x，y)是直線l2上任意一點，其關(guān)于直線l的對稱點為P1(x1，y1)(P1在直線l1上)，根據(jù)點關(guān)于直線對稱建立方程組，用x，y表示出x1，y1，再代入直線l1的方程，即得直線l2的方程．考法(四)線關(guān)于點對稱[例4]已知直線l：2x﹣3y＋1＝0，點A(﹣1，﹣2)，則直線l關(guān)于點A對稱的直線m的方程為________________．[方法技巧]直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決，也可考慮利用兩條對稱直線是相互平行的，并利用對稱中心到兩條直線的距離相等求解．創(chuàng)新思維角度——融會貫通學(xué)妙法活用直線系方程解決求直線問題類型(一)過直線交點的直線系方程[例1]已知兩條直線l1：x﹣2y＋4＝0和l2：x＋y﹣2＝0的交點為P，求過點P且與直線l3：3x﹣4y＋5＝0垂直的直線l的方程．[名師微點]解決本例的方法一般有：一是通過聯(lián)立方程組求交點，再結(jié)合兩直線垂直這一條件，求直線l的方程；二是利用過兩直線交點的直線系方程求解，即過兩條已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)，恰當(dāng)使用直線系方程可簡化運算．類型(二)平行直線系方程[例2]過點A(1，﹣4)且與直線2x＋3y＋5＝0平行的直線方程為________________．[名師微點]當(dāng)所求直線與已知直線Ax＋By＋C＝0平行時，可設(shè)所求直線為Ax＋By＋λ＝0(λ為參數(shù)，且λ≠C)，再結(jié)合其他條件求出λ，即得所求直線方程．類型(三)垂直直線系方程[例3]經(jīng)過A(2,1)，且與直線2x＋y﹣10＝0垂直的直線l的方程為________________．[名師微點]當(dāng)所求直線與已知直線Ax＋By＋C＝0垂直時，可設(shè)所求直線為Bx﹣Ay＋λ＝0(λ為參數(shù))，再結(jié)合其他條件求出λ，即得所求直線方程．類型(四)直線系方程的應(yīng)用[例4]求過直線2x＋7y﹣4＝0與7x﹣21y﹣1＝0的交點，且和A(﹣3,1)，B(5,7)等距離的直線方程．eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．若直線ax＋2y＋1＝0與直線x＋y﹣2＝0互相垂直，那么a的值等于()A．1B．﹣eq\f(1,3)C．﹣eq\f(2,3)D．﹣22．設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y﹣1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．已知A(4，﹣3)關(guān)于直線l的對稱點為B(﹣2,5)，則直線l的方程是()A．3x＋4y﹣7＝0B．3x﹣4y＋1＝0C．4x＋3y﹣7＝0D．3x＋4y﹣1＝04．直線3x﹣4y＋5＝0關(guān)于x軸對稱的直線的方程是()A．3x＋4y＋5＝0B．3x＋4y﹣5＝0C．﹣3x＋4y﹣5＝0D．﹣3x＋4y＋5＝05．已知點P(4，a)到直線4x﹣3y﹣1＝0的距離不大于3，則a的取值范圍是()A．[﹣10,10]B．[﹣10,5]C．[﹣5,5]D．[0,10]6．經(jīng)過直線3x﹣2y＋1＝0和直線x＋3y＋4＝0的交點，且平行于直線x﹣y＋4＝0的直線方程為__________．二、綜合練——練思維敏銳度1．直線2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置關(guān)系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不能確定2．三條直線l1：x﹣y＝0，l2：x＋y﹣2＝0，l3：5x﹣ky﹣15＝0構(gòu)成一個三角形，則k的取值范圍是()A．k∈RB．k∈R且k≠±1，k≠0C．k∈R且k≠±5，k≠﹣10D．k∈R且k≠±5，k≠13．(多選)已知直線l1：2x＋3y﹣1＝0和l2：4x＋6y﹣9＝0，若直線l到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為1∶2，則直線l的方程為()A．2x＋3y﹣8＝0B．4x＋6y＋5＝0C．6x＋9y﹣10＝0D．12x＋18y﹣13＝04．若直線l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)與直線l2：2x＋6y﹣3＝0的距離為eq\r(10)，則m＝()A．7B.eq\f(17,2)C．14D．175．直線ax＋y＋3a﹣1＝0恒過定點M，則直線2x＋3y﹣6＝0關(guān)于M點對稱的直線方程為()A．2x＋3y﹣12＝0B．2x﹣3y﹣12＝0C．2x﹣3y＋12＝0D．2x＋3y＋12＝06．兩條平行線l1，l2分別過點P(﹣1,2)，Q(2，﹣3)，它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間距離的取值范圍是()A．(5，＋∞)B．(0,5]C．(eq\r(34)，＋∞)D．(0，eq\r(34)]7．將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點(m，n)重合，則m＋n等于()A.eq\f(34,5)B.eq\f(36,5)C.eq\f(28,3)D.eq\f(32,3)8．已知直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點A，B的坐標(biāo)分別是(﹣4,2)，(3,1)，則點C的坐標(biāo)為()A．(﹣2,4)