2023-2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)培優(yōu)教案8.7《直線與圓錐曲線的位置關(guān)系》 (原卷版)

頁第七節(jié)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系的思想方法，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；2．了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3．通過學(xué)習(xí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，凸顯直觀想象的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0，圓錐曲線C：F(x，y)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y得到關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0.(1)當(dāng)a≠0時，設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則Δ＞0?直線l與圓錐曲線C有兩個公共點；Δ＝0?直線l與圓錐曲線C有一個公共點；Δ＜0?直線l與圓錐曲線C有零個公共點．(2)當(dāng)a＝0，b≠0時，圓錐曲線C為拋物線或雙曲線．當(dāng)C為雙曲線時，l與雙曲線的漸近線平行或重合，它們的公共點有1個或0個．當(dāng)C為拋物線時，l與拋物線的對稱軸平行或重合，它們的公共點有1個．2．圓錐曲線的弦長公式設(shè)斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1﹣x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1﹣y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).[澄清盲點誤點]一、關(guān)鍵點練明1．過點(0,1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個公共點，這樣的直線有()A．1條B．2條C．3條D．4條2．過拋物線y＝eq\f(1,4)x2的焦點F作一條傾斜角為30°的直線交拋物線于A，B兩點，則|AB|＝________.二、易錯點練清1．“直線與雙曲線相切”是“直線與雙曲線只有一個公共點”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．直線y＝kx﹣k＋1與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置關(guān)系為()A．相交B．相切C．相離D．不確定考點一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系[典例](1)過拋物線y2＝2x的焦點作一條直線與拋物線交于A，B兩點，它們的橫坐標(biāo)之和等于2，則這樣的直線()A．有且只有一條B．有且只有兩條C．有且只有三條D．有且只有四條(2)若直線y＝kx＋1與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1總有公共點，則m的取值范圍是()A．(1，＋∞)B．(0，＋∞)C．(0,1)∪(1,5)D．[1,5)∪(5，＋∞)[方法技巧]直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定方法代數(shù)法即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個關(guān)于x，y的方程組，消去y(或x)得一元方程，此方程根的個數(shù)即為交點個數(shù)，方程組的解即為交點坐標(biāo)幾何法即畫出直線與圓錐曲線的圖象，根據(jù)圖象判斷公共點個數(shù)[針對訓(xùn)練]1．若直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒有交點，則過點(m，n)的直線與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交點個數(shù)為()A．至多一個B．2C．1D．02．已知雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1與直線y＝2x有交點，則雙曲線離心率的取值范圍為()A．(1，eq\r(5))B．(1，eq\r(5)]C．(eq\r(5)，＋∞)D．[eq\r(5)，＋∞)考點二弦長問題[典例]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)過點P(2,1)，且離心率e＝eq\f(\r(3),2).(1)求橢圓C的方程；(2)直線l的斜率為eq\f(1,2)，直線l與橢圓C交于A，B兩點．求△PAB面積的最大值．[方法技巧]求解弦長的4種方法(1)當(dāng)弦的兩端點坐標(biāo)易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解．(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，解方程組求出兩個交點坐標(biāo)，代入兩點間的距離公式求解．(3)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到(x1﹣x2)2，(y1﹣y2)2，代入兩點間的距離公式．(4)當(dāng)弦過焦點時，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長．[針對訓(xùn)練]1．已知斜率為1的直線l與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B兩點，則|AB|的最大值為()A．2B.eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(4\r(10),5)D．eq\f(8\r(10),5)2．設(shè)斜率為eq\r(3)的直線過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，與C交于A，B兩點，且|AB|＝eq\f(16,3)，則p＝()A.eq\f(1,2)B．1C．2D．43．斜率為eq\r(3)的直線過拋物線C：y2＝4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則|AB|＝________.考點三中點弦問題[典例]已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，點A，B分別為橢圓E的左、右頂點，點C在E上，且△ABC面積的最大值為2eq\r(3).(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)F為E的左焦點，點D在直線x＝﹣4上，過F作DF的垂線交橢圓E于M，N兩點．證明：直線OD平分線段MN.[方法技巧]1．“點差法”的4步驟處理有關(guān)中點弦及對應(yīng)直線斜率關(guān)系的問題時，常用“點差法”，步驟如下：2．“點差法”的常見結(jié)論設(shè)AB為圓錐曲線的弦，點P為弦AB的中點：(1)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中的中點弦問題：kAB·kOP＝﹣eq\f(b2,a2)；(2)雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)中的中點弦問題：kAB·kOP＝eq\f(b2,a2)；(3)拋物線y2＝2px(p＞0)中的中點弦問題：kAB＝eq\f(p,y0)(y0為中點P的縱坐標(biāo))．[針對訓(xùn)練]1．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是x﹣y＋5＝0，弦的中點坐標(biāo)是M(﹣4,1)，則橢圓的離心率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(5),5)2．在橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1中，以點M(1,2)為中點的弦所在直線方程為______________．3．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，且左焦點與拋物線y2＝﹣4x的焦點重合．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓交于不同的兩點M，N，線段MN的中點記為A，且線段MN的垂直平分線過定點Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，0))，求k的取值范圍．創(chuàng)新思維角度——融會貫通學(xué)妙法活用拋物線焦點弦的4個結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則結(jié)論1：x1·x2＝eq\f(p2,4).結(jié)論2：y1·y2＝﹣p2.結(jié)論3：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直線AB的傾斜角)．結(jié)論4：eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值(F是拋物線的焦點)．應(yīng)用(一)利用結(jié)論3或4解決問題[例1]過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于()A．4B.eq\f(9,2)C．5D．6應(yīng)用(二)利用結(jié)論3解決問題[例2]設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則△OAB的面積為()A.eq\f(3\r(3),4)B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32)D.eq\f(9,4)應(yīng)用(三)利用結(jié)論1或4解決問題[例3]如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準(zhǔn)線l于點C，若F是AC的中點，且|AF|＝4，則線段AB的長為()A．5B．6C.eq\f(16,3)D．eq\f(20,3)eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])一、綜合練——練思維敏銳度1．直線y＝eq\f(b,a)x＋3與雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1的交點個數(shù)是()A．1B．2C．1或2D．02．過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若A，B兩點的橫坐標(biāo)之和為eq\f(10,3)，則|AB|＝()A.eq\f(13,3)B．eq\f(14,3)C．5D．eq\f(16,3)3．過雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點F且斜率為1的直線與雙曲線有且只有一個交點，則雙曲線的離心率為()A．2B．eq\f(3,2)C.eq\r(3)D．eq\r(2)4．已知直線l與拋物線C：y2＝4x相交于A，B兩點，若線段AB的中點為(2,1)，則直線l的方程為()A．y＝x﹣1B．y＝﹣2x＋5C．y＝﹣x＋3D．y＝2x﹣35．(多選)設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1，斜率為k的直線不經(jīng)過原點O，而且與橢圓相交于A，B兩點，M為線段AB的中點．下列結(jié)論正確的是()A．直線AB與OM垂直B．若點M坐標(biāo)為(1,1)，則直線方程為2x＋y﹣3＝0C．若直線方程為y＝x＋1，則點M坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3)))D．若直線方程為y＝x＋2，則|AB|＝eq\f(4\r(2),3)6.如圖，過橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點A且斜率為k的直線交橢圓C于另一點B，且點B在x軸上的射影恰好為右焦點F.若eq\f(1,3)<k<eq\f(1,2)，則橢圓C的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,4)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))7．已知雙曲線E：eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,2)＝1，直線l交雙曲線于A，B兩點，若線段AB的中點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，則直線l的方程為()A．4x＋y﹣1＝0B．2x＋y＝0C．2x＋8y＋7＝0D．x＋4y＋3＝08．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l過焦點F且與拋物線C交于A，B兩點，且直線l不與x軸垂直，線段AB的垂直平分線與x軸交于點T(5，0)，O為坐標(biāo)原點，則S△AOB＝()A．2eq\r(2)B．eq\r(3)C.eq\r(6)D．3eq\r(6)9．已知橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦點為F，點P在橢圓上且在x軸上方，若線段PF的中點在以原點O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是________．10．已知斜率為2的直線經(jīng)過橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦點F1，與橢圓相交于A，B兩點，則弦AB的長為________．11．已知拋物線y2＝4x的一條弦AB恰好以P(1,1)為中點，則弦AB所在直線的方程是______________．12．已知過拋物線y2＝4eq\r(2)x焦點F的直線與拋物線交于點A，B，eq\o(AF,\s\up7(→))＝3eq\o(FB,\s\up7(→))，拋物線的準(zhǔn)線l與x軸交于點C，AM⊥l于點M，則四邊形AMCF的面積為________．13．已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.試問當(dāng)m取何值時，直線l與橢圓C：(1)有兩個不重合的公