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一、填空題(每題4分,共24分)1.(2010·廈門高二檢測(cè))直線l:x-2y+2=0過橢圓的左焦點(diǎn)F1和一個(gè)頂點(diǎn)B,則該橢圓的離心率為____.【解析】直線x-2y+2=0與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-2,0),(0,1),則c=2,b=1,∴a2=b2+c2=5,∴a=∴答案:2.設(shè)橢圓的短軸為B1B2,F(xiàn)1為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),則∠B1F1B2=____.【解析】如圖所示,由題意B1(0,-3),B2(0,3),F1(-0),在△B2F1O中,∴∠B2F1O=60°,由橢圓的對(duì)稱性知,∠B1F1B2=120°.答案:120°3.(2010·珠海模擬)要使直線y=kx+1(k∈R)與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn),實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.【解析】∵直線過定點(diǎn)(0,1),又橢圓焦點(diǎn)在x軸上,∴答案:1≤a<74.已知某飛船變軌前的運(yùn)行軌道是一個(gè)以地心為焦點(diǎn)的橢圓,飛船近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離分別為200千米和350千米,設(shè)地球半徑為R千米,則此飛船軌道的離心率為____(結(jié)果用含R的式子表示).【解析】設(shè)飛船軌道的長半軸長,半焦距長分別為a、c,則∴2a=2R+550,2c=150,∴答案:5.過橢圓(a>b>0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,F(xiàn)2為右焦點(diǎn),若∠F1PF2=60°,則橢圓的離心率為____.【解析】如圖所示∵∠F1PF2=60°,∴∠PF2F1=30°.∵PF1=∴PF2=∴PF1+PF2=∴∴答案:6.橢圓E:內(nèi)有一點(diǎn)P(2,1),則經(jīng)過P并且以P為中點(diǎn)的弦所在直線方程為____.【解析】∴所求直線方程的斜率為方程為y-1=(x-2),即x+2y-4=0.答案:x+2y-4=0二、解答題(每題8分,共16分)7.已知橢圓(a>b>0)的離心率為短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),求的最大值與最小值.【解析】(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,由題意且a=2,得c=b=1.∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)P(x,y),由(1)知F1(-0),F(xiàn)2(0),則=(--x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-3=x2+(1-)-3=-2,∵x∈[-2,2],∴當(dāng)x=0,即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí),有最小值-2;當(dāng)x=±2,即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí),有最大值1.8.已知橢圓右焦點(diǎn)為F.直線l經(jīng)過點(diǎn)F,與橢圓交于點(diǎn)A,B,且AB=求直線l的方程和△OAB的面積.
【解題提示】設(shè)出l的方程(考慮斜率是否存在),利用弦長公式求參數(shù)的值.【解析】所以直線方程為x+y-1=0或x-y-1=0,原點(diǎn)到直線的距離所以S△OAB=
AB·d=9.(10分)已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
過點(diǎn)M(-1,0)的直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn).(1)若直線l的斜率為1,且
求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若(1)中橢圓的右頂點(diǎn)為A,直線l的傾斜角為α,問α為何值時(shí),
取得最大值,并求出這個(gè)最大值.
【解題提示】解答本題中的(1),(
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