2023年力學(xué)精華公式歸納第三版漆安慎

力學(xué)精華公式歸納

引言

所謂力學(xué)力學(xué)，在于一個(gè)力字，最關(guān)鍵最首要的核心就在于看物體的受力怎么樣。受力擬定

了，根據(jù)相關(guān)定律，物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也擬定了.最后回歸本質(zhì)，力就是描述物體與物體之間

的互相作用的.

定義、定理、定律、公理的區(qū)分

定義(definition):定義是通過(guò)列出一個(gè)事物或者一個(gè)物體的基本屬性來(lái)描寫(xiě)或者規(guī)范一個(gè)詞

或者一個(gè)概念的意義.其定義的事物或者物體叫做被定義項(xiàng)，其定義叫做定義項(xiàng).

定理(theorem)：定理是通過(guò)受邏輯限制的證明為真的陳述.一般來(lái)說(shuō)，在教學(xué)中，只有重要

或者有趣的陳述才叫定理.證明定理是數(shù)學(xué)的中心活動(dòng).定理一般都有條件和結(jié)論.

定律(law):定律是對(duì)客觀事實(shí)的一種表達(dá)形式，通過(guò)大量具體的客觀事實(shí)歸納而成的結(jié)論.

定律是一種理論模型，它用以描述特定情況、特定尺度下的現(xiàn)實(shí)世界，在其它尺度下也許會(huì)

失效或者不準(zhǔn)確.

公理(axiom)：是指依據(jù)人類(lèi)理性的不證自明的基本領(lǐng)實(shí)，通過(guò)人類(lèi)長(zhǎng)期反復(fù)實(shí)踐的考驗(yàn)，不

需要再加證明的基本命題.

定理，定律，公理的區(qū)別是：定理是建立在公理和假設(shè)基礎(chǔ)上，通過(guò)嚴(yán)格的推理和證明得到

的.定律是一種理論模型，它用以描述特定情況、特定尺度下的現(xiàn)實(shí)世界，在其它尺度下也

許會(huì)失效或者不準(zhǔn)確.而公理是通過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐后公認(rèn)為對(duì)的的命題.

過(guò)程量與狀態(tài)量的區(qū)分

一般說(shuō)來(lái)，若系統(tǒng)從某一狀態(tài)變化為另一個(gè)狀態(tài)，假如經(jīng)歷不同的物理過(guò)程，雖然初始狀態(tài)

也許保持相同，但過(guò)程不一定相同.

過(guò)程量：描述某些物理過(guò)程.是物體通過(guò)一段時(shí)間所能完畢的物理量.

狀態(tài)量：描述某些特定的物理狀態(tài).是物體在某一時(shí)刻的表現(xiàn)量.

兩者的關(guān)系：過(guò)程是動(dòng)態(tài)量，狀態(tài)是靜態(tài)量.狀態(tài)量通過(guò)過(guò)程量不斷更新?tīng)顟B(tài)，獲得新的狀

態(tài)量.

-~i~n~~r

egA=/mV--mv0~

功是過(guò)程量，動(dòng)能是狀態(tài)量

典型的過(guò)程量：路程、功、熱量等

典型的狀態(tài)量：位置、能量、體積、密度、速度、加速度、溫度、燧等

三個(gè)重要物理量的理解

加速度的本質(zhì)：速度對(duì)時(shí)間的變化率

力的本質(zhì)：動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率

力矩的本質(zhì)：角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化

力學(xué)核心表格

自然坐標(biāo)的加速度

a=a“en+a,en

p

d2s

a,=--

'力2

a

tana=—n

_______

H］表達(dá)自然坐標(biāo)在某一點(diǎn)的加速度

H表達(dá)法向加速度

同表達(dá)切向加速度

同表達(dá)速度

回表達(dá)曲率半徑

0表達(dá)自然坐標(biāo)

團(tuán)表達(dá)加速度與速度的夾角

二.質(zhì)點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)

將質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程向自然坐標(biāo)的法線方向同和切線方向同投影，得

四.伽利略速度變換關(guān)系

丫絕對(duì)1、牽連+V相對(duì)

V絕對(duì)表達(dá)運(yùn)動(dòng)物體在基本參考系中的速度

心表達(dá)運(yùn)動(dòng)參考系的坐標(biāo)原點(diǎn)在基本參考系中的速度

表達(dá)運(yùn)動(dòng)物體在運(yùn)動(dòng)參考系中的速度

五.加速度在伽利略變換下為不變量

它為一常矢量，IZH2，|人二荻

a絕對(duì)表達(dá)運(yùn)動(dòng)物體在基本參考系中的加速度

表達(dá)運(yùn)動(dòng)物體在運(yùn)動(dòng)參考系中的加速度

六.直線加速參考系中的慣性力

?*—?

F=-ma

H］表達(dá)非慣性系相對(duì)于慣性系的加速度

國(guó)表達(dá)慣性力的方向與非慣性系相對(duì)于慣性系的加速度相反

七.離心慣性力

石Fc=mco2一r

同表達(dá)自轉(zhuǎn)軸向質(zhì)點(diǎn)所引矢量，與轉(zhuǎn)軸垂直

回表達(dá)圓盤(pán)的勻角速率

科里奧利力

%=2a)xvr

Fk=2mvrxco

回表達(dá)圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速率

［表達(dá)在A點(diǎn)小球具有的徑向速度

九.牛頓運(yùn)動(dòng)定律

=ma

西表達(dá)質(zhì)點(diǎn)所受外力的矢量和

團(tuán)表達(dá)質(zhì)點(diǎn)的加速度

|"2|表達(dá)質(zhì)點(diǎn)的慣性質(zhì)量

十.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

V1Hd工~

>F=m—7-=ma.

乙'42°

區(qū)可表達(dá)質(zhì)點(diǎn)系所受一切外力的質(zhì)量和

團(tuán)表達(dá)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心加速度

叵］表達(dá)質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量

1表達(dá)質(zhì)心的位置矢量

0表達(dá)在慣性系中觀測(cè)到的時(shí)間

十一.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理

E3表達(dá)作用于質(zhì)點(diǎn)的力的矢量和

dp

表達(dá)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率

dt

回表達(dá)質(zhì)點(diǎn)的慣性質(zhì)量

十二.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理

d（E五）

dt

區(qū)司表達(dá)作用于各質(zhì)點(diǎn)外力的矢量和

表達(dá)質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和對(duì)時(shí)間的變化率

十四.用沖量表達(dá)的質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理

（ZK）力=d（Z萬(wàn)）

，=J：（EE）出=za-工點(diǎn)二萬(wàn)一百

（ZK）dt表達(dá)質(zhì)點(diǎn)系所受合力的元沖量

"（ZE）表達(dá)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量和的元變化

￡P(guān)i表達(dá)質(zhì)點(diǎn)系末動(dòng)量之和

ZPo表達(dá)質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)初動(dòng)量之和

十五.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理萬(wàn)）得出在一定期間間隔內(nèi)若ZE=o,則

衣=。I表達(dá)質(zhì)點(diǎn)系所受外力矢量和自始至終保持為零

EPi=常矢量表達(dá)在一段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒

條件：質(zhì)點(diǎn)系所受外力矢量和始終為零

十六.動(dòng)量沿某一坐標(biāo)軸的投影守恒

若因疑=。|,則以=|常量

Z凡表達(dá)作用于質(zhì)點(diǎn)系外力矢量和在X軸上的投影

ZP&表達(dá)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量在X軸上的投影

十七.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理

I—=聲.相

表達(dá)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量

因表達(dá)作用于質(zhì)點(diǎn)的合力所做的功

十八.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

ZA=ZE*NE*O

Za卜+X4=Z線一Z娛。

工后/表達(dá)末態(tài)時(shí)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和

Z且0表達(dá)初態(tài)時(shí)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和

十九.質(zhì)點(diǎn)系的功能原理

非心EJEJ￡同+%)

Za卜非表達(dá)一切外部非保守力所做功的代數(shù)和

X4非表達(dá)一切內(nèi)部非保守力所做功的代數(shù)和

￡(Ek+E/-Z(EAO+ZE/5|表達(dá)質(zhì)點(diǎn)系總機(jī)械能的增量(末態(tài)已初態(tài))

保守力做功有動(dòng)能和勢(shì)能的互相轉(zhuǎn)化，機(jī)械能等于動(dòng)能與勢(shì)能之和，保守力做功會(huì)引起

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的改變卻不會(huì)引起質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的改變.

功能原理無(wú)需考慮保守力做功

四大保守力：重力、萬(wàn)有引力、靜電場(chǎng)力、彈力

二十.質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能守恒定律

>￡+￡Ep=常量

條件：在一過(guò)程中外非保守力和每一對(duì)內(nèi)非保守力都不做功

二十一.質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量定理

一

M=匕dL-

dt

應(yīng)］表達(dá)作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對(duì)參考點(diǎn)的力矩

E表達(dá)質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率

二十二.質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律

若I而=o|,則匹常矢量

條件：作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對(duì)參考點(diǎn)回的力矩為零

二十三.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理

Z外表達(dá)質(zhì)點(diǎn)系所受外力對(duì)于參考點(diǎn)回的力矩的矢量和

與表達(dá)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)對(duì)于參考點(diǎn)回的角動(dòng)量的矢量和對(duì)時(shí)間的變化率

二十四.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理爾哈

若Z詬二°，則匹常矢量

條件：作用于質(zhì)點(diǎn)系的合力對(duì)參考點(diǎn)回的力矩為零

二十五.質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量定理

=rxFxsintz

瓦岑

此式為質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)?的角動(dòng)量定理在Z軸上的投影

困表達(dá)受力質(zhì)點(diǎn)到軸的垂直距離

園表達(dá)力在與Z軸垂直的平面上的分力

間表達(dá)作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對(duì)同一軸線的力矩

表達(dá)質(zhì)點(diǎn)對(duì)Z軸的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率

叵］為面對(duì)z軸觀測(cè)由同逆時(shí)針轉(zhuǎn)至園轉(zhuǎn)過(guò)的角度

在慣性系中取參考點(diǎn)回，過(guò)叵］點(diǎn)取Z坐標(biāo)軸，質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)回的角動(dòng)量在Z軸上的投

影為AT

dt

二十六.質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定律

區(qū)=(rx，L=/jP|Siny

根據(jù)土廣，若工加,=0,則修=|常量

作用于質(zhì)點(diǎn)的諸力對(duì)軸的力矩和為零

二十七.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量定理

1、dL.

V*此外產(chǎn)d了/時(shí)加.”,.）=了

表達(dá)質(zhì)點(diǎn)系所受一切外力對(duì)z軸的力矩之和

隼表達(dá)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于Z軸的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率

二十八.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)Z軸的角動(dòng)量守恒定律

根據(jù)Z%外z=AZ（單叫sin%）=34,若區(qū)阻外z=。|，則|抵=工中2拘%=常

量

條件：質(zhì)點(diǎn)系所受一切外力對(duì)Z軸的力矩之和始終為零

二十九.剛體的動(dòng)量守恒定律

p=mvc=常矢量

m^-=ma

獷=

dt

O表達(dá)外力矢量和

表述：若質(zhì)點(diǎn)系所受外力矢量和為零，則動(dòng)量守恒.假如剛體收到外力矢量和為零，那

么動(dòng)量也守恒.剛體可看作不變質(zhì)點(diǎn)系.

三十.平行軸定理

I=Ic+md~

回表達(dá)剛體質(zhì)量

團(tuán)表達(dá)剛體對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

團(tuán)為兩軸的垂直距離

三十一.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理

￡皈=4初

I"五力，

泛表達(dá)剛體對(duì)Z軸的力矩的矢量和

~d~~—

—表達(dá)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積對(duì)時(shí)間的變化率

出

三十二.用沖量表述的角動(dòng)量定理

Z皈力=d（L?）

工瓦出表達(dá)剛體對(duì)軸外力沖量矩的代數(shù)和

"（L①二）表達(dá)剛體對(duì)z軸角動(dòng)量的增量

三十三.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理

Z皈二也

表達(dá)外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的合力矩

匹|表達(dá)剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

區(qū)」表達(dá)剛體的角加速度

三十四.剛體無(wú)滑滾動(dòng)的條件

無(wú)滑滾動(dòng)：車(chē)輪與支承面（不一定一直是地面，有時(shí)是木板等）的接觸點(diǎn)的速度相對(duì)于

車(chē)輪質(zhì)心的速度相同.

v=vc+rxa),a=ac-]~rxa

」分別表達(dá)質(zhì)心相對(duì)于慣性參考系的速度與加速度

匕。分別表達(dá)車(chē)輪與支承面的接觸點(diǎn)相對(duì)于慣性參考系的速度與加速度

U］表達(dá)車(chē)輪與支承面的接觸點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心軸的位置矢量

三十五.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

ZX卜=?z療一;人喏

忙外）四

Za卜表達(dá)剛體所受外力矩做功的代數(shù)和

1917

-l2CO~——表達(dá)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量

剛體為不變質(zhì)點(diǎn)系，剛體內(nèi)力做功之和等于零

三十六.剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程

剛體隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程E百=值

剛體繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程IX="

X匝表達(dá)作用于剛體各力對(duì)質(zhì)心軸的合力矩

口表達(dá)剛體對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

色」表達(dá)剛體的角加速度

三十七.剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能

三十八.剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能定理

Z%=A(gmvj+glM)

Xa卜表達(dá)一切外力所做功的代數(shù)和

22

A(^mvc+^Irco)表達(dá)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能增量

對(duì)剛體來(lái)說(shuō)，內(nèi)力做功的代數(shù)和為零

三十九.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量轉(zhuǎn)化

=22

Ek~^sin(d)0t+a)

E〃=gkA2cos2(4t+a)

E=-kA2

2

國(guó)表達(dá)彈簧振子的勁度系數(shù)

因表達(dá)彈簧振子的振幅

四十.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

+喏》=0

此式子由線性回復(fù)力公式|尸=一/U|與牛頓第二定律公式|尸=癡|聯(lián)立得出.

其中，0o=J一,力表達(dá)彈黃振子的勁度系數(shù)，回表達(dá)小球的慣性質(zhì)量.同由振動(dòng)系

統(tǒng)的性質(zhì)決定.

四十一.平面簡(jiǎn)諧波方程

X

y=Acos69（tq：—）

v

國(guó)表達(dá)沿波的傳播方向任一體元的平衡位置在X軸上的坐標(biāo)

國(guó)表達(dá)體元距平衡位置的位移

國(guó)表達(dá)沿X軸的傳播方向，田表達(dá)逆X軸傳播，尸1表達(dá)順X軸傳播

回表達(dá)振動(dòng)狀態(tài)傳播的速度，稱(chēng)為波速

設(shè)一列平面簡(jiǎn)諧波沿X軸正向傳播，為簡(jiǎn)樸起見(jiàn)，選坐標(biāo)原點(diǎn)區(qū)團(tuán)處體元相位為零的

時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn).于是|x=0|處體元的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為y-Acoscot.

四十二.彈性介質(zhì)中橫波的波動(dòng)方程

d2yGd2y

dt2pdx1

回表達(dá)介質(zhì)密度

回表達(dá)切變模量

國(guó)表達(dá)體元距平衡位置的位移

國(guó)表達(dá)平衡位置在X軸上因處的坐標(biāo)

四十三.彈性橫波中介質(zhì)中體元的能量密度

￡,=—=202A2sin2<y(t-—)

dVv

|d￡|表達(dá)體元總能

dE=pdVa)2A2sin2<w(t-—)

v

也表達(dá)體元體積

回表達(dá)單位體積介質(zhì)中所具有的能量

回表達(dá)介質(zhì)密度

同表達(dá)振動(dòng)系統(tǒng)中體元的最大位移

因表達(dá)振動(dòng)系統(tǒng)中體元的最大位移

因表達(dá)體元的坐標(biāo)

回表