2023-2024學(xué)年山東省德州市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat18頁2023-2024學(xué)年山東省德州市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．四面體ABCD中，E為棱BC的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的加法、數(shù)乘運(yùn)算求解即可.【詳解】如圖，因?yàn)镋為棱BC的中點(diǎn)，所以,故選：C2．已知直線l的一個法向量為，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直線的點(diǎn)法式方程求解即可.【詳解】直線l的一個法向量為，所以設(shè)直線l的方程為：,代入點(diǎn)，得，，故直線l的方程為.故選：C3．若向量，，且，則（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示即可求得，代入模長公式即可得.【詳解】根據(jù)題意由可得，解得，則.故選：D4．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定雙曲線的漸近線方程，對比，兩方程確定，聯(lián)立求.【詳解】由已知設(shè)雙曲線方程為：，雙曲線漸近線方程為，結(jié)合雙曲線的一條漸近線方程為，有，即，雙曲線中有，將代入中，得，，所以.故選：B5．?dāng)?shù)學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，動點(diǎn)M滿足，得到動點(diǎn)M的軌跡是阿氏圓C．直線l：與圓C恒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，求出動點(diǎn)的軌跡圓的方程，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系列出不等式，求解即可．【詳解】設(shè)點(diǎn)，∵，，∴，即，所以動點(diǎn)M的軌跡圓C的方程為，圓心，半徑，∵直線l：與圓C恒有公共點(diǎn)，∴圓心到直線l的距離，即，解得，則的取值范圍是．故選：A．6．三棱錐中，底面ABC為邊長為2的等邊三角形，，，則直線PA與平面ABC所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，取中點(diǎn)，連接，結(jié)合條件可得為直線PA與平面ABC所成角，再由勾股定理可得是直角三角形，即可得到結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌鍭BC為邊長為2的等邊三角形，且，則，即，所以，且，平面，所以平面，且平面，所以，則在平面的投影落在上，所以為直線PA與平面ABC所成角，且，，，由余弦定理可得，，則，，所以，即，所以.故選：B7．雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為雙曲線上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】先設(shè)兩條邊為，由雙曲線定義和余弦定理求出，再由三角形面積公式求出面積即可.【詳解】如圖所示，，，所以令，則，所以①，且，可得，將①代入可得，所以，故選：D8．已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，M，N為橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)且滿足，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出輔助線，根據(jù)橢圓定義及各邊關(guān)系得到，，，由余弦定理得到，并根據(jù)互補(bǔ)得到方程，求出離心率.【詳解】連接，由橢圓定義可知，，，設(shè)，則，故，解得，故，，因?yàn)?，所以，故，故，而，因?yàn)椋?，解得，故橢圓C的離心率為.

故選：A二、多選題9．已知正方體，則（

）A． B．C．直線與平面所成角為 D．直線線與平面所成的角為【答案】ABD【分析】作圖，根據(jù)空間線線、線面位置關(guān)系和成角大小依次判斷即可.【詳解】如圖在正方體中，，所以A正確；平面，平面，所以，所以B正確；設(shè)正方體棱長為1，過作于，連接，則即為直線與平面所成角，，所以C錯誤；對于D，易知即為直線線與平面所成的角，，所以D正確；故選：ABD10．已知直線和圓，則（

）A．直線l的傾斜角為 B．圓C的圓心坐標(biāo)為C．直線l平分圓C的周長 D．直線l被圓C所截的弦長為【答案】AB【分析】由直線方程可知斜率即可得傾斜角為，即A正確；將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得B正確；易知圓心不在直線上可得C錯誤；根據(jù)弦長公式計算可得弦長為，可知D錯誤.【詳解】將直線的方程變形可得，可知斜率，所以直線l的傾斜角為，可知A正確；將改寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為，即可得C的圓心坐標(biāo)為，所以B正確；易知直線不過圓心，可知直線l沒有平分圓C的周長，即C錯誤；易知圓的半徑，圓心到直線的距離為，所以弦長為，可得D錯誤.故選：AB11．在四棱錐中，底面為矩形，底面，，，N為PD的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（

）A． B．C．直線PD和直線BC所成角的余弦值為 D．點(diǎn)A到平面的距離為【答案】AC【分析】根據(jù)給定條件，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用空間向量逐項計算判斷即得.【詳解】依題意，，對于A，，，A正確；對于B，，，即與不垂直，B錯誤；對于C，，，因此直線PD和直線BC所成角的余弦值為，C正確；對于D，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，而，所以點(diǎn)到平面的距離，D錯誤.故選：AC12．拋物線C：，過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），，則（

）A．最小值為4B．可能為鈍角三角形C．當(dāng)直線l的傾斜角為60°時，與面積之比為3D．當(dāng)直線AM與拋物線C只有一個公共點(diǎn)時，【答案】ABCD【分析】A：分斜率存在與否設(shè)出直線方程，由弦長公式求出直線方程；B：先用向量的數(shù)量積求出不是鈍角，再結(jié)合圖像求出結(jié)果；C：當(dāng)直線l的傾斜角為60°時，帶入直線方程求出坐標(biāo)，再表示出三角形面積即可；D：由直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，得出判別式為零，再求出長度即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€C：，焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），對于A，當(dāng)直線的斜率不存在時，；當(dāng)斜率為零時，只有一個交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在且不為零時，設(shè)直線方程，，聯(lián)立，可得，，所以，即弦長的最小值為，故A正確；對于B，當(dāng)時，聯(lián)立解得，所以，，，所以，所以為鈍角三角形，故B正確；對于C，當(dāng)直線l的傾斜角為60°時，直線方程為，由選項A的分析可知可知，解得，帶入直線方程可得所以與面積之比為，故C正確；對于D，因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，直線的斜率不可能為零，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以，此時，所以，直線的斜率不存在時，，故D正確；故選：ABCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：選項A可分斜率是否存在設(shè)出直線方程，求出最小值比較；選項B最佳的方法是舉反例論證；選項C將直線方程直接聯(lián)立解出面積比，選項D設(shè)出直線方程為，由判別式為零求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，再求出弦長.三、填空題13．已知，，，．【答案】0【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.【詳解】∵，又，∴，解得，故答案為：0.14．若為雙曲線，則m的取值范圍為．【答案】或【分析】利用方程式雙曲線，解出不等式即可.【詳解】若為雙曲線，則或，故答案為：或15．在直三棱柱中，，二面角的大小為，點(diǎn)B到平面的距離為，點(diǎn)C到平面的距離為，則直線與直線所成角的余弦值為．【答案】/【分析】由條件可得為二面角的平面角，所以，在面內(nèi)過點(diǎn)作于，可得，由題意點(diǎn)到直線的距離，利用面積法可得，由余弦定理得，則，得，利用向量的運(yùn)算求得，計算，利用空間向量夾角公式即可求解.【詳解】直三棱柱中，面，因?yàn)槊?，所以，所以即為二面角的平面角，所以，∵面面，面面，在面?nèi)過點(diǎn)作于，則面，∴點(diǎn)B到平面的距離為，又，則，∵面面，面面，因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離為，即點(diǎn)到直線的距離，利用面積法可得，即，則，在中，，則，則，，，，所以.則直線與直線所成角的余弦值為.故答案為：.四、雙空題16．已知圓與圓的公共弦所在直線恒過點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為；的最小值為．【答案】//【分析】聯(lián)立圓的方程，可得公共弦方程及其恒過的定點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離公式可得，再利用二次函數(shù)性質(zhì)可得最值.【詳解】由，，可得，即，所以，解得，所以點(diǎn)，又，，則，所以當(dāng)時，取最小值為，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時，兩個方程均表示圓，且兩圓相交，滿足題意.故答案為：，.五、解答題17．如圖，在平行六面體中，，，，，且點(diǎn)為與的交點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且．(1)求的長；(2)將用基向量，，來進(jìn)行表示．設(shè)，求，，的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）根據(jù)向量的線性表示可得，再利用基底法求得模長；（2）根據(jù)空間向量基本定理直接得解.【詳解】（1）由已知，，又，所以，，，則，所以；（2）由點(diǎn)為與的交點(diǎn)，得，又點(diǎn)在線段上，且，則，所以，所以，.18．已知直線：和直線：，其中m為實(shí)數(shù)．(1)若，求m的值；(2)若點(diǎn)在直線上，直線l過P點(diǎn)，且在x軸上的截距與在y軸上的截距互為相反數(shù)，求直線l的方程．【答案】(1)或0(2)或．【分析】（1）根據(jù)垂直得到方程，求出m的值；（2）將代入中，解得，設(shè)直線l的方程，根據(jù)兩截距相等得到方程，求出或，得到直線l的方程.【詳解】（1）由題意得，解得或0；（2）由在直線上，得，解得，可得，顯然直線l的斜率一定存在且不為0，設(shè)直線l的方程為，令，可得，再令，可得，所以，解得或，所以直線l的方程為或，即或．19．已知圓的圓心在直線上，且與直線：相切于點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)求過點(diǎn)與圓相切的直線方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）先根據(jù)題意求出過與直線垂直的直線，再與直線聯(lián)立可求出圓心的坐標(biāo)，再求出就是圓的半徑，從而可求出圓的方程，（2）分過點(diǎn)的直線斜率不存在和存在兩種情況求解即可【詳解】（1）過點(diǎn)與直線：垂直的直線的斜率為，所以直線的方程為，即.由，解得.所以.故圓的方程為：.（2）①若過點(diǎn)的直線斜率不存在，即直線是，與圓相切，符合題意；②若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè)直線方程為，即，若直線與圓相切，則有，解得.此時直線的方程為.綜上，切線的方程為或.20．如圖，兩個等腰直角和，，，平面平面，M為斜邊的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)D，可證得，，從而得平面，進(jìn)而得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計算平面與平面的一個法向量，然后根據(jù)空間向量的夾角公式計算可得結(jié)果.【詳解】（1）取中點(diǎn)D，連接，，如圖，又M為的中點(diǎn)，∴，由，則，又為等腰直角三角形，，，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴．（2）由（1）知，，又平面平面，是交線，平面，所以平面，即兩兩互相垂直，故以D為原點(diǎn)，，，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，，，，∴，，設(shè)為平面的一個法向量，則，令，即，平面的一個法向量為，，由圖可知，二面角的平面角是鈍角，則二面角的余弦值為.21．已知拋物線C：，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為點(diǎn)D在x軸上的投影，且．(1)求C的方程；(2)若直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，求證：AB過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義結(jié)合題意可得關(guān)于的方程，解出即可；（2）設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立直線與拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得的值，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）由題可知，，，∵，∴，平方后化簡得，解得或，∵，∴，∴拋物線C的方程為.（2）當(dāng)直線l的斜率為0時，直線l與拋物線交于一點(diǎn)，不符合題意，所以直線l的斜率不為0，可設(shè)直線l的方程為：，設(shè)，，聯(lián)立，消去x并整理得，，當(dāng)時，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得，，，所以，又，所以，解得，此時滿足，∴AB過定點(diǎn)．22．已知橢圓C：左、右焦點(diǎn)分別、，長軸長為，且橢圓C的離心率與雙曲線的離心率乘積為1，P