基于小波分析的金融時間序列預(yù)測

實用文檔摘要 本文以金融時間序列為研究對象，將小波分析應(yīng)用于時間序列預(yù)測，并以美國S&P500指數(shù)進(jìn)行實證分析。首先，利用小波分析的時頻分解特性，將時間序列分解到不同頻率空間，得到具有不同穩(wěn)定特性的空間映射。再分別利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)能力對時間序列的非線性分量進(jìn)行模擬預(yù)測，與適用于平穩(wěn)序列的自回歸模型處理平穩(wěn)分量的分析預(yù)測。具體來說，由Haar小波對序列進(jìn)行分解得到了序列在各級小波空間與各級尺度空間的分量。其中，對于高頻段的小波空間利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練并對訓(xùn)練的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測；而在低頻平穩(wěn)的尺度空間先利用單位跟檢驗對數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗，由相關(guān)分析可以得到序列在尺度空間的分量具有很顯著的平穩(wěn)性，對回歸分析的可行性提供了保證，然后利用Arma自回歸模型對序列的尺度空間分量進(jìn)行回歸分析并利用已有數(shù)據(jù)對收益率進(jìn)行預(yù)測。再將二者加以結(jié)合來對時間序列進(jìn)行重構(gòu)得到了收益率整體的發(fā)展趨勢。最后將這種混合策略的預(yù)測結(jié)果與單個方法的預(yù)測結(jié)果與實際數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，從作出的曲線圖可以看到混合策略較之單個預(yù)測方法有明顯改善，即與實際數(shù)據(jù)更加符合。但從最終結(jié)果的分析，得到了該方法的缺陷，如小波空間中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析對于可能出現(xiàn)的突發(fā)事件無法做出及時反應(yīng)以致可能產(chǎn)生預(yù)測誤差的擴(kuò)散。該缺陷可以通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與遺傳算法的結(jié)合加以改善，而且該方法對數(shù)據(jù)量的大小具有一定的要求。關(guān)鍵字：小波變換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)Arma模型

1問題的提出當(dāng)今世界的經(jīng)濟(jì)格局復(fù)雜多變，經(jīng)濟(jì)的全球化緊密將各國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展緊密地聯(lián)系起來，成為一個經(jīng)濟(jì)網(wǎng)絡(luò)，互相影響，任何一個微小的波動都有可能發(fā)展成全局的震蕩。金融市場是一個國家經(jīng)濟(jì)運行的核心，更是世界經(jīng)濟(jì)的核心，探求金融市場的變化規(guī)律，從而進(jìn)行有效的金融管理以提高金融投資效率，這些都是各國政府與投資機(jī)構(gòu)孜孜以求的目標(biāo)，也是每個單體投資人的目標(biāo)。而金融時間序列代表的是經(jīng)濟(jì)與金融領(lǐng)域中最重要的數(shù)據(jù)，因為其代表的是資產(chǎn)價值隨時間的演變。故，對這類數(shù)據(jù)的研究能夠很好的反應(yīng)本國的經(jīng)濟(jì)狀態(tài)和發(fā)展趨勢，全面考慮未來有可能發(fā)生的情況，從而制定更適合未來發(fā)展的政策。從宏觀的角度來看，金融時間序列包括股票，股票，利率以及期權(quán)期貨市場等等。作為數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的一個分支，時間序列分析自1960年代起就已經(jīng)得到了廣泛的研究。傳統(tǒng)的金融時間序列分析方法主要包括基本分析、技術(shù)分析以及各種數(shù)理統(tǒng)計學(xué)方法等。而以我國來看，證券市場一直在我國金融市場中占有不可動搖的主導(dǎo)地位，它是我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展的“晴雨表”，其發(fā)展依靠實體經(jīng)濟(jì)的支撐并且能夠真實的反應(yīng)公眾對實體經(jīng)濟(jì)發(fā)展的預(yù)期。 隨著中國經(jīng)濟(jì)市場的逐漸完善，證券市場不斷成為中國社會經(jīng)濟(jì)生活中的一個重要元素。因此，為了更好的保證我國的經(jīng)濟(jì)政策的健康，穩(wěn)定，持續(xù)的發(fā)展，我們必須有效地分析中國以至世界的證券市場的波動性及發(fā)展趨勢，進(jìn)而對國內(nèi)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢做一個大體的預(yù)測。而要對證券市場進(jìn)行分析，就必須綜合大量的歷史數(shù)據(jù)，并從這些歷史數(shù)據(jù)中總結(jié)出潛在的規(guī)律，從而根據(jù)這些規(guī)律對將來的證券走勢進(jìn)行預(yù)測。因此，金融時間序列分析理論也正式誕生。由于股票的所有歷史價格可以看成是一個高頻的金融時間序列，因此，深入的研究金融時間序列對證券市場的發(fā)展和完善有著重大的指導(dǎo)意義。（王文利，2004）本文以研究美國紐約指數(shù)(S&P指數(shù))為例，提出了一種預(yù)測股票收益率的方法。由于股票市場基本上具有一致性，故此研究對中國股票收益率的研究也有著借鑒意義。2傳統(tǒng)方法及改進(jìn)的方法普通的時間序列分析方法是數(shù)理統(tǒng)計的一個重要的應(yīng)用，然而，傳統(tǒng)的時間序列的分析方法大都集中于對整個時間域的數(shù)據(jù)進(jìn)行整合，并且假設(shè)時間序列是一個平穩(wěn)的序列，自相關(guān)性隨著時間間隔的增大而不斷衰減。傳統(tǒng)時間序列所采用的定常參數(shù)數(shù)學(xué)模型和真實系統(tǒng)的實變性之間的差異，導(dǎo)致無法有效地處理具有較大規(guī)模的數(shù)據(jù)集。此外也不適合用于從大量的數(shù)據(jù)中主動地發(fā)現(xiàn)各種潛在的規(guī)則。但是，金融時間序列包含了強(qiáng)烈的不確定因素，它通常都表現(xiàn)出強(qiáng)非平穩(wěn)性及較長的記憶性。例如，資產(chǎn)波動率有著各種不同的定義，對一個股票收益率序列，波動率是不能直接觀察到的。因此，如果對金融時間序列用傳統(tǒng)的方法，如自回歸模型（AR模型），隨機(jī)滑動模型（MA模型）等等，得出來的結(jié)論可能會存在很大的偏差。然而如果我們考慮利用時頻聯(lián)合分析方法分析金融時間序列，就可以極大地解決上述的問題。現(xiàn)階段，時頻聯(lián)合分析方法主要包括Wigner分布和小波變換兩種。相比之下，小波分析能夠通過伸縮和平移運算，改變時間頻率的分析窗的大小，從而對時間序列進(jìn)行多分辨分析。更進(jìn)一步，小波分析能把全空間分解成若干個子空間，而每個子空間擁有較小的頻率帶，即波動率更小。因此，在每個子空間上對時間序列進(jìn)行預(yù)測能夠得到更好的效果。本文就是利用小波分析的減噪能力處理分解原時間序列，在若干個子空間內(nèi)分別得到一個子序列；然后對每個子序列運用數(shù)據(jù)挖掘的技術(shù)進(jìn)行預(yù)測；最終再將預(yù)測得到的新序列通過小波重建技術(shù)重新整合3 模型構(gòu)造前的準(zhǔn)備3.1數(shù)據(jù)的來源根據(jù)google/finance上面公布的數(shù)據(jù)可以查到S&P500指數(shù)的所有歷史數(shù)據(jù)，本文截取1999.4.4-2011-6.19的3084個數(shù)據(jù)點，每個數(shù)據(jù)點包括股指在當(dāng)期的開盤價，收盤價，最高價及最低價，本文采用每日的收盤價進(jìn)行研究。數(shù)據(jù)如下圖股價圖為了能夠檢驗?zāi)Ｐ偷目尚行?，我們截?999.4.4-2011.6.1的3072個數(shù)據(jù)點作為模型的原始數(shù)據(jù)，以此來預(yù)測后12個時間序列點。再將預(yù)測的序列和2011.5.30-2011.6.19的12個時間數(shù)據(jù)點進(jìn)行比較，求出相對誤差。3.2對數(shù)據(jù)的處理3.2.1標(biāo)準(zhǔn)化處理1.當(dāng)進(jìn)行小波分解時，由于本文中處理的數(shù)據(jù)小數(shù)點后的位數(shù)過多，在編程時可能造成數(shù)據(jù)丟失，故將原始數(shù)據(jù)都乘以1000。xi2.在進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法時，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理xi3.2.2收益率的定義對數(shù)收益率rt簡單收益率rt考慮到對數(shù)收益率擁有更好的統(tǒng)計性質(zhì)（統(tǒng)計與金融），本文采用對數(shù)收益率分析原始序列。如下圖：收益率圖4模型的建立（WBPAR模型）4.1建模思路傳統(tǒng)的線性計量模型都只能提取時間序列的整體及整個時間域的信息從而對未來進(jìn)行預(yù)測，這就要求時間序列有很好的平穩(wěn)性，因而無法處理序列中那些由于短時間突發(fā)事件而產(chǎn)生的“奇異點”對未來的影響。針對這種情況，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法通過模擬大腦神經(jīng)元的學(xué)習(xí)過程，記憶信息的方式很擅長描述變量之間的非線性關(guān)系，能夠很好的把握序列局部的性質(zhì)及短時間內(nèi)的影響。然而，在實際運用中，如果直接運用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型學(xué)習(xí)訓(xùn)練以逼近復(fù)雜的高頻金融時間序列，尋找序列的內(nèi)在的關(guān)系和趨勢時，往往需要大量的輸入數(shù)據(jù)，這樣要消耗大量的時間；而且這些金融時間序列往往擁有很強(qiáng)的記憶性，也就是說序列的自相關(guān)系數(shù)衰減程度不大。因此，要成功的預(yù)測此序列，也需要在一定程度上對序列的整個時間域進(jìn)行分析，而這對于側(cè)重局部數(shù)據(jù)分析的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論來說是災(zāi)難性的。因此我們考慮用小波分析的理論對原高頻金融時間序列進(jìn)行減噪處理（即降低序列的波動性），然后結(jié)合線性回歸模型（AR模型）和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法（BP算法）對處理后的序列進(jìn)行預(yù)測。進(jìn)一步說，小波分析能夠把原始序列分解成低頻部分（尺度序列）及高頻部分（小波序列）。一方面，低頻部分代表了原始序列的概貌（即序列大體的走勢方向）。由于去掉了序列中的噪聲，這一部分的自相關(guān)性很強(qiáng)，而且基本上可以看成是平穩(wěn)的，線性的，因此，用AR模型預(yù)測這一部分的效果比神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更好；另一方面，高頻部分代表了原始序列中的短時間內(nèi)的“奇異點”（即噪聲），這些序列通常具有非平穩(wěn)性，非線性，非正態(tài)，要求快速響應(yīng)等特點，而且這些短時間內(nèi)的噪聲與其他短時間內(nèi)的噪聲的相關(guān)性很低，因此，運用側(cè)重局部數(shù)據(jù)分析的非線性模型—神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對這部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測是很合適的。利用小波分解將兩種方法加以結(jié)合則能夠發(fā)揮二者數(shù)據(jù)處理的優(yōu)勢。為了檢驗?zāi)Ｐ偷念A(yù)測效果，我們將在網(wǎng)上找到的S&P股票的歷史價格（1999.4.15-2011-6.28）分為兩部分，前3072個序列點（1999.5.23-2011.5.23）作為模型中的歷史數(shù)據(jù)，以這些數(shù)據(jù)為原始時間序列來預(yù)測后11個時間序列。再用這需測出來的12個序列點與真實數(shù)據(jù)比較（S&P在2011.6.3-2011.6.28之間的歷史價格），求出誤差。并將這個誤差與直接用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法預(yù)測出來誤差相比較，從而評價模型的優(yōu)劣性?？偠灾疚牡臄?shù)據(jù)處理過程分為以下四步：用小波分析理論對原始金融時間序列進(jìn)行分解，得到時間序列在各個小波變換域的變化序列和最后的尺度變換序列。運用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對各個小波變換域里的變化序列進(jìn)行預(yù)測，并用AR模型對尺度變換序列進(jìn)行預(yù)測。將第二步中預(yù)測出來的各個新序列用小波重建技術(shù)合并產(chǎn)生原始序列的短期預(yù)測。將得到的預(yù)測序列和原始序列進(jìn)行比較，檢驗該模型的預(yù)測效果。具體的流程圖為流程圖由于該模型結(jié)合了小波理論，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，AR模型，故成為WBPAR模型。4.2對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行小波分解4.2.1小波分析的基本理論定義：QUOTE{Vj}j∈Z{Vj}j∈Z是空間QUOTEL2（R）L2（R）的一個閉子空間列，QUOTE{Vj}j∈Z{Vj}j∈Z被稱為QUOTEL一致單調(diào)性QUOTEVj+1VjVj+1Vj,jQUOTE∈Z;漸進(jìn)完全性QUOTE∩Vj={0}∩Vj={0},QUOTE∪Vj=L伸縮規(guī)則性QUOTEf(2x)∈Vjf(x)∈Vj+1正交基存在性存在QUOTEx∈V0,使{x-k}k∈Z是V0的標(biāo)準(zhǔn)正交基.x∈V0,定理設(shè)QUOTE{Vj}j∈Z{Vj}j∈Z是由尺度函數(shù)QUOTE生成的多分辨分析，則對任意的QUOTEj∈Zj∈Z，函數(shù)集QUOTE{jkx=2j/22j/2x-k}k∈Z{jk定理設(shè)QUOTE{Vj}j∈Z{Vj}j∈Z是由尺度函數(shù)QUOTEx則QUOTEhk=-∞+∞x定理定義x令{W則QUOTEWj+1Wj+1是QUOTEVj+1Vj+1在QUOTEVjVj中的正交補(bǔ)空間，即QUOTEVj=Wj+1Vj+1分解算法假設(shè)f是我們要處理的時間序列（先假設(shè)是一個連續(xù)函數(shù)），可看作QUOTEf∈L2（R）f∈L2（R），但我們測得的信號只是實際信號QUOTEfjfj的一個近似，設(shè)QUOTEfj∈Vjfj∈Vj，由于QUOTE{jkx}fj顯然c然而又有Vj因此fj其中cj+1,k結(jié)合(1),(2),(3)式可以得到cj+1,kdj+1,k類似的不斷這樣分解下去，可以將QUOTEfj+1fj+1分解為QUOTEVj+2Vj+2空間上的函數(shù)QUOTEfj+2fj+2與QUOTEWj+2Wj+2空間上的函數(shù)QUOTEwj+2wj+2，并得到相應(yīng)的尺度系數(shù)QUOTE{cj+2,k}k∈Z{cj+2,k}k∈Z及相應(yīng)的小波系數(shù)QUOTE{dj+2,k}k∈Z{dj+2,k}k∈Z……最終可以得到QUOTEfjfj進(jìn)一步來看，我們將QUOTEfjfj在其子空間上分解，求出它在各空間上的子函數(shù)（即根據(jù)(4)式迭代求出尺度函數(shù)系數(shù)QUOTE{cj,k}j,k∈Z{cj,k}j,k∈Z與小波函數(shù)系數(shù)QUOTE{dj,k}我們必須將系數(shù)初始化，即給QUOTEcjkcjk賦值。當(dāng)QUOTEfjfj為連續(xù)函數(shù)時，cjk因為在本文中，QUOTEfjfj為離散序列時，故需要對QUOTEfjfj進(jìn)行抽樣取值近似上面積分，cjk重構(gòu)算法對于給定的信號f，按照前面的分解算法可以將其分解為QUOTEVMVM與QUOTEWlWl(j<l<M)中的成分，然后根據(jù)需要對分解后的序列進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，當(dāng)處理后，小波系數(shù)QUOTE{dj,k}j,k∈Z{dj,k}j,k∈Z會發(fā)生變化，這就需要一個重構(gòu)算法，使處理后的信號QUOTEff能用QUOTEVjVj里的基底表示，即使f=設(shè)fj令fM-1即k∈Zc則cM-1,n類似的，可以重構(gòu)出QUOTEflfl(j<l<M)，并得到其的小波系數(shù)QUOTE{cj,k}j,k∈Z{cj,k最終得到QUOTEfjfj。4.2.2小波分解需要解決的問題：選用什么樣的小波基函數(shù)對原序列進(jìn)行分解；需要將序列進(jìn)行多少次分解：Mallat算法每循環(huán)一次都要進(jìn)行二抽樣，因此，隨著分解的增加，分辨率的降低，子序列的數(shù)據(jù)點變少，需要找一種改進(jìn)算法來克服這一缺點。問題的解決：對于問題一由于本文處理的時間序列的波動性較大，而且序列中有“奇異點”存在，故所采用的小波最好具有對稱性，否則在分解重構(gòu)后會造成失真（/s/blog_4b700c4c0100pptl.html）,(因為其不滿足線性相位)；另一方面，由于序列具有一定的相關(guān)性，即有冗余性，為了消除冗余性，應(yīng)盡量采用具有正交性的小波基，否則，當(dāng)采用非正交基的時候，基小波的系數(shù)之間會體現(xiàn)出依賴，這樣分解得到的小波子空間中的序列會有一定相關(guān)性，這種情況再用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法預(yù)測會有較大的誤差。綜上所述，最好采用具備正交性及對稱性的基小波，而只有Haar小波同時具備這兩個性質(zhì)，故采用Haar小波。對于問題二由于股票波動頻繁，分解層數(shù)越多越好；但隨著分解階數(shù)的增加，尺度空間和小波空間的變化越來越小，而工作量卻成倍的增加，故分解層數(shù)也不宜過多。經(jīng)過比較，選用6層分解。對于問題三為了得到一個穩(wěn)定的時間序列預(yù)測，我們需要分解出來的子序列的數(shù)據(jù)點相較于原始序列不減少，因此我們考慮在原始序列抽樣取值時，在偶數(shù)點上加上0，這樣一來，原始序列的抽樣點變多一倍，則子序列的抽樣點便與原始序列抽樣點數(shù)量一樣了。對時間序列進(jìn)行分解根據(jù)上面所闡述的算法，由matlab2010編程可得到分解后的各個小波空間的子時間序列及各尺度空間的序列，具體如下圖（注意，由于證券收益率太小，有太多位小數(shù)，我們在處理數(shù)據(jù)時可能會造成數(shù)據(jù)丟失，故我們將所有數(shù)據(jù)均乘以1000.）小波空間的序列圖表SEQ圖表\*ARABIC1(第一級小波空間Wj+1)圖表SEQ圖表\*ARABIC2(第二級小波空間Wj+2)圖表SEQ圖表\*ARABIC3(第三級小波空間Wj+3)圖表SEQ圖表\*ARABIC4(第四級小波空間Wj+4)圖表SEQ圖表\*ARABIC5(第五級小波空間Wj+5)圖表SEQ圖表\*ARABIC6(第六級小波空間Wj+6)尺度空間的序列圖表SEQ圖表\*ARABIC7(第一級尺度空間Vj+1)圖表SEQ圖表\*ARABIC8(第二級尺度空間Vj+2)圖表SEQ圖表\*ARABIC9(第三級尺度空間Vj+3)圖表SEQ圖表\*ARABIC10(第四級尺度空間Vj+4)圖表SEQ圖表\*ARABIC11(第五級尺度空間Vj+5)圖表SEQ圖表\*ARABIC12(第六級尺度空間Vj+6)由上圖可以看出隨著分解的深入，尺度序列與小波序列都呈現(xiàn)出了越來越低的分辨率，曲線變的越來越平滑。特別的，由于小波序列屬于原始序列的高頻部分，表示了原序列的細(xì)節(jié)變化部分，所以圖像呈現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性性，故需要高響應(yīng)度的算法來處理，而且序列曲線呈現(xiàn)出了一定的周期性，即表示序列的自相關(guān)度較小，因此進(jìn)一步說明，用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法預(yù)測是可取的。但是可以發(fā)現(xiàn)，低層次的小波序列很不平滑，變化頻率很高，用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法來預(yù)測這一部分的子序列還是會有較大的誤差。另一方面，隨著分解層數(shù)的增加，尺度序列變得越來越簡單（即越來越逼近原序列的概貌），第六級尺度空間的序列擁有較好的平穩(wěn)性及線性性，故采取線性自回歸模型來預(yù)測效果更好。4.3時間子序列的預(yù)測4.3.1小波空間變換序列的預(yù)測BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對于具有小波分解后產(chǎn)生的高度非線性的小波空間，借助前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（BP）算法處理非線性問題的自適應(yīng)特性分別對各級小波空間的序列進(jìn)行模擬進(jìn)而預(yù)測股市的變化趨勢。通過對已有數(shù)據(jù)的訓(xùn)練來調(diào)節(jié)系統(tǒng)的權(quán)值與閾值以及偏移量，進(jìn)而利用得到的網(wǎng)絡(luò)模型作用于后期的輸入量以得到輸出的預(yù)測值。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基本模型具體來說，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的建立通過以下幾步得以實現(xiàn)：隨時間變化的收益率作為待訓(xùn)練系統(tǒng)的目標(biāo)量，而標(biāo)志其變化的時序作為網(wǎng)絡(luò)的輸入量對目標(biāo)量與輸入量進(jìn)行歸一化處理得到網(wǎng)絡(luò)模型輸入端的有效數(shù)據(jù)網(wǎng)絡(luò)初始化時將隱層神經(jīng)元的個數(shù)設(shè)置為20，初始化網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)移函數(shù)與訓(xùn)練函數(shù)分別是tan-sigmoid、traingd利用各級小波空間已有的3072個數(shù)據(jù)對該網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行自適應(yīng)訓(xùn)練，迭代500次后即可得到訓(xùn)練的系統(tǒng)，由訓(xùn)練結(jié)果可以得到該系統(tǒng)對已有數(shù)據(jù)預(yù)測輸出的有效性進(jìn)行評估。檢驗后即可對后期的輸入（時序）進(jìn)行模擬預(yù)測，最終得到各級今后10個時隙的預(yù)測值作為總體預(yù)測值在該級小波空間的投影模型結(jié)果根據(jù)上述模型，用matlab2010編程實現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法得未來1級小波空間2級小波空間3級小空間4級小波空間5級小波空間6級小波空間時刻13.0984-0.22041.20383.40551.080.6042時刻2-3.5036-2.8978-0.86433.29351.19440.6097時刻3-2.4421-3.6489-2.81681.7218-1.33410.6072時刻4-1.1449-3.3695-3.01990.9137-2.91730.6046時刻5-0.56270.3103-1.19370.8009-1.69090.5945時刻6-0.4228-0.4317-1.5608-0.2601-1.37980.5834時刻70.23220.2826-0.05122.64021.2410.5711時刻8-0.4279-0.1764-1.4128-1.2562-1.12820.5612時刻90.35340.046-0.4929-1.59031.05960.5485時刻101.86390.78160.31081.7931.98670.6315時刻11-1.8560.47480.206-1.84230.86780.5068時刻120.30360.37540.5544-1.48630.75660.4791擬合度(R)0.90430.96130.98540.99490.99860.9959由上表可知，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對于各個小波空間序列的擬合程度很高。4.3.2尺度空間變換序列的預(yù)測根據(jù)小波分析理論，隨著尺度空間階數(shù)增大，原序列在此尺度空間中投影得到的序列具有越來越好的線性性及平穩(wěn)性。為了科學(xué)起見，我們用單位根檢驗判斷序列的平穩(wěn)性。單位根檢驗此處我們通過利用軟件EViews6.0得出序列的自相關(guān)分析圖判斷序列的平穩(wěn)性通過觀察圖像，由于圖像不具有長期明顯的上漲或者下降，而且圖像的均值接近0，因此我們使用軟件進(jìn)行單位根檢驗的時候選擇既不含常數(shù)項也不含趨勢項形式的方程QUOTE?yt=ρa(bǔ)-1y由上圖可知，軟件取定P的最佳取值為12，且此時檢驗t統(tǒng)計量值為-13.29253，遠(yuǎn)小于顯著性水平為1%的臨界值，因此可以拒絕原假設(shè)，即序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。故我們采用AR(p)模型進(jìn)行預(yù)測。AR模型首先確定階數(shù)P根據(jù)文獻(xiàn)（金融時間序列分析）應(yīng)選擇合適的p值，使得AICp最小，其中QUOTEP2P2是QUOTEa2a2的最大似然估計，QUOTEa2a通過統(tǒng)計軟件的計算，p取12可以使得AIC最小。故可以建立AR(12)模型rt上式中，QUOTErtrt表示當(dāng)期的尺度變化值，QUOTErt-irt-i表示i時刻前的尺度變化值。用馬可威軟件進(jìn)行求解，并對得到的方程進(jìn)行系數(shù)顯著性檢驗，剔除那些系數(shù)不顯著的，并重新建立AR模型，最后可得rt運用馬可威軟件可得各變量的系數(shù)如下表由上表可知，各變量的顯著性都很好。由以上殘差表可知，模型的擬合度很好。再根據(jù)自回歸AR模型預(yù)測出尺度序列的點列可得下圖：4.4預(yù)測數(shù)據(jù)的重構(gòu)及檢驗預(yù)測結(jié)果根據(jù)上述的模型，我們對S&P在2011.5.30-2011.6.18這中間的12個時間序列點進(jìn)行預(yù)測，可以得到下表1級小波序列2級小波序列3級小波序列4級小波序列5級小波序列6級小波序列6級尺度序列重構(gòu)序列3.0984-0.22041.20383.40551.080.60420.6851939.856693-3.5036-2.8978-0.86433.29351.19440.60970.697416-1.470684-2.4421-3.6489-2.81681.7218-1.33410.60720.708741-7.204159-1.1449-3.3695-3.01990.9137-2.91730.60460.719114-8.214186-0.56270.3103-1.19370.8009-1.69090.59450.728856-1.012744-0.4228-0.4317-1.5608-0.2601-1.37980.58340.737933-2.7338670.23220.2826-0.05122.64021.2410.57110.7463975.662297-0.4279-0.1764-1.4128-1.2562-1.12820.56120.754388-3.0859120.35340.046-0.4929-1.59031.05960.54850.7618890.6861891.86390.78160.31081.7931.98670.63150.7688798.136379-1.8560.47480.206-1.84230.86780.50680.775364-0.8675360.30360.37540.5544-1.48630.75660.47910.7813381.764138與真實數(shù)據(jù)比較可得（預(yù)測數(shù)據(jù)要除以1000）結(jié)果分析由上圖可知，預(yù)測序列在A點，B點，C點的預(yù)測效果比較差，特別是A點，股票的走勢都預(yù)測錯了，但其他點的預(yù)測效果還可以。經(jīng)過分析我們得出結(jié)論，WBPAR模型不能很好的對證券市場中的未知的突發(fā)事件作出及時響應(yīng)。例如我們對位于A時刻（2011.6.1）的預(yù)測點與實際序列進(jìn)行分析，首先，我們列出A時刻前五個時刻的證券收益率的變化圖，收益率的變化圖從圖中可以看出，在2011.6.2S&P500指數(shù)發(fā)生了突變，經(jīng)過查詢資料（）我們得知，這是因為在當(dāng)天美國政府發(fā)布了美國前幾個月的經(jīng)濟(jì)報表，公布了美國金融危機(jī)后期經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇速度遲緩的事實，導(dǎo)致投資者的信心受挫，對市場產(chǎn)生擔(dān)憂，這一信息迅速反應(yīng)到證券市場中，使得股指由6.1日的大漲（漲幅1.5%）變成6.2日的大跌（跌幅2.3%）。而這一個突發(fā)事件是從歷史數(shù)據(jù)中不可能預(yù)測的到，即WBPAR無法及時從歷史數(shù)據(jù)中獲得這個突發(fā)事件的信息，故在A點預(yù)測失敗。對于B點與C點，6月10號及6月15日，股指的大幅波動，則是由于，6月以來原油價格的進(jìn)一步走低；穆迪警告下調(diào)意大利銀行的信用評價，加劇了歐洲的債務(wù)危機(jī)；對于這些事件，（主要是原油下跌的事件）歷史數(shù)據(jù)中有一定的體現(xiàn)，所以WBPAR模型有一定的反應(yīng)，但響應(yīng)不夠精確，故預(yù)測數(shù)據(jù)的誤差較大。而對于其他點，WBPAR模型的預(yù)測結(jié)果的誤差還是很小的。這是因為，WBPAR模型對突發(fā)事件的響應(yīng)有滯后性，例如，WBPAR模型在對6.3日進(jìn)行預(yù)測時，考慮了6.2日的突發(fā)事件的影響，因此預(yù)測數(shù)據(jù)比較成功?？傊琖BPAR模型只能從歷史數(shù)據(jù)中獲得信息，并運用這些信息對未來進(jìn)行預(yù)測，而對那些未知的突發(fā)事件的響應(yīng)具有滯后性。最后將WBPAR模型，直接用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，直接用AR模型得到的預(yù)測序列比較得若直接運用AR模型得到下表即如果直接用AR模型預(yù)測，擬合度R特別低。因為原始序列是高度非線性的，故直接用AR模型的預(yù)測效果極差。我們再比較WBPAR模型及BP模型,預(yù)測結(jié)果如下表WBPAR模型BP模型原始數(shù)據(jù)0.00985670.0120968-0.0230483-0.0014707-0.0030955-0.0012255-0.00720420.0030769-0.0097816-0.0082142-0.0023671-0.0108185-0.0010127-0.0075879-0.0009568-0.0027339-0.001828-0.00419580.00566230.00758790.0073505-0.00308590.001828-0.01407850.00068620.0027480.00066860.0081364-0.00053180.0125329-0.0008675-0.00004894-0.01758560.00176410.00160.0017528由上圖可以得到，WBPAR模型的預(yù)測效果明顯優(yōu)于BP模型，再對求相對誤差得，相對誤差WBPAR模型0.127(剔除A,B,C點)BP模型1.101由以上可知，使用普通BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測時會出現(xiàn)較大幅度的相對誤差，而且有很多數(shù)據(jù)甚至連正負(fù)都預(yù)測錯了。而另一方面，混合策略WBPAR模型則有明顯的改善，進(jìn)而能夠?qū)?shù)據(jù)進(jìn)行相對有效的預(yù)測，雖然相對誤差較大，但是由于數(shù)據(jù)本身的絕對值較小，所以預(yù)測序列絕對誤差很小。5模型評價及改進(jìn)方向5.1優(yōu)點：該模型以小波理論為基礎(chǔ)將待分析序列分別投射到不同頻段的小波空間與尺度空間，以對序列進(jìn)行時頻窗分析，實現(xiàn)序列概貌與細(xì)節(jié)的分解，再對兩個領(lǐng)域分別運用適用的方法進(jìn)行有效的預(yù)測。利用這種分解策略能實現(xiàn)較之傳統(tǒng)方法更為有效的預(yù)測對序列在具有高度非平穩(wěn)性的小波空間的投影序列建立具有自適應(yīng)與非線性的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，構(gòu)造前向反饋神經(jīng)系統(tǒng)進(jìn)而實現(xiàn)對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行多次訓(xùn)練可以有效處理因高頻變化的非線性序列，最終進(jìn)行有效的預(yù)測。而對序列在尺度空間的投影則充分利用其平穩(wěn)性進(jìn)行自回歸模型進(jìn)行預(yù)測，這樣就將兩種使用與不同對象的預(yù)測方法實現(xiàn)有機(jī)結(jié)合5.2缺點及改進(jìn)方向：對序列在高頻空間映射的處理利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法時，對于實際情況可能出現(xiàn)的突發(fā)事件不能有效的預(yù)測，進(jìn)而可能出現(xiàn)預(yù)測誤差的擴(kuò)散影響以后的預(yù)測效果。針對這個缺陷，可以考慮利用遺傳算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的結(jié)合，即基于遺傳算法的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。遺傳算法中的基因變異可以從概率的角度體現(xiàn)可能出現(xiàn)的突發(fā)事件（變異），再結(jié)合對神經(jīng)元的權(quán)值與閾值的調(diào)節(jié)對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測該混合策略的處理一方面要對數(shù)據(jù)實現(xiàn)多空間的分解，另一方面需要進(jìn)行前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造以對數(shù)據(jù)進(jìn)行多次訓(xùn)練，然而這些都要建立在一定數(shù)據(jù)量的基礎(chǔ)上。因此，該模型需要有足夠的數(shù)據(jù)支持才能進(jìn)行行之