高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 課時(shí)分層作業(yè) 二十二 3.5.2 簡(jiǎn)單的三角恒等變換 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

課時(shí)分層作業(yè)二十二簡(jiǎn)單的三角恒等變換一、選擇題(每小題5分,共35分)1.化簡(jiǎn):= ()A.sin2α B.tan2α C.sin2 D.tan2【解析】選D.原式==tan2.2.(2018·沈陽模擬)化簡(jiǎn)= ()A.1 B. C. D.2【解析】選C.原式====.【一題多解】本題還可以采用如下解法:選C.原式====.3.(2016·浙江高考)設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+bsinx+c,則f(x)的最小正周期()A.與b有關(guān),且與c有關(guān)B.與b有關(guān),但與c無關(guān)C.與b無關(guān),且與c無關(guān)D.與b無關(guān),但與c有關(guān)【解題指南】先利用倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn),再求最小正周期.【解析】選B.f(x)=sin2x+bsinx+c=+bsinx+c=-+bsinx+c+,其中當(dāng)b=0時(shí),f(x)=-+c+,此時(shí)周期為π;當(dāng)b≠0時(shí),周期為2π,而c不影響周期.4.已知銳角α,β滿足sinα-cosα=,tanα+tanβ+·tanαtanβ=,則α,β的大小關(guān)系是 ()A.α<<β B.β<<αC.<α<β D.<β<α【解析】選B.因?yàn)棣潦卿J角且sinα-cosα=>0,所以sinα>cosα,即tanα>1,故α>,又因?yàn)閠anα+tanβ=(1-tanαtanβ),所以tan(α+β)==,故α+β=,所以α=-β>,故β<,所以β<<α.5.計(jì)算:= ()A. B.- C. D.-【解析】選D.原式=-·=·tan=-.6.(2018·大連模擬)已知f(x)=sin2x+sinxcosx,則f(x)的最小正周期和一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間分別為 ()A.π,[0,π] B.2π,C.π, D.2π,【解析】選C.因?yàn)閒(x)=sin2x+sinx·cosx=+sin2x=sin+.所以函數(shù)的最小正周期為T==π,由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).取k=0得-≤x≤,故是f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間.7.(2018·煙臺(tái)模擬)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)為偶函數(shù),且函數(shù)y=f(x)的圖象的兩相鄰對(duì)稱軸的距離為,則f= ()A. B. C. D.【解析】選A.因?yàn)閒(x)=2sin為偶函數(shù),所以φ-=kπ+,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=.又因?yàn)閒(x)圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為,所以T=π,故ω=2.所以f(x)=2sin=2sin=2cos2x.故f=2cos=.二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2017·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=2cosx+sinx的最大值為__________.

【解析】根據(jù)輔助角公式,可以得到f(x)=2cosx+sinx=sin(x+φ),由于sin(x+φ)的最大值為1,故f(x)的最大值為.答案:9.已知f(x)=2tanx-,則f=________. 【解析】因?yàn)閒(x)=2tanx-=2tanx+2·=+==,所以f===8.答案:810.計(jì)算:cos20°cos40°cos60°cos80°=________.

【解析】原式=cos20°cos40°cos80°=·=.答案:【變式備選】計(jì)算:cos·cos·cos=________.

【解析】原式=-coscoscos==-.答案:-1.(5分)已知f(x)=,當(dāng)α∈時(shí),式子f(sin2α)-f(-sin2α)可化簡(jiǎn)為 ()A.2sinα B.-2cosαC.-2sinα D.2cosα【解析】選D.f(sin2α)-f(-sin2α)=-=-=|sinα-cosα|-|sinα+cosα|.由于α∈時(shí),sinα<cosα<0,所以原式=cosα-sinα+sinα+cosα=2cosα.【誤區(qū)警示】解答本題容易忽視根據(jù)α∈,判斷sinα-cosα和sinα+cosα的符號(hào),導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.2.(5分)函數(shù)f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ()A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【解析】選C.因?yàn)閒(x)=2sin的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,所以2×+θ+=kπ(k∈Z),故θ=kπ-(k∈Z),又因?yàn)閨θ|<,所以θ=,即f(x)=2sin,由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤-+kπ,故函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(k∈Z).3.(5分)已知13sinα+5cosβ=9,13cosα+5sinβ=15,那么sin(α+β)的值為________.

【解析】將兩等式的兩邊分別平方再相加得169+130sin(α+β)+25=306,所以sin(α+β)=.答案:4.(12分)已知函數(shù)f(x)=sin2x+a·cos2x(a∈R). (1)若f=2,求a的值.(2)若f(x)在上單調(diào)遞減,求f(x)的最大值.【解析】(1)因?yàn)閒=sin+a·cos=2,所以+a·=2.故得:a=1.(2)由題意:f(x)=sin(2x+θ),其中tanθ=,所以函數(shù)的周期T=π,且-=,所以當(dāng)x=時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,即f(x)max=f=sin=,所以sin=1,所以θ=+2kπ,k∈Z.所以tanθ==,所以a=3.故得f(x)=2sin.因此f(x)的最大值為2.5.(13分)(2018·青島模擬)如圖,在等腰直角△OPQ中,∠POQ=90°,OP=2,點(diǎn)M在線段PQ上.若點(diǎn)N在線段MQ上,且∠MON=30°,問:當(dāng)∠POM取何值時(shí),△OMN的面積最小?并求出面積的最小值. 【解析】設(shè)∠POM=α,0°≤α≤60°,在△OMP中,由正弦定理,得=,所以O(shè)M=,同理ON=