新教材適用2024版高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)第1篇核心專題提升多維突破專題4立體幾何第2講空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系課件

第一篇核心專題提升?多維突破專題四立體幾何第2講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系分析考情·明方向真題研究·悟高考考點(diǎn)突破·提能力分析考情·明方向高頻考點(diǎn)高考預(yù)測以幾何體為載體考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷判定點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，判定線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直．主要是以選擇題、填空題為主，也在解答題的第一問中.線面平行，面面平行的判定和性質(zhì)線面垂直，面面垂直的判定和性質(zhì)

真題研究·悟高考1.(2020·全國卷Ⅰ)設(shè)l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則(

)A．若α∥β，則對任意的l?α，m?β，都有l(wèi)∥mB．若α⊥β，則對任意的l?α，m?β，都有l(wèi)⊥mC．若α∥β，則對任意的l?α，都存在m?β，使得l⊥mD．若α⊥β，則對任意的l?α，都存在m?β，使得l∥mC【解析】若α∥β，則對任意的l?α，m?β，則l和m可能平行，也可能異面，故A錯(cuò)誤；若α⊥β，則對任意的l?α，m?β，則l和m可能垂直，平行，相交，故B錯(cuò)誤；若α∥β，則對任意的l?α，都存在m?β，使得l和m異面垂直，故C正確；若α⊥β，則對任意的l?α，都存在m?β，使得l∥m是錯(cuò)誤的，當(dāng)直線l與平面β相交時(shí)，不存在直線與l平行，故D錯(cuò)誤，選C.2.(2022·全國甲卷)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°，則(

)A．AB＝2ADB．AB與平面AB1C1D所成的角為30°C．AC＝CB1D．B1D與平面BB1C1C所成的角為45°D【解析】如圖所示，3.(2022·浙江卷)如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1，AC＝AA1，E，F(xiàn)分別是棱BC，A1C1上的點(diǎn)．記EF與AA1所成的角為α，EF與平面ABC所成的角為β，二面角F－BC－A的平面角為γ，則(

)A．α≤β≤γ B．β≤α≤γC．β≤γ≤α

D．α≤γ≤βA【解析】如圖所示，過點(diǎn)F作FP⊥AC于P，過P作PM⊥BC于M，連接PE，4.(多選)(2022·全國新高考Ⅰ卷)已知正方體ABCD－A1B1C1D1，則()A．直線BC1與DA1所成的角為90°B．直線BC1與CA1所成的角為90°C．直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D．直線BC1與平面ABCD所成的角為45°ABD【解析】如圖，連接B1C、BC1，因?yàn)镈A1∥B1C，所以直線BC1與B1C所成的角即為直線BC1與DA1所成的角，因?yàn)樗倪呅蜝B1C1C為正方形，則B1C⊥BC1，故直線BC1與DA1所成的角為90°，A正確；5.(多選)(2021·全國新高考Ⅱ卷)如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足MN⊥OP的是()BC對于B，如圖(2)所示，取NT的中點(diǎn)為Q，連接PQ，OQ，則OQ⊥NT，PQ⊥MN，由正方體SBCM－NADT可得SN⊥平面NADT，而OQ?平面NADT，故SN⊥OQ，而SN∩MN＝N，故OQ⊥平面SNTM，又MN?平面SNTM，OQ⊥MN，而OQ∩PQ＝Q，所以MN⊥平面OPQ，而PO?平面OPQ，故MN⊥OP，故B正確．(1)求證：EF∥平面ADO；(2)若∠POF＝120°，求三棱錐P－ABC的體積．【解析】(1)證明：在Rt△ABC中，作FH⊥AB，垂足為H，設(shè)AH＝x，則HB＝2－x，因?yàn)镕H∥CB，所以Rt△AHF∽Rt△ABC，又因?yàn)椤螧FH＝∠FBO，所以∠AOB＝∠FBH，且∠BHF＝∠OBA＝90°，所以Rt△BHF∽Rt△OBA，即AH＝1，所以H是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镋是PA的中點(diǎn)，所以EF∥PC，同理DO∥PC，所以EF∥DO，又因?yàn)镋F?平面ADO，DO?平面ADO，所以EF∥平面ADO.(2)過P作PM垂直FO的延長線交于點(diǎn)M，因?yàn)镻B＝PC，O是BC中點(diǎn)，所以PO⊥BC，因?yàn)锳B⊥BC，OF∥AB，所以O(shè)F⊥BC，又PO∩OF＝O，PO，OF?平面POF，所以BC⊥平面POF，又PM?平面POF，所以BC⊥PM，又BC∩FM＝O，BC，F(xiàn)M?平面ABC，所以PM⊥平面ABC，即三棱錐P－ABC的高為PM，因?yàn)椤螾OF＝120°，所以∠POM＝60°，(1)證明：平面ADO⊥平面BEF；(2)求二面角D－AO－C的正弦值．∴AD2＝AO2＋OD2，即AO⊥OD，AO⊥EF，∵BF⊥AO，BF∩EF＝F，∴AO⊥平面BEF，∵AO?平面ADO，∴平面ADO⊥平面BEF.(2)設(shè)二面角D－AO－C的平面角為θ，∵AO⊥OD，AO⊥BF，考點(diǎn)突破·提能力核心考點(diǎn)1空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷核心知識·精歸納1.基本事實(shí)

文字語言圖形語言符號語言基本事實(shí)1過_________________的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?有且只有一個(gè)平面α，使A∈α，B∈α，C∈α不在一條直線上兩個(gè)點(diǎn)一條2.三個(gè)推論利用基本事實(shí)1和基本事實(shí)2，再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”可得以下推論：推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推論2經(jīng)過兩條_______直線，有且只有一個(gè)平面推論3經(jīng)過兩條_______直線，有且只有一個(gè)平面相交平行3.空間中兩條直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系分類共面直線①相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有_____________；②平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)異面直線不同在_______________內(nèi)，沒有公共點(diǎn)(2)基本事實(shí)4和定理基本事實(shí)4平行于同一條直線的兩條直線_______定理如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角_____________一個(gè)公共點(diǎn)任何一個(gè)平面平行相等或互補(bǔ)4.異面直線所成的角定義已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，把_________________叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍______垂直如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線___________a′與b′所成的角互相垂直5.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有_______、_______、___________三種情況．(2)平面與平面的位置關(guān)系有_______、_______兩種情況．相交平行在平面內(nèi)平行相交多維題組·明技法角度1：有關(guān)線面位置關(guān)系的命題真假的判斷1.(2023·南關(guān)區(qū)校級模擬)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，直線A1C與平面AB1D1的交點(diǎn)為M，O為線段B1D1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．A，M，O三點(diǎn)共線B．M，O，A1，B四點(diǎn)異面C．B，B1，O，M四點(diǎn)共面D．B，D1，C，M四點(diǎn)共面C【解析】根據(jù)題意，連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，A1，C1，C，A四點(diǎn)共面，所以A1C?平面ACC1A1，因?yàn)镸∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，所以A，M，O三點(diǎn)共線．選項(xiàng)A、B、D均正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．故選C.2.(多選)(2023·東寶區(qū)校級模擬)已知α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()A．若α∩β＝l，A∈α且A∈β，則A∈lB．若A，B，C是平面α內(nèi)不共線三點(diǎn)，A∈β，B∈β，則C?βC．若A∈α且B∈α，則直線AB?αD．若直線a?α，直線b?β，則a與b為異面直線ABC【解析】對于A，∵A∈α且A∈β，則A是平面α和平面β的公共點(diǎn)，又α∩β＝l，∴由基本事實(shí)3(公理2)可得A∈l，故A正確；對于B，由基本事實(shí)1(公理3)：過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，又A∈β，B∈β，且A，B，C∈α，則C?β，故B正確；對于C，由基本事實(shí)2(公理1)：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，故C正確；對于D，由于平面α和平面β位置不確定，則直線a與直線b位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合，故D錯(cuò)誤．故選ABC.角度2：立體圖形中線面位置關(guān)系的判斷3.(2023·漢濱區(qū)校級模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，L，M，N分別為棱A1B1，AD，CC1的中點(diǎn)，則平面LMN與平面CBD1的位置關(guān)系是(

)A．垂直

B．相交不垂直C．平行

D．重合A【解析】設(shè)棱AA1，B1C1的中點(diǎn)分別為P，Q，連接LP，LM，PM，LQ，QN，LN，連接BC1，B1C，BD1，CD1，如圖所示，正方體中，C1D1⊥平面BCC1B1，CB1?平面BCC1B1，C1D1⊥CB1，正方形BCC1B1中，BC1⊥CB1，BC1∩C1D1＝C1，BC1，C1D1?平面BC1D1，∵CB1⊥平面BC1D1，BD1?平面BC1D1，∴BD1⊥CB1，∵Q，N分別為棱B1C1，CC1的中點(diǎn)，∴NQ∥CB1，∴BD1⊥NQ，同理可證BD1⊥LQ，NQ，LQ?平面NQL，NQ∩LQ＝Q，∴BD1⊥平面NQL，∵LN?平面NQL，∴BD1⊥LN，同理可證BD1⊥LM，又LM，LN?平面LMN，LM∩LN＝L，∴BD1⊥平面LMN，BD1?平面CBD1，∴平面CBD1⊥平面LMN.故選A.4.(2023·北流市模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別為所在棱的中點(diǎn)，P為下底面的中心，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．平面EFC1⊥平面AA1C1CB．MP∥AC1C．MP⊥C1DD．EF∥平面AD1B1C【解析】對于A，由E，F(xiàn)分別為所在棱的中點(diǎn)得EF∥BD，由正方體的性質(zhì)易知AC⊥BD，AA1⊥平面ABCD，EF?平面ABCD，所以AA1⊥EF，AC⊥EF，AC∩AA1＝A，AC，AA1?平面AA1C1C，所以EF⊥平面AA1C1C，EF?平面EFC1，所以平面EFC1⊥平面AA1C1C，故A正確；對于B，P為下底面A1B1C1D1的中心，故P為A1C1，B1D1的中點(diǎn)，因?yàn)镸為所在棱AA1的中點(diǎn)，所以MP∥AC1，故B正確；對于C，若MP⊥C1D，由B選項(xiàng)知MP∥AC1，則有AC1⊥C1D，由正方體的性質(zhì)知△AC1D為直角三角形，AD⊥DC1，所以，AC1⊥C1D不滿足，故C錯(cuò)誤；對于D，由A選項(xiàng)知EF∥BD，由正方體的性質(zhì)易知B1D1∥BD，所以B1D1∥EF，B1D1?平面AD1B1，EF?平面AD1B1，所以EF∥平面AD1B1，故D正確．故選C.方法技巧·精提煉判斷空間位置關(guān)系的方法(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷．(2)借助空間幾何體模型，如長方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理，進(jìn)行肯定否定．加固訓(xùn)練·促提高1.(2023·江西模擬)已知α，β是兩個(gè)不同的平面，a，b，c是三條不同的直線，則下面說法中正確的是(

)A．若a?α，b?α，且c⊥a，c⊥b，則c⊥αB．若a?α，且b⊥a，則b⊥αC．若b⊥α，且c⊥b，則c∥αD．若a⊥α，b⊥β，且c∥a，c∥b，則α∥βD【解析】對于A，由a?α，b?α，且c⊥a，c⊥b，當(dāng)且僅當(dāng)a與b相交時(shí)，才能得到c⊥α，故A錯(cuò)誤；對于B，若a?α，且b⊥a，則b∥α或b?α或b與α相交但不垂直，故B錯(cuò)誤；對于C，若b⊥α，且c⊥b，則c∥α或c?α，故C錯(cuò)誤；對于D，若c∥a，c∥b，則a∥b，又a⊥α，b⊥β，且α，β是兩個(gè)不同的平面，故α∥β，故D正確．故選D.2.(2023·海淀區(qū)校級模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，F(xiàn)為線段BC1的中點(diǎn)，E為線段A1C1上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是(

)A．EF∥平面A1BCD1B．存在點(diǎn)E，使EF⊥平面BB1C1CC．存在點(diǎn)E，使EF∥A1CD．DB1⊥EFD核心考點(diǎn)2空間平行、垂直的證明核心知識·精歸納1.直線、平面平行的判定定理和性質(zhì)定理(1)直線與平面平行的判定定理：_______，a?α，l?α?l∥α.(2)直線與平面平行的性質(zhì)定理：l∥α，l?β，___________?l∥b.(3)平面與平面平行的判定定理：a∥β，b∥β，___________，a?α，b?α?α∥β.(4)平面與平面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，_________?a∥b.l∥aα∩β＝ba∩b＝Pβ∩γ＝b2.直線、平面垂直判定定理與性質(zhì)定理(1)直線與平面垂直判定定理：a，b?α，a∩b＝O，l⊥a，l⊥b?l⊥α.(2)直線與平面垂直性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.(3)平面與平面垂直判定定理：l?β，l⊥α?α⊥β.(4)平面與平面垂直性質(zhì)定理：α⊥β，l?β，α∩β＝a，l⊥a?l⊥α.典例研析·悟方法角度1：空間中的平行關(guān)系典例1(1)求證：EO∥平面PBC；(2)PA上是否存在點(diǎn)F，使平面OEF∥平面PBC，若存在，請指出并給予證明；若不存在，請說明理由．【解析】(1)證明：由底面為正方形的四棱錐可得O為BD的中點(diǎn)，再由E為PD的中點(diǎn)，可得OE為△PBD的中位線，所以O(shè)E∥PB，而OE?面PBC，PB?面PBC，所以可證得OE∥面PBC.(2)存在PA的中點(diǎn)F，使得平面OEF∥平面PBC；因?yàn)镋，F(xiàn)為中點(diǎn)，所以EF∥AD，因?yàn)锳D∥BC，所以EF∥BC，EF?面PBC，BC?面PBC，所以EF∥面PBC，再由(1)及EF∩OE＝E，所以可證得面OEF∥面PBC.角度2：空間中的垂直關(guān)系

《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”．在如圖所示的“陽馬”P－ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DA，點(diǎn)E是PA的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.典例2(1)求證：PC∥平面EBD；(2)求證：PB⊥平面EFD.【證明】

(1)連接AC交BD于點(diǎn)O，連接EO，∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC中點(diǎn)，∵E是PA中點(diǎn)，∴EO∥PC，∵EO?平面EBD，∴PC∥平面EBD.(2)∵側(cè)棱PD⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PD⊥AB，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB⊥AD，∵PD∩DA＝D，∴AB⊥平面PDA，∵ED?平面PDA，∴AB⊥ED，∵E是PA的中點(diǎn)，且PD＝DA，∴ED⊥PA，∵AB∩PA＝A，ED⊥平面PAB，∴ED⊥PB，∴EF⊥PB，EF∩ED＝E，∴PB⊥平面EFD.方法技巧·精提煉1.平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化2.易錯(cuò)提醒(1)證明線面平行時(shí)，忽略“直線在平面外”“直線在平面內(nèi)”的條件．(2)證明面面平行時(shí)，忽略“兩直線相交”“兩直線在平面內(nèi)”的條件．(3)證明線面垂直時(shí)，容易忽略“平面內(nèi)兩條相交直線”這一條件．加固訓(xùn)練·促提高1.(2023·楊浦區(qū)校級模擬)如圖，矩形AMND所在平面與直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB∥NC，MN⊥MB.(1)求證：平面AMB∥平面DNC；(2)若MC⊥CB，求證：BC⊥AC.【證明】

(1)因?yàn)镸B∥NC，MB?面DNC，NC?面DNC，所以MB∥面DNC.因?yàn)樗倪呅蜛MND是矩形，所以MA∥DN，又MA?面DNC，DN?面DNC，所以MA∥面DNC.又MA∩MB＝M，且MA、MB?平面AMB，所以面AMB∥面DNC.(2)因?yàn)樗倪呅蜛MND是矩形，所以AM⊥MN.因?yàn)槊鍭MND⊥面MBCN，且面AMND∩面MBCN＝MN，AM?面AMND，所以AM⊥平面MBCN，而BC?平面MBCN，所以AM⊥BC.因?yàn)镸C⊥BC，MC∩AM＝M，MC、AM?面AMC，所以BC⊥面AMC，因?yàn)锳C?面AMC，所以BC⊥AC.2.如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，側(cè)棱PA⊥面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是PC中點(diǎn)，G為AC上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：BD⊥FG；(2)在線段AC上是否存在一點(diǎn)G使FG∥平面PBD，并說明理由．【解析】(1)證明：∵PA⊥面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC＝A，∴BD⊥平面APC，∵FG?平面PAC，∴BD⊥FG.理由如下：連接PE，由F為PC中點(diǎn)，G為EC中點(diǎn)，知FG