專題12 解題技巧專題：勾股定理與面積問題、方程思想之七大類型（原卷版）

專題12解題技巧專題：勾股定理與面積問題、方程思想之七大類型【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一三角形中，利用面積求邊上的高】 1【類型二結合乘法公式巧求面積或長度】 6【類型三巧妙割補求面積】 9【類型四“勾股樹”及其拓展類型求面積】 13【類型五幾何圖形中的方程思想—折疊問題（利用等邊建立方程）】 21【類型六幾何圖形中的方程思想—公邊問題（利用公邊建立方程）】 28【類型七實際問題中的方程思想】 31【典型例題】【類型一三角形中，利用面積求邊上的高】例題：（2023春·新疆阿克蘇·八年級校聯(lián)考階段練習）若一個直角三角形的兩條直角邊長分別是和，則斜邊上的高為多少（

）

A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023春·安徽亳州·八年級?？茧A段練習）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，若是的高，則的長為（

）

A． B． C． D．2．（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得，則邊上的高長度為（

）A． B． C． D．3．（2023春·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）直角三角形的兩條直角邊長分別為6、8，則它的斜邊上的高是．4．（2023春·八年級單元測試）如圖，在Rt中，，，，于．求：（1）斜邊的長；（2）高的長．5．如圖，在中，，，在中，是邊上的高，，．(1)求的長．(2)求斜邊邊上的高．6．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）在中，，，，是斜邊上高．(1)求的面積；(2)求斜邊；(3)求高．【類型二結合乘法公式巧求面積或長度】例題：已知在中，所對的邊分別為a，b，c，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．在中，AD是BC邊上的高，，則的面積為（

）A．18 B．24 C．18或24 D．18或303．直角三邊長分別是x，和5，則的面積為__________．【類型三巧妙割補求面積】例題：（2023春·河南許昌·八年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，已知，，，，．

(1)求證：是直角三角形；(2)求四邊形的面積．【變式訓練】1．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級?？计谥校┤鐖D所示，是一塊地的平面圖，其中米，米，米，米，，求這塊地的面積.

2．（2023春·安徽馬鞍山·八年級?？计谀┮阎?，是的三邊，且，，．(1)試判斷的形狀，并說明理由；(2)求的面積．3．（2023春·山東菏澤·八年級?？茧A段練習）四邊形草地中，已知，，，，且為直角．

(1)求這個四邊形草地的面積；(2)如果清理草地雜草，每平方米需要人工費20元，清理完這塊草地雜草需要多少錢？4．（2022春·重慶綦江·八年級?？茧A段練習）計算：如圖，每個小正方形的邊長都為1．

(1)求線段與的長；(2)求四邊形的面積；(3)求證：．【類型四“勾股樹”及其拓展類型求面積】例題：（2023春·江西南昌·八年級南昌市第三中學?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮氖畟€科學發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①如圖2，3，4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別為，，，利用勾股定理，判斷這3個圖形中面積關系滿足的有________個．②如圖5，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三角形面積為，也滿足嗎？若滿足，請證明；若不滿足，請求出，，的數(shù)量關系．(2)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”．在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設大正方形M的邊長為定值m，四個小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，則__________．【變式訓練】1．（2023·廣西柳州·?？家荒＃┤鐖D，，正方形和正方形的面積分別是289和225，則以為直徑的半圓的面積是（）A． B． C． D．2．（2023春·安徽合肥·八年級合肥市五十中學西校校考期中）如圖，中，，，，分別以三邊為直徑畫半圓，求兩個月牙形圖案的面積之和（陰影部分的面積）．3．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的邊長為．(1)求A，B，C，D四個正方形的面積之和．(2)若其中每個直角三角形的最短邊與最長邊的長度之比都為3：5，求正方形A，B，C，D的面積．4．（2023春·吉林松原·八年級校聯(lián)考階段練習）問題再現(xiàn)：數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學知識變得直觀，從而可以幫助我們快速解題，初中數(shù)學里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形積的方法進行直觀推導和解釋．如圖1，是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式：如圖2，在中，，以的三邊長向外作正方形的面積分別為，試猜想之間存在的等量關系，直接寫出結論．如圖3，如果以的三邊長為直徑向外作半圓，那么第問的結論是否成立？請說明理由．如圖4，在中，，三邊分別為，分別以它的三邊為直徑向上作半圓，求圖4中陰影部分的面積．5．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖②，它可以看作是由邊長為a、b、c的兩個直角三角形（如圖①C為斜邊）拼成的，其中A、C、D三點在同一條直線上，(1)請從面積出發(fā)寫出一個表示a、b、c的關系的等式；（要求寫出過程）(2)如圖③④⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足的有_______個．(3)如圖⑥，直角三角形的兩直角邊長分別為3，5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_______．【類型五幾何圖形中的方程思想—折疊問題（利用等邊建立方程）】例題：（2023春·河南許昌·八年級統(tǒng)考期中）已知直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，現(xiàn)將按如圖所示的方式折疊，使點A與點B重合，則的長是（

）

A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023春·湖北咸寧·八年級校考階段練習）如圖，有一塊直角三角形紙片，，將斜邊翻折，使點B落在直角邊的延長線上的點E處，折痕為，則的長為（

）A． B． C． D．32．（2023春·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，將折疊，使點與的中點重合，折痕交于點，交于點，則線段的長為．

3．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點是的中點，點是斜邊上一動點，沿所在直線把翻折到的位置，交于點．若為直角三角形，則的長為．

4．（2022秋·河北張家口·八年級統(tǒng)考期中）在中，，點分別在邊上（不與端點重合）．將沿折疊，點A落在的位置．

(1)如圖①，當與點重合且．①直接寫出的長；②求的面積．(2)當．①與點在直線的異側時．如圖②，直接寫出的大??；②與點在直線的同側時，且的一邊與平行，直接寫出的度數(shù)．【類型六幾何圖形中的方程思想—公邊問題（利用公邊建立方程）】例題：如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，則BC邊上的高為_______．【變式訓練】1．已知：如圖，在中，是的角平分線，，則____．

2．如圖，在和中，，，，延長，交于點．

(1)求證：點A在的平分線上；(2)若，，，求的長．【類型七實際問題中的方程思想】例題：（2022·全國·八年級）明朝數(shù)學家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計算秋千繩索長度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地……”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千繩索OA懸掛于O點，靜止時豎直下垂，A點為踏板位置，踏板離地高度為一尺（AC＝1尺）．將它往前推進兩步（EB⊥OC于點E，且EB＝10尺），踏板升高到點B位置，此時踏板離地五尺（BD＝CE＝5尺），則秋千繩索（OA或OB）長______尺．【變式訓練】1．（2023秋·山西晉城·八年級統(tǒng)考期末）折竹抵地（源自《九章算術》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺、問折者高幾何?大意是：在點C處生長的一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風將竹子在點A處折斷，其竹梢點B恰好抵地，尺，求竹子折斷后，留在原處的竹子的長為多少尺?（1丈尺）．

2．（2023春·廣東惠州·八年級校考期末）有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少尺？（丈、尺是長度單位，1丈尺，）．

3．（2023春·山西朔州·八年級統(tǒng)考期末）根據(jù)山西省教育廳“2023年度基礎教育領域重點工作推進會”要求，扎實推進建設100所公辦幼兒園任務落實，某地計劃要在如圖所示的直線上，新建一所幼兒園，該區(qū)域有兩個小區(qū)所在的位置在點和點處，于A，于B．已知，，求該幼兒園應該建在距點A為多少處，可以使兩個小區(qū)到幼兒園的距離相等．

4．（2023春·安徽六安·八年級?？计谀┤鐖D，在一條東西走向的公路的一側有一村莊A，和是連接村莊與公路的兩條小路，其中，為方便村民出行，新修了一條鄉(xiāng)村公路，經(jīng)實際測量千米，千米，千米．

(1)村莊A到公路的最近距離是多少？并說明理由．(2)求小路長為多少千米？5．（2023春·江西上饒·八年級統(tǒng)考期中）如圖，地面上放著一個小凳子（與地面平行），點A到墻面（墻面與地面垂直）的距離為．在圖①中，一木桿的一端與墻角O重合，另一端靠在點A處，．(1)求小凳子的高度；(2)在圖②中另一木桿的一端與點B重合，另一端靠在墻上的點C處．