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24.2直線和圓的位置關(guān)系第2課時(shí)切線的判定與性質(zhì)導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)判定一條直線是否是圓的切線并會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線.2.理解并掌握?qǐng)A的切線的判定定理及性質(zhì)定理.(重點(diǎn))3.能運(yùn)用圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理解決問(wèn)題.(難點(diǎn))導(dǎo)入新課情境引入轉(zhuǎn)動(dòng)雨傘時(shí)飛出的雨滴,用砂輪磨刀時(shí)擦出的火花,都是沿著什么方向飛出的?都是沿切線方向飛出的.
生活中??吹角芯€的實(shí)例,如何判斷一條直線是否為切線呢?學(xué)完這節(jié)課,你就都會(huì)明白.OABC問(wèn)題:已知圓O上一點(diǎn)A,怎樣根據(jù)圓的切線定義過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線?觀察:(1)圓心O到直線AB的距離和圓的半徑有什么數(shù)量關(guān)系?(2)二者位置有什么關(guān)系?為什么?切線的判定定理一O講授新課經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.∵OA為⊙O的半徑且BC
⊥
OA于A∴BC為⊙O的切線OABC切線的判定定理符號(hào)語(yǔ)言O(shè)要點(diǎn)歸納判一判:下列各直線是不是圓的切線?如果不是,請(qǐng)說(shuō)明為什么?O.AO.ABAO(1)(2)(3)(1)不是,因?yàn)闆](méi)有垂直.(2),(3)不是,因?yàn)闆](méi)有經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)A.
在此定理中,“經(jīng)過(guò)半徑的外端”和“垂直于這條半徑”,兩個(gè)條件缺一不可,否則就不是圓的切線.注意判斷一條直線是一個(gè)圓的切線有三個(gè)方法:1.定義法:直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),我們說(shuō)這條直線是圓的切線;2.數(shù)量關(guān)系法:圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時(shí),直線與圓相切;3.判定定理:經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.lAlOlrd要點(diǎn)歸納例1:如圖,∠ABC=45°,直線AB是☉O上的直徑,點(diǎn)A,且AB=AC.求證:AC是☉O的切線.解析:直線AC經(jīng)過(guò)半徑的一端,因此只要證OA垂直于AB即可.證明:∵AB=AC,∠ABC=45°,∴∠ACB=∠ABC=45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.
∵AB是☉O的直徑,∴AC是☉O的切線.AOCB例2已知:直線AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C,并且OA=OB,CA=CB.求證:直線AB是⊙O的切線.OBAC分析:由于AB過(guò)⊙O上的點(diǎn)C,所以連接OC,只要證明AB⊥OC即可.
證明:連接OC(如圖).∵OA=OB,CA=CB,
∴OC是等腰三角形OAB底邊AB上的中線.
∴AB⊥OC.
∵OC是⊙O的半徑,∴AB是⊙O的切線.
例3
如圖,△ABC
中,AB
=AC
,O是BC的中點(diǎn),⊙O
與AB
相切于E.求證:AC
是⊙O的切線.BOCEA分析:根據(jù)切線的判定定理,要證明AC是⊙O的切線,只要證明由點(diǎn)O向AC所作的垂線段OF是⊙O的半徑就可以了,而OE是⊙O的半徑,因此只需要證明OF=OE.F證明:連接OE,OA,過(guò)O作OF⊥AC.∵⊙O與AB相切于E
,∴OE⊥AB.又∵△ABC中,AB=AC,O是BC的中點(diǎn).∴AO平分∠BAC,F(xiàn)BOCEA∴OE=OF.∵OE是⊙O半徑,OF=OE,OF⊥AC.∴AC是⊙O的切線.又OE⊥AB,OF⊥AC.(1)有交點(diǎn),連半徑,證垂直;(2)無(wú)交點(diǎn),作垂直,證半徑.證切線時(shí)輔助線的添加方法例1例2有切線時(shí)常用輔助線添加方法
見(jiàn)切點(diǎn),連半徑,得垂直.切線的其他重要結(jié)論(1)經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn);(2)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.要點(diǎn)歸納思考:如圖,如果直線l是⊙O
的切線,點(diǎn)A為切點(diǎn),那么OA與l垂直嗎?AlO∵直線l是⊙O
的切線,且A是切點(diǎn),∴直線l⊥OA.切線的性質(zhì)定理二切線性質(zhì)
圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.符號(hào)語(yǔ)言1.如圖:在⊙O中,OA、OB為半徑,直線MN與⊙O相切于點(diǎn)B,若∠ABN=30°,則∠AOB=
.2.如圖AB為⊙O的直徑,D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),DC與⊙O相切于點(diǎn)C,∠DAC=30°,若⊙O的半徑長(zhǎng)1cm,則CD=
cm.60°練一練
利用切線的性質(zhì)解題時(shí),常需連接輔助線,一般連接圓心與切點(diǎn),構(gòu)造直角三角形,再利用直角三角形的相關(guān)性質(zhì)解題.方法總結(jié)當(dāng)堂練習(xí)
1.判斷下列命題是否正確.⑴經(jīng)過(guò)半徑外端的直線是圓的切線.()⑵垂直于半徑的直線是圓的切線.()
⑶過(guò)直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線.()⑷和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線.()⑸過(guò)直徑一端點(diǎn)且垂直于直徑的直線是圓的切線.()
××√√√證明:連接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP,∴∠B=∠OPB,∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC,∴PE⊥OP.
∴PE為⊙O的切線.5.如圖,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交邊BC于P,PE⊥AC于E.
求證:PE是⊙O的切線.OABCEP切線的判定方法定義法數(shù)量關(guān)系法判定定理1個(gè)公共點(diǎn),則相切d=r,則相切經(jīng)過(guò)圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線
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