遼寧省沈陽(yáng)市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考測(cè)試數(shù)學(xué)試題（含答案）

—2024學(xué)年度（上）第二次月考測(cè)試試題高二數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，22題.滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.一.單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.以為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.2.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.3.兩條不同直線，的方向向量分別為，，則這兩條直線（）A.相交或異面 B.相交 C.異面 D.平行4.一個(gè)動(dòng)圓的圓心在拋物線上，且動(dòng)圓恒與直線相切，則動(dòng)圓必過(guò)定點(diǎn)（）A. B. C. D.5.已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在直線方程為，邊上中線所在的直線方程為，則高的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.6.與圓：和圓：都外切的圓的圓心的軌跡方程為（）A. B.C. D.7.雙曲線：的左、右焦點(diǎn)為，，若點(diǎn)在雙曲線右支上，且，則雙曲線離心率的值不可能是（）A. B. C. D.8.已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線：交橢圓于，兩點(diǎn)，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.二.選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知橢圓，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.橢圓的離心率為 B.的最小值為1C. D.10.已知點(diǎn)是拋物線：上任意一點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線與其交于，兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.焦點(diǎn)為B.當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，C.點(diǎn)，則的最小值為10D.過(guò)點(diǎn)與有1個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條11.下列說(shuō)法正確的是（）A.已知點(diǎn)，，若過(guò)的直線與線段相交，則傾斜角B.“”是“直線與直線互相平行”的充要條件C.曲線：與：恰有4條公切線，則實(shí)數(shù)D.圓上有且僅有2個(gè)點(diǎn)到直線：的距離都等于12.已知雙曲線：的左、右頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.雙曲線的漸近線方程為B.若，則或C.點(diǎn)到的兩條漸近線距離之積為D.過(guò)被雙曲線截得弦長(zhǎng)為的直線有且僅有2條三.填空題（本題共4小題，每小題5分，滿分20分）13.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于______.14.已知平面的一個(gè)法向量為，直線的一個(gè)方向向量為，則與成角的正弦值等于______.15.已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為1，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____.16.已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，且，則的最大值為_(kāi)_____.四.解答題（本題共6小題，共70分，解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.（10分）（1）已知雙曲線的漸近線方程為，求的離心率.（2）已知，若方程表示雙曲線，求的取值范圍.18.（12分）已知圓的圓心在直線上，點(diǎn)，都在圓上.（1）求圓的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程.19.（12分）已知拋物線：，過(guò)的焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn).（1）若點(diǎn)在拋物線上，且到拋物線的準(zhǔn)線距離為2，求拋物線的方程（2）若直線的斜率為1，線段的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，求拋物線的準(zhǔn)線方程.20.（12分）在三棱柱中，平面平面，四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，且，，，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.21.（12分）已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，且短軸長(zhǎng)為，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若的傾斜角為，求弦長(zhǎng)；（3）若的內(nèi)切圓周長(zhǎng)為，求.22.（12分）已知點(diǎn)和直線：，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線，與軸的交點(diǎn)分別是，，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn).高二數(shù)學(xué)參考答案123456789101112BDACCDDBBDACDACAC13. 14. 15. 16.3017.（1）當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)：，則離心率；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)：，則離心率，所以雙曲線的離心率為或。（2）由題：，解得：或（10分）18.（1）設(shè)圓心，由題，解得，所以，圓的方程為：；（2）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，方程為，圓心到直線距離等于2，此時(shí)與圓相切，符合題意；（8分）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)方程為，此時(shí)圓心到直線的距離等于半徑2，即：，解得：，此時(shí)方程為：，19.（1）由題意，解得，所以拋物線的方程為.（6分）（2）設(shè)，，則，所以，即：，所以，拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為。20.（I）因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以（1分）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)槠矫?，平面，，，平面，所以平面，（II）因?yàn)槠矫?，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又因?yàn)?，所以，則、、兩兩互相垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.（7分）因?yàn)?，，，所以，所以在中，由勾股定理得，則點(diǎn)，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為則得，取，設(shè)平面與平面的夾角為，則所以平面與平面夾角的余弦值為21.（1）由題，解得，所以橢圓方程為，（4分）（2）的方程為，聯(lián)立得：，則，，根據(jù)弦長(zhǎng)公式：；（8分）（3）的內(nèi)切圓半徑為，的周長(zhǎng)為，的面積為