2023-2024學年人教A版必修第一冊 　單位圓與三角函數線 學案

單位圓與三角函數線學習目標凡事預則立1.了解三角函數線的意義,能用三角函數線表示一個角的正弦、余弦和正切.(數學抽象)2.能利用三角函數線解決一些簡單的三角函數問題.(數學運算)【情境導學】江南水鄉(xiāng),水車在清清的河流里悠悠轉動,緩緩地把河流里的水倒進水渠,流向綠油油的大地,流向美麗的大自然,在水車轉動的瞬間,你能想到些什么呢?將圖中的水車抽象出一個數學模型,建立平面直角坐標系(如圖所示),設水車的輪廓為單位圓.在平面直角坐標系中,任意角α的終邊與單位圓交于點P,過點P作PM⊥x軸.過點A(1,0)作單位圓的切線,交α的終邊或其反向延長線于點T,結合三角函數的定義,你能得到sinα,cosα,tanα與,,的關系嗎?一、單位圓與三角函數1.單位圓:在平面直角坐標系中,坐標滿足x2+y2=1的點組成的集合.2.三角函數與單位圓:角α的終邊與單位圓相交于點P(x,y),如圖:則sinα=y,cosα=x,tanα=yx則角α的終邊與單位圓的交點為P(cosα,sinα).

思考單位圓的圓心和半徑分別是什么?提示:單位圓的圓心在原點,半徑為單位長度即半徑等于1.二、三角函數線1.作圖:(1)角α的終邊與單位圓交于P,過P作PM垂直于x軸,垂足為M.(2)過A(1,0)作x軸的垂線,交角α的終邊或其反向延長線于點T.2.圖示:3.結論:向量,,分別稱為角α的正弦線、余弦線、正切線,統(tǒng)稱為三角函數線.點睛理解三角函數線應注意以下四點(1)位置:三條有向線段中有兩條在單位圓內,一條在單位圓外;(2)方向:正弦線由垂足指向α的終邊與單位圓的交點;余弦線由原點指向垂足;正切線由切點指向切線與α的終邊(或其延長線)的交點;(3)正負:三條有向線段中與x軸或y軸同向的為正值,與x軸或y軸反向的為負值;(4)書寫:有向線段的始點字母在前,終點字母在后.【教材深化】1.應用三角函數線比較大小的策略(1)三角函數線是一個角的三角函數值的體現,從三角函數線的方向可以看出三角函數值的正負,其長度是三角函數值的絕對值.(2)比較兩個三角函數值的大小,不僅要看其長度,還要看其方向.2.利用三角函數線解三角不等式的方法(1)正弦、余弦型不等式的解法對于sinx≥b,cosx≥a(sinx≤b,cosx≤a),求解關鍵是恰當地尋求點,只需作直線y=b或x=a與單位圓相交,連接原點與交點即得角的終邊所在的位置,此時再根據方向即可確定相應的范圍.(2)正切型不等式的解法對于tanx≥c,取點(1,c),連接該點和原點并反向延長,即得角的終邊所在的位置,結合圖象可確定相應的范圍.【自我小測】1.辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)角α的正弦線的長度等于sinα. (×)提示:角α的正弦線的長度等于|sinα|.(2)對任意角都能作出正弦線、余弦線和正切線. (×)提示:90°角不能作正切線.(3)余弦線和正切線的始點都是原點. (×)提示:正切線的始點是(1,0).2.(教材改編題)如果π4<α<π2,那么下列不等式成立的是 (A.sinα<cosα<tanαB.tanα<sinα<cosαC.cosα<sinα<tanαD.cosα<tanα<sinα【解析】選C.如圖所示,在單位圓中分別作出α的正弦線,余弦線,正切線,很容易地觀察出<<,即cosα<sinα<tanα.3.函數y=2cosx-1【解析】因為2cosx-1≥0,所以cosx≥12由三角函數線畫出x滿足條件的終邊的范圍(如圖陰影所示).所以x∈[2kπ-π3,2kπ+π3](k∈Z答案:[2kπ-π3,2kπ+π3](k∈類型一三角函數線的概念(直觀想象)[例1]分別作出34π和-47π【解析】①在平面直角坐標系中作單位圓,如圖甲,以x軸為始邊作34π角角的終邊與單位圓交于點P,作PM⊥x軸,垂足為M,過單位圓與x軸正方向的交點A作x軸的垂線,與OP的反向延長線交于T點,則34π的正弦線為,余弦線為,正切線為.②同理可作出-47π的正弦線、余弦線和正切線,如圖乙則-47π的正弦線為,余弦線為,正切線為.【總結升華】三角函數線的作法步驟(1)作平面直角坐標系和角的終邊.(2)作單位圓,圓與角的終邊的交點為P,與x軸正半軸的交點為A.(3)過點P作x軸的垂線,垂足為M.(4)過點A作x軸的垂線,與角的終邊或其反向延長線交于點T.(5)向量,,分別為角的正弦線、余弦線和正切線.【即學即練】1.角π7和角8π7有相同的 (A.正弦線 B.余弦線C.正切線 D.不能確定【解析】選C.角π7和角8π7的終邊互為反向延長線,2.(2023·沈陽高一檢測)作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線:(1)-π6;(2)14π【解析】(1)作出平面直角坐標系與單位圓,交角-π6的終邊于點P,過點P作PM⊥x軸于點M,過點A(1,0)作AT⊥x軸,交角-π6的終邊于點T,則角-π6的正弦線為,余弦線為,正切線為;(2)因為14π3=4π+2π3,所以角14π3與角2π3的終邊相同,作出平面直角坐標系與單位圓,交角2π3的終邊于點P,過點P作PM⊥x軸于點M,過點A(1,0)作AT⊥x軸,交角2π則角14π3的正弦線為,余弦線為,正切線為.類型二利用三角函數線解三角不等式(數學運算)[例2]在單位圓中畫出適合下列條件的角α終邊的范圍,并由此寫出角α的集合.(1)sinα≥32; (2)cosα≤-1【解析】(1)作直線y=32,交單位圓于A,B兩點,連接OA,OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(圖(1)中陰影部分)即為角α的終邊的范圍故滿足條件的角α的集合為α|2(2)作直線x=-12,交單位圓于C,D兩點,連接OC與OD,則OC與OD圍成的區(qū)域(圖(2)中的陰影部分)即為角α的終邊的范圍故滿足條件的角α的集合為α|2【總結升華】用三角函數線來解基本的三角不等式的步驟(1)作出取等號的角的終邊;(2)利用三角函數線的直觀性,在單位圓中確定滿足不等式的角的范圍;(3)將圖中的范圍用不等式表示出來.提醒:求與三角函數有關的定義域時,先轉化為三角不等式(組),然后借助三角函數線解此不等式(組)即可得函數的定義域.【即學即練】(2023·東營高一檢測)函數y=lg(2sinx-1)+1-2cosx【解析】要使原函數有意義,必須有2sinx-1>01-在單位圓中作出相應的三角函數線,由圖可知,解集為2k取交集可得原函數的定義域為[2kπ+π3,2kπ+5π6)(k∈Z答案:[2kπ+π3,2kπ+5π6)(k∈【補償訓練】函數f(x)=lnsinx+16-x2【解析】根據二次根式與對數函數有意義的條件可得16-x2-4≤x≤42kπ<x<2kπ+π(故f(x)=lnsinx+16-x2的定義域為[-4,-π)答案:[-4,-π)∪(0,π)類型三三角函數線的綜合應用(邏輯推理、直觀想象)[例3]已知α∈(0,π2),求證:1<sinα+cosα<π【證明】如圖,設角α的終邊與單位圓交于點P(x,y),單位圓交x軸于點A,交y軸于點B,連接AP,BP,過P作PM⊥x軸,PN⊥y軸,M,N分別為垂足.則MP=y=sinα,OM=x=cosα.在△OMP中,OM+MP>OP,所以sinα+cosα>1.因為S△OAP=12OA·MP=12sinα,S△OBP=12OB·NP=12cosα,S扇形AOB=14又S△OAP+S△OBP<S扇形AOB,所以12sinα+12cosα<π4,即sinα+cosα所以1<sinα+cosα<π2【備選例題】已知α∈(0,π2),試比較sinα,α,tanα的大小【解析】如圖所示,設角α的終邊與單位圓交于點P,單位圓交x軸正半軸于點A,作PM⊥x軸,作AT⊥x軸,交α的終邊于點T,由三角函數線定義,得sinα=||,tanα=||,令AP的長為l,則α=l,所以S△AOP=12·||·||=12sinα,S扇形AOP=12·l·||=12·l=12α,S△AOT=12·||·||=12又因為S△AOP<S扇形AOP<S△AOT,所以sinα<α<tanα.【總結升華】比較大小的求解策略(1)數形結合思想,即要先找到與所研究問題相應的幾何解釋,再由圖形相關性質解決問題.(2)三角函數線是單位圓中的有向線段,比較三角函數值大小時,一般把三