專訓(xùn)11.2.1.1 三角形的內(nèi)角和的證明與應(yīng)用-簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)之2021-2022學(xué)年八年級(jí)上冊(cè)考點(diǎn)專訓(xùn)（解析版）（人教版）

專訓(xùn)11.2.1三角形的內(nèi)角和的證明與應(yīng)用一、單選題1．在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形內(nèi)角和是180°”的是（）A． B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)“直角三角形兩銳角互余”是由三角形內(nèi)角和定理推導(dǎo)的判斷即可．【詳解】解：∵“直角三角形兩銳角互余”是由三角形內(nèi)角和定理推導(dǎo)的即，作后，利用直角三角形兩銳角互余得到三角形內(nèi)角和是180°的證明方法不正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，要證明三角形的內(nèi)角和等于180°即三角形三個(gè)內(nèi)角的和是平角，就要作輔助線，使得三角形的三個(gè)內(nèi)角的和轉(zhuǎn)化成組成平角的三個(gè)角之和．2．在學(xué)習(xí)“三角形的內(nèi)角和外角”時(shí)，老師在學(xué)案上設(shè)計(jì)了以下內(nèi)容：下列選項(xiàng)正確的是（）A．①處填 B．②處填 C．③處填 D．④處填【答案】B【分析】延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB．依據(jù)平行線的性質(zhì)以及平角的定義，即可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°．【詳解】延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，∵CE∥AB．∴∠A＝∠ACE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∠B＝∠ECD（兩直線平行，同位角相等）．∵∠ACB＋∠ACE＋∠ECD＝180°（平角定義）．∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代換）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同位角相等．3．在學(xué)習(xí)“三角形的內(nèi)角和外角”時(shí)，老師在學(xué)案上設(shè)計(jì)了以下內(nèi)容：如圖，已知△ABC，對(duì)∠A+∠B+∠ACB＝180°的說(shuō)理過(guò)程如下：延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB．∵CE∥AB．∴∠A＝①（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∠B＝②（兩直線平行，同位角相等）．∵∠ACB+③+④＝180°（平角定義）．∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代換）．下列選項(xiàng)正確的是（）A．①處填∠ECD B．②處填∠ECD C．③處填∠A D．④處填∠B【答案】B【分析】延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB．依據(jù)平行線的性質(zhì)以及平角的定義，即可得到∠A+∠B+∠ACB＝180°．【詳解】解：延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB．∵CE∥AB．∴∠A＝∠ACE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∠B＝∠ECD（兩直線平行，同位角相等）．∵∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180°（平角定義）．∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代換）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同位角相等．4．如圖，，，則的度數(shù)是（）．A．35° B．55° C．65° D．75°【答案】A【分析】根據(jù)題意及三角形內(nèi)角和可得∠D=∠A，故問(wèn)題得解．【詳解】解：∠AOB=∠DOC，，，，，；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．5．將一副直角三角板按如圖放置（其中），使含角的三角板的較長(zhǎng)直角邊與等腰直角三角板的斜邊平行，則圖中的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和特殊直角三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．【詳解】解：如圖：根據(jù)特殊直角三角形的性質(zhì)可知，∠A=45°，∠F=30°，∵AB∥EF，∴∠ACF=∠A=45°，∴∠CHF=180°-∠F-∠ACF=180°-30°-45°=105°，∴∠1=180°-∠CHF=108°-105°=75°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．6．如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)在上，其中，，，，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)AB與EF交于點(diǎn)M，根據(jù)，得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)AB與EF交于點(diǎn)M，∵，∴，∵，，∴，∴,∵,∴=，故選：A．．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記平行線的性質(zhì)并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．7．將一副直角三角尺，按如圖所示位置擺放，使30°角所對(duì)的直角邊和含45°角的三角尺的直角邊放在同一條直線上，則∠1的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．75° D．85°【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，即可求解．【詳解】解：由題意得：∠A=60°，∠B=45°，∴∠1=180°-60°-45°=75°，故選C．【點(diǎn)睛】本題朱主要考查三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和等于180°，是解題的關(guān)鍵．8．如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B恰好分別在GH和EF上，GH∥EF且BA平分∠DBE，若∠C＝90°，∠CAD＝32°，則∠BAD的度數(shù)為（）

A．28° B．29° C．30° D．31°【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，，，平分，，直線直線，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．9．如圖，直線直線，在中，，頂點(diǎn)在上，頂點(diǎn)在上，且平分．若，求的度數(shù)．下面是嘉琪在作業(yè)本上寫(xiě)出的解答過(guò)程，他故意把部分步驟內(nèi)容用小圖標(biāo)遮擋．關(guān)于小圖標(biāo)遮擋的內(nèi)容，下面的回答錯(cuò)誤的是（）A．代表64° B．代表C．代表 D．代表【答案】D【詳解】由題意，故應(yīng)選D10．光線a照射到平面鏡上，然后在平面鏡和之間來(lái)回反射．若已知，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由入射角等于反射角可得∠6=∠1=55°，∠5=∠3=75°，那么利用三角形的內(nèi)角和定理和平角定義可得∠2+∠4=∠5+∠6，所以∠5+∠6除以2即為∠2的度數(shù)．【詳解】解：∵∠6=∠1=55°，∠5=∠3=75°，

∴∠2=（55+75）÷2=65°，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查鏡面反射的原理與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到所求角與所給角的數(shù)量關(guān)系；用到的知識(shí)點(diǎn)為：入射角等于反射角；三角形的內(nèi)角和是180°等．二、填空題11．“生活中處處有數(shù)學(xué)”，請(qǐng)看圖，折疊一張三角形紙片，把三角形的三個(gè)角拼在一起，我們就可以得到一個(gè)著名的常用的幾何結(jié)論，這一結(jié)論是____.【答案】三角形的內(nèi)角和是180°【分析】根據(jù)折疊前后的兩個(gè)角相等，把三角形的三個(gè)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角，可以得到三角形內(nèi)角和定理．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，∠A=∠3，∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠B+∠C+∠A=180°，∴定理為：三角形的內(nèi)角和是180°．故答案為：三角形的內(nèi)角和是180°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理的證明，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，四邊形中，，，若沿圖中虛線剪去，則________．【答案】240【分析】由平行線的性質(zhì)可得，∠D=60°，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理、鄰補(bǔ)角的定義可得∠1+∠2=240°．【詳解】解：如圖，∵AD∥BC，∠C=120°，∴∠D=180°-120°=60°，∴∠3+∠4=120°，∵∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，∴∠1+∠2=2×180°-120°=240°．故答案為：240．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角、平行線的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理及鄰補(bǔ)角定義是解題的關(guān)鍵．13．如圖，x的值為_(kāi)_．【答案】60【分析】利用三角形內(nèi)角和定理可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：依題意得：（x﹣36）°+（x+36）°+x°＝180°，解得：x＝60．故填：60．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和解一元一次方程，解題關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和定理．14．如圖，在中，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，若，則______°．【答案】30【分析】先平行線的性質(zhì)得出，再由三角形內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】解：∵∴∵∴∵，∴故答案為30．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，求出是解答此題的關(guān)鍵．15．如圖1，為響應(yīng)國(guó)家新能源建設(shè)，某市公交站亭裝上了太陽(yáng)能電池板．當(dāng)?shù)啬骋患竟?jié)的太陽(yáng)光（平行光線）與水平線最大夾角為，如圖2，電池板與最大夾角時(shí)刻的太陽(yáng)光線相垂直，此時(shí)電池板與水平線夾角為，要使，而將電池板逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，則為_(kāi)______．【答案】20【分析】求出∠EOF的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠MQD=∠EOF=28°，再求出答案即可．【詳解】解：∵EF⊥AB，∴∠EFO=90°，∵∠OEF=62°，∴∠EOF=180°-90°-62°=28°，∵AB∥CD，∴∠MQD=∠EOF=28°，∵要使AB∥CD，需將電池板CD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度，∴α°=48°-28°=20°，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，垂直的定義等知識(shí)點(diǎn)，能求出∠MQD的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．三、解答題16．在證明“三角形內(nèi)角和等于180”這一命題時(shí)，小彬的思路如下．請(qǐng)寫(xiě)出“求證”部分，補(bǔ)充第一步推理的依據(jù)并按他的思路完成后續(xù)證明．已知：如圖，．求證：_____________________．證明：如圖，在邊上取點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．∵，∴，（依據(jù)：_____________________）．∵，∴．【答案】；兩直線平行，同位角相等；見(jiàn)解析．【分析】結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理證明．【詳解】解：已知：如圖，．求證：．證明：在邊上取點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．∵，∴，（依據(jù)：兩直線平行，同位角相等）．∵，∴，．∴∵∴即三角形內(nèi)角和等于180°【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)正確添加輔助線進(jìn)行推理論證是解題關(guān)鍵．17．閱讀感悟：如下是小明在學(xué)習(xí)完“證明三角形內(nèi)角和定理”后對(duì)所學(xué)知識(shí)的整理和總結(jié)，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．三角形內(nèi)角和定理的證明今天，在老師的帶領(lǐng)下學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和定理證明的多種方法，我對(duì)這些方法進(jìn)行了梳理，主要分為兩大類：一、動(dòng)手實(shí)踐操作類①量角器測(cè)量法：通過(guò)引導(dǎo)同學(xué)們畫(huà)出任意三角形，每人都用量角器測(cè)量并將所測(cè)得的角度相加，得到結(jié)論；②折疊法：如圖1，將①所畫(huà)的三角形剪下并折疊，使每個(gè)角都落到三角形一邊的同一點(diǎn)處，發(fā)現(xiàn)三個(gè)角正好可拼為一個(gè)平角，進(jìn)而得到相關(guān)結(jié)論；③剪拼法：如圖2，將方法②用過(guò)的三角形展開(kāi)之后，隨意的將某兩個(gè)角撕下之后，拼到第三個(gè)角處，發(fā)現(xiàn)三個(gè)角正好可拼為一個(gè)平角，故而得到相應(yīng)的結(jié)論．二、證明類（思路：由實(shí)際操作的后兩種方法得到的啟發(fā)，我們可以通過(guò)構(gòu)造輔助線，將所證明的三個(gè)角通過(guò)某些特殊的方法轉(zhuǎn)化到一條直線上，利用所學(xué)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)證明三角形內(nèi)角和）：①如圖3，過(guò)三角形的某個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊的平行線，利用平行線性質(zhì)來(lái)證明；②如圖4，延長(zhǎng)三角形的某一條邊，并過(guò)相應(yīng)的點(diǎn)做一條平行線，進(jìn)而利用平行線性質(zhì)來(lái)證明；……任務(wù)：（1）“折疊法”和“剪拼法”中得到相應(yīng)結(jié)論的根據(jù)是：_________．（2）“證明類”的方法中主要體現(xiàn)了_______的數(shù)學(xué)思想；A．方程B．類比C．轉(zhuǎn)化D．分類（3）結(jié)合以上數(shù)學(xué)思想，請(qǐng)?jiān)趫D5中畫(huà)出一種不同于以上思路的證明方法，并證明三角形內(nèi)角和定理．【答案】（1）平角為；（2）C；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）分析題意，即可得到“折疊法”和“剪拼法”都是根據(jù)平角為進(jìn)行證明；（2）由題意，證明類主要是通過(guò)角度的轉(zhuǎn)化，從而進(jìn)行證明；（3）過(guò)點(diǎn)作交于交于，由角度的關(guān)系，得到，然后根據(jù)平角的定義，即可得到結(jié)論成立．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，“折疊法”和“剪拼法”都是根據(jù)平角為進(jìn)行證明；故答案為：平角為；（2）根據(jù)題意，“證明類”的方法中主要體現(xiàn)了角度的轉(zhuǎn)化，從而進(jìn)行證明結(jié)論成立；故選：C；（3）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作交于交于，．，．∴三角形的內(nèi)角和為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理的證明，解題的關(guān)鍵是掌握證明三角形內(nèi)角和等于180°的方法．18．已知在△ABC中，試說(shuō)明：∠A+∠B+∠C=180°方法一：過(guò)點(diǎn)A作DE∥BC.則（填空）∠B=∠，∠C=∠∵∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°∴∠A+∠B+∠C=180°方法二：過(guò)BC上任意一點(diǎn)D作DE∥AC，DF∥AB分別交AB、AC于E、F（補(bǔ)全說(shuō)理過(guò)程）【答案】DAB，CAE；見(jiàn)解析【分析】方法一：根據(jù)平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等解答；方法二：根據(jù)平行線的性質(zhì)：兩直線平行、同位角相等解答.【詳解】方法一：∵DE∥BC,∴∠B=∠DAB，∠C=∠CAE，故答案為：DAB，CAE；方法二：∵DE∥AC，∴∠A=∠BED，∠C=∠BDE，∵DF∥AB，∴∠EDF=∠BED，∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠EDF+∠BDE=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的證明過(guò)程，解題的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)并運(yùn)用于解題.19．如圖，在ABC中，AE平分∠BAC，AD是BC邊上的高．（1）在圖中將圖形補(bǔ)充完整；（2）當(dāng)∠B＝28°，∠C＝72°時(shí)，求∠DAE的度數(shù)；（3）∠DAE與∠C﹣∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出結(jié)論并加以證明．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）22°；（3），證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意畫(huà)出圖形即可；（2）在中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可求出的度數(shù)，由是邊上的高，可求出的度數(shù)，再結(jié)合即可求出結(jié)論；（3）根據(jù)題意可以用和表示出和，從而可以得到與的關(guān)系．【詳解】解：（1）如圖，（2）在中，，，，平分，，是邊上的高，，，．（3），理由：在中，，分別是的高和角平分線，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握角的平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．已知線段與相交于點(diǎn)，連結(jié)，．（1）如圖，試說(shuō)明：；（2）請(qǐng)利用(1)的結(jié)論探索下列問(wèn)題：①如圖，作平分，交于點(diǎn)，交的平分線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求的大??；②如圖，若，，，且，,試探索，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）①40°；②【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得：和，即，再利用對(duì)頂角相等，即可證明；（2）①根據(jù)平分，平分可得出，，利用三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等，列式計(jì)算即可；②設(shè)，，根據(jù)，可得，，利用三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等，列式計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵，，，∴；（2）如圖所示：∵平分，平分，∴，．由（1），得：，……①．……②①②，得，即，∴．②如圖所示：設(shè)，∵，，∴，由（1），得：，，即，，∴，，∴，即．∴，，之間的數(shù)量關(guān)系是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，對(duì)頂角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，利用三角形內(nèi)角和建立等式是解題的關(guān)鍵．21．實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：照射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖，一束光線MA照射到平面鏡CE上，被CE反射到平面鏡CF上，又被CF反射．已知被CF反射出的光線BN與光線MA平行．若∠1=35°，則∠2=

，∠3=；若∠1=50°，∠3=．（2）由（1）猜想：當(dāng)兩平面鏡CE，CF的夾角∠3為多少度時(shí)，可以使任何射到平面鏡CE上的光線MA，經(jīng)過(guò)平面鏡CE，CF的兩次反射后，入射光線MA與反射光線BN平行，請(qǐng)你寫(xiě)出推理過(guò)程．【答案】（1）70°，90°，90°；（2）猜想：當(dāng)兩平面鏡CE，CF的夾角∠3為90°時(shí)，可以使任何射到平面鏡CE上的光線MA，經(jīng)過(guò)平面鏡CE，CF的兩次反射后，入射光線MA與反射光線BN平行．理由見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，以及入射角等于反射角，可以求得∠2和∠3的度數(shù)；（2）先寫(xiě)出∠3等于多少度，然后根據(jù)題意和圖形結(jié)合第（1）問(wèn)的提示思路，即可寫(xiě)出推理過(guò)程．【詳解】解：（1）∵AM∥BN，∴∠MAB+∠2=180°，∵∠MAB+∠1+∠BAC=180°，∠1=∠BAC，∠1=35°，∴∠2=2∠1=70°，∵∠2+∠ABC+∠NBF=180°，∠ABC=∠NBF，∴∠ABC=55°，∴∠3=180°-∠BAC-∠ABC=90°；當(dāng)∠1=50°時(shí)，同理可得，∠2=100°，∠ABC=40°，∠BAC=∠1=50°，則∠3=180°-∠BAC-∠ABC=90°；故答案為：70°，90°，90°；（2）猜想：當(dāng)兩平