六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)奧數(shù)培優(yōu) 第07講 計(jì)數(shù)綜合三（教師版）

第第7講計(jì)數(shù)綜合三六年級(jí)秋季知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)計(jì)數(shù)綜合提高下（六上）備注備注課堂例題課堂例題復(fù)習(xí)鞏固1、滿足下面性質(zhì)的三位數(shù)稱為“紅數(shù)”：它的個(gè)位比十位大，十位比百位大，并且任意相鄰兩位數(shù)字的差都不超過3．例如246、367是“紅數(shù)”，但278就不是“紅數(shù)”．請(qǐng)問：一共有多少個(gè)“紅數(shù)”？【答案】

45【解析】

按十位數(shù)字分類枚舉．十位取2、8的紅數(shù)各有個(gè)，取3、7的紅數(shù)各有個(gè)，取4、5、6的紅數(shù)各有個(gè)，因此共個(gè)．2、下圖由5部分組成，現(xiàn)在將每一部分染上紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色之一，要求相鄰兩部分的顏色不同，共有多少種染色方法？【答案】

324【解析】

從A開始依次染色即可，共種．3、0、1、6、8、9顛倒過來后分別為0、1、9、8、6，而2、3、4、5、7顛倒過來不是一個(gè)數(shù)字，如果一個(gè)自然數(shù)顛倒過來看等于它本身，則稱其為“混沌數(shù)”，如69、101、8118等，那么六位數(shù)中有多少個(gè)“混沌數(shù)”？【答案】

100【解析】

前三位分別有4、5、5種選法，此時(shí)后三位隨之確定，故有個(gè)．4、（1）3個(gè)相同的白球和7個(gè)相同的黑球排成一排，要求每2個(gè)白球之間至少有2個(gè)黑球，共有多少種排列方法？（2）3個(gè)相同的白球和7個(gè)相同的黑球排成一圈，要求每2個(gè)白球之間至少有2個(gè)黑球，共有多少種排列方法？（旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)后相同算同一種）【答案】

（1）20（2）1【解析】

（1）等價(jià)于3個(gè)相同的白球和5個(gè)相同的黑球排成一排，要求每2個(gè)白球之間至少有1個(gè)黑球．根據(jù)插空法，有種．（2）先把3白6黑按要求排好，再把另一個(gè)黑球放入，顯然只有1種．增量分析5、（2013年北大附入學(xué)）利用上題的思路思考并解決下面兩個(gè)問題：（1）六條直線，最多把平面劃分為多少塊？詳細(xì)描述你的思路和理由．（2）n（n是大于6的自然數(shù)）條直線最多把平面劃分為多少塊？直接寫出你的猜想．【答案】

22；【解析】

（1）第n條直線與前條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，故其最多被分成n段。每段使原來平面的一部分一分為二，即可增加n部分。開始時(shí)平面只有一部分，故n條直線最多將平面分成部分。當(dāng)時(shí)，共部分。（2）見第（1）問。6、（1）在一個(gè)平面上畫出6個(gè)正方形，最多可以把平面分成幾個(gè)部分？（2）在一個(gè)平面上畫出3個(gè)三角形、2個(gè)圓、1條直線，最多可以把平面分成幾個(gè)部分？【答案】

（1）122（2）68【解析】

（1）第1個(gè)正方形將平面分為2部分，第2個(gè)正方形與第1個(gè)最多有8個(gè)交點(diǎn)，即被分為8段，每段使原來的1部分一分為二，即可增加8部分．同理，第個(gè)正方形與之前的n個(gè)正方形最多有個(gè)交點(diǎn)，將使平面增加部分．因此，6個(gè)正方形最多可以把平面分成部分．（2）第1個(gè)三角形將平面分為2部分，第2個(gè)三角形與第1個(gè)三角形最多有6個(gè)交點(diǎn)，即被分為6段，每段使原來的1部分一分為二，即可增加6部分，同理第3個(gè)三角形使平面增加個(gè)部分，至此共部分；每個(gè)圓與1個(gè)三角形最多有6個(gè)交點(diǎn)，兩圓間還可有2個(gè)交點(diǎn)，故畫完圓可再增加部分；直線與之前的5個(gè)圖形最多有10個(gè)交點(diǎn)，故還能增加10部分．綜上，共部分．遞推計(jì)數(shù)7、一個(gè)樓梯共有12級(jí)臺(tái)階，規(guī)定每步可以邁二級(jí)臺(tái)階或三級(jí)臺(tái)階．走完這12級(jí)臺(tái)階，共有多少種不同的走法？【答案】

12【解析】

假設(shè)有2級(jí)臺(tái)階，則有1種走法；假設(shè)有3級(jí)臺(tái)階，則有1種走法；假設(shè)有4級(jí)臺(tái)階，則有1種走法；假設(shè)有5級(jí)臺(tái)階，則有種走法；假設(shè)有6級(jí)臺(tái)階，則有種走法……以此類推，可得如下圖所示結(jié)果．所以，走完這12級(jí)臺(tái)階，共有12種不同的走法．臺(tái)階數(shù)臺(tái)階數(shù)2級(jí)3級(jí)4級(jí)5級(jí)6級(jí)7級(jí)8級(jí)9級(jí)10級(jí)11級(jí)12級(jí)方法數(shù)1112234579128、如圖，一個(gè)長方形被分成7部分，現(xiàn)在將每一部分染上紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色之一，要求相鄰兩部分的顏色不同，共有多少種染色方法？【答案】

120【解析】

先不考慮左下角那部分，其余6部分可看作5等分圓環(huán)染色問題．圓環(huán)中心有4種選法，之后根據(jù)傳球法，周邊5塊有10種選法，最后左下角有3種．因此，共種．旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)相關(guān)問題9、把一條木棍均勻五等分，然后用5種顏色給這5部分染色，要求相鄰的部分不能同色，那么一共有多少種不同的染色方法？（旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)后相同算同一種）【答案】

680【解析】

不考慮旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)時(shí)，共種，其中除對(duì)稱的種情況外，其余只有一半是有效的，故染色方法應(yīng)有種．10、給一個(gè)正四面體的4個(gè)面染色，每個(gè)面只允許用一種顏色，且4個(gè)面的顏色互不相同．現(xiàn)有5種顏色可選，共有__________種不同的染色方式．（旋轉(zhuǎn)后是一樣的染色情況算是同一種方式）【答案】

10種【解析】

從5種顏色中選4種顏色，有種方法．由于正四面體的四個(gè)面是對(duì)稱的，我們不妨先確定底面的顏色，其它三個(gè)面有2種染法，共有種染法．11、把一條均勻木棍六等分，然后用6種顏色給這6部分染色，要求相鄰的部分不能同色，那么一共有多少種不同的染法？（旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)后相同算同一種）【答案】

9375【解析】

若不考慮旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)，共種．易知即為所求．12、某工廠生產(chǎn)一批玩具，玩具為一條圓環(huán)上均勻安裝著13個(gè)小球，其中3個(gè)是紅球，10個(gè)是白球．如果2個(gè)圓環(huán)通過翻轉(zhuǎn)后可以疊放在一起，使得紅球?qū)t球、白球?qū)Π浊?，這樣的兩個(gè)圓環(huán)就認(rèn)為是相同的．那么一共可以生產(chǎn)多少種不同的圓環(huán)？【答案】

14種【解析】

先放紅球，如圖所示，這時(shí)10個(gè)白球要放到紅球之間的3個(gè)縫隙中．把10個(gè)白球分為三堆（每堆可以是0個(gè)）有14種方法，分別是：0＋0＋10，0＋1＋9，0＋2＋8，0＋3＋7，0＋4＋6，0＋5＋5；1＋1＋8，1＋2＋7，1＋3＋6，1＋4＋5；2＋2＋6，2＋3＋5，2＋4＋4；3＋3＋4．對(duì)上述每一種分法，例如，因?yàn)閳D形可以旋轉(zhuǎn)，可以把7個(gè)白球放到下面的縫隙中，如圖所示．77個(gè)球又因?yàn)閳D形可以翻轉(zhuǎn)，所以2個(gè)白球放在左右兩個(gè)縫隙相同，所以每種分法確定唯一一種圓環(huán)，所以共14種不同的圓環(huán)．

隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1、滿足以下條件的四位數(shù)稱為“N數(shù)”：它的個(gè)位比十位大，十位比百位小，百位比千位大，并且任意相鄰兩位數(shù)字差不超過2．例如3534是“N數(shù)”，但1234不是“N數(shù)”．一共有多少個(gè)N數(shù)？【答案】

58【解析】

傳球法，共個(gè)．00123456789千0111111111百0012222222十1344444420個(gè)01478888862、在一個(gè)平面上畫1條直線，2個(gè)三角形和3個(gè)長方形，那么最多可把這個(gè)平面分成多少部分？【答案】

78【解析】

依次畫3個(gè)長方形、2個(gè)三角形和1條直線，通過增量分析可得最多可把這個(gè)平面分成個(gè)部分．3、如圖所示，一個(gè)圓環(huán)被分成8部分，現(xiàn)將每一部分染上紅、黃、藍(lán)三種顏色之一，要求相鄰兩部分顏色不同，共有多少種染色方法？【答案】

258種【解析】

采用“傳球法”，將圓環(huán)分別編號(hào)為A、B、C、D、E、F、G、H，設(shè)A染紅色，如右圖所示，H不能再染紅色，有種染法，由對(duì)稱性可知，共有種染法．紅紅黃藍(lán)A100B011C211D233E655F101111G222121H4243434、一個(gè)正整數(shù)，如果從左到右看和從右到左看都是一樣的，那么稱這個(gè)數(shù)為“回文數(shù)”．例如：1331，7，202，66都是回文數(shù)，而220則不是回文數(shù)．請(qǐng)問：六位回文數(shù)有_____________個(gè)．【答案】

900【解析】

六位回文數(shù)只要能確定前三位數(shù)字，這個(gè)數(shù)就可以確定，首位和個(gè)位有1、2、3、……9共9種取法，萬位和十位有0、1、2、3、……9共十種選法，同理百位和千位有0、1、2、3……9共有10種選法，利用乘法原理六位回文數(shù)有個(gè)．5、（2012年首師附入學(xué)）從樓下經(jīng)過一些臺(tái)階走到樓上，規(guī)定你每一步只能跨上一級(jí)或兩級(jí)臺(tái)階．問：（1）從樓下登上第五級(jí)臺(tái)階，有多少種不同的走法？（2）從樓下登上第十級(jí)臺(tái)階，有多少種不同的走法？【答案】

（1）8（2）89【解析】

設(shè)登上第n階臺(tái)階有種走法，則，所以數(shù)列為1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144，所以第五級(jí)有8種方法，第十級(jí)有89種方法．6、（2014高思杯六年級(jí)）正方體的八個(gè)頂點(diǎn)分別標(biāo)記為A、B、C、D、E、F、G、H．現(xiàn)在用四種顏色給頂點(diǎn)染色，要求有棱相連的兩個(gè)頂點(diǎn)的顏色不同，一共有_______種不同的染法．（旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)后相同算不同的染法）【答案】

2652【解析】

我們?nèi)旧倪^程分為兩個(gè)步驟．如圖所示，先染A、E、C、G這四個(gè)頂點(diǎn)，再染剩下的四個(gè)頂點(diǎn)．根據(jù)第一步染色用的顏色的種類數(shù)，我們可以將染色的方法分為以下四類：第一類，A、E、C、G這四個(gè)頂點(diǎn)只用一種顏色．先選顏色，有4種選法，這四個(gè)點(diǎn)的染法唯一．接下來染剩下的四個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)有3種顏色可選．所以一共有種染法．第二類，A、E、C、G這四個(gè)頂點(diǎn)用兩種顏色．先選顏色，有種選法．染法又可以分成兩類：如果其中三個(gè)點(diǎn)用一種顏色，剩下一個(gè)點(diǎn)用一種顏色，有種染法．剩下的四個(gè)頂點(diǎn)中有3個(gè)頂點(diǎn)有2種顏色可選，1個(gè)有3種顏色可選；但如果A、E、C、G中兩個(gè)點(diǎn)用一種顏色，剩下的兩個(gè)點(diǎn)用另一種顏色，這四個(gè)頂點(diǎn)的染法就有種．剩下的4個(gè)頂點(diǎn)每個(gè)都有2種顏色可選．那么第二類一共有種染法．第三類，A、E、C、G這四個(gè)頂點(diǎn)用三種顏色．先選顏色，有種選法．這4個(gè)點(diǎn)中，有兩個(gè)點(diǎn)用一種顏色，剩下的兩個(gè)點(diǎn)各用一種顏色，有種染法．剩下的4個(gè)點(diǎn)中，有2個(gè)有2種顏色可選，有2個(gè)只有1種顏色可選．一共有種染法．第四類，A、E、C、G這四個(gè)頂點(diǎn)用四種顏色．那么這四個(gè)點(diǎn)的顏色兩兩不同，有種染法．剩下的4個(gè)頂點(diǎn)都只有1種顏色可選，所以一共有種染法．最后一共有種染法．課后作業(yè)課后作業(yè)1、8個(gè)人圍成一圈做游戲，共有________種不同的坐法．【答案】

5040【解析】

圓排列，共種．2、滿足下面性質(zhì)的三位數(shù)稱為“黑數(shù)”：它的個(gè)位比十位小，十位比百位小，并且任意相鄰兩位數(shù)字的差都不超過3．例如642、520是“黑數(shù)”，但872就不是“黑數(shù)”．一共有________個(gè)“黑數(shù)”．【答案】

54【解析】

傳球法，共個(gè)．00123456789百0111111111十3333333210個(gè)99998631003、一個(gè)五位數(shù)只由1、2、3、4組成，它的每相鄰兩位數(shù)字的差都是1，這樣的五位數(shù)有________個(gè)．【答案】

26【解析】

傳球法．共個(gè)．萬萬千百十個(gè)1112352123583123584112354、如果在一個(gè)平面上畫出4個(gè)凸五邊形，最多可以把平面分成________個(gè)部分．【答案】

62【解析】

增量分析．每畫一個(gè)凸五邊形，最多可與之前的n個(gè)凸五邊形有個(gè)交點(diǎn)，可使平面增加部分．因此，畫4個(gè)凸五邊形最多可以把平面分成個(gè)部分．5、有10條直線和2個(gè)圓，最多可以把平面分成________個(gè)部分．【答案】

98【解析】

增量分析．先畫直線，畫完第1條直線后平面被分為2部分．時(shí)，第n條直線與之前圖形最多有個(gè)交點(diǎn)，可使平面增加n部分；第1個(gè)圓與直線最多有個(gè)交點(diǎn)，可使平面增加20部分；第2個(gè)圓與之前的圖形最多有個(gè)交點(diǎn)，可使平面增加22部分．因此，10條直線和2個(gè)圓最多可以把平面分成部分．6、一個(gè)正整數(shù)，如果從左到右看和從右到左看都是一樣的，那么稱這個(gè)數(shù)為“回文數(shù)”．例如：1331，7，202，66都是回文數(shù)，而220則不是回文數(shù)．請(qǐng)問：五位回文數(shù)有_____________個(gè)．【答案】

900【解析】

五位回文數(shù)確定了前三位則這個(gè)回文數(shù)即可確定，首位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字相同有9種取法（0-9去掉0），萬位數(shù)字和十位數(shù)字取0-9都可以，共有10種方法，百位數(shù)字同樣可以取0-9這十個(gè)數(shù)，所以五位回文數(shù)有個(gè)．7、把一個(gè)木棍4等分，然后用3種顏色給它染色，要求相鄰不同色，那么共有______種染法．（旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)后相同算同一種）【答案】

12【解析】

若不考慮旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)，共種．易知即為所求．8、4個(gè)相同的白球和10個(gè)相同的黑球排成一圈，使得任意兩個(gè)白球之間至少2個(gè)黑球，那么共有________種不同的排法．（旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)后相同算同一種）【答案】

3【解析】

先把4白8黑按要求排好，再把另2個(gè)黑球放入．若這兩個(gè)黑球在相同的兩個(gè)白球之間，有1種；若在不同的兩個(gè)白球之間，有2種．綜上，共種．9、把一個(gè)木棍四等分，然后用3種顏色給它染色，相鄰可同色，那么共有________種染法．（旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)后相同算同一種）【答案】

45【解析】

不考慮旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)時(shí)，共種，其中除對(duì)稱的種情況外，其余只有一半是有效的，故染色方法應(yīng)