專題1.2 矩形的判定與性質(zhì)【十一大題型】（舉一反三）（北師大版）（原卷版）

專題1.2矩形的判定與性質(zhì)【十一大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用矩形的性質(zhì)求角度】 1【題型2利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)】 2【題型3利用矩形的性質(zhì)求面積】 3【題型4利用矩形的性質(zhì)求坐標(biāo)】 4【題型5利用矩形的性質(zhì)證明】 5【題型6添加條件使四邊形是矩形】 7【題型7證明四邊形是矩形】 8【題型8利用矩形的性質(zhì)與判定求角度】 9【題型9利用矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)】 10【題型10利用矩形的性質(zhì)與判定求面積】 12【題型11利用直角三角形斜邊中線求解】 13【知識(shí)點(diǎn)1矩形的性質(zhì)】定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等；⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．【題型1利用矩形的性質(zhì)求角度】【例1】（2023春·貴州遵義·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD于點(diǎn)E．若∠DAE:∠BAE=3:1，則∠EAC的度數(shù)是（

）

A．45° B．36° C．22.5° D．18°【變式1-1】（2023春·黑龍江雞西·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD為一個(gè)正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與CD的交點(diǎn)為E，當(dāng)水杯底面BC與水平面的夾角為27°時(shí)，∠AED的大小為______.

【變式1-2】（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到矩形BEFG，點(diǎn)E在AD上，延長(zhǎng)DA交GF于點(diǎn)H.(1)求證：△ABE?△FEH；(2)連接BH，若∠EBC=30°，求∠ABH的度數(shù)．【變式1-3】（2023春·廣西南寧·九年級(jí)南寧二中?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，BC=2AB，點(diǎn)M為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AN，連接MN，DN.當(dāng)線段DN的長(zhǎng)度最小時(shí)，∠MND的度數(shù)為______．

【題型2利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)】【例2】（2023春·黑龍江綏化·九年級(jí)綏化市第八中學(xué)校校考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，動(dòng)點(diǎn)Р滿足3S△PAB=S?ABCD，則點(diǎn)Р到A、

A．29 B．34 C．52 D．【變式2-1】（2023春·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，且BP=BA，連接AP并延長(zhǎng)，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接

(1)求證：△PDQ是等腰三角形；(2)求CQ和BQ的長(zhǎng)．【變式2-2】（2023春·山東聊城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)C的直線MN折疊，恰使得點(diǎn)B落在邊AD的中點(diǎn)E處，且AE=1，則矩形的邊AB的長(zhǎng)度為(

)A．1 B．2 C．3 D．2【變式2-3】（2023春·安徽亳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=2AB．點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)F在邊BC上，點(diǎn)G、H在對(duì)角線AC上．若四邊形EGFH是菱形，則ED的長(zhǎng)是________．

【題型3利用矩形的性質(zhì)求面積】【例3】（2023春·河南三門峽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若∠AOB=60°，AC的長(zhǎng)為4，則矩形ABCD的面積為（

）

A．23 B．43 C．83【變式3-1】（2023春·江蘇·九年級(jí)期中）如圖，過矩形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)E作MN∥AD，分別交AB和CD于點(diǎn)M和N，連接BE,DE，已知CN=2,ME=6，則△END和A．10 B．12 C．14 D．16【變式3-2】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD的周長(zhǎng)為24cm，兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作BD的垂線EF，分別交BC、AD于點(diǎn)E、F，連接BF，且AF=3cm，則矩形ABCDA．24cm2 B．28cm2 C．32cm2【變式3-3】（2023春·安徽蕪湖·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，EF=1，OE=2，BD=43，則矩形ABCD的面積為________【題型4利用矩形的性質(zhì)求坐標(biāo)】【例4】（2023春·安徽黃山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCO是矩形，其中點(diǎn)A和點(diǎn)C分別在x軸和y軸上，連接AC，點(diǎn)B的坐標(biāo)為12?，???5，∠CAO的平分線與y軸相交于點(diǎn)D，則

【變式4-1】（2023春·廣東陽(yáng)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對(duì)角線AC平行于x軸，邊OA與x軸正半軸的夾角為30°，AC＝6，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____．【變式4-2】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州草橋中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形OABC，點(diǎn)A，C分別在y軸，x軸的正半軸上，OA=6，OC=3，∠DOE=45°，OD，OE分別交BC，AB于點(diǎn)D，E，且CD=2，則點(diǎn)E坐標(biāo)為______．【變式4-3】（2023春·湖北十堰·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸上，OA=OB=2，AD=42，將矩形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

A．(4,6) B．(6,4) C．(-6,4) D．(-4,6)【題型5利用矩形的性質(zhì)證明】【例5】（2023春·湖北孝感·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，AE=AB，過點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F．

(1)求證：BF=BC；(2)若AD=1，AF=2，求四邊形BCEF的面積．【變式5-1】（2023春·重慶北碚·九年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谀┤鐖D，四邊形ABCD是矩形，連接AC、BD交于點(diǎn)O，∠BAC的角平分線交BD于點(diǎn)

(1)尺規(guī)作圖：作∠ACD的角平分線交BD于點(diǎn)F，連接AF，(2)求證：四邊形AECF是平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD是矩形∴，AB∥CD．∴．∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．∴∠EAO=12∠BAO，∴．∵在△AEO和△CFO中，∠EAO=∠FCOAO=CO∴△AEO≌△CFOASA∴．又∵AO=CO．∴四邊形AECF是平行四邊形（的四邊形是平行四邊形）．（填判定依據(jù)）【變式5-2】（2023春·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，且DE∥

(1)求證：四邊形OCED是菱形；(2)若AB=1，BC=2，請(qǐng)直接寫出菱形【變式5-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)校考期中）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，連接CE，F(xiàn)為CE中點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)交CD于G，N在AD邊上，且∠DGN=∠BGC．

(1)求證：GF+GN=BF；(2)連接BN，若∠BNG=90°，求證：【知識(shí)點(diǎn)2矩形的判定方法】①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；

③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）.【題型6添加條件使四邊形是矩形】【例6】（2023春·上海黃浦·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在□ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，要使四邊形ABCD是矩形，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是(

)A．AC⊥BD； B．∠OAB=∠OAD； C．BA=BO； D．OB=OC．【變式6-1】（2023春·山西陽(yáng)泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且AE=CF，連接BE，ED，DF，F(xiàn)B．若添加一個(gè)條件使四邊形BEDF是矩形，則該條件可以是______．（填寫一個(gè)即可）

【變式6-2】（2023春·河北保定·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在四過形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°．若再添加一個(gè)條件，不能推出四邊形ABCD是矩形的是（

）A．BC=3CD B．∠A=90° C．AD=BC D【變式6-3】（2023春·北京西城·九年級(jí)北京四中?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，只需添加一個(gè)條件，即可證明四邊形EFCH是矩形，這個(gè)條件可以是______（寫出一個(gè)即可）．【題型7證明四邊形是矩形】【例7】（2023春·廣東惠州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于點(diǎn)E．

(1)尺規(guī)作圖：作∠CBD的平分線交CD于點(diǎn)F．(2)在（1）的基礎(chǔ)上，求證：DE=BF．(3)在前面2問的基礎(chǔ)上，若AD=BD，求證：四邊形DEBF是矩形．【變式7-1】（2023春·浙江溫州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，且BE=CF,DE=AF．求證：平行四邊形ABCD是矩形．

【變式7-2】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)期中）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OC上一點(diǎn)，點(diǎn)F在BE延長(zhǎng)線上，且EF=BE，EF與CD交于點(diǎn)G．

(1)求證：DF∥(2)連接DE、CF，如果BF=2AB，且G恰好是CD的中點(diǎn)，求證：四邊形CFDE是矩形．【變式7-3】（2023春·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別為OB、OD的中點(diǎn)．(1)求證：△ABE?△CDF；(2)延長(zhǎng)AE至G，使EG=AE，連接CG，延長(zhǎng)CF，交AD于點(diǎn)P，當(dāng)AC=2AB時(shí)，試判斷四邊形EGCF是什么特殊的四邊形，并說明理由．【題型8利用矩形的性質(zhì)與判定求角度】【例8】（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；【變式8-1】（2023春·廣西河池·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于點(diǎn)E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠OAE＝15°，①求證：DA＝DO＝DE；②直接寫出∠DOE的度數(shù)．【變式8-2】（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，當(dāng)θ＝_____°時(shí)，GC＝GB．【變式8-3】（2023春·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C＝110°．E為BC的中點(diǎn)，直線FG經(jīng)過點(diǎn)E，DG⊥FG于點(diǎn)G，BF⊥FG于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)∠BEF＝70°時(shí)，求證：DG＝BF；（2）如圖2，當(dāng)∠BEF≠70°時(shí)，若BC＝DC，DG＝BF，請(qǐng)直接寫出∠BEF的度數(shù)；（3）當(dāng)DG－BF的值最大時(shí)，直接寫出∠BEF的度數(shù)．【題型9利用矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)】【例9】（2023春·安徽合肥·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在矩形ABCD中，O是對(duì)角線BD中點(diǎn)．過O點(diǎn)的直線與矩形的一組對(duì)邊AB，CD分別相交于點(diǎn)F，E．(1)求證：OE=OF；(2)點(diǎn)B'與B關(guān)于直線EF對(duì)稱，連接BE①求證：DB'∥OE；②若AB=8，BC=4，且四邊形OEB'D是平行四邊形，求線段【變式9-1】（2023春·云南楚雄·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA=OB．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若AD=4，∠AOD=60°，求AB的長(zhǎng)．【變式9-2】（2023春·北京·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，且BC=2AF．(1)求證：四邊形ADFE為矩形；(2)若∠C=30°，AF=2，寫出矩形ADFE的周長(zhǎng)．【變式9-3】（2023春·廣東廣州·九年級(jí)鐵一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）學(xué)習(xí)新知：如圖1、圖2，P是矩形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則有以下重要結(jié)論：AP

（1）請(qǐng)?jiān)趫D1和圖2中任意選擇一個(gè)，證明：AP（2）應(yīng)用新知：如圖3，在△ABC中，CA=4，CB=6，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且CD=2，【題型10利用矩形的性質(zhì)與判定求面積】【例10】（2023春·河北保定·九年級(jí)?？计谥校┚匦蜛BCD的邊BC上有一動(dòng)點(diǎn)E，連接AE、DE，以AE、DE為邊作平行四邊形AEDF．在點(diǎn)E從點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，平行四邊形AEDF的面積（

）A．先變大后變小 B．先變小后變大 C．一直變大 D．保持不變【變式10-1】（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)校考期末）如圖，點(diǎn)P在矩形ABCD的對(duì)角線AC上，且不與點(diǎn)A、C重合，過點(diǎn)P分別作邊AB、AD的平行線，交兩組對(duì)邊于點(diǎn)E、F和G、H．四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形并且面積分別為S1，S2，則【變式10-2】（2023春·北京西城·九年級(jí)校考期中）如圖，菱形ABCD中，分別延長(zhǎng)DC，BC至點(diǎn)E，F(xiàn)，使CE=CD，CF=CB，連接DB，BE，EF，F(xiàn)D.(1)