中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破講練：專題17 旋轉(zhuǎn)相似模型（教師版）

專題17旋轉(zhuǎn)相似模型【模型】如圖，在中，已知，可知∽,將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到下右圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和相似三角形對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，可證∽。【例1】如圖，正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，以為對角線作正方形，邊與正方形的對角線相交于點(diǎn)，連接．以下四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)為（）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【分析】①四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，∠EAB、∠GAD與∠BAG的和均為90°，即可證明∠EAB與∠GAD相等；②由題意易得AD=DC，AG=FG，進(jìn)而可得，∠DAG=∠CAF，然后問題可證；③由四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，可求證△HAF∽△FAC，則有，然后根據(jù)等量關(guān)系可求解；④由②及題意知∠ADG=∠ACF=45°，則問題可求證．【解析】解：①∵四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形∴∠EAG=∠BAD=90°又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG∴∠EAB=∠GAD∴①正確②∵四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形∴AD=DC，AG=FG∴AC=AD，AF=AG∴，即又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC∴∠DAG=∠CAF∴∴②正確③∵四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，AF、AC為對角線∴∠AFH=∠ACF=45°又∵∠FAH=∠CAF∴△HAF∽△FAC∴即又∵AF=AE∴∴③正確④由②知又∵四邊形ABCD為正方形，AC為對角線∴∠ADG=∠ACF=45°∴DG在正方形另外一條對角線上∴DG⊥AC∴④正確故選：D．【例2】如圖，正方形的邊長為8，線段繞著點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)，且，連接，以為邊作正方形，為邊的中點(diǎn)，當(dāng)線段的長最小時，______．【答案】【分析】連接BD，BF，F(xiàn)D，證明△EBC∽△FBD，根據(jù)題意，知道M，F(xiàn)，D三點(diǎn)一線時，F(xiàn)M最小，然后過點(diǎn)M作MG⊥BD，垂足為G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理分別求出MG和DG的長，再根據(jù)正切的定義計算即可．【解析】解：連接BD，BF，F(xiàn)D，如圖，∵，∴，∵∠FBD+∠DBE=45°，∠EBC+∠DBE=45°，∴∠FBD=∠EBC，∴△EBC∽△FBD，∴∠FDB=∠ECB，，∴DF=，由題意知：FM、DF、DM三條線段滿足FM+DF≥MD，其中DM、DF的值一定，∴當(dāng)M，F(xiàn)，D三點(diǎn)一線時，F(xiàn)M最小，過點(diǎn)M作MN⊥BD，垂足為G，∵∠MBN=45°，BM=AB=4，∴MN=BN=2，∵M(jìn)D==4，∴DG==6，∴=，故答案為：．【例3】【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為斜邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；【探究證明】如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一條直線上時，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，說明理由；【拓展延伸】如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，過點(diǎn)C作CA⊥BD于A．將△ACD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為（0°＜＜360°），當(dāng)C，D，E在同一條直線上時，畫出圖形，并求出線段BE的長度．【答案】BD＝CE，BD⊥CE；BD⊥CE，理由見解析；圖見解析，【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）連接BD，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及垂直的定義即可得到結(jié)論；（3）如圖3，過A作AF⊥EC，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得到結(jié)論．【解析】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE．理由如下：在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△CEA≌△BDA，∴∠BDA＝∠AEC＝45°，∴∠BDE＝∠BDA＋∠ADE＝90°，∴BD⊥CE．（3）如圖所示，過點(diǎn)A作AF⊥CE，垂足為點(diǎn)F．根據(jù)題意可知，Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD，∴，∴．∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，∠BEC＋∠DEA＝∠DEA＋90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CE．在旋轉(zhuǎn)前，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，∴，∵AC⊥BD，∴，∴．∴，在Rt△ACD中，CD邊上的高，旋轉(zhuǎn)后，得，∴．一、單選題1．如圖，點(diǎn)E是邊長為8的正方形ABCD的邊CD上一動點(diǎn)，連接AE，將線段AE繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°到線段EF，連接AF，BF，AF交邊BC于點(diǎn)G，連接EG，當(dāng)AF+BF取最小值時，線段EG的長為（

）A．8 B．7 C．9 D．【答案】D【分析】過點(diǎn)F作FP⊥CD交DC的延長線于點(diǎn)P，作直線CF，首先證明△PEF≌△DAE，得PF＝DE，PE＝AD，再證明點(diǎn)F在∠BCP的平分線上，作點(diǎn)B關(guān)于直線CF的對稱點(diǎn)M，連接AM交直線CF于點(diǎn)F，此時，AF＋BF最小，設(shè)DE＝x，由圖1知，PE＝PC＝DE＝x，則PM＝CM?PC＝8?x，由△MPF∽△MCG，得到對應(yīng)邊成比例即可求出x的值，再利用勾股定理即可解決問題．【解析】解：如圖，過點(diǎn)F作FP⊥CD交DC的延長線于點(diǎn)P，作直線CF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝8，∠D＝∠BCD＝90°，AB∥CD，∴∠D＝∠EPF＝90°，∴∠AED＋∠DAE＝90°，由旋轉(zhuǎn)知，AE＝FE，∠AEF＝90°，∴∠AED＋∠PEF＝90°，∴∠PEF＝∠DAE，在△PEF與△DAE中，∴△PEF≌△DAE（AAS），∴PF＝DE，PE＝AD，∴PE＝CD，∴PE?CE＝CD?CE，∴PC＝DE，∵FP⊥CD，∴∠PCF＝45°，∴點(diǎn)F在∠BCP的平分線上，如圖2，作點(diǎn)B關(guān)于直線CF的對稱點(diǎn)M，連接AC、BM，連接AM交直線CF于點(diǎn)F，此時，AF＋BF最小，∵點(diǎn)B關(guān)于直線CF的對稱點(diǎn)M，∴△BFC≌△MFC（ASA），∴CM＝BC＝AB＝8，∵ABCD，∴四邊形ABMC為平行四邊形，∴BG＝CG＝BC＝4，設(shè)DE＝x，由圖1知，PE＝PC＝DE＝x，∴PM＝CM?PC＝8?x，∵∠BCM＝∠FPM＝90°，∴PFBC，∴△MPF∽△MCG，∴，即，解得：x＝，∴CE＝CD?DE＝8?，∴，故選：D．2．如圖，在矩形ABCD中，DE平分交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是CD邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合）．點(diǎn)P為DE上一動點(diǎn)，，將繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，角的兩邊交射線DA于H，G兩點(diǎn)，有下列結(jié)論：①；②；③；④，其中一定正確的是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷得，可判斷③正確，證可判斷④正確，從而得出結(jié)果.【解析】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，∵DE平分，∴，∴，∴PH=PD，∵∴在和中，∵∴∴∵∴∴故③正確；∵，∴∴即，故④正確；根據(jù)已知條件無法證明①DH=DE，②DP=DG.故選：D．3．如圖，中，，，點(diǎn)是重心，將繞著點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在BC延長線上的處，此時點(diǎn)B落在點(diǎn)，點(diǎn)G落在點(diǎn).聯(lián)結(jié)CG、、、.在旋轉(zhuǎn)過程中，下列說法：①；②與相似；③；④點(diǎn)所經(jīng)過的路程長是.其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即判斷①，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，，即可判斷②，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以判斷③，根據(jù)弧長公式計算即可判斷④．【解析】解：，，是等腰直角三角形，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，故①正確；如圖，連接，，，點(diǎn)是重心，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，與相似；故②正確；，故③正確，④點(diǎn)所經(jīng)過的路程長是，故④錯誤，故選C．4．如圖，四邊形為正方形，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)，，在同一直線上，與交于點(diǎn)，延長與的延長線交于點(diǎn)，，．以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，可判斷①正確；利用三角形相似的判定及性質(zhì)可知②正確；證明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再證明即可求出可知③正確；過點(diǎn)E作交FD于點(diǎn)M，求出，再證明，即可知④正確．【解析】解：∵旋轉(zhuǎn)得到，∴，∵為正方形，，，在同一直線上，∴，∴，故①正確；∵旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；設(shè)正方形邊長為a，∵，，∴，∵，∴，∴，即，∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，∵，∴，故③正確；過點(diǎn)E作交FD于點(diǎn)M，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，故④正確綜上所述：正確結(jié)論有4個，故選：D5．如圖，在中，，將以點(diǎn)為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②平分；③，其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【解析】解：∵將以點(diǎn)為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，故①正確；，，，，，平分，故②正確；，，，，，，故③正確故選D二、填空題6．如圖，在四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k為常數(shù)），則BD的長為____．（用含k的式子表示）【答案】【分析】連接AC，將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ACG，連接DG，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出DG=kBC，然后根據(jù)題意推出∠CDG=90°，即可利用勾股定理求解．【解析】解：如圖，連接AC，∵AE⊥BC，BE＝CE＝2，∴BC=4，AE垂直平分BC，AB=AC，將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ACG，如圖所示，連接DG，則AD=AG，BD=CG，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠BAC=∠DAG，∵AB=AC，AD=AG，∴△ABC∽△ADG，∴，∵AD＝kAB，∴DG=kBC=4k，∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ABC+∠ADC=90°，∵△ABC∽△ADG，∴∠ABC=∠ADG，∴∠ADG+∠ADC=90°，即：∠CDG=90°，∴，∴．7．如圖，在△ABC中，AB＝5，D為邊AB上－動點(diǎn)，以CD為一邊作正方形CDEF，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A時，點(diǎn)E運(yùn)動的路徑長為_________．【答案】5【分析】如圖，構(gòu)造等腰Rt△CBG，∠CBG=90°，則由△CGE∽△CBD，得GE=BD，即可求得點(diǎn)E運(yùn)動的路徑長．【解析】如圖：作GB⊥BC于B，取GB=BC，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時，則點(diǎn)E與點(diǎn)G重合，∴∠CBG=90°，∴CG=BC，∠GCB=45，∵四邊形CDEF是正方形，∴CE=DC，∠ECD=45，∴∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG=45，∴∠BCD=∠GCE，且，∴△CGE∽△CBD，∴，即GE=BD，∵BD=5，∴點(diǎn)E運(yùn)動的路徑長為GE=BD=5．8．已知正方形DEFG的頂點(diǎn)F在正方形ABCD的一邊AD的延長線上，連結(jié)AG，CE交于點(diǎn)H，若，，則CH的長為________.【答案】【分析】連接EG，與DF交于N，設(shè)CD和AH交于M，證明△ANG∽ADM，得到，從而求出DM的長，再通過勾股定理算出AM的長，通過證明△ADG≌△CDE得到∠DAG=∠DCE，從而說明△ADM∽△CHM，得到，最后算出CH的長.【解析】解：連接EG，與DF交于N，設(shè)CD和AH交于M，∴∠GNA=90°，DN=FN=EN=GN，∵∠MAD=∠GAN，∠MDA=∠GNA=90°，∴△ANG∽ADM，∴，∵，∴DF=EG=2,∴DN=NG=1，∵AD=AB=3，∴，解得：DM=，∴MC=，AM=，∵∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG，∴∠ADG=∠EDC，在△ADG和△CDE中，，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴∠DAG=∠DCE，∵∠AMD=∠CMH，∴∠ADM=∠CHM=90°，∴△ADM∽△CHM，∴，即，解得：CH=.9．將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°）如圖①擺放，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P，DF經(jīng)過點(diǎn)C．將△DEF繞點(diǎn)D順時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜60°），DE′交AC于點(diǎn)M，DF′交BC于點(diǎn)N，則＝________．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD＝AD＝BD＝AB，根據(jù)等邊對等角求出∠ACD＝∠A，再求出∠ADC＝120°，再根據(jù)∠ADE＝∠ADC﹣∠EDF計算得30°，根據(jù)同角的余角相等求出∠PDM＝∠CDN，再根據(jù)然后求出△BCD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BCD＝60°，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠CPD＝60°，從而得到∠CPD＝∠BCD，再根據(jù)兩組角對應(yīng)相等，兩三角形相似判斷出△DPM和△DCN相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得結(jié)論．【解析】解：∵∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴CD＝AD＝BD＝AB，∴∠ACD＝∠A＝30°，∴∠ADC＝180°﹣30°×2＝120°，∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDF＝120°﹣90°＝30°；∵∠EDF＝90°，∴∠PDM+∠E′DF＝∠CDN+∠E′DF＝90°，∴∠PDM＝∠CDN，∵∠B＝60°，BD＝CD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠BCD＝60°，∵∠CPD＝∠A+∠ADE＝30°+30°＝60°，∴∠CPD＝∠BCD，∴△DPM∽△DCN，∴＝，∵∠ACD＝30°，∠CDP＝90°，∴＝tan∠ACD＝tan30°＝，∴＝．故答案為：．10．如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．連接、，直線、交于點(diǎn)，連接．（1）與的等量關(guān)系是：___；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最大值是___．【答案】

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可知：，可證，即得，；（2）取的中點(diǎn)，連接，，設(shè)，交于點(diǎn)，由（1）知，得，可得，由是的中點(diǎn)，有，故當(dāng)，，共線時，最大為．【解析】解：（1），理由如下：由旋轉(zhuǎn)可知：，，，，，，，，；故答案為：；（2）取的中點(diǎn)，連接，，設(shè)，交于點(diǎn)，如圖：由（1）知，，，，是的中點(diǎn)，，，當(dāng)，，共線時，最大為，故答案為：．三、解答題11．在和中，，，與在同一條直線上，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，如圖為將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后的圖形，連接，，若，求和的面積．【答案】和的面積分別為2和．【分析】過點(diǎn)D作DMBC于點(diǎn)M，根據(jù)30°所對直角邊為斜邊一半，分別求出BC、DC的長度，且證BDC∽AEC，在DMC中，可得DM=1，即BDC的面積可求，且，即AEC的面積可求．【解析】解：如圖所示，過點(diǎn)D作DMBC于點(diǎn)M，∵AC=2，，∴，又∵，，∴在BAC和DEC中，，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，，，∴BDC∽AEC，故，在DMC中，，，∴，∴，∵BDC∽AEC，∴，∴，∴BDC和AEC的面積分別為2和．12．在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，．如圖②，若△ABC固定不動，把△ADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AD、AE與邊BC的交點(diǎn)分別為M、N點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)N不與點(diǎn)C重合．【探究】求證：．【應(yīng)用】已知等腰直角三角形的斜邊長為4．(1)的值為______．(2)若，則MN的長為______．【答案】(1)8；(2)【探究】利用三角形外角的性質(zhì)可證，又由，可證明結(jié)論；【應(yīng)用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角邊長，再由，得，則；（2）由，得，由（1）知，得，從而得出答案．【解析】【探究】∵△ABC為等腰直角三角形，，∴，同理，，∵，，∴，∴；【應(yīng)用】（1）∵等腰直角三角形的斜邊長為4，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：8；（2）∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．13．如圖1，中，，，點(diǎn)、、分別在三條邊上，，．（1）如圖2，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，若，求

的長；（2）如圖3，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)、為、的中點(diǎn)，直接寫出的值．【答案】（1）7.5；（2）.【分析】（1）連結(jié)，，易得，得到比例線段計算即可（2）運(yùn)用三角形相似得到比例線段，計算即可【解析】（1）連結(jié)，，可證，，（2）14．如圖，在中，．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿方向繞行一周，動直線從開始，以每秒1個單位長度的速度向右平移，分別交于兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)A時，直線也停止運(yùn)動．（1）求點(diǎn)P到的最大距離；（2）當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動時，①求的值；②把繞點(diǎn)E順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)落在上時，的對應(yīng)線段恰好與垂直，求此時t的值．（3）當(dāng)點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為F時，四邊形能否成為菱形？若能，直接寫出t的值；若不能，請說明理由．【答案】（1）；（2）①；②；（3）能，【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)P到AB的距離最大，過點(diǎn)C作CF⊥AB于F，根據(jù)面積法求解即可；（2）①分別求出DG和PG的長，求出，即可得；②證明得即，解方程求解即可；（3）分當(dāng)點(diǎn)P在上、當(dāng)點(diǎn)P在上和當(dāng)點(diǎn)P在上三種情況列式求解即可．【解析】解：（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)P到的距離最大，過點(diǎn)C作CF⊥AB于F∴根據(jù)勾股定理，得∵∴．∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)P到AB的距離最大，最大值為Rt△ABC斜邊AB上的高CF，即點(diǎn)P到的最大距離是．（2）①當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動時，設(shè)運(yùn)動時間為，則有，直線，如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，則四邊形是矩形，，，即，，即．②，．∵直線直線，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，，，即，．（3）因?yàn)辄c(diǎn)F是點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，即垂直平分，所以，當(dāng)也垂直平分時，四邊形為菱形．∵直線，即，①當(dāng)點(diǎn)P在上時，若垂直平分，則有，解得；②當(dāng)點(diǎn)P在上時，三點(diǎn)都在x軸上，構(gòu)不成四邊形；③當(dāng)點(diǎn)P在上時，若點(diǎn)P在直線的右側(cè)，類比①可得：，解得；若點(diǎn)P在直線的左側(cè)，四點(diǎn)構(gòu)不成凸四邊形．綜上，當(dāng)時，四邊形為菱形．15．發(fā)現(xiàn)規(guī)律（1）如圖①，△ABC與△ADE都是等邊三角形，直線BD，CE交于點(diǎn)F．直線BD，AC交于點(diǎn)H．求∠BFC的度數(shù)．（2）已知：△ABC與△ADE的位置如圖②所示，直線BD，CE交于點(diǎn)F．直線BD，AC交于點(diǎn)H．若∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，求∠BFC的度數(shù)．應(yīng)用結(jié)論（3）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0），N為y軸上一動點(diǎn)，連接MN．將線段MN繞點(diǎn)M逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段MK，連接NK，OK．求線段OK長度的最小值．【答案】（1）60°；（2）∠BFC＝180°﹣α﹣β；（3）【分析】（1）由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE，由三角形內(nèi)角和定理可求解；（2）通過證明△ABC∽△ADE，可得∠BAC＝∠DAE，，可證△ABD∽△ACE，可得∠ABD＝∠ACE，由外角性質(zhì)可得∠BFC＝∠BAC，由三角形內(nèi)角和定理可求解；（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△MNK是等邊三角形，可得MK＝MN＝NK，∠NMK＝∠NKM＝∠KNM＝60°，如圖③，將△MOK繞點(diǎn)M順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MQN，連接OQ，可得∠OMQ＝60°，OK＝NQ，MO＝MQ，則當(dāng)NQ為最小值時，OK有最小值，由垂線段最短可得當(dāng)QN⊥y軸時，NQ有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【解析】解：（1）如圖①，∵△ABC，△ADE是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠FBC＝∠ABC＝60°，∴∠ACE+∠FBC＝60°，∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠ACE﹣∠ACB＝60°；（2）如圖②，∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BHC