2022年江西省上饒市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（學(xué)生版+解析版）

2022年江西省上饒市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）己知集合4={尤2|-2cxW2},B={x*-2x+320},求ADB=（）

A.{x\-2<x^2}B.{-1,0,1,2}C.{-2,-1,1,2}D.R

2.（5分）已知復(fù)數(shù)2=霄，則下列說法正確的是（）

A.z的虛部為-1

B.z的共枕復(fù)數(shù)為47

C.|z|=5

D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

3.（5分）已知命題p：3xGR,4X<2X,命題q：VxGR,lnx>Q,則下列命題是真命題的為

（）

A.p/\qB.（「p）A（7C.pALq）D.（「p）A（［4）

則工+工的最小值是（

4.（5分）己知x>0,y>0,x+2y=1,）

%y

A.2V2B.3+2V2C.6D.8

1

++

5.（5分）已知函數(shù)f（%）=sinx+%3X-3,

A.1B.3C.4D.5

6.（5分）設(shè)/（X）為可導(dǎo)函數(shù)，且媽嗎了=一，則曲線y=/（x）在點(diǎn)（1,

/（1））處的切線斜率為（）

A.2B.-1C.1D.

7.（5分）如右圖是一個無蓋的正方體盒子展開圖，A,B,C,。是展開圖上的四點(diǎn)，則在

正方體盒子中，4c與平面48。所成角的余弦值為（）

V6V3V2

A.一B.一cWD.—

3323

8.（5分）如圖，在aABM中，BM=3CM,AN=^AM,^AN=XAB+fiAC,則入+p=（）

12

A.4B.-C.孑D.-

77

9.（5分）算盤是中國傳統(tǒng)的計(jì)算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎(chǔ)上發(fā)明的，是中國

古代一項(xiàng)偉大的、重要的發(fā)明，在阿拉伯?dāng)?shù)字出現(xiàn)前是全世界廣為使用的計(jì)算工具.“珠

算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)術(shù)記遺》，其中有云：“珠算控帶四時，經(jīng)緯三才

北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，中間一

部分是作定位用的.如圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個位、十位、百位、

上面一粒珠（簡稱上珠）代表5,下面一粒珠（簡稱下珠）是1,即五粒下珠的大小等于

同組一粒上珠的大小.現(xiàn)從個位、十位、百位和千位這四組中隨機(jī)撥動2粒珠（上珠只

能往下?lián)芮颐课恢炼鄵躀粒上珠，下珠只能往上撥），則算盤表示的整數(shù)能夠被5整除的

概率是（）

梁上珠

檔T

框R!TOTTH〉下珠

3321

A.-B.-C.一D.-

4832

10.（5分）△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知下列條件:

①6=3,c=4,8=30°；

②〃=5,b=4,A=30°；

@c—2,b=A/3,B=60°；

④c=12,b=l2,C=120°.

其中滿足上述條件的三角形有唯一解的是（）

A.①④B.①②C.②③D.③④

xy

11.（5分）己知為，尸2分別為雙曲線-7-77=1（?>0,/7>0）的左、右焦點(diǎn)，以F1F2

a2b2

為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為M,N,設(shè)四邊形FiNF2M的周

長C與面積S滿足S=?C,則該雙曲線的離心率的平方為（）

A.2+V2B.8+4V2C?2+2/D.2+8

12.（5分）設(shè)。=白，人=c=2/n|^,則。，b,c的大小關(guān)系正確的是（）

A.a〈b〈cB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

'%+y—340

13.（5分）已知實(shí)數(shù)羽y滿足約束條件卜一2y-3W0,若目標(biāo)函數(shù)z=y-2%的最大值是

JC>m

7,則實(shí)數(shù)m的值為.

14.（5分）已知曲線C：y=*/,焦點(diǎn)是尸，P是拋物線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到焦點(diǎn)F和

到點(diǎn)A（4,1）的距離之和的最小值是.

15.（5分）菱形A8CD中，A8=6,ND4B=60°,將△C8。沿8。折起，C點(diǎn)變?yōu)镋點(diǎn)，

當(dāng)四面體E-AB。的體積最大時，四面體E-A3。的外接球的表面積為.

16.（5分）為創(chuàng)建全國文明城市，上饒市政府決定對某小區(qū)內(nèi)一個近似半圓形場地進(jìn)行改

造，場地如圖，以為圓心，半徑為一個單位，現(xiàn)規(guī)劃出以下三塊場地，在扇形4OC區(qū)域

鋪設(shè)草坪，△OCD區(qū)域種花，△OB。區(qū)域養(yǎng)殖觀賞魚，若NAOC=NC。。，且使這三

塊場地面積之和最大，則coSZAOC=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）馬家柚是上饒市廣豐區(qū)的特色品牌，因其果大形美，紅汁多，果肉甘甜爽口，

而深受大家的喜愛，該地區(qū)現(xiàn)有某果農(nóng)從其果園的馬家柚樹上隨機(jī)摘下了100個馬家柚

進(jìn)行測重，其質(zhì)量（單位：g）分別在[1500,1750）,[1750,2000）,[2000,2250）,[2250,

2500）,[2500,2750）,[2750,3000]中,其頻率分布直方圖如圖所示.

（1）根據(jù)頻率直方圖，估計(jì)這100個馬家柚的質(zhì)量的平均數(shù)與眾數(shù).

（2）已知按分層隨機(jī)抽樣的方法從質(zhì)量在[1500,1750）,[2000,2250）的馬家柚中抽取

了5個，現(xiàn)從這5個馬家柚中隨機(jī)抽取3個，求這3個馬家柚的質(zhì)量不小于2000g的個

數(shù)的分布列與期望.

18.(12分)已知數(shù)列｛即｝滿足ai=-1,且-而=如卻《+1.

(1)求數(shù)列｛板｝通項(xiàng)；

(2)記bn=anan+2,求數(shù)列｛員｝的前n項(xiàng)和Tn.

19.(12分)在三棱柱ABC-4B1C1中，AB=\,BC=2,ABLAC,BiC_L平面ABC,B\B

與平面ABC所成的角為45°.E,F分別是AC,SC的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面ABiCi；

(2)求二面角C-ABi-C的余弦值.

20.(12分)已知圓E：(x+2)2+/=24,動圓N過點(diǎn)F(2,0)且與圓E相切，記動圓圓

心N的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)過點(diǎn)尸(2,0)的直線相交橢圓C于點(diǎn)例、N,且滿足tan/MEN=呼-(E為

3EM-EN

圓E的圓心)，求直線山的方程.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=xlnCx+a-1),g(x)=erY+cosx-1,其中e=2.718…為自然

對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)。=1時，若過點(diǎn)(相，加)與函數(shù)/(X)相切的直線有兩條，求機(jī)的取值范圍；

(2)若xe(0,+8),OWaWL證明：f(x)<g(x).

請考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分，做題時請寫清

題號

22.(10分)在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為號;(<p為參數(shù))，以坐標(biāo)

原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為pcos(0-勺=-孝.

(1)分別求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)定點(diǎn)尸(1,-2),直線/與曲線C交于4,B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為°,求.J：；],的

值.

選做題

23.已知函數(shù)/(x)=4-\x+2a\,g(x)=[x-l|+|x+l|.

(1)當(dāng)a=)時,求不等式/1(x)與g(x)的解集；

(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得不等式/(x)Ng(x)的解集包含[-1,1]?若存在，求a

的取值范圍；若不存在，請說明理由.

2022年江西省上饒市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)已知集合A={x€Z|-2cxW2},B={x\x1-2x+3^0],求ACIB=()

A.{x|-2VxW2}B.{-1,0,1,2}C.{-2,-1,1,2}D.R

【解答】解：集合A={x€Z|-2VxW2}={-1,0,1,2),

-2x+3^0]=R,

；.AnB={-1,0,1,2).

故選：B.

2.（5分）已知復(fù)數(shù)z=［黑，則下列說法正確的是（）

A.z的虛部為-1

B.z的共貌復(fù)數(shù)為47

C.|z|=5

D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

【解答】解:_5+3t_(5+3i)(lT)_

―1+F-(l+i)(l-0-

.?.z的虛部為-1,故A正確，z的共軌復(fù)數(shù)為4+i,故B錯誤,

|z|=J42+(-1)2=g故C錯誤,

z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)（4,-1）在第四象限，故。錯誤.

故選：A.

3.（5分）已知命題p：3xGR,4X<2X,命題q：VAGR,bvc>0,則下列命題是真命題的為

()

A.p/\qB.（-'/?）/\qC.p/\Lq）D.（-'/?）A（q'）

【解答】解：當(dāng)x=7時，4X<2\故命題p：3xeR,4*<2》為真命題，

當(dāng)0<x<l時，加x〈0,故命題中VxCR,mr>0為假命題.

.,.pAq為假命題，Lp）八q為假命題，p/\Lq）為真命題，（-'p）ALq）為假命

題.

故選：C.

11

4.(5分)己知x>0,y>0,x+2y=1,則一+一的最小值是()

xy

A.2V2B.3+2V2C.6D.8

【解答】解：因?yàn)閤>0,y>0,且x+2y=l,

則工+工=(-+-)(x+2y)=3+^+->3+2V2,

xyxyxy

當(dāng)且僅當(dāng)§=’且x+2y=1即y=匠=2廿,x=y/2-1時取等號，

故選：B.

5.(5分)已知函數(shù)f(x)=sin%+/+1+3,若/(〃)=1,則/(-〃)=()

A.1B.3C.4D.5

【解答】解：函數(shù)f(%)=sinx+/+]+3,

f(-x)+f(x)=sin(-x)+(-x)3-]+3+siar+/+1+3

=-sinx-^3--+1sinx+r3+-1+6=6,

若/(〃)=1,則/(-〃)=6-/(〃)=6-1=5,

故選：D.

6.(5分)設(shè)/(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且△止哭二組=一1，則曲線y=/(x)在點(diǎn)(1，

Ax-^O

/(I))處的切線斜率為()

A.2B.-1C.ID.

【解答】解：因?yàn)?(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且嬲"DU；-2Ml=

則lim"1??一2-)x2=2f(1)=-1,

△x->o2AX」

所以，(1)=-i,即為曲線)，=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線斜率，

故選：D.

7.(5分)如右圖是一個無蓋的正方體盒子展開圖，A,B,C,。是展開圖上的四點(diǎn)，則在

正方體盒子中，AC與平面AB。所成角的余弦值為()

【解答】解：把民形圖還原成正方體，4,B,C,。如圖所示,

：.AC與平面ABO所成角即為NC4B,

設(shè)正方體的棱長為1,則AB=V^,AC=V3,

.?.在RtZWBC中，cos/C4B=%=,=孚.

V6

在正方體盒子中，AC與平面ABD所成角的余弦值為手.

故選：A.

8.(5分)如圖，在/XABM中，BM=3CM,眾=yAM,若AN=AAB+(1AC,貝U入+|i=()

【解答】解：AN=^AM=(AB+BM)

3T

打2T8+52x^BC

2T3TT

=沙8+](AC-AB)

^3ATC-^1ATB

1Q9

故A+p=—y+y=yy

故選：D.

9.（5分）算盤是中國傳統(tǒng)的計(jì)算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎(chǔ)上發(fā)明的，是中國

古代一項(xiàng)偉大的、重要的發(fā)明，在阿拉伯?dāng)?shù)字出現(xiàn)前是全世界廣為使用的計(jì)算工具.“珠

算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)術(shù)記遺》，其中有云：“珠算控帶四時，經(jīng)緯三才

北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，中間一

部分是作定位用的.如圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個位、十位、百位、……

上面一粒珠（簡稱上珠）代表5,下面一粒珠（簡稱下珠）是1,即五粒下珠的大小等于

同組一粒上珠的大小.現(xiàn)從個位、十位、百位和千位這四組中隨機(jī)撥動2粒珠（上珠只

能往下?lián)芮颐课恢炼鄵?粒上珠，下珠只能往上撥），則算盤表示的整數(shù)能夠被5整除的

概率是（）

陽劈懵T用

【解答】解：從個位、十位、百位和千位這四組中隨機(jī)撥動2粒珠，得到的整數(shù)有32個,

分別為：

11,15,51,55,101,105,501,505,110,150,510,550,

1001,1005,5001,5005,1010,1050,5010,5050,1100,1500,5100,5500,

2,20,200,2000,6,60,600,6000,

其中算盤表示的整數(shù)能夠被5整除包含的整數(shù)有24個，分別為:

15,55,105,505,110,150,510,550,1005,5005,1010,1050,5010,5050,1100,

1500,5100,5500,20,200,2000,60,600,6000,

則算盤表示的整數(shù)能夠被5整除的概率為尸=g=*

故選：A.

10.（5分）△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知下列條件：

①b=3,c=4,3=30°；

②。=5,b=4,A=30°；

③c=2,b=遍,B=60°；

④c=12,b=\2,C=120°.

其中滿足上述條件的三角形有唯一解的是（）

A.①④B.①②C.②③D.③④

bc

【解答】解：對于①，ZVIBC中，b=3,c=4,8=30°,由正弦定理得一一=——,

sinBsinC

349i

即一=—：=sinC=4>4=sin30°,滿足條件的角C有2個，故三角形有兩個解；

sm30°sinC§乙

45o

對于②，ZXABC中，（j=5,b=4,A=30°,由正弦定理一一=-——;得sinB=<

sinBsm30°5

1=sin30°,又b〈a,所以滿足條件的角B只有一個，故三角形有一解；

bcV32

對于③，△ABC中，由正弦定理一^=—7得：-7T=—T=>sinC=l,即。=90°,

sinBsinCsinC

2

故三角形有一解；

對于④，ZVIBC中，c=12,6=12=z^ABC為等腰三角形，又C=120°,故△A8C無解.

故選：C.

x2y2

11.（5分）己知四，尸2分別為雙曲線=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，以F1F2

a2b2

為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為M,N,設(shè)四邊形FiNF2M的周

長C與面積S滿足S=^C,則該雙曲線的離心率的平方為（）

A.2+V2B.8+4V2C.2+2魚D.2+V3

【解答】解：如圖所示，根據(jù)題意繪出雙曲線與圓的圖像，設(shè)M（xi,yi）,

由圓與雙曲線的對稱性可知，點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得：SAF1F2M=S"】F2N，

因?yàn)閳A是以為乃為直徑，所以圓的半徑為c,

rxj_2_y3_2=

因?yàn)辄c(diǎn)M(XI,yi)在圓上，也在雙曲線上，所以有，Mb2,

t%i2+yi2=c2

2222222

聯(lián)立化簡可得：Z?(c-)-ayr=ab,

22222222

整理可得：bc—ab=by1+ayT,

h2

2

/=c2yl,yi=-f

則有：S=2sMM2M=2c?%=2b2,

因?yàn)镾=3C,所以2b2=3c,C="，

因?yàn)镃=\MF]i+\MF\2+\NF]i+\NF\2=2(|MF|I+|MF|2),

可得IM&l+IMFzl=等，

2b之

因?yàn)閨MQi-|MF|2=2m聯(lián)立]|MKI+IMF2I=弁，

IMF/-\MF2\=2a

b4—4

可得：IMF/?|MFz|=匕

?4_A

因?yàn)镕l尸2為圓的直徑，可得：|MFi『+=|F/2『，即4a2+2幺*-=4。2,

2?4+C4-4a2c2=0,2+e4-4^2=0,

所以離心率的平方為：e2=處爛=2土近，

又e>l,則e2=2+VL

故選：A.

12.(5分)設(shè)。=擊，力=c=2"器，則。，b,c的大小關(guān)系正確的是()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

001

【解答】解：對a,b,c同時取以e為底的指數(shù)，即比較a=#°2,/,=7,c=1.022大

小，

fe=7001=(V7)°02<a=e°02,

c=1.022=(1+002)2,

令/(x)=/-(1+Jt)2,則，(x)=炭-2(1+x),/'(x)=d-2,

.?.xV/nx時，/'(x)<0,f(x)遞減，

,:f(/〃2)=-21n2,f(0)=-1,

二(0,/〃2)上，(x)<0,即f(x)遞減，則在(0,-2)上f(X)</(0)=0,

...由0.026(0,/H2),則f(0.02)<0,gpa=e002<c=1.022.

綜上，h<a<c.

故選：D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

%+y-3<0

13.(5分)已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件卜—2y—3W0,若目標(biāo)函數(shù)z=y-2九的最大值是

X>m

7,則實(shí)數(shù)□的值為?

仔+y—340

【解答】解：畫出不等式組卜一2y-3W0表示的平面區(qū)域，如圖所示：

\x>m

目標(biāo)函數(shù)z=y-2x可化為y=2x+z,

平移目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)A時，z取得最大值，

由.1_y_3=0,解得A（m,3-nt）,

所以Z的最大值為Zmax=3-m-2機(jī)=3-3加，

令3-3相=7,解得m=一/

故答案為：

14.（5分）已知曲線C：y=1x2,焦點(diǎn)是F,P是拋物線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到焦點(diǎn)F和

到點(diǎn)A（4,1）的距離之和的最小值是4.

【解答】解：曲線C：y=1x2,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：/=4），，

如圖：F（0,1）,準(zhǔn)線），=-1,A在拋物線外，

點(diǎn)P到焦點(diǎn)尸和到點(diǎn)A（4,1）的距離之和的最小值是忸用=4.

15.（5分）菱形A8CD中，A8=6,ND4B=60°,將△CBO沿8D折起，C點(diǎn)變?yōu)镋點(diǎn),

當(dāng)四面體E-A8Q的體積最大時，四面體E-A3。的外接球的表面積為60n.

【解答】解：如圖所示，

當(dāng)平面CB。，平面ABD時，四面體E-A8O的體積最大，

分別從△EBZ）和△ABO的外接圓圓心Oi,<92作其面的垂線，交于點(diǎn)。，即為外接球球

心，

因?yàn)镸為B。中點(diǎn)，AD=AB,所以AM_LB￡）,

因?yàn)槠矫鍱BD_L平面ABD,平面E8DA平面ABD=BD,

所以AM_L平面EBD,

因?yàn)镋Mu平面EBC,所以AM_LEM,

因?yàn)镺iM=O?M

所以四邊形OOiMS為正方形.

由題意可得△AB。，△E8。都為等邊三角形，

所以NA8Z）=60°,AM=EM=6sin60°=3V3,

所以EOi=力出=|?6?sin60°=2遮，

故。Oi=遮，在RtAOOiE中，UE?=（2百）2+（V3）2=15,

故四面體E-ABD的外接球的面積為4irOE2=60TT,

故答案為：60IT.

16.（5分）為創(chuàng)建全國文明城市，上饒市政府決定對某小區(qū)內(nèi)一個近似半圓形場地進(jìn)行改

造，場地如圖，以為圓心，半徑為一個單位，現(xiàn)規(guī)劃出以下三塊場地，在扇形AOC區(qū)域

鋪設(shè)草坪，△OCZ）區(qū)域種花，△02。區(qū)域養(yǎng)殖觀賞魚，若/AOC=NC。。，且使這三

V17-1

塊場地面積之和最大，則eSNA0C=.

71

【解答】解：設(shè)/Aoc=e,則NCOO=O,根據(jù)題意易知ee（0,-）,,：OD=OB,△

為等腰三角形，則/OQB=NOB￡>,

又；ZODB+ZOBD,

：.ZCOD=ZODB=ZOBD=6,

:.OC//DB,

???則三塊場地的面積和為S=,8+初1)0+5sin(TT-26)=^0+^sin0+^sin(20),0G

71

(0,—),

2

貝ijS，=^+^cos0+cos20=2cos20+^cos0—0E(0,]),

令S'=0,cos0=組工或cos0=(舍)

OO

設(shè)中為cos0=^所對應(yīng)的角，

71

：y=cos。在06(0,-)上單調(diào)遞減，

2

/.0G(0,tp)時，S單調(diào)遞增.

A0e(<p,-)時，S單調(diào)遞減.

2

.?.當(dāng)cose=烏二時，面積最大.

O

故答案為：上V1丁7-1.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)馬家柚是上饒市廣豐區(qū)的特色品牌，因其果大形美，紅汁多，果肉甘甜爽口，

而深受大家的喜愛，該地區(qū)現(xiàn)有某果農(nóng)從其果園的馬家柚樹上隨機(jī)摘下了100個馬家柚

進(jìn)行測重，其質(zhì)量(單位：g)分別在[1500,1750),|1750,2000),[2000,2250),[2250,

2500),[2500,2750),[2750,3000]中，其頻率分布直方圖如圖所示.

(1)根據(jù)頻率直方圖，估計(jì)這100個馬家柚的質(zhì)量的平均數(shù)與眾數(shù).

(2)已知按分層隨機(jī)抽樣的方法從質(zhì)量在[1500,1750),[2000,2250)的馬家楠中抽取

了5個，現(xiàn)從這5個馬家柚中隨機(jī)抽取3個，求這3個馬家柚的質(zhì)量不小于2000g的個

數(shù)的分布列與期望.

【解答】解：（1）由頻率分布直方圖知蜜柚質(zhì)量在各段的頻率依次為0.1,0.1,0.15,0.4,

0.2,0.05,

估計(jì)這100個馬家柚的質(zhì)量的平均數(shù)=

1500+1750八1,1750+200012000+22502250+2500

Ax0.4

2X0.1+---------------x0.1+2x0.15+2

+2500+2750x()2+2750+3000

2x0.05=2287.5.

2250+2500

眾數(shù)==2375.

2

（2）質(zhì)量落在［1500,1750）和［2000,2250）中的頻率分別是0.1和0.15,其馬家柚個

數(shù)依次為10,

15.分層抽樣的方法抽取5個馬家柚,則［1500,1750）中抽取2個，［2000,2250)中抽

取3個.

設(shè)這3個馬家柚的質(zhì)量不小于2000g的個數(shù)為X,則X的取值分別為1,2,3.

P(X=1)=粵=焉P(X=2)=絳=東P(X=3)=q=卷

egiu《1Ueg1U

X的分布列為：

X123

P361

101010

E(X)=1x+2x+3x

18.（12分）已知數(shù)列｛?！ǎ蹆勺鉳=-1,且-1.

（1）求數(shù)列｛〃”｝通項(xiàng)；

（2）記加求數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和Tn.

【解答】解：（1）將“〃+15+1兩邊同時除以5+1,

-11

可得:----=——1,

an+lan

11

即------=-l(n6N*)

an+lan

則數(shù)列｛;｝是以-1為公差的等差數(shù)列，

an

1

可得：—=—1+(n-1)(—1)=-n,

解得：an=-^；

(2)由(1)可得：勾=小擊，

則有：%=吳一擊),

ml.11.,A1、，/I1、，z11、?,11、?11j,11

則〃=2[(1_@)+(2_4)+0一5)+一(口一帝)+(同一用)]=2[1+2_帝_

1_3__1_______1九(3九+5)

九+2」1—42(九+1)2(n+2)—4(n4-l)(n+2),

19.(12分)在三棱柱A3c-4&C1中，AB=1,BC=2,ABLAC,31cl.平面ABC,B\B

與平面ABC所成的角為45°.E,尸分別是AC,81c的中點(diǎn).

(1)求證：E/〃平面A81C1；

(2)求二面角C-ABi-C的余弦值.

【解答】解：(1)證明：因?yàn)镋,尸分別是AC,81c的中點(diǎn)，所以EF〃ABi.

又ERt平面ABiCi,ABiu平面ABiCi,所以EF〃平面A81C；

(2)以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，過A點(diǎn)作平行于B1C的直線為z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

在△48C中，AB=\,BC=2,ABLAC,所以AC=g,

因?yàn)锽iCL平面ABC,所以BC是Bi8在平面ABC內(nèi)的射影，

所以/BiBC就是B18與平面ABC所成的角，又B1B與平面A8C所成的角為45°,

所以/818C=45°,所以BC=BC=2,

所以4(0,0,0),C(0,V3,0),Bi(0,V3,2),G(一1,2k，2),AC=(0,

V3,0),值=(0,V3,2),ACr=(-1,2技2).

設(shè)平面ACBi的一個法向量為蔡=(1,0,0),

設(shè)平面ACiBi的一個法向量為蔡=(a,b,c),則二,i=°Ay/3b+2c=0

1一a+2.y/3b+2c

,n-4G=0=0

令b=2,則￡=(22,-V3).

—>—>ms-_2757

Vcos\{m,n)\=|由圖示知二面角c-ABi-Ci為銳角,

I而向19

2\/57

???二面角CTBL。的平面角的余弦值為卞.

20.(12分)已知圓E：(x+2)2+y2=2%動圓N過點(diǎn)F(2,0)且與圓E相切，記動圓圓

心N的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)過點(diǎn)尸(2,0)的直線機(jī)交橢圓C于點(diǎn)何、N,且滿足tanNMEN=呼-(E為

3EM-EN

圓E的圓心)，求直線小的方程.

【解答】解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)尸(2,0)在圓E：(x+2)2+)2=24內(nèi)，所以，圓N內(nèi)切于圓E,

設(shè)圓N的半徑為r,則［怨!=2、一I二|幽+|叫=2->附|,

l|/vrI=r

所以N點(diǎn)的軌跡是以E、尸為焦點(diǎn)長軸長為2遍的橢圓，

X2V2

設(shè)橢圓方程為：—r4-77=h>0),

a2b2

則Q=V6,C=2,從而b=V2,

x2y2

故點(diǎn)N的軌跡。的方程為二十==1.

62

(2)①當(dāng)直線機(jī)的斜率存在時，設(shè)〃?：y=k(x-2),M(xi,y\)>N(x2,”)

%2y2

代入式+萬=1整理得(3必+1)/-12右+g6=0,

12k2121(2-6

則+x=2,*%2=7

23必+13/+1

222

所以，|MN|=y/1+k-I%1—x2|=V1+fc?>/(%1+x2)—4X1X2="代產(chǎn))

3k+1

點(diǎn)E到直線m的距離d=獸=

Jl+k2

m3\EM\-\EN\cos^MEN=8遍?器:溫，

TTOA

所以，\EM\-\EN\sinAMEN=1V6=S^EMN=^瓜

2

,18l2V6(l+k)|4k|8r

而〃EMN=W"N|-d，：.\MN\-d=^46,即---f===-V6,

,J3/cz+lVl+fcz3

解得k=土苧，此時m：y=(x+2)；

②當(dāng)直線，"的斜率不存在時，，加x=2,

直線〃?交橢圓于點(diǎn)M(2,萼)、N(2,-坐).

也有tan/MEN=呼經(jīng)檢驗(yàn),上述直線m均滿足京-EN^0.

3EM-EN

綜上：直線m的方程為x+Ky+2=0、x-V5y+2=0或x=2.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=xln(x+tz-1),g(x)=e'4cos%-1,其中e=2.718…為自然

對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)。=1時，若過點(diǎn)(相，〃7)與函數(shù)/(尢)相切的直線有兩條，求機(jī)的取值范圍；

(2)若居(0,+8),OWaWl,證明：/(X)Vg(x).

【解答】解：(1)當(dāng)。=1時，/(x)=xlnx,過點(diǎn)(m,in)與函數(shù)f(x)相切于點(diǎn)P(xo,

yo),

則/(x)=阮什1,/./nxo+1=x°^nx°—m,

XQ-Tfl

化為：m=聲~,(XO21),

LTIXQ

令h(x)_￡h'(x)一Ex-l

q一》￡h^x)-ln2x‘

可得在(0,1),(1,e)時、h'(x)<0；xG(e,+°°)時，hf(無)>0.

???函數(shù)/zG)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,e)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(e,+

8）上單調(diào)遞增.

h(e)—e,

???過點(diǎn)(〃?，m)與函數(shù)f(x)相切的直線有兩條,

.?.直線丫=，"與人(x)=備的圖象有兩個交點(diǎn)，

可得用〉e