2024屆高三老高考適應(yīng)性12月份測(cè)試卷人教版數(shù)學(xué)（理）試題

2024屆高三老高考適應(yīng)性12月份測(cè)試卷人教版數(shù)學(xué)（理）試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，集合，那么等于（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，，則()A． B． C． D．3．下列說法正確的是（）A．命題“若，則”的否命題為“若，則”B．“”是“”的必要不充分條件C．命題“若，則”的逆否命題為真命題D．命題“，”的否定是“，”4．定義：，當(dāng)五位數(shù)滿足，且時(shí)，稱這個(gè)五位數(shù)為“凸數(shù)”.由1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共120個(gè)，從中任意抽取一個(gè)，則其恰好為“凸數(shù)”的概率為（）A． B． C． D．5．命題p：存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒成立；命題q：，為奇函數(shù)，則下列命題是真命題的是（）A． B．C． D．6．若，，(，且)成等比數(shù)列，則點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的軌跡位于（）A．第三象限 B．第四象限C．第一象限 D．第二象限7．方程有4個(gè)不等的實(shí)根，且組成一個(gè)公差為1的等差數(shù)列，則的值為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)(，)的圖象上相鄰兩個(gè)最值點(diǎn)間的距離為5，且過點(diǎn)，則要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向右平移1個(gè)單位 B．向左平移1個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位9．若函數(shù)()的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)且的圖象可能是A． B．C． D．11．已知定直線l的方程為，點(diǎn)Q是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作圓的一條切線，是切點(diǎn)，C是圓心，若面積的最小值為，則此時(shí)直線l上的動(dòng)點(diǎn)E與圓C上動(dòng)點(diǎn)F的距離的最小值為（）A． B．2 C． D．12．過拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線，與拋物線分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），過A作拋物線的切線交x軸于點(diǎn)C，則的面積為（）A． B． C． D．二、填空題13．曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則________.14．設(shè)M，N是雙曲線實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，Q是雙曲線上的一點(diǎn)（異于M，N兩點(diǎn)），，，則________．15．已知等比數(shù)列滿足，，則使得取得最小值的為______．16．已知的展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，若把其展開式中所有的項(xiàng)重新排列，則有理項(xiàng)互不相鄰的概率為___________.三、解答題17．如圖，在中，，，，點(diǎn)在上，且．（1）求；（2）若，求的面積．18．在等差數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，且滿足，．（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．19．如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，且，，平面，，，.（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).20．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是4.（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)任作直線交拋物線于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求的值.21．已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）若與相交于，兩點(diǎn)，求的面積．23．已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案1．D【分析】先解不等式化簡(jiǎn)集合，再由并集的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】∵集合，集合，∴.故選：D.2．A【詳解】，選A3．C【分析】對(duì)于A，根據(jù)命題的四種命題關(guān)系判斷；對(duì)于B，由的解，利用必要條件和充分條件的定義判斷；對(duì)于C，利用等價(jià)命題判斷；對(duì)于D，利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義判斷.【詳解】對(duì)于A，命題“若，則”的否命題為“若，則”，故A不正確；對(duì)于B，由，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件，故B不正確；對(duì)于C，命題“若，則”為真命題，因此其逆否命題為真命題，C正確；對(duì)于D，“，”的否定是“，”，故D不正確.故選：C4．D【分析】由列舉法列舉出滿足條件的基本事件，即可根據(jù)古典概型的概率公式求出結(jié)果.【詳解】由題意，由1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)恰好為“凸數(shù)”的有：12543,13542,14532,23541,24531,34521,共6個(gè)基本事件，所以恰好為“凸數(shù)”的概率為.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型，列舉法求古典概型的概率只需熟記古典概型的概率公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.5．C【分析】對(duì)于命題p，取可判斷真假；對(duì)于命題q，由，可判斷真假，從而逐項(xiàng)排除可得答案.【詳解】對(duì)于命題p，取，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，成立，因此p真命題；對(duì)于命題q，函數(shù)的定義域是，且，∴為奇函數(shù)，因此q真命題，所以為假命題，為假命題，所以為假命題，故A錯(cuò)誤；為假命題，故B錯(cuò)誤；為真命題，故C正確；為假命題，故D錯(cuò)誤.故選：C.6．B【分析】由等比數(shù)列的定義可得，，求出的范圍，即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，即，，，所以，所以，所以位于第四象限.故選:B.7．C【分析】由題意設(shè)4個(gè)根組成的等差數(shù)列為，，，，根據(jù)韋達(dá)定理可知，進(jìn)而可得，求出4個(gè)根即可求解.【詳解】設(shè)4個(gè)根組成的等差數(shù)列為，，，，則，∴.又∵，∴，∴，，，∴，故選：C8．A【分析】由函數(shù)過點(diǎn)，可得，由函數(shù)的最值和最值間的距離可得，進(jìn)而可得，求出函數(shù)解析式，可得結(jié)果.【詳解】由題意，又，所以.易知的最大值為2，最小值為，則相鄰兩個(gè)最值點(diǎn)間的距離為，所以.所以，故要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位.故選:A9．C【分析】由給定條件先求出時(shí)，的取值集合，由此可得時(shí)，的取值集合包含于，然后分析推理即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，依題意得，，當(dāng)時(shí)，，，不符合要求，于是得，在上遞增，從而得，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C10．D【分析】本題通過討論的不同取值情況，分別討論本題指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和，結(jié)合選項(xiàng)，判斷得出正確結(jié)論.題目不難，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)過定點(diǎn)且單調(diào)遞減，則函數(shù)過定點(diǎn)且單調(diào)遞增，函數(shù)過定點(diǎn)且單調(diào)遞減，D選項(xiàng)符合；當(dāng)時(shí)，函數(shù)過定點(diǎn)且單調(diào)遞增，則函數(shù)過定點(diǎn)且單調(diào)遞減，函數(shù)過定點(diǎn)且單調(diào)遞增，各選項(xiàng)均不符合.綜上，選D.【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能通過討論的不同取值范圍，認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性.11．B【分析】由題意可得直線l的方程為，再求出圓C的圓心坐標(biāo)與半徑，由面積的最小值為求得，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解k，可得直線l的方程，進(jìn)一步求得直線l上的動(dòng)點(diǎn)E與圓C上動(dòng)點(diǎn)F的距離的最小值．【詳解】解：由題意可得直線l的方程為，圓C的圓心，半徑為1，如圖：，又，當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，此時(shí)，可得，，則，解得，則直線l的方程為，則直線l上的動(dòng)點(diǎn)E與圓C上動(dòng)點(diǎn)F的距離的最小值為．故選：B．12．A【分析】設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，，，，所以點(diǎn)，，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何含義，以及三角形的面積公式，即可求解．【詳解】設(shè)點(diǎn)，，由題意可得拋物線的焦點(diǎn)為，則直線的方程為，聯(lián)立，化簡(jiǎn)整理可得，，解得，，所以點(diǎn)，，由，可得，，所以過點(diǎn)A的切線斜率，所以切線方程，即，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以．故選：A．13．．【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出其在點(diǎn)處的切線斜率，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因此，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為；又該切線與直線垂直，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率問題，熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可，屬于常考題型.14．【分析】設(shè)出Q坐標(biāo)，求出、的正切函數(shù)值，然后結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上，轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】設(shè)，則，，所以，又Q在雙曲線上，可得，所以，可得．故答案為：．15．3或4【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，從而求出，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)公比為，則，∴，∴，，，，…，∴或4時(shí)，取得最小值．故答案為：3或416．【分析】根據(jù)，可得，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求出有理項(xiàng)，再利用插空法以及古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】由，得，所以的展開式中的通項(xiàng)為，當(dāng)，6時(shí)為有理項(xiàng)，其余7項(xiàng)為無理項(xiàng)，所以有理項(xiàng)互不相鄰的概率為.故答案為：17．（1）3；（2）．【分析】（1）先求出，再由余弦定理求出；（2）先求出，，再由正弦定理求出，進(jìn)而得出，再由三角形面積公式求解即可；【詳解】（1）∵在中，由余弦定理得或（舍）．（2）由已知，∴由正弦定理得∴∴【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題一的關(guān)鍵是由誘導(dǎo)公式求出，再由余弦定理求出.18.（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，的公比為q，可得，解得q，d即可；（2）由（1）得．可得，即可證明．【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，的公比為q，因?yàn)?，，，所以，解答，（?fù)值舍去），故，；（2）證明：由（1）得，所以．所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為，所以．19．（1）證明見解析；（2）或.【分析】（1）過D作，交BC于F，可證四邊形為矩形，分別求得CF、DF、BD的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理，可證，根據(jù)題意，可得，根據(jù)線面垂直的判定定理，可證平面PCD，根據(jù)面面垂直的判定定理，即可得證.（2）如圖建系，求得各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得，，坐標(biāo)，求得平面PAB的法向量，根據(jù)線面角的向量求法，代入公式，即可得答案.【詳解】（1）證明：如圖，在直角梯形ABCD中，過D作，交BC于F，∵，，，∴四邊形為矩形，∵，，∴.又∵，∴，∴，∴，∴.又∵平面ABCD，∴，且，∴平面PCD.又∵平面PBD，∴平面平面PCD.（2）解：如圖，分別以DA，DF，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則：，，，，∴，，.設(shè)為平面PAB的法向量，由，即，令，可取，設(shè)PC與平面PAB所成角為，則，解得或，即線段PD的長(zhǎng)為或.【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵熟練掌握線面垂直的性質(zhì)定理，面面垂直的判定定理，并靈活應(yīng)用，利用向量求解線面角時(shí)，平面法向量與直線方向向量所成角的余弦值即為直線與平面所成角的正弦值，考查計(jì)算求解的能力，屬基礎(chǔ)題.20．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義列出方程即可求解；（2）由題意知，直線的斜率存在，且不為零，根據(jù)對(duì)稱性只考慮斜率為正的情況，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影分別為，，，，，所以，即，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線，結(jié)合韋達(dá)定理，再在中，令得點(diǎn)坐標(biāo)，再由，化簡(jiǎn)整理可得的值，進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】解：（1）因?yàn)棰?，且點(diǎn)在拋物線上，所以②.由①②得，所以拋物線的方程為.（2）由題意知，直線的斜率存在，且不為零，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影分別為，，，，，所以，∴.設(shè)直線的方程為，代入，得.設(shè)，，則，.在中，令，得，即.所以，即，所以，即，∴，所以.【點(diǎn)睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．21．（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（Ⅱ）求出，利用在是恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值．【詳解】解：（Ⅰ）由題可知的定義域?yàn)椋?，得．∴?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．（Ⅱ）由題可知，則．∵在上是增函數(shù)，∴在上恒成立．∴對(duì)任意，不等式恒成立，等價(jià)于恒成立．令，則，．令，則，∵，∴，∴在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，從而，即的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍．解題關(guān)鍵是問題函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，再用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．22．（1），；（2）.【分析】(1)把曲線C1的參數(shù)方程中參數(shù)消去即可，將化入曲線C2的極坐標(biāo)方程即可得解；(2)由幾何法求出線段AB長(zhǎng)，再求出原點(diǎn)O到直線C2的距離即可作答.【詳解】（1）由(為參數(shù))，消去參