習(xí)題課2-立體幾何中的動態(tài)問題

階段綜合·融會建模習(xí)題課2——立體幾何中的動態(tài)問題“動態(tài)”問題是高考立體幾何問題最具創(chuàng)新意識的題型，它滲透了一些“動態(tài)”的點、線、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力，題意更新穎．同時，由于“動態(tài)”的存在，也使立體幾何題更趨多元化，將立體幾何問題與平面幾何中的解三角形問題、多邊形面積問題以及解析幾何問題之間建立橋梁，使得它們之間靈活轉(zhuǎn)化，加強了對學(xué)生空間想象能力的考查．解決動態(tài)幾何問題的關(guān)鍵在于要注重動態(tài)元素所引發(fā)的圖形變化過程，動中窺靜，靜中見動，以靜制動．類型一判斷形狀[典例]

(1)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為平面AB1D1內(nèi)一動點，P到底面ABCD的距離與到直線AD1的距離相等，則P點的軌跡是

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)A．直線 B．圓C．拋物線D．橢圓[方法技巧]一般立體動態(tài)問題形成的原因有動點變化、平面圖形的翻折、幾何體的平移和旋轉(zhuǎn)以及投影與截面問題．解決此類問題的關(guān)鍵是抓住動點，可以采用轉(zhuǎn)化法或坐標法求解．[針對訓(xùn)練]答案：B

2.如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為AA1，AB的中點，M點是正方形ABB1A1內(nèi)的動點，若C1M∥平面CD1EF，則M點的軌跡長度為________．解析：如圖所示，取A1B1的中點H，B1B的中點G，連接GH，C1H，C1G，EG，HF，可得四邊形EGC1D1是平行四邊形，所以C1G∥D1E.同理可得C1H∥CF.因為C1H∩C1G＝C1，所以平面C1GH∥平面CD1EF.類型二度量問題立體幾何中動點的軌跡的度量問題的探究，包括求解軌跡的長度，相關(guān)的體積、截面面積等．[例1]

如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上(不含端點)且BE＝BF，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A1，給出以下結(jié)論：[例2]已知在棱長為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點，過A，E，F(xiàn)三點作該正方體的截面，則截面的周長為________．[例3]如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為4cm，該紙片上的正方形ABCD的中心為O，P1，P2，P3，P4為圓O上的點，△P1AB，△P2BC，△P3CD，△P4DA分別是以AB，BC，CD，DA為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DA為折痕折起△P1AB，△P2BC，△P3CD，△P4DA，使得P1，P2，P3，P4重合，得到四棱錐．當該四棱錐體積取得最大值時，正方形ABCD的邊長為________cm.[方法技巧]求解此類問題可以采用幾何法或坐標法．[針對訓(xùn)練]1.(2022·湖南師大附中10月月考)如圖，在棱長為4的正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別是AD，A′D′的中點，長為2的線段MN的一個端點M在線段EF上運動，另一個端點N在底面A′B′C′D′上運動，則線段MN的中點P的軌跡與正方體側(cè)面所圍成的較小的幾何體的體積為

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)2．(2022·漳州質(zhì)檢)如圖，在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝1，BC＝1，AD＝2.取AD的中點E，將△ABE沿BE折起，使二面角A-BE