函數的單調性2023年

課題導入

函數是描述事物運動變化規(guī)律的數學模型，了解函數的變化規(guī)律勢在必得。觀察下面函數的圖象，能說出它們的變化規(guī)律嗎？xy02-22-2xy022-2-21.3函數的基本性質1.3.1函數的單調性xyy=xO11··實例分析：畫出函數y=x的圖象觀察函數圖象,并指出函數的變化趨勢?xyy=xO11··實例分析：畫出函數y=x的圖象觀察函數圖象,并指出函數的變化趨勢?f(x1)x1xyy=xO11··實例分析：畫出函數y=x的圖象觀察函數圖象,并指出函數的變化趨勢?x1f(x1)xyy=xO11··實例分析：畫出函數y=x的圖象觀察函數圖象,并指出函數的變化趨勢?x1f(x1)xyy=xO11··實例1：畫出函數y=x的圖象觀察函數圖象,并指出函數的變化趨勢?x1f(x1)xyy=xO11··實例分析：畫出函數y=x的圖象觀察函數圖象,并指出函數的變化趨勢?x1f(x1)1.從左至右圖象上升還是下降____? 2.在區(qū)間________上，隨著x的增大，f(x)的值隨著______．(-∞,+∞)增大上升Oxy實例2：分析二次函數的圖象Oxy實例2：分析二次函數的圖象Oxy實例2：分析二次函數的圖象Oxy實例2：分析二次函數的圖象Oxy實例2：分析二次函數的圖象Oxy實例2：分析二次函數的圖象Oxy實例2：分析二次函數的圖象Oxy實例2：分析二次函數的圖象Oxy實例2：分析二次函數的圖象Oxy實例2：分析二次函數的圖象觀察函數圖象,并指出函數的變化趨勢?1.在區(qū)間_______上,f(x)的值隨著x的增大而_____．2.在區(qū)間_______上,f(x)的值隨著x的增大而_____．

(-∞,0](0,+∞)增大減小x01234…f(x)=x2014916…f(x2)x2x1f(x1)一、函數單調性定義

一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數．

1．增函數x-4-3-2-10…f(x)=x2169410…f(x2)x2x1f(x1)

一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數．2．減函數

3.函數的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數的局部性質；注意：2.必須是對于區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1<x2時，總有f(x1)<f(x2)

或f(x1)>f(x2)

分別是增函數和減函數.1.如果函數y=f(x)在區(qū)間D是單調增函數或單調減函數，那么就說函數y=f(x)在區(qū)間D上具有單調性。例1.下圖是定義在區(qū)間[-5，5]上的函數y=f(x)，根據圖象說出函數的單調區(qū)間，以及在每個區(qū)間上,它是增函數還是減函數？解:函數y=f(x)的單調區(qū)間有其中y=f(x)在區(qū)間[-5,-2),[1,3)上是減函數， 在區(qū)間[-2,1),[3,5]上是增函數.[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].

二.典例精析特別注意：單調區(qū)間是定義域的子集，求單調區(qū)間時應先求定義域；單調區(qū)間應寫成區(qū)間形式，不能寫成不等式或集合形式；3函數有多個增（或減）區(qū)間時，只能用“，”或者用“和”，不能用“U”連接。

例2物理學中的玻意耳定律告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強p將增大,試用函數單調性證明之.分析：按題意就是證明函數在區(qū)間上是減函數.證明：根據單調性的定義，設V1，V2是定義域(0，+∞)上的任意兩個實數，且V1<V2，則由V1，V2∈

(0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是所以，函數是減函數.也就是說，當體積V減少時，壓強p將增大.取值定號作差結論變形p(V1)>p(V2)即例3.證明：函數在上是增函數.證明：在區(qū)間上任取兩個值且

，且所以函數在區(qū)間上是增函數.思考：如何證明一個函數是單調遞增的呢？取值變形作差定號結論三、判斷函數單調性的方法步驟

①取值：任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差：f(x1)－f(x2)；③變形：（因式分解和配方等）乘積或商式；④定號：（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；⑤結論：（即指出函數f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性）．

利用定義證明函數f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性的一般步驟：強化訓練：1.證明函數在上是增函數