2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版課時(shí)分層作業(yè)35　等差數(shù)列

課時(shí)分層作業(yè)（三十五）等差數(shù)列

[4組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

一、選擇題

1.在等差數(shù)列僅〃｝中，”3,。9是方程省+24%+12=0的兩根，則數(shù)列｛?。?/p>

的前11項(xiàng)和等于（）

A.66B.132C.-66D.-132

D[因?yàn)椤?,。9是方程/+24%+12=0的兩根，所以。3+“9=一24.

又。3+“9=—24=2。6,所以。6=—12,

11X(fli+an)11X2?6

511=22-=-132,故選D.]

2.數(shù)列｛z｝滿足2。"=。"-1+。"+1(〃22),且“2+04+06=12,則03+04+45

=()

A.9B.10C.11D.12

D[由2。"=。"-1+?！?1(〃22)可知數(shù)列｛。”｝為等差數(shù)列，，“2+。4+。6=。3+

以+。5=12.故選D.]

3.數(shù)列｛<?"｝中，。1=0,。"+?！?1=2〃，則42022=()

A.2021B.2022C.4039D.4040

Ban+an+]—2n①，

.,.&+1+。"+2=2(〃+1)②，

②一①得Z+2—。"=2,

二數(shù)列｛&｝的偶數(shù)項(xiàng)是以02=2X1—01=2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

.,.42()22=42+(1011-1)X2=2022.故選B.]

4.(2021?陜西名校聯(lián)考)已知數(shù)列｛。"｝中，42=4,a,n+n=am+an,則011+012

+013+…+ai9=()

A.95B.145C.270D.520

C[在等式即+"=。,”+?！敝?，令〃?=1,可得則a”+i—a”=ai,

所以，數(shù)列｛⑨，｝為等差數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)和公差均為ai,因?yàn)镚=2ai

=4,故a1=2,

所以，a==2+2(〃-1)=2〃，則"15=2X15=30,

9（aii+oi9）9X2<7i5,

因此，Qii+ai2+ai3-l---------卜。19=2=2=9。15=270.故選C.]

5.（2021?西安五校聯(lián)考）《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下

問題：“今有五等諸侯，共分橘子六十顆，人別加三顆.問：五人各得幾何？”

其意思為：有5個(gè)人分60個(gè)橘子，他們分得的橘子數(shù)成公差為3的等差數(shù)列，

問5人各得多少個(gè)橘子.這個(gè)問題中，得到橘子最多的人所得的橘子個(gè)數(shù)是

（）

A.15B.16C.18D.21

5X4

C[法一：設(shè)得到橘子最少的人得到的橘子個(gè)數(shù)為⑶，由題意得50+亍

X3=60,解得ai=6,所以得到橘子最多的人所得的橘子個(gè)數(shù)為ai+（5-l）X3

=18,故選C.

法二：設(shè)5個(gè)人得到橘子的個(gè)數(shù)從小到大構(gòu)成等差數(shù)列｛癡｝,則公差4=3,

且前5項(xiàng)和S5=60,則S5=5a3=60,所以必=12,所以。5=。3+24=12+6=18,

故選C.]

6.設(shè)等差數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和為S”若S5=40,a4+a5=a2,則S”的最大

值為（）

A.40B.42C.48D.52

5X4

B[設(shè)數(shù)列｛劣｝的公差為d,因?yàn)镾5=40,a4+as=a2,所以5。1+一廠義1

=40,ai+3d+ai+4d=ai+d,

化簡(jiǎn)得ai+2d=8,a\=~6d,解得ai=12,d=-2,

fan^O,[14—2〃20,

所以?"=14—2〃.當(dāng)，即，時(shí)，〃=6或〃=7,

、a”+iW0,[12—2〃W0

所以S”的最大值為S6=S7=42.故選B.]

二'填空題

7.（202卜河北張家口市一模）寫出一個(gè)“公差為2且前3項(xiàng)之和小于第3項(xiàng)”

的等差數(shù)列a?=.

2"—6（答案不唯一）[要滿足“前3項(xiàng)之和小于第3項(xiàng)”，則41+。2+。3*3,

即媒1+。2<0,

則不妨設(shè)ai=—4,?2=—2,

2

貝ijan———4+(n——1)X2=2n——6.]

8.記S為等差數(shù)列｛z｝的前〃項(xiàng)和，若020,公=3小，則肅=.

4［設(shè)等差數(shù)列｛癡｝的公差為d,由。2=3。1,即ai+d=3“i,得2ai=d,所

,10X9

10ai+2d1QOa)

以瓦=sx4-=^r=4-］

5?i+~~d

9.(2020.新高考I卷)將數(shù)列［2〃-l｝與｛3〃一2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到

數(shù)列｛&｝,則｛&｝的前n項(xiàng)和為.

3〃2—2〃［由題意可知｛2〃一1｝的項(xiàng)是連續(xù)的奇數(shù),所以｛2〃一1｝與｛3〃一2｝

的公共項(xiàng)即為｛3〃-2｝中的所有奇數(shù)項(xiàng)，

所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)｛3〃一2｝的項(xiàng)為｛?。?

將左=2〃-1代入｛3上一2｝得｛6〃一5｝,

故如=6"一5,〃GN*,

1+6〃-5.

故Sn=2X〃=3〃~—2〃.］

三'解答題

10.(2021?山東泰安模擬)已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”且〃3+m0=13,

Sii=66.

(1)求｛z｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知bi=l,."兒+i—4"+1為=1,設(shè),求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式.

在①②金=鋁，③?！?『這3個(gè)條件中，任選一個(gè)解答上述問

題.

［解］(1)設(shè)等差數(shù)列｛而｝的公差為d,

由。3+。10=13,Sii=66,可得2m+lld=13,llm+55d=66,即。i+5d=

6,

解得a\=d=1,則an=1+n-1=/?.

(2)由anbn+1一m+15?=1,可得nbn+1—(〃+1也=L

即為如L_^=___1_____

n+1nn(〃+l)nn+1J

3

貝吟=:+但_垣-----Pbnbn-I

21nn—1

(.1.11.,1f

=1+1—rd---F-----

I223/2—1n

可得b"=2〃-1,對(duì)〃=1也成立,

選①&嶺=2一5；

選②&尸呼12〃-1+1

n=2；

、工廠N。〃-12〃一1一1

選③=

Cn"n

11.已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為小4,3m前〃項(xiàng)和為S〃，且a=110.

(1)求。及左的值；

⑵已知數(shù)列｛仇｝滿足瓦=4，證明數(shù)列｛仇｝是等差數(shù)列，并求其前〃項(xiàng)和

［解］(1)設(shè)該等差數(shù)列為則ai=a,"=4,a3=3a,

由已知有。+3a=8,得ai=a=2,公差d=4—2=2,

k(k—I)k(k—1)

所以S=kai+:d=2k+\X2=R+k.

由&=110,得3+%—110=0,

解得％=10或%=—11(舍去)，

故。=2,k=10.

,n(2+2〃)

(2)由(1)得Sn=----5----=〃(〃+1)，

則及=7=〃+1,

故加+1—氏=(〃+2)—(〃+1)=1,又。1=2,

即數(shù)列｛仇｝是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,

〃(2+〃+1)n(〃+3)

所以Tn2—2

[B組在綜合中考查關(guān)健能力]

1.設(shè)s〃是等差數(shù)列｛&,｝的前〃項(xiàng)和.若根為大于1的正整數(shù)，且斯一一居,

+?！?1=1,S2*l=ll,則機(jī)=()

4

A.llB.10C.6D.5

C［由一片+a”+i=l,可得2加一力=1,即鼠-2a,”+1=0,解得a,?

,(ai+a2m-i)(2m—1)…

=1.由S2,”-l=-----------2----------=而義(2加-1)=11,得2/77-1=11,解

得"2=6.］

2.(202卜衡水中學(xué)模擬)已知數(shù)列｛&”｝的前n項(xiàng)和為Sn,滿足Sn=an2+bn(a,

2

匕為常數(shù))，且。9=5，則。|+?！?;設(shè)函數(shù)式x)=2+sin2x—Zsin1，yn

=/a?),則數(shù)列｛>"｝的前17項(xiàng)和為.

IT17［當(dāng)"?2時(shí)，alt=Sn—Sn-\—a)v+bn—\_a(ji—1)+匕(〃-l)］=2〃a—a

又當(dāng)”=1時(shí)，a\=S\=a+b,滿足a”=2〃a—a+",所以a”=2〃a—a+/?,

所以數(shù)列｛。"｝為等差數(shù)列，故41+。17=2。9=兀

由題意得fix)=sin2x+cosx+1,

所以yi+yi7=/(ai)+/(?n)

=sin2al+cosa\+1+sin2a17+cos<217+1

=sin2ai+cosai+l+sin(2?！?ai)+cos(?！猘i)+l=2,

同理，”+yi6=2,…,泗+”0=2.

又易得y9=f(。9)=1,

所以數(shù)列｛?｝的前17項(xiàng)和為2X8+1=17.］

3.(2021?全國(guó)乙卷)記S”為數(shù)列他”｝的前n項(xiàng)和,瓦為數(shù)列｛S〃｝的前n項(xiàng)積，

21

已知不+廠=2.

bnbn

(1)證明：數(shù)列｛為｝是等差數(shù)列；

(2)求｛斯｝的通項(xiàng)公式.

［解］(1)證明：因?yàn)橥呤菙?shù)列｛S,｝的前〃項(xiàng)積，

所以〃22時(shí)，&=白~,

bn-\

代入?|"+:=2可得，空」+:=2,

Snbnbnbn

整理可得2兒_1+1=2乩，即—=；(〃22).

5

2133

又5不i+b廠\=jb\=2,所以從=2'

31

故｛d｝是以為首項(xiàng)，方為公差的等差數(shù)列.

,一，〃+2,2,2“〃+2

（2）由（1）可知，為==一，則不+F7=2，所以S〃=FT，

Lon〃十，n~r1

3

當(dāng)n=\時(shí)，m=Si=5,

.、L〃+2n~\~11

當(dāng)"12時(shí)'an=Sn-Sn-i=-n(n+1).

r〃=1

故4"=<.

「〃（〃+l）'心2

[C組在創(chuàng)新中考查理性思維]

1.（2021.山東師范大學(xué)附中模擬）變徑圓弧螺旋線是以不同半徑的圓弧連接

而成的螺旋線，這種螺旋線極具美感.圖1是鸚鵡螺的截面，其輪廓是等比變徑

螺旋線（半徑構(gòu)成等比數(shù)列），圖2是一段等差變徑圓弧螺旋線（半徑構(gòu)成等差數(shù)

歹（））,其中ABCDEE是邊長(zhǎng)為1的正六邊形，弧胡?是以A為圓心，Ab為半徑的

圓弧，弧48是以B為圓心，83為半徑的圓弧，弧BiG是以C為圓心，CG

為半徑的圓弧，依次類推，已知各圓弧的圓心角均等于正六邊形的外角，則弧

E\F\的長(zhǎng)為.

圖1圖2

2無[由題意知，AB=AF=AA]=\,

故BB\=A\B=2,

又因?yàn)閳D2是一段等差變徑圓弧螺旋線，

所以公差d=2—l=l,

故FEi=AF+5d=6,

又正六邊形的外角等于60°,Z￡iFFi=60°,