重難專題08 將軍飲馬之三動點及兩定點一定長模型（解析版）

2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊重難點突破專題08將軍飲馬之三動點及兩定點一定長模型一、三動點模型條件：已知點D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC上的動點，求△DEF的周長的最小值。結(jié)論：要使△DEF的周長最小，先將點D視為定點，利用“一點兩線”模型作出△DEF周長的最小值，對應(yīng)的線段D'D".當(dāng)CD最小，即CD⊥AB時△DEF的周長最小，最小值為D'D"的長。二、兩定點一定長模型1.異側(cè)兩定點一定長已知：點A，B為河岸兩側(cè)兩定點，橋PQ(定長PQ=d)垂直于河岸，找建橋PQ的位置使AP+PQ+QB最短(也稱“造橋選址”問題)。結(jié)論：將A沿著與PQ平行的方向平移一個橋長至A',連接A'B交河岸n于點Q。作PQ⊥n交m于點P、Q即為所求，且AP+PQ+QB最小。2.同側(cè)兩定點一定長已知：點A，B為直線l同側(cè)兩定點，定長線段PQ(PQ=d)在直線l上運動，找Q的位置使AP+PQ+QB最短結(jié)論：將A沿著與直線l平行的方向平移一個定長PQ至A'.作A'關(guān)于直線l的對稱點A‘’,連接A‘’B交直線l于點Q，此時，點Q即為所求，且如圖，四邊形ABCD中，，，E、F分別是AD、AB上的動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)是．【答案】40°【分析】要使△CEF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出C關(guān)于BA和AD的對稱點N，M，即可得出，最后利用△CMN內(nèi)角和即可得出答案．【詳解】作C關(guān)于BA和AD的對稱點N，M，連接MN，交AD于E1，交AB于F1，則MN即為△CEF的周長最小值．∵，，∴∠DCB=110°，由對稱可得：CF1=F1N，E1C=E1M，∴，∵，∴，∴，即當(dāng)?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)是40°，故答案為：40°．如圖直線l1，l2表示一條河的兩岸，且，現(xiàn)要在這條河上建一座橋.橋建在何處才能使從村莊A經(jīng)過河到村莊B的路線最短？畫出示意圖，并說明理由.【分析】先確定與河等寬，且垂直河岸，連接，與河岸的交點就是點C，過點C作垂直河岸，交另一河岸于點D即可得出答案．【詳解】解：如圖，先確定與河等寬，且垂直河岸，連接，與河岸的交點就是點D，過點D作垂直河岸，交另一河岸于點C，連.由作圖過程可知，四邊形為平行四邊形，平移至即可得到線段，兩點之間，線段最短，由于河寬不變，即為橋．一、單選題1．如圖，直線，表示一條河的兩岸，且．現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使得從村莊P經(jīng)橋過河到村莊的路程最短，應(yīng)該選擇路線（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩點間直線距離最短，使為平行四邊形即可，即垂直河岸且等于河寬，接連即可．【詳解】解：作垂直于河岸，使等于河寬，連接，與另一條河岸相交于F，作于點E，則且，∴四邊形為平行四邊形，∴，根據(jù)“兩點之間線段最短”，最短，即最短．∴C選項符合題意，故選：C．2．如圖．在五邊形ABCDE中，∠AMN＋∠ANM＝，∠B＝∠E＝，在BC、DE上分別找一點M、N，使得的周長最小時，則∠BAE的度數(shù)為（

）A．136° B．96° C．90° D．84°【答案】A【分析】取點A關(guān)于BC的對稱點P，關(guān)于DE的對稱點Q，連接PQ與BC相交于點M，與DE相交于點N，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AM=PM，AN=QN，然后求出△AMN周長=PQ，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，PQ的長度即為的周長最小值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于求出∠P+∠Q，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠AMN=2∠P，∠ANM=2∠Q，然后求解即可．【詳解】解：如圖，作點A關(guān)于BC的對稱點P，關(guān)于DE的對稱點Q，連接PQ與BC相交于點M，與DE相交于點N，則AM=PM，AN=QN，∴∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN，∴周長=AM+MN+AN=PM+MN+QN=PQ，由軸對稱確定最短路線，PQ的長度即為的周長最小值，∵∠AMN＋∠ANM＝，∴∵∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN，∴∠P+∠Q=，∴，故選：A．3．如圖，在五邊形ABCDE中，（為鈍角），，在BC，DE上分別找一點M，N，當(dāng)周長最小時，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別延長AB、AE到點、，使，，連接，分別交BC和DE于點M，N，連接AM，AN，此時周長最小，可求得，，由三角形的內(nèi)角和求得即可解答.【詳解】解：∵，∴如圖，分別延長AB、AE到點、，使，，連接，分別交BC和DE于點M，N，連接AM，AN，此時周長最小，∵BM垂直平分，EN垂直平分，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，故選C．4．如圖，在五邊形中，，，，在，上分別找一點，，使得的周長最小時，則的度數(shù)為（

）A．55° B．56° C．57° D．58°【答案】B【分析】作A關(guān)于BC的對稱點G，A關(guān)于DE的對稱點H，△AMN的周長為AM+MN+AN=MG+MN+NH，根據(jù)兩點之間，線段最短即可．【詳解】解：作A關(guān)于BC的對稱點G，A關(guān)于DE的對稱點H，連接MG，NH，則AM=MG，AN=NH，∴△AMN的周長為AM+MN+AN=MG+MN+NH，由兩點之間，線段最短可知：當(dāng)G、M、N、H共線時，△AMN的周長最小，∵∠BAE=152°，∴∠G+∠H=28°，∵AM=MG，AN=NH，∴∠G=∠GAM，∠H=∠HAN，∠AMN+∠ANM=2∠G+2∠H=2×28°=56°，故選：B．5．如圖，平行河岸兩側(cè)各有一城鎮(zhèn)，，根據(jù)發(fā)展規(guī)劃，要修建一條橋梁連接，兩鎮(zhèn)，已知相同長度造橋總價遠大于陸上公路造價，為了盡量減少總造價，應(yīng)該選擇方案（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河寬，連接QP′，與河岸L相交于N，作NM⊥L，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，易證得此時PM+NQ最短.【詳解】解：如圖，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河寬，連接QP′，與河岸L相交于N，作NM⊥L，則MN∥PP′且MN＝PP′，于是四邊形PMNP′為平行四邊形，故PM＝NP′．根據(jù)“兩點之間線段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．觀察選項，選項C符合題意．故選C．二、填空題6．如圖，四邊形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的點，當(dāng)△AEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為【答案】80°【分析】根據(jù)要使△AEF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝58°，進而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．【詳解】解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，則A′A″即為△AEF的周長最小值．作DA延長線AH，∵∠C＝50°，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠DAB＝360°-∠ABC-∠ADC-∠C=130°，∴∠HAA′＝180°-∠DAB=50°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，由軸對稱的性質(zhì)可得：∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，∵∠AFE=∠FAD+∠A″，∠AEF=∠EA′A+∠EAA′，∴∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″）=100°∴∠EAF＝180°-∠AEF-∠AFE=80°，故答案為：80°．7．如圖，在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AB⊥BC，∠DAB＝130°，點M，N分別是邊BC，CD上兩個動點，當(dāng)△AMN的周長最小時，∠MAN的度數(shù)為．【答案】80°【分析】作點A關(guān)于CD的對稱點，關(guān)于BC的對稱點，連接交CD于，交BC于，此時周長最小，利用整體思想得出，從而得到答案．【詳解】如圖，作點A關(guān)于CD的對稱點，關(guān)于BC的對稱點，連接交CD于，交BC于，此時周長最小，，，，，故答案為：