2023年高考數(shù)學(xué)文科模擬卷02（解析版全國(guó)通用）

2023年高考模擬卷(二)

文科數(shù)學(xué)

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷(選擇題)和第I[卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自

己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的)

1.若集合4={小<4},8=卜、2"，貝IJAC僅8)=()

A.(^),1]B.(0,1]C.(-=o,0)O(0,l]D.(—,()]u(1,4)

【答案】D

【詳解】由上1之1得r」-140,

XX

則2丁40,解得0<E,

所以8=(0,1],則0B=(y,0]51,+e),

所以Ac他

故選：D.

2.己知復(fù)數(shù)z滿足土W=i，則|z|=()

z+2

A.2B.2夜C.4D.V2

【答案】B

【詳解】由—=1,得z-2i=i(z+2),

z+2'7

z-2i=iz+2i，

4i4i(I+i)4i-4

z=El)°+曠亍7+21,

|z|=25/2.

故選：B.

3.設(shè)xeR,則“1嗚》<1"是"d+x-6<0"的(

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】由logzxvl,解得：0<x<2：x2+x-6<0解得一3Vx<2,

由(0,2)(-3,2),回"1嗚》<1"是"產(chǎn)+-6<0"的的充分不必要條件.

故選：A

4.甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?，每個(gè)人都等可能地把球傳給另一人，由甲開始傳球，作為

第一次傳球，經(jīng)過(guò)3次傳球后，球回到甲手中的概率為()

A.—B.—C.-D.；

81642

【答案】C

【詳解】設(shè)甲、乙、丙三人用","c,

由題意可知：傳球的方式有以下形式，

(a,b,a,b),(a,b,a,c),(a,6,c,a),(a,b,c,b),(a,c,a,b),(a,c,a,c),(a,c,b,a),(a,c,b,c),

所求概率為：2=1

84

故選：C

5.如圖所示，已知點(diǎn)G是助8C的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與力8,ZC兩邊交于“，N兩

點(diǎn)，設(shè)XAB=AM，yAC=AN,則一+1的值為()

xy

【答案】A

【詳解】由題意AG=2AM+(1—2)AN110W/W1,而XAB=AA/?yAC~AN>

所以AG=x/lA8+y(l-㈤AC,

-21____1___

又G是B48c的重心，故AG=-X5(A8+AC)=§(A8+AC),

xA=-[]

3

所以I,可得丁+丁=1，即，+—=3.

y(T)=g3x3〉xy

故選：A

6.下列函數(shù)中，既是定義域內(nèi)單調(diào)遞增函數(shù)，又是奇函數(shù)的為()

A./(x)=tanxB./(x)=--^

C./(x)=x-cosxD../'(x)=et-e~x

【答案】D

【詳解】對(duì)于A,7(x)=tanx為奇函數(shù)，是周期函數(shù)，在定義域內(nèi)不單調(diào)，不符合題意，

不符合題意；

對(duì)于BJ(x)=-f定義域?yàn)?-8,0)50,+8),/(-司=-"x)，所以“X)為奇函數(shù)，但在

定義域內(nèi)不單調(diào)，不符合題意；

對(duì)于C,/(X)=X-CO&X,/(-X)=-X-COS(-X)=-X-COSX*-/(%),

故函數(shù)f(x)=x-cosx不是奇函數(shù)，不符合題意；

對(duì)于D,f(x)=e'+er>0，是增函數(shù)，〃—司=b一6'=—/(x),是奇函數(shù)，滿足題意；

故選：D.

7.函數(shù)〃x)=(f-2x)e，的圖像大致是()

【答案】B

【詳解】由/(x)=0得，x=0或x=2,選項(xiàng)A,C不滿足，即可排除A,C

由〃x)=(%2—2x)e'求導(dǎo)得尸(x)=(爐一2)e',

當(dāng)x<-夜或x>也時(shí),第x)>0,

當(dāng)-應(yīng)<x<0時(shí)，/'(x)<0.

于是得“X）在卜8,一夜）和（直上都單調(diào)遞增，在卜0,夜）上單調(diào)遞減，

所以/（X）在》=-近處取極大值，在x=&處取極小值，D不滿足，B滿足.

故選：B

8.已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，尸是雙曲線￡：：3-3=1（4>0,6>0）的左焦點(diǎn)，平面內(nèi)一點(diǎn)〃滿

足,OMF是等邊三角形，線段與雙曲線E交于點(diǎn)N,且|MN|=|NF|,則雙曲線后的離心

率為（）

AV13+1RV13-1r2后+2n2V15+1

3277

【答案】A

【詳解】設(shè)雙曲線E的右焦點(diǎn)為尸2,連接N%,

因?yàn)椤＠率堑冗吶切?，所以|〃F|=|OF|=c,

Z(?FM=60\又|MN|=|NF],所以陰=|,

132

在△/='可心中，=|NF『+|桃『-2］可朗?|項(xiàng)|COSNNF*了。，

4V13+1

則加用=浮c,則2a=朋|-|陰=1c,則（=

丹-x/13-l-3

9.已知正三棱柱ABC-ABC的底面邊長(zhǎng)AB=2g,其外接球的表面積為20兀，。是8c的

中點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段4。上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)8c且與ZP垂直的截面a與NP交于點(diǎn)E,則三棱錐

A-BCE的體積的最大值為（）

A.空B.3C.0D.-

222

【答案】A

【詳解】外接球的表面積為20兀，可得外接球半徑為右.

因?yàn)檎庵鵄BC-的底面邊長(zhǎng)48=2石，

所以A。=4A4=4A8=3,所以△ABC的外接圓半徑為r=IA。=2,

設(shè)三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為〃，則有(?)+產(chǎn)=5=a=2,即側(cè)棱e=〃=2,

設(shè)8c的中點(diǎn)為F,作出截面如圖所示，

因?yàn)锳PLc,EPua,所以AEJ.EF,所以點(diǎn)E在以/尸為直徑的圓上，

當(dāng)點(diǎn)E在4尸的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E到底面45c距離的最大，且最大值為

因?yàn)镈R<AF，所以此時(shí)點(diǎn)P在線段上，符合條件，

：

所以三棱錐A—8CE的體積的最大值為g*；AFxSABC=^X|X^X(2^]=手?

10.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有"數(shù)學(xué)王子"的稱號(hào)，用其名字

命名的"高斯函數(shù)"為：設(shè)xeR,用印表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則y=[x]稱為"高斯函數(shù)”，

例如：[-2.5]=-3,[2.7]=2.已知數(shù)列｛4｝滿足q=l,4=3,??+2+2a?=3??+1,若

a=[log2aM，5”為數(shù)列;的前〃項(xiàng)和，則82023=()

122+1,

、2022202420232025

A.-------B.-------C.———D.--------

2023202320242024

【詳解】山??+2+2”“=3””+|,得an+2-a?+i=2(a?+,-a,,).又生-4=2,所以數(shù)列構(gòu)

成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以4*1-《=2".

乂“2—4=2,%—%=2,...?a”—=2,

疊加可得(%—4)+(%—小)"1--1■(“"一。"-1)=2,+2-H----F2"'(/7>2),

即““一q=2'+2?+…+2"-’,

1-2"-'X2

所以a“=20+2'+22+…+2”'=2"-l(n>2).

1-2

又因?yàn)?=1滿足上式，所以a,,=2"-l（〃eN）

所以〃向=2旬7.

因?yàn)?"<2nt,-l<2"+'.所以log?2"<log,（2"+,-1）<log,2H+,,

,,+1n+l

即“<log2（2-l）</z+l,所以勿=[log,an+l]=[log?（2-l）]=rt.

故TT-=-；~=-----~7

b也向〃?（〃+l）n〃+l

__1_2023

+…+=1

20232024一~2024~2024

故選：C.

11.已知函數(shù)/（x）=sin（s-胃?>0）,若函數(shù)/（x）在區(qū)間（0㈤上有且只有兩個(gè)零點(diǎn),

則。的取值范圍為（）.

（113、（713-

A，KNB.公，"

[66/<66_

（511A（51T

C?D?

\ooyo

【答案】B

【詳解】解：因?yàn)閤?0,兀）,。>0,

所以6y工-？€（一/加1），

666

又因?yàn)楫?dāng)*=也,2￡2時(shí)，>'=sinx=0,

因?yàn)楹瘮?shù)“X）在區(qū)間（0,兀）上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，

TT

當(dāng)x>-Z時(shí)，y=sinx的零點(diǎn)只能是0,兀，

6

71

所以兀<6971——<2?T,

解得:713

66

（713'

所以外的取值范圍為是-

166

故選：B.

12.已知y=/（x+Q-%（A>0）是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)X34時(shí)，f（x）=smx-8sx+2若

則（）

A.Xj+x2>2kB.x[+x2<2k

c.歸-%|<上一川D.歸-4>卜-4

【答案】C

【詳解】由y=/(x+外一女是R上的偶函數(shù)，^f(-x+k)-k=f(x+k)-k,

即f(-x+%)=/(*+%),所以/(X)的圖象關(guān)于直線》=出對(duì)稱.

當(dāng)x34時(shí)，/⑴=sin>c;sx+2,由八?=2(cos：-l)?。，僅在一=2E水人z時(shí)取等號(hào),

ee*x

得fW在區(qū)間上”)上為減函數(shù)，則在區(qū)間(Y0,燈上為增函數(shù)，

根據(jù)圖象的對(duì)稱性，由/(%)>/仁)得|西—用<%—M,

則C正確、D錯(cuò)誤.

當(dāng)％-A:,%異號(hào)時(shí)，，貝ljX1-A<-%+%或一占+”<X2-Z,即％+吃<2k或X]+%>24,

即選項(xiàng)A,B的結(jié)果不能確定，

故選：C.

第II卷

二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知〃x)=2產(chǎn)+2sin葭，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程為

【答案】3x-y-l=O

【詳解】因?yàn)?%)=也+2副F，則:(x)=3。*+兀3巴,

x2x2

所以，"1)=2,,/''⑴=3,

故所求切線方程為y-2=3(x-l),Bp3x-y-l=O.

故答案為：3x-y-l=0.

y<x

14.若實(shí)數(shù)xy滿足約束條件「+ywi,則目標(biāo)函數(shù)z=x+2)，的最大值為.

y>-1

3

【答案】j##1.5

【詳解】作出可行域如下圖,

13

最大值為ZM=]+1=2，

3

故答案為：y.

15.已知拋物線GV=2/7x(p>0)的焦點(diǎn)為此準(zhǔn)線為/,點(diǎn)48在拋物線C上，且滿

足ZR38尸.設(shè)線段Z8的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4,則邛的最小值為_____.

d

【答案】V2

【詳解】如圖示：設(shè)的中點(diǎn)為M分別過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線/的垂線，垂足為C,D,N,

MTV為梯形/CDS的中位線，則d=|MN|=(

山4^8凡可得k耳=夜2+片,故網(wǎng)=冬生正，

da+b

因?yàn)槠?n噌當(dāng)且僅當(dāng)a斗時(shí)取等號(hào),

故旦嶇三以”以&,

da+ba+b

故答案為：y/2?

|x+4|-l,x<0

16.已知函數(shù)〃x)=(J1丫，,、，關(guān)于x的方程/2(X)+(2/7)〃X)+1T=0有6個(gè)不

舊一心。

等實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是

【答案】0省U肆)

【詳解】由已知當(dāng)xV-O寸，f(x)=-x-5,

當(dāng)-4<x40時(shí)，f(x)=x+3,

當(dāng)x>0時(shí)，〃x)=46j-1,

畫出函數(shù)/(x)的圖象如圖所示.

且了卜)=，有3個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)T<c<3,

所以尸(X)+(〃-1)/(X)+1T=0有6個(gè)不等實(shí)數(shù)根等價(jià)于一元二次方程

/+(2-1)》+1-/=0在(-1,3)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

（2/-1）2-4（1-/）>0,

2/_1.f—r-

—一2~,解得-Lx-3或正<x<l.

所以《

l-（2r-l）+l-/>0,522

9+3（2r-l）+l-z>0,

故答案為:

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

17.已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列｛%｝中，％,%+12構(gòu)成等比數(shù)列，S”是其前〃項(xiàng)和，

滿足S3=5

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和S.；

⑵若,求數(shù)列｛〃,｝的前”項(xiàng)和I.

q1

在①2=」+24，②H=丁，③2=(%—l>2"T這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第(2)問(wèn)

n3〃

中，并求解.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【詳解】(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為或">0)，

依題意可得卜"%3+⑵,則啊+3"3+6"+12)

4+%+%=15[a]+d=5

解得4=3,d=2,

所以，數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4,=3+2(〃-1)=2〃+1.

?(?,+??)〃(3+2〃+1)2

S=----------=--------------=〃+2n

"n22

2

綜上：?！?2〃+1,Sn=n+2n；

(2)解：選①“=2+2冊(cè)

n

由(1)可知：a?=2n+lS?=n2+2n

回"=2+2%=—+2-+22n+l=n+2+22-,+l

nn

團(tuán)Zr=h\+%+4+,,,+%+bn

回T/(3+〃+2)?23(1-4”)

“-21-4-23

選②"=1

由(1)可知:S?=^+2n

｝

曲.，=丁1而用1二I木fl一捻\

J]

2〃+2

選③％=(a,,T>2"T

由(1)可知:a?=2n+l,0Z>?=(a?-l)-2"_|=n-2n

^Tn=bl+b2+bi+--+b?_l+bn

則7；=Ix2i+2x22+3*2,+…+(〃-1)X2"T+"*2"

于是得27；,=1X22+2X23+-+(〃-1)X2"+〃X2"+I

兩式相減得=2+2?+23…+2"_〃,2"+i^2V~2-n-2"+i=(1-?)-2"+,-2>

所以7；,=(〃_1)-2向+2.

18.第32屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在2021年7月23日至8月8日在日本東京舉行，中國(guó)奧

運(yùn)健兒獲得38枚金牌，32枚銀牌和18枚銅牌的好成績(jī)，某大學(xué)為此舉行了與奧運(yùn)會(huì)有關(guān)

的測(cè)試，記錄這100名學(xué)生的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[30,40),[40,50),.[90,100],并整

理得到如下頻率分布直方圖：

⑴估計(jì)這100名學(xué)生測(cè)試分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；

⑵若分?jǐn)?shù)在[30,40),[40,50),[50,60)內(nèi)的頻率分別為p“P2，P3,且2網(wǎng)+凸=。。5,估計(jì)100

名學(xué)生測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)；

【詳解】(1)設(shè)這100名學(xué)生測(cè)試分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為。，由前5組頻率之和為0.4,前6組頻

率之和為0.8,

可得80<a<90,所以0.4+(a-80)x0.04=0.5,解得a=82.5.

故這100名學(xué)生測(cè)試分?jǐn)?shù)的中位數(shù)約為82.5分.

(2)因?yàn)?月+%=0.05,且R+P2+P3=O-1，所以這100名學(xué)生測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為

35/?,+45/7,+55(0.1-/?,-/?2)+65X0.1+75X0.2+85X0.4+95X0.2

=5.5-10(2p1+pJ+6.5+15+34+19=795

故100名學(xué)生測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)約為79.5分.

19.在四棱錐。-/8C3中，底面是正方形，若A￡>=2,QD=QA=^5,QC=3.

(1)證明：平面。4。團(tuán)平面43C￡)；

（2）求四棱錐Q-A8CD的體積與表面積.

【詳解】（1）取4D的中點(diǎn)為。，連接0。，CO.

因?yàn)镼A=Q￡>,OA=OD,則QO_LAD,

而710=2,04=6,故QO=A/^T=2.

在IE方形/8C￡）中，因?yàn)锳￡>=2,故。。=1,故CO=JC￡>2+o￡）2=石,

因?yàn)镼C=3,故QC2=QC>2+OC2,

故，QOC為直角三角形且QO_LOC,

因?yàn)椤AD=0,0C,AOu平面ABC。，故QO0平面A8CD,

因?yàn)?Ou平面QAD,故平面團(tuán)平面ABCD.

（2）取BC中點(diǎn)E,連接OE,QE,O3,OC,

由（1）可知Q。為四棱錐。-ABCZ）的高，且QO=2,

底面正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,

1Q

2

所以四棱錐。-A8C。的體積^.AfiCD=-x2x2=|,

由（1）可知平面04013平面N8C7）,

又因?yàn)锳B_LAD,/8u平面/BCD,平面0/￡>［平面ABC￡>=AD,

所以/施平面QAD,

又因?yàn)榱?u平面QOu平面

所以ABLQA,ABYQD,故COJ.。。

又OB=OC=jF+*=#>，QB=QC=^+5=3,

故0EI3BC,△048和A。。均為直角三角形，△0/。和AQC8均為等腰二角形,

其中QE=y]OQ2+OE2=2>/2,

Q

四邊形ABC。的面積為2x2=4,三角形0AD的面積為gAOQO=；x2x2=2,

=角形QBC的面積為gBC-QE=gx2x2&=2夜，S=S叩=白2石=石，

所以棱錐Q-A8CZ）的表面積為$=4+2+2石+2&=6+2石+2灰.

20.已知橢圓：E:二+[=1（4＞匕＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A4,上、下頂點(diǎn)分別為綜區(qū)，

a-b-

14聞=2,四邊形A用&J的周長(zhǎng)為4指.

⑴求橢圓我的方程；

（2）設(shè)斜率為左的直線/與x軸交于點(diǎn)P,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M,N,點(diǎn)M關(guān)于y軸的

對(duì)稱點(diǎn)為M'、直線MN與y軸交于點(diǎn)0.若△?產(chǎn)?的面積為2,求左的值.

【詳解】（1）由|4閡=2,得2b=2,即6=1,

由四邊形AAAB2的周長(zhǎng)為46，得^^/7下=4"，即〃=5,

2

所以橢圓的方程為工r+＞2=1.

5

（2）設(shè)直線/的方程為尸丘+/〃（攵。0,用工0）,,N%%），

則尸（一一,0）,

K

V2

聯(lián)立方程組,5+',消去y得，（5/+1）/+10加優(yōu)+5雨之一5=o,

y=kx+m

△=（1Qkm）2-4（5公+l）（5m2-5）＞0,得5〃＞療一1,

lOfan5m2-5

%+“一折？中2=^TT

直線MN的方程為、一%二黃（5一々）,

0（0—,）+%=以5

令x=o,得y=

X1+%2工1+%2

—10A

又因?yàn)橛?+/X=%（京2+/及）+12（"1+加）=2kX\X2十機(jī)（玉+工2）=

5r+1

所以Q(0,1),△OPQ的面積4X-；上=2,得左=±L，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，

m2km4

所以發(fā)的值為士!.

4

21.已知函數(shù)“力=(以2+1忖_》.

⑴當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)“X)在(0,+8)上的單調(diào)性；

⑵當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<l,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】(1)解：當(dāng)a=-g時(shí)，〃力=(1-；/卜-x,貝=(一:--"I卜J.

令g(x)=r(x)=(-；x2-x+l>,其中xe(O,+w),

貝|Jg'(x)=(--2*卜<。，則g(x)在(0,+<?)上單調(diào)遞減.

故當(dāng)x>()時(shí)，/'(x)=g(x)<g(0)=0,

所以f(x)在(0,+s)上單調(diào)遞減.

(2)解：由(1)可知當(dāng)x>0且當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,+s)上為減函數(shù)，

此時(shí)，/(x)</(O)=l,

則當(dāng)時(shí)，/(x)=(ax2+l)eJ-x<^-1x2+lje^-x<l,滿足題意；

I1

由〃X)<1，化簡(jiǎn)可得r皆—加一1>0，

令=■—底一1,其中x>。，則〃(x)=-j-2辦=-x］：+2”.

當(dāng)-g<a<0時(shí)，若則”(x)<0,力(力在0/n(—()］上是減函數(shù)，

(一(1)時(shí)，％(力<〃(°)=°，不符合題意.

所以當(dāng)xe0,ln

當(dāng)心0時(shí),"(x)<0,則%(x)在(0,”)上是減函數(shù)，此時(shí)〃(切<秋0)=0,不符合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為卜嗎-；.

請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做

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