2023-2024學(xué)年浙江省金華市金東區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年浙江省金華市金東區(qū)九年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分，請選出一個符合題意的正確選項(xiàng)填涂在答題卷內(nèi)，不選、多選、錯選均不給分）.1．下列所描述的事件中，是必然事件的是（）A．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上 B．任意買一張電影票，座位號是7的倍數(shù) C．從一個只有紅球的盒子里摸出一個球是紅球 D．太陽從西邊升起2．下列各組線段中，成比例線段的一組是（）A．1，2，3，4 B．2，3，4，6 C．1，3，5，7 D．2，4，6，83．二次函數(shù)y＝2（x+1）2﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）4．如圖，△OAB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到△OCD，若∠BOC＝15°，∠AOD＝95°，當(dāng)點(diǎn)C恰好在AB上時，則∠BCD的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．45° D．55°5．兩個相似三角形的周長之比是，則它們的面積之比為（）A．1：3 B．3：1 C． D．6．下列四個命題中，真命題的是（）A．三點(diǎn)確定一個圓 B．相等的圓心角所對的弦相等 C．圓心角是圓周角的2倍 D．90°的圓周角所對的弦是直徑7．如圖，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，若AB＝8，OE＝3，則CE的長是（）A．8 B．7 C．6 D．58．已知線段AB＝1，E，F(xiàn)分別為其上的兩個黃金分割點(diǎn)，則EF的長是（）A． B． C． D．9．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝﹣1，下列結(jié)論錯誤的是（）A．b2＞4ac B．a(chǎn)+b+c＞0 C．a(chǎn)﹣b+c＜0 D．a(chǎn)bc＞010．如圖，點(diǎn)P為正方形ABCD的外接圓O的上一點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，PC，則的值為（）A．1 B． C． D．2二、填空題（本大題共有6小題，每小題4分，共24分）11．若，則＝．12．在不透明的口袋中裝有5個紅球，2個黃球，1個白球，它們除顏色外其余均相同，若從中隨機(jī)摸一個球，是黃球的概率為．13．如圖，BC∥DE，且，DE＝4，則BC＝．14．已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+1，當(dāng)﹣1＜x＜4時，y的取值范圍是．15．如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半徑OA＝3．將扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在弧AB上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在AB，AC上，若，則點(diǎn)D到AB的距離是，△AEF的周長是．三、解答題（本大題共有8小題，共66分）17．已知二次函數(shù)y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（1，4）．（1）求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．（2）求a的值．18．如圖，在4×4的方格紙中，線段AB的兩個端點(diǎn)都在1×1小方格的格點(diǎn)上，分別按下列要求畫圖．（1）將線段AB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段A1B1．（2）以點(diǎn)O為位似中心，畫出線段A2B2，使線段A1B1與A2B2是位似圖形，且位似比為1：2．19．為備戰(zhàn)區(qū)足球比賽，某校足球小將在距離門框15米處進(jìn)行大量射門練習(xí)后，得到數(shù)據(jù)如下表：射門次數(shù)n（次）10501002005008001000射中次數(shù)m（次）73775142365576720射中頻率0.700.740.750.710.730.720.72（1）請你根據(jù)上表，估計該足球小將射中球門的概率為（精確到0.01）．（2）已知該足球小將1000次射門中包括左右腳射門、頭球射門3個技術(shù)動作練習(xí)，若左腳、右腳、頭球射門次數(shù)比為3：5：2，且左腳射中次數(shù)為240次，求左腳射中概率．20．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC上，∠AEB＝∠EDB．（1）求證：△BDE∽△BEA．（2）若∠C＝∠BEC，BD＝1，AD＝2，求BC的長度．21．為落實(shí)國家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長12m）和21m長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實(shí)踐基地．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了兩種方案（除圍墻外，實(shí)線部分為籬笆墻，且不浪費(fèi)籬笆墻），請根據(jù)設(shè)計方案回答下列問題：（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度AE＝1m的水池，且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG、DG的長；（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應(yīng)設(shè)計為多長？此時最大面積為多少？22．如圖，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，直徑BD與弦AC交于點(diǎn)E．若∠BAC＝2∠ABE．（1）求證：AB＝AC．（2）當(dāng)AE＝4，CE＝6時，求：①的值；②CD的長．23．探究解決以下問題：探究1如圖1，該興趣小組在紙上畫了一個圓，隨機(jī)在圓上取5個點(diǎn)A，B，C，D，E，連結(jié)得到一個五角星，小組同學(xué)經(jīng)過討論，提出猜想：認(rèn)為五角星的五個角之和為180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．探究2如圖2，興趣小組繼續(xù)探討，在邊長為4的正六邊形中取五個頂點(diǎn)A，B，C，D，E，連結(jié)得到一個五角星，發(fā)現(xiàn)這個五角星的形狀大小是唯一確定的，因此可求出這個五角星的面積．探究3如圖3，興趣小組深入探討，連結(jié)邊長為4的正五邊形的頂點(diǎn)A，B，C，D，E，得到一個5個角都相等的正五角星，小組同學(xué)想嘗試探究正五角星和正五邊形之間的聯(lián)系．問題解決任務(wù)1如圖1，求證：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．任務(wù)2如圖2，求五角星ABCDE的面積．任務(wù)3如圖3，求：①AD的長；②正五角星與正五邊形的面積之比．24．如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，0）．（1）求拋物線的解析式．（2）如圖2，y軸上存在一點(diǎn)D，使⊙D經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．（3）如圖3，連結(jié)BC，點(diǎn)P（不與A，B，C三點(diǎn)重合）為拋物線上一動點(diǎn)，連結(jié)BP，CP，在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，△BPC中是否存在一個內(nèi)角，使其等于∠ABC，若存在，求出此時點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分，請選出一個符合題意的正確選項(xiàng)填涂在答題卷內(nèi)，不選、多選、錯選均不給分）.1．下列所描述的事件中，是必然事件的是（）A．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上 B．任意買一張電影票，座位號是7的倍數(shù) C．從一個只有紅球的盒子里摸出一個球是紅球 D．太陽從西邊升起【分析】根據(jù)隨機(jī)事件和必然事件的概念進(jìn)行解題即可．解：A、投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上是隨機(jī)隨機(jī)，不符合題意；B、任意買一張電影票，座位號是7的倍數(shù)是隨機(jī)隨機(jī)，不符合題意；C、從一個只有紅球的盒子里摸出一個球是紅球是必然事件，符合題意；D、太陽從東邊升起，西邊落下，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查隨機(jī)事件和倍數(shù)，熟練掌握相關(guān)的知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．下列各組線段中，成比例線段的一組是（）A．1，2，3，4 B．2，3，4，6 C．1，3，5，7 D．2，4，6，8【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．對選項(xiàng)一一分析，排除錯誤答案．解：A、1×4≠2×3，故本選項(xiàng)錯誤；B、2×6＝3×4，故本選項(xiàng)正確；C、1×7≠3×5，故本選項(xiàng)錯誤；D、2×8≠4×6，故本選項(xiàng)錯誤．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了比例線段，熟記成比例線段的定義是解題的關(guān)鍵．注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．3．二次函數(shù)y＝2（x+1）2﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）【分析】由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)式可求得答案．解：∵二次函數(shù)y＝2（x+1）2﹣2∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y＝a（x﹣h）2+k中，對稱軸為x＝h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）．4．如圖，△OAB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到△OCD，若∠BOC＝15°，∠AOD＝95°，當(dāng)點(diǎn)C恰好在AB上時，則∠BCD的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．45° D．55°【分析】由旋轉(zhuǎn)得∠AOB＝∠COD，可推導(dǎo)出2∠AOB＝∠AOB+∠COD＝∠AOD+∠BOC，而∠BOC＝15°，∠AOD＝95°，即可求得∠AOB＝55°，然后可以求出∠AOC，接著利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解．解：∵△OAB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到△OCD，∴∠AOB＝∠COD，OA＝OC，∠OCD＝∠A，∵∠BOC＝15°，∠AOD＝95°，∴2∠AOB＝∠AOB+∠COD＝∠AOB+∠BOD+∠BOC＝∠AOD+∠BOC＝95°+15°＝110°，∴∠AOB＝55°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝40°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝（180°﹣∠AOC）＝70°，∴∠OCD＝70°，∴∠BCD＝180°﹣∠ACO﹣∠OCD＝40°．故選：B．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由∠AOB＝∠COD推導(dǎo)出2∠AOB＝∠AOB+∠COD＝∠AOD+∠BOC是解題的關(guān)鍵．5．兩個相似三角形的周長之比是，則它們的面積之比為（）A．1：3 B．3：1 C． D．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方求解即可．解：∵兩個相似三角形的周長之比為1：，∴兩個相似三角形的相似比為1：，∵相似三角形面積的比等于相似比的平方，∴它們相應(yīng)的面積之比是1：3．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查對相似三角形性質(zhì)的理解．（1）相似三角形周長的比等于相似比；（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方．6．下列四個命題中，真命題的是（）A．三點(diǎn)確定一個圓 B．相等的圓心角所對的弦相等 C．圓心角是圓周角的2倍 D．90°的圓周角所對的弦是直徑【分析】由圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，確定圓的條件，即可判斷．解：A、不共線的三點(diǎn)確定一個圓，故A不符合題意；B、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，故B不符合題意；C、同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，故C不符合題意；D、90°的圓周角所對的弦是直徑，正確，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，確定圓的條件，命題與定理，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，若AB＝8，OE＝3，則CE的長是（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】連接OA，根據(jù)垂徑定理求出AE，再根據(jù)勾股定理求出OA，最后根據(jù)線段的和差求解即可．解：如圖，連接OA，∵線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，∴AE＝AB，∵AB＝8，∴AE＝4，∵OE＝3，∴OA＝＝5，∴OC＝OA＝5，∴CE＝OC+OE＝8，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)垂徑定理求出AE的長是解此題的關(guān)鍵．8．已知線段AB＝1，E，F(xiàn)分別為其上的兩個黃金分割點(diǎn)，則EF的長是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)黃金比為分別求出AF、BE，結(jié)合圖形計算，得到答案．解：∵E、F是線段AB的兩個黃金分割點(diǎn)，AB＝1，∴AF＝BE＝AB＝，∴EF＝AF+BE﹣AB＝﹣2，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是黃金分割，掌握黃金比為是解題的關(guān)鍵．9．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝﹣1，下列結(jié)論錯誤的是（）A．b2＞4ac B．a(chǎn)+b+c＞0 C．a(chǎn)﹣b+c＜0 D．a(chǎn)bc＞0【分析】由拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)可判斷可判斷A選項(xiàng)，由圖象可得x＝1時y＞0，可判斷B選項(xiàng)．由圖象可得x＝﹣1時y＜0可判斷C選項(xiàng)．由拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與y軸交點(diǎn)位置可判斷選項(xiàng)D．解：∵拋物線與x軸有2個交點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，選項(xiàng)A正確．∵x＝1時，y＞0，∴a+b+c＞0，選項(xiàng)B正確．由圖象可得x＝﹣1時y＜0，∴a﹣b+c＜0，選項(xiàng)C正確．∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸下方，∴c＜0，∴abc＞0，選項(xiàng)D錯誤．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．10．如圖，點(diǎn)P為正方形ABCD的外接圓O的上一點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，PC，則的值為（）A．1 B． C． D．2【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后延長PA到E，使AE＝PC，連接BE，易證得△ABE≌△CBP，繼而可證得△BEP是等腰直角三角形，則可求得答案．解：延長PA到E，使AE＝PC，連接BE，∵∠BAE+∠BAP＝180°，∠BAP+∠PCB＝180°，∴∠BAE＝∠PCB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，在△ABE和△CBP中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，∴∠ABE+∠ABP＝∠ABP+∠CBP＝90°，∴△BEP是等腰直角三角形，∴PA+PC＝PE＝PB．即：＝，故選：B．【點(diǎn)評】此題考查了圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．二、填空題（本大題共有6小題，每小題4分，共24分）11．若，則＝．【分析】利用設(shè)k法進(jìn)行計算即可解答．解：∵，∴設(shè)b＝2k，a＝3k，∴＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握設(shè)k法是解題的關(guān)鍵．12．在不透明的口袋中裝有5個紅球，2個黃球，1個白球，它們除顏色外其余均相同，若從中隨機(jī)摸一個球，是黃球的概率為．【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．解：∵袋子中共有5+2+1＝8（個），其中黃球有2個，∴從中隨機(jī)摸一個球，是黃球的概率為＝．故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查了概率公式的應(yīng)用．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．13．如圖，BC∥DE，且，DE＝4，則BC＝2．【分析】根據(jù)BC∥DE，可以得到△ADE∽△ABC，從而可以得到，再根據(jù)，DE＝4，即可求得BC的值．解：∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴，∵，DE＝4，∴＝，解得BC＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．14．已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+1，當(dāng)﹣1＜x＜4時，y的取值范圍是﹣3≤y＜6．【分析】將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)拋物線開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)求解．解：∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3），將x＝﹣1代入y＝x2﹣4x+1得y＝1+4+1＝6，∴當(dāng)﹣1＜x＜4時，y的取值范圍是﹣3≤y＜6，故答案為：﹣3≤y＜6．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．掌握二次函數(shù)與不等式的關(guān)系．15．如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半徑OA＝3．將扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在弧AB上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則陰影部分的面積為π﹣3（結(jié)果保留π）．【分析】連接OD交BC于點(diǎn)E，由翻折的性質(zhì)可知：OE＝DE＝3，在Rt△OBE中，根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可知∠OBC＝30°，然后在Rt△COB中，可求得CO，從而可求得△COB的面積，最后根據(jù)陰影部分的面積＝扇形面積﹣2倍的△COB的面積求解即可．解：連接OD交BC于點(diǎn)E．扇形的面積＝π×32＝π，∵點(diǎn)O與點(diǎn)D關(guān)于BC對稱，∴OE＝DE＝，OD⊥BC．在Rt△OBE中，sin∠OBE＝，∴∠OBC＝30°．在Rt△COB中，＝tan30°，∴＝．∴CO＝．∴△COB的面積＝×3×＝．陰影部分的面積＝扇形面積﹣2倍的△COB的面積＝π﹣3．故答案為：π﹣3．【點(diǎn)評】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)，扇形面積的計算以及特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用，根據(jù)翻折的性質(zhì)求得OE的長，然后再求得∠OBC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在AB，AC上，若，則點(diǎn)D到AB的距離是，△AEF的周長是．【分析】連接AD，過點(diǎn)D作DG⊥AB交于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DM⊥EF交于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥AC交于點(diǎn)N分別求出BD、AD，利用三角形的面積公式求出DG的長即可點(diǎn)D到AB的距離；根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形全等”證△BED～△CDF，則得，∠BDE＝∠CFD，再根據(jù)“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似“證△EBD～△EDF，可得∠BED＝∠DEF，∠BDE＝∠DFE，進(jìn)而可證△EGD≌△EMD，推出EG＝EM，再進(jìn)一步推出AG＝AN，BG＝CN，EF＝BE+CF﹣2BG，最后證△DGB～△ADB，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出BG的長即可．解：連接AD，過點(diǎn)D作DG⊥AB交于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DM⊥EF交于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥AC交于點(diǎn)N，如圖所示：∵AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝BC＝1，AD⊥BC，∠ADB＝∠ACD＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，在Rt△ABD中，由勾股定理得AD，∵，∴DG＝，又∵∠EDF＝90°﹣∠A，∴∠ABD＝∠ACD＝∠EDF，∵∠EDC＝∠ABC+∠BED，∴∠BED＝∠FDC，∵∠BED＝∠FDC，∠EBD＝∠DCF，∴△BED～△CDF，∴，∠BDE＝∠CFD，∵D為BC的中點(diǎn)，∴，∴，又∵∠EBD＝∠EDF，∴△EBD～△EDF，∴∠BED＝∠DEF，∠BDE＝∠DFE，∵∠EGD＝∠EMD＝90°，∠BED＝∠DEF，DE＝DE，∴△EGD≌△EMD，∴EG＝EM，同理可得：FN＝FM，∵AB＝AC，∴ABC是等腰三角形，∵D為BC的中點(diǎn)，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD＝AD，∴△AGD≌△AND，∴AG＝AN，又∵AB＝AC，∴BG＝CN，∴EF＝EM+FM＝EG+FN＝BE﹣BG+CF﹣CN＝BE+CF﹣2BG，∵∠B＝∠B，∠BGD＝∠ADB＝90°，∴△DGB～△ADB，∴，即，∴BG＝，∴EF＝BE+CF﹣，∴△AEF的周長＝AE+AF+BE+CF﹣＝AB+AC﹣＝3+3﹣＝．故答案為：；．【點(diǎn)評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，添加輔助線，靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)推理是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共有8小題，共66分）17．已知二次函數(shù)y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（1，4）．（1）求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．（2）求a的值．【分析】（1）令y＝a（x+1）（x﹣3）＝0，即可求解；（2）用待定系數(shù)法即可求解．解：（1）令y＝a（x+1）（x﹣3）＝0，解得：x＝3或﹣1，故函數(shù)和x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣1，0）、（3，0）；（2）將（1，4）代入拋物線表達(dá)式得：4＝a（1+1）（1﹣3），解得：a＝﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)和x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在4×4的方格紙中，線段AB的兩個端點(diǎn)都在1×1小方格的格點(diǎn)上，分別按下列要求畫圖．（1）將線段AB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段A1B1．（2）以點(diǎn)O為位似中心，畫出線段A2B2，使線段A1B1與A2B2是位似圖形，且位似比為1：2．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，的對應(yīng)點(diǎn)A1，B1即可；（2）根據(jù)位似變換的性質(zhì)分別作出A1，B1的對應(yīng)點(diǎn)A2，B2即可．解：（1）如圖，線段A1B1即為所求；（2）如圖，線段A2B2即為所求．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣位似變換，旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．19．為備戰(zhàn)區(qū)足球比賽，某校足球小將在距離門框15米處進(jìn)行大量射門練習(xí)后，得到數(shù)據(jù)如下表：射門次數(shù)n（次）10501002005008001000射中次數(shù)m（次）73775142365576720射中頻率0.700.740.750.710.730.720.72（1）請你根據(jù)上表，估計該足球小將射中球門的概率為0.72（精確到0.01）．（2）已知該足球小將1000次射門中包括左右腳射門、頭球射門3個技術(shù)動作練習(xí)，若左腳、右腳、頭球射門次數(shù)比為3：5：2，且左腳射中次數(shù)為240次，求左腳射中概率．【分析】（1）根據(jù)圖表可知，該足球小將射中球門的概率為0.72；（2）用240除以射擊1000次左腳射門次數(shù)即可求得概率．解：（1）據(jù)上表，估計該足球小將射中球門的概率為0.72；故答案為：0.72；（2）240÷（1000×）＝0.8．答：左腳射中概率為0.8．【點(diǎn)評】本題考查利用頻數(shù)估計概率，解題的關(guān)鍵在于學(xué)會估算概率，熟記概率公式．20．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC上，∠AEB＝∠EDB．（1）求證：△BDE∽△BEA．（2）若∠C＝∠BEC，BD＝1，AD＝2，求BC的長度．【分析】（1）∠ABE是公共角，可直接得出結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得BE2＝BD?BA，由此可得出BE的長度，再由等角對等邊可得結(jié)論．解：（1）∵∠ABE＝∠EBD，∠AEB＝∠EDB，∴△BDE∽△BEA；（2）∵△BDE∽△BEA，∴BD：BE＝BE：AB，即BE2＝BD?BA，∵BD＝1，AD＝2，∴AB＝3，∴BE2＝1×3，∴BE＝，∵∠C＝∠BEC，∴BC＝BE＝．【點(diǎn)評】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)等內(nèi)容，得出△BDE∽△BEA是解題關(guān)鍵．21．為落實(shí)國家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長12m）和21m長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實(shí)踐基地．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了兩種方案（除圍墻外，實(shí)線部分為籬笆墻，且不浪費(fèi)籬笆墻），請根據(jù)設(shè)計方案回答下列問題：（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度AE＝1m的水池，且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG、DG的長；（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應(yīng)設(shè)計為多長？此時最大面積為多少？【分析】（1）設(shè)水池的長為am，根據(jù)Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形面積減水池面積等于種植面積列方程求解即可得出結(jié)論；（2）設(shè)BC長為xm，則CD長度為21﹣3x，得出面積關(guān)于x的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形的面積為12×3＝36（m2），設(shè)水池的長為am，則水池的面積為a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的長為8m、DG的長為4m；（2）設(shè)BC長為xm，則CD長度為（21﹣3x）m，∴總種植面積為（21﹣3x）?x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，∵﹣3＜0，∴當(dāng)x＝時，總種植面積有最大值為m2，此時CD＝21﹣3×＝＜12，符合題意，即BC應(yīng)設(shè)計為m總種植面積最大，此時最大面積為m2．【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值是解題的關(guān)鍵．22．如圖，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，直徑BD與弦AC交于點(diǎn)E．若∠BAC＝2∠ABE．（1）求證：AB＝AC．（2）當(dāng)AE＝4，CE＝6時，求：①的值；②CD的長．【分析】（1）連接OC，如圖，由于∠BAO＝∠ABE，則∠BAC＝2∠BAO，所以∠BAO＝∠CAO，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到∠AOB＝∠AOC，然后根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到結(jié)論；（2）①證明OA∥CD，然后利用平行線分線段成比例定理得到＝＝；②過O點(diǎn)作OH⊥AC于H點(diǎn)，如圖，設(shè)⊙O的半徑為5x，則OA＝OD＝5x，OE＝2x，利用垂徑定理得到AH＝CH＝5，所以EH＝1，利用雙勾股得到4x2﹣1＝25x2﹣25，解方程求出x得到OA＝，然后利用平行線分線段成比例定理得到＝，從而根據(jù)比例的性質(zhì)可求出CD的長．【解答】（1）證明：連接OC，如圖，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABE，∵∠BAC＝2∠ABE，∴∠BAC＝2∠BAO，∴∠BAO＝∠CAO，∴∠AOB＝∠AOC，∴＝，∴AB＝AC；（2）解：①∵∠ACD＝∠ABD，∠ABD＝∠CAO，∴∠CAO＝∠ACD，∴OA∥CD，∴＝＝＝；②過O點(diǎn)作OH⊥AC于H點(diǎn)，如圖，設(shè)⊙O的半徑為5x，則OA＝OD＝5x，∵OE：DE＝2：3，∴OE＝2x，∴AH＝CH＝AC＝5，∴EH＝AH﹣AE＝5﹣4＝1，在Rt△OEH中，OH2＝OE2﹣EH2＝（2x）2﹣12＝4x2﹣1，在Rt△OEH中，OH2＝OA2﹣AH2＝（5x）2﹣52＝25x2﹣25，∴4x2﹣1＝25x2﹣25，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），∴OA＝5x＝，∵OA∥CD，∴＝，即＝，∴CD＝．【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了垂徑定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．23．探究解決以下問題：探究1如圖1，該興趣小組在紙上畫了一個圓，隨機(jī)在圓上取5個點(diǎn)A，B，C，D，E，連結(jié)得到一個五角星，小組同學(xué)經(jīng)過討論，提出猜想：認(rèn)為五角星的五個角之和為180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．探究2如圖2，興趣小組繼續(xù)探討，在邊長為4的正六邊形中取五個頂點(diǎn)A，B，C，D，E，連結(jié)得到一個五角星，發(fā)現(xiàn)這個五角星的形狀大小是唯一確定的，因此可求出這個五角星的面積．探究3如圖3，興趣小組深入探討，連結(jié)邊長為4的正五邊形的頂點(diǎn)A，B，C，D，E，得到一個5個角都相等的正五角星，小組同學(xué)想嘗試探究正五角星和正五邊形之間的聯(lián)系．問題解決任務(wù)1如圖1，求證：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．任務(wù)2如圖2，求五角星ABCDE的面積．任務(wù)3如圖3，求：①AD的長；②正五角星與正五邊形的面積之比．【分析】任務(wù)1：設(shè)AC與BE、CE分別相交于點(diǎn)G、F，由∠A+∠D＝∠BFG，∠C+∠E＝∠BGF，得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠BFG+∠BGF+∠B＝180°；任務(wù)2：作正六邊形ABCDEF的外接圓⊙O，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，由∠DOE+∠EOF+∠FOA＝180°，∠EOF+∠FOA+∠AOB＝180°證明對角線AD、BD都經(jīng)過圓心O，設(shè)EC分別交AD、BD于點(diǎn)K、L，AC分別交BE、BD于點(diǎn)G、I，可證明四邊形OCDE是菱形，則OD⊥CE，OK＝DK＝OD＝2，則AK＝4+2＝6，CK＝EK＝＝2，求得S△ACK＝6，S△EOK＝2，由DK＝＝LK＝2，求得LK＝，則S△BGI＝S△DKL＝，即可由S五角星ABCDE＝S△ACK+S△EOK+S△DKL+S△BGI求得S五角星ABCDE＝；任務(wù)3：①作正五邊形ABCDE的外接圓⊙O，則＝＝＝＝，可求得∠AED＝108°，則∠EAD＝∠EDA＝36°，所以∠AEB＝∠BEC＝∠FED＝∠FDE＝36°，可證明∠AEF＝∠AFE＝72°，則AE＝AF＝DE＝4，再證明△DEF∽△DAE，得＝，于是得AF2＝AD?（AD﹣AF），求得AF＝AD＝4，則AD＝2+2；②設(shè)S△DEF＝n，由＝＝，得＝＝，所以S△AEF＝n，求得S△AED＝n，再證明S△AFC＝S△ABC＝S△EDC＝S△AED＝n，則S正五邊形ABCDE＝S△AFC+S△ABC+S△EDC+S△AEF＝（2+5）n，S正五角星ABCDE＝S正五邊形ABCDE﹣5S△DEF＝2n，即可求得正五角星與正五邊形的面積之比是2﹣4．【解答】任務(wù)1：證明：如圖1，設(shè)AC與BE、CE分別相交于點(diǎn)G、F，∵∠A+∠D＝∠BFG，∠C+∠E＝∠BGF，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠BFG+∠BGF+∠B，∵∠BFG+∠BGF+∠B＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．任務(wù)2：解：如圖2，作正六邊形ABCDEF的外接圓⊙O，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，∴∠DOE+∠EOF+∠FOA＝180°，∠EOF+∠FOA+∠AOB＝180°，∴對角線AD、BD都經(jīng)過圓心O，設(shè)EC分別交AD、BD于點(diǎn)K、L，AC分別交BE、BD于點(diǎn)G、I，∵△DOE、△DOC都是等邊三角，∴OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝DE＝DC＝4，∴四邊形OCDE是菱形，∴OD⊥CE，OK＝DK＝OD＝2，∴∠AKC＝∠OKE＝90°，AK＝4+2＝6，∴CK＝EK＝＝2，∴S△ACK＝×6×2＝6，S△EOK＝×2×2＝2，∵∠LKD＝90°，∠LDK＝∠AOB＝30°，∴LD＝2LK，∴DK＝＝＝LK＝2，∴LK＝，∴S△DKL＝×2×＝，同理求得S△BGI＝，∴S五角星ABCDE＝S△ACK+S△EOK+S△DKL+S△BGI＝6+2++＝，∴五角星ABCDE的面積為．任務(wù)3：解：①如圖3，作正五邊形ABCDE的外接圓⊙O，∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∴＝＝＝＝，∵∠AED＝×（5﹣2）×180°＝108°，∴∠EAD＝∠EDA＝×（180°﹣108°）＝36°，∴∠AEB＝∠BEC＝∠FED＝∠FDE＝36°，∴DF＝EF，∠AEF＝∠AEB+∠BEC＝72°，∠AFE＝∠FED+∠FDE＝72°，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF＝DE＝4，∵∠FDE＝EDA，∠FED＝∠EAD，∴△DEF∽△DAE，∴＝，∴DE2＝AD?DF，∴AF2＝AD?（AD﹣AF），∴AF＝AD或AF＝AD（不符合題意，舍去），∴AD＝4，∴AD＝2+2，∴AD的長是2+2．∴②設(shè)S△DEF＝n，∵＝＝，∴＝＝，∴S△AEF＝S△DEF＝n，∴S△AED＝n+n＝n，∵AF＝AB，∠CAF＝∠CAB＝∠EAD＝36°，AC＝AC，∴△AFC≌△ABC（SAS），∵AB＝ED，∠ABC＝∠EDC，BC＝DC，∴△ABC≌△EDC，同理△ABC≌△AED，∴S△AFC＝S△ABC＝S△EDC＝S△AED＝n，∴S正五邊形ABCDE＝S△AFC+S△ABC+S△EDC+S△AEF＝3×n+n＝（2+5）n，∴S正五角星ABCDE＝S正五邊形ABCDE﹣5S△DEF＝（2+5）n﹣5n＝2n，∴＝＝2﹣4，∴正五角星與正五邊形的面積之比是2﹣4．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查正多邊形與圓、圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理及其推論、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．24．如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，0）．（1）求拋物線的解析式．（2）如圖2，y軸上存在一點(diǎn)D，使⊙D經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求