2023年微積分在經濟中的應用

《高等數(shù)學》知識在經濟學中的應用舉例

復利與站痛問敢..........................................................................................2

復利公式.......................................................2

實利率與虛利率...............................................3

數(shù)e的經濟解釋...............................................3

貼現(xiàn)問題.......................................................4

增長率.........................................................4

彼就盍用軍的...............................................................................................5

銀行通過存款和放款“創(chuàng)造”貨幣問題........................5

投資費用.......................................................6

屋商問毀........................................................8

（一）成批到貨，不允許短缺的庫存模型...................8

（二）陸續(xù)到貨，不允許短缺的模型......................11

（三）成批到貨，允許短缺的模型.........................13

由于現(xiàn)代化生產發(fā)展的需要，經濟學中定量分析有了長足的進步，數(shù)學的一些分支如數(shù)

學分析、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計、微分方程等等已進入經濟學，出現(xiàn)了數(shù)理統(tǒng)計學、經濟計量

學、經濟控制論等新分支，這些新分支通常成為數(shù)量經濟學。數(shù)量經濟學的目的在于探索客

觀經濟過程的數(shù)量規(guī)律，以便用來知道客觀經濟實踐。應用數(shù)量經濟學研究客觀經濟現(xiàn)象的

關鍵就是要把所考察的對象描述成能夠用數(shù)學方法來解答的數(shù)學經濟模型。這里我們簡單介

紹一下一元微積分與多元微積分在經濟中的一些簡單應用。

復利易貼現(xiàn)冏題

復利公式

貨幣所有者(債權人)因貸出貨幣而從借款人(債務人)手中所得之報酬稱為利息。利

息以“期”，即單位時間(一般以一年或一月為期)進行結算。在這一期內利息總額與貸款

額(又稱本金)之比，成為利息率，簡稱利率，通常利率用百分數(shù)表示。

如果在貸款的全部期限內，煤氣結算利息，都只用初始本金按規(guī)定利率計算，這種計

息方法叫單利。在結算利息時，如果將前一期之利息于前一期之末并入前一期原有本金，并

以此和為下一期計算利息的新本金，這就是所謂的復利。通俗說法就是“利滾利”。

下面推出按福利計息方法的復利公式。

現(xiàn)有本金Ao,年利率r=p%,若以復利計息，t年末Ao將增值到A「試計算A.

若以年為一期計算利息：

一年末的本利和為A(=Ao(1+r)

二年末的本利和為A2=Ao(1+r)+Ao(1+r)r=Ao(1+r)■

類推，t年末的本利和為At=Ao(1+r)1(1)

若把一年均分成m期計算利息，這時，每期利率可以認為是二，容易推得

m

4=4(1+二)""(2)

m

公式(1)和(2)是按離散情況一一計息的“期”是確定的時間間隔，因而計息次數(shù)

有限一一推得的計算A.的復利公式。

若計息的“期”的時間間隔無限縮短，從而計息次數(shù)加一>8,這時，由于

m

Urn4(1+—)m,=A)+—yr=

>?c利用T8m

所以，若以連續(xù)復利計算利息，其復利公式是

A=AZ

例1Ao=lOO元，r=8%,t=l,則

一年計息1期4=100x（1+0.08）=108（76）

一年計息2期4=100x（1+等）2=108.16（元）

一年計息4期4=100x（1+竽y=108.243（元）

一年計息12期A=100x（1+臂嚴=108.300（元）

一年計息100期A=100x（1+翳）=108.325（元）

連續(xù)復利計息A=lOOe008=108.329（元）

實利率與虛利率

由例1知，年利率相同，而一年計息期數(shù)不同時，一年所得之利息也不同。當年利率

為8%,一年計息1期，確實按8%計算利息；一年計息2期，實際上所得利息是按&16%

計算的結果；一年計息4期，實際上所得利息是按8.243%計算；一年計息12期，實際上是

按8.3%計算;一年計息100次,實際所得利息是按8.325計算利息。

這樣，對于年期以下的復利，我們稱年利率8%為虛利率或名義利率，而實際計算利息

之利率稱為實利率。如8.16%為一年復利2期的實利率，8.3%為一年復利12期的實利率,

8.329%為一年連續(xù)復利的實利率。

記r為名義年利率，小為一年計息m期的實利率，本金Ao,按名義利率一年計息m期，

一年末將增值到Ao（1+二）按實利率計息，一年末將增值到Ao（l+rm）o于是，有

m

l+rm=（1+C）m,即%=（1+±）"'-1是離散情況下實利率與虛利率之間的關系式。

mm

若記5為連續(xù)復利的實利率，由于

Hm（l+—）m=er

goom

所以，實利率與虛利率之間的關系為5=〃

數(shù)e的經濟解釋

設年利率為100%,連續(xù)復利計息，一元本金到年末的本利和為

+=e（元）

m

這就是說，按名義利率100%,連續(xù)復利計息，一元本金年末將增長到e元。這可作為

數(shù)e的經濟解釋。

由于ea2.71828,所以，這是的實利率大約為172%。

貼現(xiàn)問題

我們已經知道，初時本金Ao,年利率r,t年末的本利和A.,以年為期的復利公式是

4=4(1+，)'，一年均分為m期的復利公式是A,=4)(i+-)ra,-連續(xù)復利公式是

m

At—,,

若稱Ao為現(xiàn)在之，A，為未來值，一只現(xiàn)在值求未來值是復利問題，與此相反，若已知

未來值A,求現(xiàn)在值Ao，則稱貼現(xiàn)問題，這時利率r稱為貼現(xiàn)率。

由復利公式，容易推得：

離散的貼現(xiàn)公式為4=4(1+，)-'

4=4(1+口-制

m

連續(xù)的貼現(xiàn)公式為&=A,e-r'

例2設年利率為6.5%,按連續(xù)復利計算，現(xiàn)投資多少元，16年之末可得1200元。

這里，貼現(xiàn)率r=6.5%,未來值At=1200,t=16。所以，現(xiàn)在值

4=A,e-nulZOO-e-oM'e=里=JZ22_=424.15(元)

“'屋042.8292

增長率

設變量y是時間t的函數(shù)y=f(t),則比值

/?+加)二/?⑺

f⑴

為函數(shù)f(t)在時間區(qū)間￡，+△/］上的相對改變量；如果f(t)可微，則定義極限

11m/(，+△，)-?)=皿

goZ-f(t)f(t)

為函數(shù)f(t)在時間點t的瞬時增長率。

對指數(shù)函數(shù)y=而言，由于電@=4可=-，因此，該函數(shù)在任何時間點t

上都以常數(shù)比率r增長。

這樣，關系式a=4*（*）

就不僅可作為復利公式，在經濟學中還有廣泛的應用。如企業(yè)的資金、投資、國民收入、人

口、勞動力等這些變量都是時間t的函數(shù)，若這些變量在一個較長的時間內以常數(shù)比率增長，

都可以用（*）式來描述。因此，指數(shù)函數(shù)中的“r”在經濟學中就一般的解釋為在任

意時刻點t的增長率。

如果當函數(shù)中的r取負值時，也認為是瞬時增長率，這是負增長，這時也稱r為

衰減率。貼現(xiàn)問題就是負增長。

例3某國現(xiàn)有勞動力兩千萬，預計在今后的50年內勞動力每年增長2%,問按預計在

2056年將有多少勞動力。

由于未來值Ao=2000,r=0.02,t=50,所以，50年后將有勞動力

=2000e°02x5°=2000x2.71828=5436.56（萬）

例4某機械設備折舊率為每年5%,問連續(xù)折舊多少年，其價值是原價值的一半。

若原價值為Ao,經t年后，價值為這里r=-0.05o由若取

ln2=0.693L易算出t=13.86（年），即大約經過13.86年，機械設備的價值是原價值的一

半。

恐敏感用奉的

銀行通過存款和放款“創(chuàng)造”貨幣問題

商業(yè)銀行吸收存款后，必須按照法定的比率保留規(guī)定數(shù)額的法定準備金，其余部分才

能用作放款。得到一筆貸款的企業(yè)把它作為活期存款，存入另一家銀行，這銀行也按比率保

留法定準備金，其余部分作為放款。如此繼續(xù)下去，這就是銀行通過存款和放款“創(chuàng)造”貨

幣。

設R表示最初存款，D表示存款總額（即最初存款“創(chuàng)造”的貨幣總額），r表示法定

準備金占存款的比例，r<lo當n趨于無窮大時，則有

￡>=/?+/?（l-r）+/?（l-r）2+…+R（1—r）”+???

若記K,￡

它稱為貨幣創(chuàng)造乘數(shù)。顯然，若最初存款是既定的，法定準備率r越低，銀行存款和放款的

總額越大。

這是一個等比級數(shù)問題。

例如設最初存款為1000萬元，法定準備率20%,求銀行存款總額和貸款總額。

這里，R=1000,r=0.2,存款總額Di由級數(shù)

1000+1000(1-0.2)+1000(1-0.2)2+…

決定，其和

1000_1000

=5000（萬元）

1-（1-0.2）0.2

貸款總額D2由級數(shù)

1000(1-0.2)+1000(1-0.2)2+-

決定，顯然

D2-4000（萬元）

投資費用

這里，投資費用是指每隔一定時期重復一次的一系列服務或購進設備所需費用的現(xiàn)在

值。將各次費用化為現(xiàn)值，用以比較間隔時間不同的服務項目或具有不同使用壽命的設備。

設初期投資為p,年利率為r,t年重復一次投資。這樣，第一次更新費用的現(xiàn)值為pe-n,

第二次更新費用的現(xiàn)值為以此類推。如此，投資費用D為下列等比級數(shù)之和：

D—p+pe"+pe+…+pe""+",?

于是

D=_L^=J^L

l-e"1en-1

例如，建造一座鋼橋的費用為380000元，每隔10年需耍油漆一次，每次費用為40000

元，橋的期望壽命為40年；建造一座木橋的費用為200000元，每隔2年需油漆一次，每次

費用為20000元，其期望壽命為15年，若年利率為10%,問建造哪一種橋較為經濟？

鋼橋費用包括兩部分：建橋的系列費用和油漆的系列費用。

對建鋼橋，p=380000,r=0.1,t=40,因廠?1=(0.1)40=4,則建橋費用

I4

c-4-2-41Pe

R=P+pe+M+???=P;~=

1-ee-I

查表知1=54.598,于是

380000-54.598

2=387090.8

~54.598-1-

同樣，油漆鋼橋費用

c40000-Z"040000-2.7183。

，=---^777；-----=--------------=63278.8

e°"°-12.7183-1

故建鋼橋總費用的現(xiàn)值

D=Dt+D2=450369.6（元）

類似的，建木橋費用

_200000?e01,52000004482一為知

4一*115j

e—14.482-1

油漆木橋費用

c20000-e01-22000012214=]33.8

1.2214-1

故建木橋總費用的現(xiàn)值

D5=3+2=367683.8（元）

由計算知，建木橋有利。

現(xiàn)假設價格每年以百分率i漲價，年利率為r,若某種服務或項目的現(xiàn)在費用為po時,

則t年后的費用為A=〃0-'

其現(xiàn)值為p,=4""=。這表明，在通貨膨脹情況下，計算總費用D的等比級數(shù)

是

D=p++pe&f+.++-

1_pe-a

例如，在上述建橋問題中，若每年物價上漲7%,試重新考慮建木橋還是建鋼橋經濟？

這里，r=0.1,i=0.07,r-i=0.03,

此時，對鋼橋，建橋費用和油漆費用分別為

D,=543780,2=154320

建鋼橋總費用的現(xiàn)在值

D=D,+D2=698100（元）

對木橋，建橋費用和油漆費用分別為

2=551926,2=343624

建鋼橋總費用的現(xiàn)在值

D=D3+D4=895550（元）

根據以上計算，在每年通貨膨脹7%的情況下，建鋼橋經濟.

康壽問題

庫存或存貯在生產系統(tǒng)，商業(yè)系統(tǒng)，乃至各個系統(tǒng)中都是一個重要的問題。需求可由

庫存的輸出來供應和滿足，庫存也要由輸入來維持和補充，庫存起到調節(jié)供應與需求，生產

與銷售之間不協(xié)調的作用。

我們的問題是庫存數(shù)量為多少時最適宜?？刂拼尕洈?shù)量的目的是把存貨總費用降低到

最小.這里，假設存貨總費用包括如下三個方面的費用：

1.生產準備費或訂購費：工廠生產產品成批投產，每次投產要支付生產準備費：商店

向外訂貨，每次訂貨都要支付訂購費。假設每次投產的準備費或每次的訂購費與投產或訂貨

數(shù)量無關。

2.貨物的庫存費用：貨物存放倉庫的保管費。假設在某一時間內單位產品的庫存費不

變。

3.缺貨損失費：因不能及時滿足需求而帶來的損失。

另外，還假設需求是連續(xù)的，均勻的，即單位時間內的需求是常數(shù)，因而在一個計劃

期內需求的總量是己知的，簡言之，需求是一致的，這是確定性庫存模型。

我們討論下列模型：

1）成批到貨，不允許短缺的庫存模型

2）陸續(xù)到貨，不允許短缺的庫存模型

3）成批到貨，允許短缺的庫存模型

（一）成批到貨，不允許短缺的庫存模型

所謂成批到貨，不允許短缺，就是每批產品或每次訂購的貨物整批存入倉庫，由倉庫

均勻提?。ㄒ蛐枨笫且恢碌模┩斗攀袌?，當前一批庫存提取完后，下一批貨物立即補足。在

這種理想情況下，庫存水平變動情況如圖1所示：庫存量由最高水平逐漸（或線性）的減少

到0,此時，庫存水平又立即達到最高水平，再循環(huán)前過程。這樣，在一個計劃期內，平

均庫存量可以認為是最高庫存量的一半。圖中的t表示一個存貯循環(huán)延續(xù)時間。

GQ(庫存水平)

一.最高度荏水平

一一壬均度存水平

T(時間)

圖1

由于在一個計劃期內需求量是固定的，在這計劃期內，如果每批投產或每次訂購數(shù)量

多，自然庫存量多，自然庫存量多，因而庫存費多；但是，這時因投產或訂購數(shù)少，因此生

產準備費或訂購費少。如果每批投產或每次訂購量少，庫存費減少，但因投產或訂購次數(shù)多，

自然，生產準備費或訂購費增多。在這兩種費用一多一少的矛盾情況下，我們的問題是，如

何確定每批投產或每次訂購的數(shù)量，即選擇最有批量以使這兩項費用之和為最小。

假設

D：一個計劃期內的需求數(shù)量，即生產或訂貨的總量；

Cl：一個計劃期內每件產品所付庫存費；

c2：每批生產準備費或每次訂購費；

Q：每批投產或每次訂貨的數(shù)量，即批量：

E：一個計劃期內存貨總費用，即生產準備費或訂購費與庫存費之和。

這樣，在一個計劃期內，臼始至終，按圖1之分析，庫存數(shù)量應認為是2，即庫存量

2

恰是批量之半，所以庫存費為？G；生產次數(shù)或訂購次數(shù)，即批數(shù)應為9,因此，生產準

21Q

備費或訂購費為3c2。于是，存貨總費用E與每批數(shù)量Q的函數(shù)關系為

E=E(Q)=?Q+嚕,Qe(O,D]

現(xiàn)存的問題是：決策變量Q,使目標函數(shù)E=E(Q)取極小值。

由極值存在的必要條件:

史（。）=1?字=0

或GQ2=2g。(1)

由上式解得Q*（只取正(2)

由極值的充分條件:

后"（°）=叁￡>0（因oc，Q均為正數(shù)）

所以，當批量Q時，總費用最小，其值:

(3)

這就得到了求最優(yōu)批量及最小總費用的一般表達式（2）和（3）。

表達式（2）在庫存理論中稱為“經濟訂購量”或“經濟批量”公式。簡稱為“EOQ”

公式。

2

注意到（1）式：C,e=2C2D（極值存在的必要條件）可寫作:

（4）式左端正式一個計劃期內的庫存費，而右端則是一個計劃期內的生產準備費或訂購費，

因此，對“一致需求，成批到貨，不許短缺”的庫存模型有如下結論：

使庫存費與生產準備費（或訂購費）相等的批量，是經濟批量。

這樣，對上述庫存問題，我們也可直接由公式（4）來經濟批量。

例1某廠生產攝影機，年產量1000臺，每臺成本80（）元，每一季度每臺攝影機的庫存

費是成本的5%；工廠分批生產，每批生產準備費為5000元；市場對產品一致需求，不許

缺貨，產品整批存入倉庫。試確定經濟批量及一年最小存貨總費用。

解由題設知，D=1000臺，C2=5000元，每年每臺庫存費

Ci=800X5%X4=160（元）

存貨總費用E與每批生產臺數(shù)Q的函數(shù)關系：

r160c1000x5000

Q

由（2）式，經濟批量

/2x1000x50麗

。*==250（臺）

V160

一年最小存貨總費用

由圖2可知，庫存費用曲線與生產準備費用曲線:

L160cL1000x5000

E[=—Q,E2=-------------

交點的橫坐標就是經濟批量，其縱坐標剛好是存貨總費用的一半。

（二）陸續(xù)到貨，不允許短缺的模型

陸續(xù)到貨，就是每批投產或每次訂購的數(shù)量Q,不是整批到貨，立即補足庫存，而是從

庫存為零時起，經過時間h才能全部到貨。

在此，需補充假設

P：每單位時間內的到貨量，即到貨率；

u：每單位時間內的需求量，即需求率。

顯然，若P>u,每單位時間內凈增加存貨為P-u,到時刻L終了庫存出現(xiàn)一個頂點，這

時,庫存量為tl（P-U）。

由于經歷時間ti到貨總量為Q,因此工=?，從而最大庫存量為

.(p_〃)=2(1--^)

這種庫存模型的庫存水平變動情況如圖3所示。

圖3

這樣，在一個計劃期內，平均庫存量應為最大庫存量之半，因而庫存費為竽

本問題中，因為生產準備費或訂購費與“成批到貨，不許短缺”庫存模型一樣，因此,

存貨總費用E與每批數(shù)量Q的函數(shù)關系，即目標函數(shù)是

E=E(Q)=華(1一?+呼，xe(O,D](5)

為決策變量Q，由極值的必要條件和充分條件，容易算得，經濟批量

這時，庫存總費用的最小值

小配電/^⑺

最優(yōu)批量Q*的表達式(6)也可由下式得到：

2PQ

例2同例1,但產品陸續(xù)存入倉庫，每月到貨200臺，試確定經濟批量和最佳費用。

解已知條件是：

0=1000臺，G=160臺，。2=5000元；尸=200臺/月，M=@"臺/月

由(5)(6)(7)可得經濟批量為327.3臺，這時最佳費用為30550元。

（三）成批到貨，允許短缺的模型

前面討論的兩個庫存模型是不允許缺貨。允許缺貨是指，缺貨時未能滿足的需求，在

下一批貨物到貨時要予以滿足，而且缺貨時的需求直接輸出而不經過庫存。其它情況同模型

一。如果缺貨帶來的損失很小，且不會因暫時缺貨而失去銷售機會，缺貨現(xiàn)象是允許存在的。

允許缺貨情況，庫存水平變動情況見圖4。圖中的t是一個存貯循環(huán)延續(xù)時間，從前一

批到貨至庫存量減少為0的時間為t|,從庫存是0至下一批貨物到達的時間為t2o

4Q（庫存水平）

圖4

這里尚需補充假設

B：庫存得到補充之前的允許缺貨量；

C3：在一個計劃期內，缺一件產品的損失費。

需要注意的是每批投產或每次訂購的數(shù)量Q包括了最大的允許缺貨量B。

本庫存模型中，生產準備費與訂購費與前面模型相同：c處

Q

庫存費：因有貨時間口占一個存貯循環(huán)時間的比率為“，所以，在一個機會期內，有

t

貨時間所占比率也為乙。有貨時，最大庫存量為Q-B,從而平均庫存量為三0,由圖4

t2

中相似三角形易知

A.Q-B

t~Q

因此，在一個計劃期內，庫存費為

2

r,C,(g-fi)=C,(g-fi)

t2-2。

缺貨費：在缺貨時間t2占一個存貯循環(huán)時間的比率為A,在一個計劃期內，缺貨總時

t

間所占比例也為豆。最大缺貨量為B,因此，平均缺貨量為0,由圖4的相似三角形得知

t2

匕=上。因此，在一個計劃期內，缺貨量為印?殳=整.

tQ2t2Q

綜上，在一個計劃期內，庫存總費用

CDCSQ-B)2C.B2

￡>----2----1----------------1-------⑻

Q2Q2Q

2

c?DCQ(C,+C)B

或寫作E-------1--------U.OH-----------3-----⑻)

Q22Q

這是該問題的目標函數(shù)。

現(xiàn)在的問題是決策兩個變量Q和B,以使目標函數(shù)取極小值。

根據（8'）式，由二元函數(shù)極值存在的必要條件，有

死_G。?a(G+G>2=O

8Q~2-2Q2

a五R

—=-C,+(C,+C3)—=0

dB113Q

解該方程組，可得Q*=⑼

(10)

可以驗證極值存在的充分條件滿足:

d2E「/NE、2d2Ed?E]八

1（。*儼）>0,

因此，將。=。*,B=B*代入（8）式，可得存貨總費用的最小值:

f

E=^2DCtC(11)

V5十5

比較比）式和（3）式，如果缺一件產品的損失費C3為無窮大，因=

2G

則（9）式就是（3）式，這表明：不允許缺貨可視為缺貨損失為無窮大的情況。此式，又因

lim-C1—=0,由（10）式知，恰有缺貨量B*=0。

CLC；+C3

例3某廠，一年勞動日為300天，生產率（單位時間內的產量）固定，一年可組裝機

床1500臺；若組