2.8圓錐的側(cè)面積（七大題型）（ 原卷版）

（蘇科版）九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第2章對(duì)稱圖形---圓》2.8圓錐的側(cè)面積知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一與圓錐相關(guān)的概念◆1、圓錐：圓錐是一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面圍成的幾何體.圓錐還可以看成由一個(gè)直角三角形繞它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的圖形.◆2、圓錐的母線：我們把連接圓錐的頂點(diǎn)S和底面圓上任一點(diǎn)的連線SA，SB等叫做圓錐的母線．圓錐有無(wú)數(shù)條母線，它們都相等．◆3、圓錐的高：從圓錐的頂點(diǎn)到圓錐底面圓心之間的距離是圓錐的高．◆4、重要的數(shù)量關(guān)系如果用r表示圓錐底面的半徑,h表示圓錐的高線長(zhǎng),l表示圓錐的母線長(zhǎng),那么r、h、l之間數(shù)量關(guān)系是：由勾股定理得：r2+h2=l2,利用這一關(guān)系，已知任意兩個(gè)量，可以求出第三個(gè)量．知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二圓錐的側(cè)面積和全面積◆1、圓錐其側(cè)面展開(kāi)圖扇形的半徑=母線的長(zhǎng)l側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)=底面周長(zhǎng)◆2、圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式：S側(cè)=12?2πr?l＝π◆3、圓錐的全面積計(jì)算公式：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl題型一求圓錐的側(cè)面積題型一求圓錐的側(cè)面積【例題1】（2023?鹿城區(qū)校級(jí)三模）已知圓錐的底面半徑是4，母線長(zhǎng)是5，則圓錐的側(cè)面積是（）A．10π B．15π C．20π D．25π解題技巧提煉直接代入圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式：S側(cè)=12?2πr?l＝πrl【變式1-1】（2023?天門校級(jí)模擬）如圖，圓錐的軸截面是一個(gè)斜邊為2的等腰直角三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（）A．22π B．2π C．2π 【變式1-2】（2023?新吳區(qū)二模）已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5，將這個(gè)三角形繞著最短的邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)幾何體，那么這個(gè)幾何體的側(cè)面積為（）A．12π B．15π C．20π D．24π【變式1-3】（2023?香洲區(qū)校級(jí)三模）如圖，冰淇淋蛋筒下部呈圓錐形，則蛋筒圓錐部分包裝紙的面積（接縫忽略不計(jì)）是（）A．27cm2 B．54cm2 C．27πcm2 D．54πcm2【變式1-4】（2023?諸暨市模擬）已知圓錐的底面半徑為5cm，高線長(zhǎng)為12cm，則圓錐的側(cè)面積為（）cm2．A．130π B．120π C．65π D．60π【變式1-5】如圖，已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為9cm，圓心角為120°的扇形．求：（1）圓錐的底面半徑；（2）圓錐的全面積．題型二求圓錐底面圓的半徑題型二求圓錐底面圓的半徑【例題2】（2023?婁星區(qū)一模）已知圓錐的母線長(zhǎng)為20cm，其側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為216°的扇形，則圓錐的底面半徑長(zhǎng)為（）A．4πcm B．5πcm C．12cm D．15cm解題技巧提煉根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)求得半徑，列出方程求解即可．【變式2-1】已知扇形AOB的半徑為3cm，圓心角的度數(shù)為120°，若將此扇形圍成一個(gè)圓錐，則圍成的圓錐的底面半徑為（）A．1cm B．2cm C．4cm D．8cm【變式2-2】（2023?聊城一模）如圖，已知Rt△ABC的∠A＝90°，AB＝AC＝4，以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑，作AE交BC于點(diǎn)E．若扇形ABE恰好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，則該圓錐的底面圓的半徑是（）A．12 B．1 C．22 D【變式2-3】如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形內(nèi)部裁得一個(gè)扇形BAC，若將該扇形圍成一個(gè)圓錐，則此圓錐的底面半徑為（）A．1 B．2 C．32 D．【變式2-4】（2023?耿馬縣一模）小科同學(xué)將一張直徑為16的圓形卡紙平均分成4份，用其中一份作一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑是（）A．2 B．4 C．8 D．16【變式2-5】如圖所示，扇形OAB的面積為4πcm2，∠AOB＝90°，用這個(gè)扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面．求這個(gè)圓錐的底面圓的半徑．題型三求圓錐的高題型三求圓錐的高【例題3】（2023?紅塔區(qū)模擬）將一個(gè)直角三角形以一條直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)圓錐，若這個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)為13cm，圓錐的側(cè)面積為65πcm2，則該圓錐的高為（）A．5cm B．12cm C．13cm D．69解題技巧提煉此題主要考查了主要考查了圓錐的性質(zhì)，要知道（1）圓錐的高，底面半徑，母線構(gòu)成直角三角形，（2）此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．解此類題目要根據(jù)所構(gòu)成的直角三角形的勾股定理作為等量關(guān)系求解．【變式3-1】（2023?上杭縣模擬）圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角120°，半徑6cm的扇形，則該圓錐的高是（）A．1cm B．2cm C．42cm D．2【變式3-2】（2022?西雙版納模擬）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為6，以頂點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，則由圖中陰影部分的扇形圍成的圓錐的高為（）A．42 B．26 C．33 【變式3-3】如圖，從一塊直徑是4m的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形，將剪下的扇形圍成一個(gè)圓錐，圓錐的高是（）A．22m B．15m C．302m D．30【變式3-4】如果從半徑為5cm的圓形紙片上剪去15【變式3-5】已知如圖，扇形AOB的圓心角為120°，半徑OA為9cm．（1）求扇形AOB的弧長(zhǎng)和扇形面積；（2）若把扇形紙片AOB卷成一個(gè)圓錐形無(wú)底紙帽，求這個(gè)紙帽的高OH．題型四求圓錐的母線長(zhǎng)題型四求圓錐的母線長(zhǎng)【例題4】（2022春?舟山月考）圓錐的底面半徑為4，側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為120°，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）A．6 B．12 C．18 D．24解題技巧提煉本題考查圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．掌握?qǐng)A錐的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023?如皋市一模）已知圓錐的側(cè)面積為10πcm2，底面圓的半徑為2cm，則該圓錐的母線長(zhǎng)為cm．【變式4-2】（2022秋?句容市期中）某同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，制作了一個(gè)側(cè)面積為40π，底面半徑為4的圓錐模型，則此圓錐的母線長(zhǎng)為．【變式4-3】（2023?吳忠模擬）如圖所示，圓錐形煙囪帽的底面半徑為12cm，側(cè)面展開(kāi)圖為半圓形，則它的母線長(zhǎng)為．【變式4-4】（2023?溫州模擬）已知圓錐的底面半徑為2cm，表面積為14πcm2，則該圓錐的母線長(zhǎng)為cm．題型五圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角題型五圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角【例題5】若一個(gè)圓錐的底面半徑為3cm，高為62cm，則圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中圓心角的度數(shù)為（）A．150° B．120° C．100° D．80°解題技巧提煉本題考查了圓錐側(cè)面展開(kāi)圖，扇形圓心角與母線和底面圓半徑的關(guān)系，明確圓錐的底面圓的周長(zhǎng)＝扇形的弧長(zhǎng)，通過(guò)列方程來(lái)解答本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022秋?棗陽(yáng)市期末）某學(xué)校組織開(kāi)展手工制作實(shí)踐活動(dòng)，一學(xué)生制作的圓錐母線長(zhǎng)為30cm，底面圓的半徑為10cm，這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【變式5-2】（2023?盱眙縣模擬）若要制作一個(gè)母線長(zhǎng)為9cm，底面圓的半徑為4cm的圓錐，則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)是．【變式5-3】若一個(gè)圓錐的底面圓的半徑是52，母線長(zhǎng)8，則該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)是【變式5-4】（2023?仙桃校級(jí)一模）已知圓錐底面圓的周長(zhǎng)為2π，圓錐的母線為3，則該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為．題型六圓錐計(jì)算與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題題型六圓錐計(jì)算與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題【例題6】（2023?海州區(qū)二模）如圖，一把打開(kāi)的雨傘可近似的看成一個(gè)圓錐，傘骨（面料下方能夠把面料撐起來(lái)的支架）末端各點(diǎn)所在圓的直徑AC長(zhǎng)為12分米，傘骨AB長(zhǎng)為10分米，那么制作這樣的一把雨傘至少需要綢布面料為平方分米．解題技巧提煉把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決，明確求的是圓錐的哪個(gè)量，在套用公式即可.【變式6-1】如圖，糧倉(cāng)的頂部是圓錐形狀，這個(gè)圓錐底面的半徑長(zhǎng)為3m，母線長(zhǎng)為6m，為防止雨水，需在糧倉(cāng)頂部鋪上油氈，如果油氈的市場(chǎng)價(jià)是每平方米10元錢，那么購(gòu)買油氈所需要的費(fèi)用是（）A．540π元 B．360π元 C．180π元 D．90π元【變式6-2】（2023?洪雅縣模擬）如圖，蒙古包可以近似地看作是由圓錐和圓柱組成，若用毛氈搭建一個(gè)底面半徑為5米，圓柱高3米，圓錐高2米的蒙古包，則需要毛氈的面積為（）A．(30+529)π米2 B．40π米C．(30+521)π米2 D．55π【變式6-3】如圖，糧倉(cāng)的頂部是圓錐形狀，這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為3米，母線長(zhǎng)為6米，為防雨水，需要在糧倉(cāng)頂部鋪上油氈，如果油氈的市場(chǎng)價(jià)為10元/米2，那么購(gòu)買油氈所需要的費(fèi)用是元（結(jié)果保留π）．【變式6-4】如圖，有一直徑為4的圓形鐵皮，要從中剪出一個(gè)最大圓心角為60°的扇形ABC．（1）求剪下的扇形ABC（即陰影部分）的半徑；（2）若用此剪下的扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐形鐵帽，求此圓錐形鐵帽的底面圓的半徑r．【變式6-5】下圖是一紙杯，它的母線AC和EF延長(zhǎng)后形成的立體圖形是圓錐．該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖形是扇形OAB．經(jīng)測(cè)量，紙杯上開(kāi)口圓的直徑為6cm，下底面直徑為4cm，母線長(zhǎng)EF＝8cm．求扇形OAB的圓心角及這個(gè)紙杯的表面積．（面積計(jì)算結(jié)果用π表示）．題型七圓錐與最短距離題型七圓錐與最短距離【例題7】如圖，已知圓錐的底面半徑為r＝20cm，h＝2015cm，現(xiàn)在有一只螞蟻從底邊上一點(diǎn)A出發(fā)．在側(cè)面上爬行一周又回到A點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離是（）cm．A．40 B．40π C．160 D．802解題技巧提煉本題考查了平面展開(kāi)﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．本題就是把圓錐的側(cè)面展開(kāi)成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．【變式7-1】（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖1，一只螞蟻從圓錐底端點(diǎn)A出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)A，將圓錐沿母線OA剪開(kāi)，其側(cè)面展開(kāi)圖如圖2所示，若∠AOA′＝120°，OA=3，則螞蟻爬行的最短距離是【變式7-2】如圖是一個(gè)用來(lái)盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開(kāi)口圓的直徑EF長(zhǎng)為5