2023-2024學年江西省撫州市臨川區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷(含解析)

2023-2024學年江西省撫州市臨川區(qū)九年級第一學期期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分，每小題只有一個正確選項）1．某班從甲、乙、丙、丁四位選手中隨機選取兩人參加校乒乓球比賽，恰好選中甲、乙兩位選手的概率是（）A． B． C． D．2．根據(jù)下列表格對應值：x2.12.22.32.42.5ax2+bx+c﹣0.12﹣0.03﹣0.010.060.18判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個解x的范圍是（）A．2.1＜x＜2.2 B．2.2＜x＜2.3 C．2.3＜x＜2.4 D．2.4＜x＜2.53．下列命題是真命題的是（）A．對角線相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形 C．對角線互相垂直的四邊形是菱形 D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形4．若關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有兩個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤1且a≠0 B．a(chǎn)＜1且a≠0 C．a(chǎn)≤1 D．a(chǎn)＜15．菱形ABCD的一條對角線的長為6，邊AB的長是方程x2﹣7x+12＝0的一個根，則菱形ABCD的周長為（）A．16 B．12 C．12或16 D．無法確定6．如圖，矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AD＝2，∠COB＝60°，BF⊥AC，交AC于點M，交CD于點F，延長FO交AB于點E，則下列結(jié)論：①FO＝FC；②四邊形EBFD是菱形；③△OBE≌△CBF；④MB＝3．其中結(jié)論正確的序號是（）A．②③④ B．①②③ C．①④ D．①②③④二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．假定鳥卵孵化后，雛鳥為雌鳥與為雄鳥的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，則三只雛鳥中恰有兩只雄鳥的概率為．8．某超市一月份的營業(yè)額為30萬元，三月份的營業(yè)額為56萬元．設每月的平均增長率為x，則可列方程為．9．關(guān)于x的代數(shù)式x2+（m+2）x+（4m﹣7）中，當m＝時，代數(shù)式為完全平方式．10．已知：在四邊形ABCD中，AD＝BC，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點，四邊形EHFG是．11．已知菱形的兩條對角線分別是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩個實數(shù)根，則該菱形的面積是．12．在?ABCD中，AB＝4，∠ABC，∠BCD的平分線BE，CF分別與直線AD交于點E，F(xiàn)，當點A，D，E，F(xiàn)相鄰兩點間的距離相等時，BC的長為．三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．解一元二次方程．（1）x2﹣4x﹣7＝0；（2）（2x+1）2﹣4（2x+1）＝0．14．如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，∠ABC的平分線交AD于點F，連接EF．求證：四邊形ABEF是菱形．15．將分別標有數(shù)字1，2，3的三張卡片洗勻后，背面朝上放在桌面上．（1）隨機地抽取一張，求抽到偶數(shù)的概率；（2）請你通過列表或畫樹狀圖分析：隨機地抽取一張作為十位上的數(shù)字（不放回），再抽取一張作為個位上的數(shù)字，能組成哪些兩位數(shù)？恰好是“4的倍數(shù)”的概率為多少？16．已知四邊形ABCD是平行四邊形，BD為對角線，分別在圖①、圖②中按要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．（1）如圖①，點P為AB上任意一點，請僅用無刻度的直尺在CD上找出另一點Q，使AP＝CQ；（2）如圖②，點P為BD上任意一點，請僅用無刻度的直尺在BD上找出一點Q，使BP＝DQ．17．如圖，在一塊長92m、寬60m的矩形耕地上挖三條水渠（水渠的寬都相等），水渠把耕地分成面積均為885m2的6個矩形小塊，水渠應挖多寬？四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一個根．求：（1）2a2﹣4040a﹣3的值；（2）代數(shù)式a2﹣2019a+的值．19．某商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500元，標價為3000，（1）若商場連續(xù)兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降價的百分率；（2）市場調(diào)研表明：當每臺售價為2900元時，平均每天能售出8臺，當每臺售價每降50元時，平均每天就能多售出4臺，若商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元，則每臺冰箱的定價應為多少元？20．如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF與DE相交于點G．（1）求證：矩形ABCD為正方形：（2）若AE：EB＝2：1，△AEG的面積為4，求四邊形BEGF的面積．五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．根據(jù)“五項管理”文件精神，某學校優(yōu)化學校作業(yè)管理，探索減負增效新舉措，學校就學生做作業(yè)時間進行問卷調(diào)查，將收集信息進行統(tǒng)計分成A、B、C、D四個層級，其中A：90分鐘以上；B：60～90分鐘；C：30～60分鐘；D：30分鐘以下．并將結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)統(tǒng)計信息解答下列問題：（1）接受問卷調(diào)查的學生共有人；（2）求扇形統(tǒng)計圖中“D”等級的扇形的圓心角的度數(shù)，并補全條形統(tǒng)計圖；（3）全校約有學生1500人，估計“A”層級的學生約有多少人？（4）學校從“A”層級的3名女生和2名男生中隨機抽取2人參加現(xiàn)場深入調(diào)研，則恰好抽到1名男生和1名女生的概率是多少？22．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，P、Q分別從A、C同時出發(fā)，向D，B運動．當一個點到達端點時，停止運動，另一個點也停止運動．（1）如果P、Q的速度分別為1cm/s和3cm/s．運動時間為t秒，則t為何值時，PQ＝DC．并說明理由．（2）如果P的速度為1cm/s，其他條件不變，要使四邊形APQB是矩形，且矩形的長寬之比為2：1，求Q點運動的速度．六、（本大題共12分）23．已知，如圖1，BD是邊長為1的正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC交DC于點E，延長BC到點F，使CF＝CE，連接DF，交BE的延長線于點G．（1）求證：△BCE≌△DCF；（2）求CF的長；（3）如圖2，在AB上取一點H，且BH＝CF，若以BC為x軸，AB為y軸建立直角坐標系，問在直線BD上是否存在點P，使得以B、H、P為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的P點坐標；若不存在，說明理由．

參考答案一、選擇題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分，每小題只有一個正確選項）1．某班從甲、乙、丙、丁四位選手中隨機選取兩人參加校乒乓球比賽，恰好選中甲、乙兩位選手的概率是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能情況數(shù)和恰好選中甲、乙兩位選手的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．解：根據(jù)題意畫圖如下：共有12種等可能數(shù)，其中恰好選中甲、乙兩位選手的有2種，則恰好選中甲、乙兩位選手的概率是＝．故選：B．【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比2．根據(jù)下列表格對應值：x2.12.22.32.42.5ax2+bx+c﹣0.12﹣0.03﹣0.010.060.18判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個解x的范圍是（）A．2.1＜x＜2.2 B．2.2＜x＜2.3 C．2.3＜x＜2.4 D．2.4＜x＜2.5【分析】從表格中的數(shù)據(jù)可以看出，當x＝2.3時，y＝﹣0.01；當x＝2.4時，y＝0.06，函數(shù)值由負數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，此過程中存在方程ax2+bx+c＝0的一個根．解：∵當x＝2.3時，y＝﹣0.01；當x＝2.4時，y＝0.06，∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個解x的范圍是2.3＜x＜2.4，故選：C．【點評】本題考查了估算一元二次方程的近似值，對題目的正確估算是建立在對二次函數(shù)圖象和一元二次方程關(guān)系正確理解的基礎(chǔ)上的．3．下列命題是真命題的是（）A．對角線相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形 C．對角線互相垂直的四邊形是菱形 D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形【分析】利用平行四邊形、矩形、菱形及正方形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項．解：A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題，不符合題意；B、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，是真命題，符合題意；C、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，原命題是假命題，不符合題意；D、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，原命題是假命題，不符合題意；故選：B．【點評】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解平行四邊形、矩形、菱形及正方形的判定方法，難度不大．4．若關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有兩個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤1且a≠0 B．a(chǎn)＜1且a≠0 C．a(chǎn)≤1 D．a(chǎn)＜1【分析】由關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有兩個實數(shù)根及一元二次方程的定義，即可得判別式△≥0，a≠0，繼而可求得a的范圍．解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有兩個實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×a×1＝4﹣4a≥0，解得：a≤1，∵方程ax2﹣2x+6＝0是一元二次方程，∴a≠0，∴a的范圍是：a≤1且a≠0．故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．5．菱形ABCD的一條對角線的長為6，邊AB的長是方程x2﹣7x+12＝0的一個根，則菱形ABCD的周長為（）A．16 B．12 C．12或16 D．無法確定【分析】先求出方程x2﹣7x+12＝0的兩個根，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出符合題意的菱形的邊AB，即可求出菱形的周長，解：∵x2﹣7x+12＝0，∴（x﹣3）（x﹣4）＝0，∴x1＝3，x2＝4，當x1＝3時，由菱形的對角線的一條對角線6和菱形的兩邊3，3不能組成三角形，即不存在菱形，舍去；當x2＝4時，由菱形的對角線的一條對角線6和菱形的兩邊4，4能組成三角形，即存在菱形，∴菱形的周長為4×4＝16．故選：A．【點評】此題是菱形的性質(zhì)題，主要考查了菱形性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，一元二次方程的解法，解本題的關(guān)鍵是確定出菱形的邊長，難點是用三角形的三邊關(guān)系判斷符合條件的x的值，也是易錯點．6．如圖，矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AD＝2，∠COB＝60°，BF⊥AC，交AC于點M，交CD于點F，延長FO交AB于點E，則下列結(jié)論：①FO＝FC；②四邊形EBFD是菱形；③△OBE≌△CBF；④MB＝3．其中結(jié)論正確的序號是（）A．②③④ B．①②③ C．①④ D．①②③④【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定得出△OBC是等邊三角形，進而判斷①正確；根據(jù)ASA證明△AOE與△COF全等，進而判斷②正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷③④正確即可．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴OA＝OC＝OD＝OB，∵∠COB＝60°，∴△OBC是等邊三角形，∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，∵BF⊥AC，∴OM＝MC，∴FM是OC的垂直平分線，∴FO＝FC，故①正確；∵OB＝CB，F(xiàn)O＝FC，F(xiàn)B＝FB，∴△OBF≌△CBF（SSS），∴∠FOB＝∠FCB＝90°，∵∠OBC＝60°，∴∠ABO＝30°，∴∠OBM＝∠CBM＝30°，∴∠ABO＝∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF＝∠OAE，∵OA＝OC，∠AOE＝∠FOC，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∵OB⊥EF，∴四邊形EBFD是菱形，故②正確；∵△OBE≌△OBF≌△CBF，∴③正確；∵BC＝AD＝2，F(xiàn)M⊥OC，∠CBM＝30°，∴BM＝3，故④正確；故選：D．【點評】此題考查矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．假定鳥卵孵化后，雛鳥為雌鳥與為雄鳥的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，則三只雛鳥中恰有兩只雄鳥的概率為．【分析】列舉出所有情況，看三只雛鳥中恰有兩只雄鳥的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可．解：共8種情況，三只雛鳥中恰有兩只雄鳥有3種情況，所以概率為．故答案為．【點評】考查概率的求法；用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；得到三只雛鳥中恰有兩只雄鳥的情況數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．8．某超市一月份的營業(yè)額為30萬元，三月份的營業(yè)額為56萬元．設每月的平均增長率為x，則可列方程為30×（1+x）2＝56．【分析】三月份的營業(yè)額＝一月份的營業(yè)額×（1+增長率）2，把相關(guān)數(shù)值代入即可．解：二月份的營業(yè)額為30×（1+x），三月份的營業(yè)額為30×（1+x）×（1+x）＝30×（1+x）2，即所列的方程為30×（1+x）2＝56，故答案為30×（1+x）2＝56．【點評】考查列一元二次方程；得到三月份的營業(yè)額的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．9．關(guān)于x的代數(shù)式x2+（m+2）x+（4m﹣7）中，當m＝4或8時，代數(shù)式為完全平方式．【分析】此題考查了一次項的求法，一次項系數(shù)等于二次項系數(shù)的算術(shù)平方根與常數(shù)項的算術(shù)平方根的積得2倍，注意完全平方式有兩個，所以一次項系數(shù)有兩個．解：∵m+2＝±2×1×，∴（m+2）2＝4（4m﹣7），∴m2﹣12m+32＝0，∴（m﹣4）（m﹣8）＝0，∴m1＝4，m2＝8∴當m＝4或8時，代數(shù)式為完全平方式．【點評】本題考查了完全平方式的應用，一元二次方程的解法，解此題的關(guān)鍵是一次項的求解．10．已知：在四邊形ABCD中，AD＝BC，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點，四邊形EHFG是菱形．【分析】由已知條件得出GF是△ADC的中位線，GE是△ABC的中位線，EH是△ABD的中位線，由三角形中位線定理得出GF∥EH，GF＝EH，得出四邊形EGFH是平行四邊形，再證出GE＝EH，即可得出四邊形EHFG是菱形．【解答】證明：∵點E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點，∴GF是△ADC的中位線，GE是△ABC的中位線，EH是△ABD的中位線，∴GF∥AD，GF＝AD，GE＝BC，EH∥AD，EH＝AD，∴GF∥EH，GF＝EH，∴四邊形EGFH是平行四邊形，又∵AD＝BC，∴GE＝EH，∴四邊形EGFH是菱形．故答案為：菱形．【點評】本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定、菱形的判定方法；熟練掌握菱形的判定方法，由三角形中位線定理得出線段之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．11．已知菱形的兩條對角線分別是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩個實數(shù)根，則該菱形的面積是24．【分析】根據(jù)一元二次方程的解法即可求出對角線的長，然后利菱形的面積即可求出答案．解：∵x2﹣14x+48＝0，∴x＝6或x＝8，∴該菱形的對角線長分別為6或8，∴菱形的面積＝，故答案為：24．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)和一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．12．在?ABCD中，AB＝4，∠ABC，∠BCD的平分線BE，CF分別與直線AD交于點E，F(xiàn)，當點A，D，E，F(xiàn)相鄰兩點間的距離相等時，BC的長為12或6或2．【分析】分三種情況：BE、CF不相交；BE、CF相交，但點E、F在線段AD上；BE、CF相交，且點E點在D右側(cè)，點F在點A左側(cè)．①當BE、CF不相交時，根據(jù)題意可得AE＝EF＝DF＝AB＝4，則BC＝3AE＝12；②當BE、CF相交，但點E、F在線段AD上時，根據(jù)題意可得AB＝AE＝4，CD＝DF＝4，AF+EF+EF+DE＝8，解得AF＝2，則BC＝3AF＝6；③當BE、CF相交，且點E在點D右側(cè)，點F在點A左側(cè)時，根據(jù)題意可得AB＝AE＝4，DF＝CD＝4，AF+AD+AD+DE＝8，解得AD＝2，則BC＝2．解：①當BE、CF不相交時，如圖，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，∴AB＝AE，∵點A，D，E，F(xiàn)相鄰兩點間的距離相等，∴AE＝EF＝DF＝AB＝4，∴BC＝3AE＝12；②當BE、CF相交，但點E、F在線段AD上時，如圖，∵點A，D，E，F(xiàn)相鄰兩點間的距離相等，∴AE＝EF＝DF，同理可證：，∵AB＝AE＝4，CD＝DF＝4，∴AF+EF+EF+DE＝8，∴AF＝2，∴BC＝3AF＝6；③當BE、CF相交，且點E在點D右側(cè)，點F在點A左側(cè)時，如圖，∵點A，D，E，F(xiàn)相鄰兩點間的距離相等，∴AF＝AD＝DE，同理可證：，∵AB＝AE＝4，DF＝CD＝4，∴AF+AD+AD+DE＝8，∴AD＝2，∴BC＝AD＝2；綜上，BC的長為12或6或2．故答案為：12或6或2．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊性質(zhì)和等腰三角形的判定是解題關(guān)鍵．三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．解一元二次方程．（1）x2﹣4x﹣7＝0；（2）（2x+1）2﹣4（2x+1）＝0．【分析】（1）移項后配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．解：（1）x2﹣4x﹣7＝0，x2﹣4x＝7，配方得：x2﹣4x+4＝7+4，（x﹣2）2＝11，開方得：x﹣2＝，解得：x1＝2+，x2＝2﹣；（2）（2x+1）2﹣4（2x+1）＝0，（2x+1）（2x+1﹣4）＝0，2x+1＝0或2x+1﹣4＝0，解得：x1＝﹣，x2＝．【點評】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，解一元二次方程的方法有直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等．14．如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，∠ABC的平分線交AD于點F，連接EF．求證：四邊形ABEF是菱形．【分析】先證明四邊形ABEF是平行四邊形，再證明鄰邊相等即可證明．【解答】證明：∵∠BAD的平分線交BC于點E，∴∠BAE＝∠EAF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，同理，AB＝AF，∴BE＝AF．∵AD∥BC，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AB＝BE，∴?ABEF是菱形，【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是先證明四邊形ABEF是平行四邊形．15．將分別標有數(shù)字1，2，3的三張卡片洗勻后，背面朝上放在桌面上．（1）隨機地抽取一張，求抽到偶數(shù)的概率；（2）請你通過列表或畫樹狀圖分析：隨機地抽取一張作為十位上的數(shù)字（不放回），再抽取一張作為個位上的數(shù)字，能組成哪些兩位數(shù)？恰好是“4的倍數(shù)”的概率為多少？【分析】（1）先求出這組數(shù)中偶數(shù)的個數(shù)，再利用概率公式解答即可；（2）根據(jù)題意列舉出能組成的數(shù)的個數(shù)及組成的兩位數(shù)是4的倍數(shù)的個數(shù)，再利用概率公式解答．解：（1）∵隨機地抽取一張，所有可能的情況是：1，2，3三種，且它們出現(xiàn)的可能性相等，而結(jié)果出現(xiàn)偶數(shù)的有2一種，∴P（奇數(shù)）＝；（2）根據(jù)題意畫樹狀圖如下：則組成的兩位數(shù)有：12、13、21、23、31、32，其中是4的倍數(shù)的有12、32，∴所求概率P＝＝．【點評】本題主要考查了樹狀圖法與列表法求概率，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．16．已知四邊形ABCD是平行四邊形，BD為對角線，分別在圖①、圖②中按要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．（1）如圖①，點P為AB上任意一點，請僅用無刻度的直尺在CD上找出另一點Q，使AP＝CQ；（2）如圖②，點P為BD上任意一點，請僅用無刻度的直尺在BD上找出一點Q，使BP＝DQ．【分析】（1）連接AC交BD于點O，作直線OP交CD于點Q，點Q即為所求作．（2）連接AC交BD于點O，作在AP交BC于點E，作直線OE交AD于點F，連接CF交BD于點Q，點Q即為所求作．解：（1）如圖，點Q即為所求作．（2）如圖，點Q即為所求作．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．17．如圖，在一塊長92m、寬60m的矩形耕地上挖三條水渠（水渠的寬都相等），水渠把耕地分成面積均為885m2的6個矩形小塊，水渠應挖多寬？【分析】把3條水渠平移到矩形耕地的一邊，可得總耕地面積的形狀為一個矩形，根據(jù)耕地總面積列出方程求解即可．解：設水渠的寬度為xm，由題意得：（92﹣2x）（60﹣x）＝885×6．解得x1＝105（不含題意，舍去），x2＝1．∴x＝1．答：水渠的寬度為1m．【點評】此題主要考查一元二次方程的應用，得到平移水渠后矩形耕地的邊長及形狀是解決本題的突破．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一個根．求：（1）2a2﹣4040a﹣3的值；（2）代數(shù)式a2﹣2019a+的值．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2﹣2020a+1＝0，則a2＝2020a﹣1，然后把a2＝2020a﹣1代入原式即可求解；（2）可化簡得原式＝a+﹣1，然后通分后再次代入后化簡即可．解：（1）∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一個根，∴a2＝2020a﹣1，∴a2＝2020a﹣1，∴2a2﹣4040a﹣3＝2（2020a﹣1）﹣4040a﹣3＝4040a﹣2﹣4040a﹣3＝﹣5；（2）原式＝2020a﹣1﹣2019a+＝a+﹣1＝﹣1＝﹣1＝2020﹣1＝2019．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．19．某商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500元，標價為3000，（1）若商場連續(xù)兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降價的百分率；（2）市場調(diào)研表明：當每臺售價為2900元時，平均每天能售出8臺，當每臺售價每降50元時，平均每天就能多售出4臺，若商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元，則每臺冰箱的定價應為多少元？【分析】（1）設每次降價的百分率為x，根據(jù)降價后的價格＝降價前的價格（1﹣降價的百分率），則第一次降價后的價格是60（1﹣x）元，第二次后的價格是60（1﹣x）2元，據(jù)此即可列方程求解；（2）假設下調(diào)a個50元，銷售利潤＝一臺冰箱的利潤×銷售冰箱數(shù)量，一臺冰箱的利潤＝售價﹣進價，降低售價的同時，銷售量就會提高，“一減一加”，根據(jù)每臺的盈利×銷售的件數(shù)＝5000元，即可列方程求解．解：（1）設每次降價的百分率為x，依題意得：3000（1﹣x）2＝2430，解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合題意，舍去）答：每次降價的百分率是10%；（2）假設下調(diào)a個50元，依題意得：5000＝（2900﹣2500﹣50a）（8+4a）．解得a＝3．所以下調(diào)150元，因此定價為2750元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．20．如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF與DE相交于點G．（1）求證：矩形ABCD為正方形：（2）若AE：EB＝2：1，△AEG的面積為4，求四邊形BEGF的面積．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠DAB＝∠B＝90°，由等角的余角相等可得∠ADE＝∠BAF，利用AAS可得△ABF≌△DAE（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得AD＝AB，即可得四邊形ABCD是正方形；（2）根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可解決問題．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB＝∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AD＝AB，∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD是正方形；（2）解：∵△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，∵AE：EB＝2：1，設AE＝2x，EB＝x，∴BF＝AE＝2x，AB＝3x，∴AF＝＝x，∵∠EAG＝∠FAB，∠AGE＝∠B＝90°，∴△AEG∽△AFB，∴△AEG的面積：△AFB的面積＝AE2：AF2＝4x2：13x2＝4：13，∵△AEG的面積為4，∴△AFB的面積為13，∴四邊形BEGF的面積＝13﹣4＝9．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．根據(jù)“五項管理”文件精神，某學校優(yōu)化學校作業(yè)管理，探索減負增效新舉措，學校就學生做作業(yè)時間進行問卷調(diào)查，將收集信息進行統(tǒng)計分成A、B、C、D四個層級，其中A：90分鐘以上；B：60～90分鐘；C：30～60分鐘；D：30分鐘以下．并將結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)統(tǒng)計信息解答下列問題：（1）接受問卷調(diào)查的學生共有40人；（2）求扇形統(tǒng)計圖中“D”等級的扇形的圓心角的度數(shù)，并補全條形統(tǒng)計圖；（3）全校約有學生1500人，估計“A”層級的學生約有多少人？（4）學校從“A”層級的3名女生和2名男生中隨機抽取2人參加現(xiàn)場深入調(diào)研，則恰好抽到1名男生和1名女生的概率是多少？【分析】（1）由“C”等級的人數(shù)除以所占百分比即可；（2）由360°乘以“D”等級的人數(shù)所占的比例得出扇形統(tǒng)計圖中“D”等級的扇形的圓心角的度數(shù)，再求出B”層級的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可；（3）由全校共有學生人數(shù)乘以“A”層級的學生所占的比例即可；（4）畫樹狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，恰好抽到1個男生和1個女生的有12種情況，再由概率公式求解即可．解：（1）接受問卷調(diào)查的學生共有：16÷40%＝40（人），故答案為：40；（2）扇形統(tǒng)計圖中“D”等級的扇形的圓心角的度數(shù)為：，“B”層級的人數(shù)為：40﹣6﹣16﹣8＝10（人），補全條形統(tǒng)計圖如下：（3）估計“A”層級的學生約有：（人）；（4）畫樹狀圖得：共有20種等可能的結(jié)果，恰好抽到1個男生和1個女生的有12種情況，∴恰好抽到1個男生和1個女生的概率為，【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．也考查了條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖等知識．22．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，P、Q分別從A、C同時出發(fā)，向D，B運動．當一個點到達端點時，停止運動，另一個點也停止運動．（1）如果P、Q的速度分別為1cm/s和3cm/s．運動時間為t秒，則t為何值時，PQ＝DC．并說明理由．（2）如果P的速度為1cm/s，其他條件不變，要使四邊形APQB是矩形，且矩形的長寬之比為2：1，求Q點運動的速度．【分析】（1）如圖1中，作DH⊥BC于H．則四邊形ABHD是矩形．分兩種情形討論①當四邊形PQCD是平行四邊形時，PD＝CQ，②當四邊形PQCD是等腰梯形時，PQ＝CD，易知CQ﹣PD＝2CH，分別求解即可；（2）設Q點運動的速度xcm/s時，由四邊形APQB是矩形，且矩形的長寬之比為2：1，推出PA＝BQ＝4或PA＝BQ＝16，推出t＝4或16，可得24﹣4x＝4或24﹣16x＝16，解方程即可解決問題；解：（1）如圖1