材料力學(xué)課件

第一章緒論§1-1材料力學(xué)的研究對(duì)象和任務(wù)§1-2材料力學(xué)基本假設(shè)§1-3桿件變形的基本形式第一章緒論§1–4應(yīng)力§1-1材料力學(xué)的研究對(duì)象和任務(wù)工程中各種結(jié)構(gòu)和機(jī)械都是由若干構(gòu)件所組成，這些構(gòu)件可分為：桿板體×殼

×

材料力學(xué):是固體力學(xué)的一個(gè)分支,主要研究構(gòu)件在外力作用下的變形規(guī)律和破壞的規(guī)律,為合理設(shè)計(jì)構(gòu)件提供有關(guān)強(qiáng)度、剛度與穩(wěn)定性分析的基本理論與方法。材料力學(xué):主要是研究桿形構(gòu)件?！?．強(qiáng)度問(wèn)題

構(gòu)件在正常工作情況下不發(fā)生破壞。這就需要構(gòu)件具有足夠的強(qiáng)度—抵抗破壞的能力。材料力學(xué)需要解決如下三個(gè)問(wèn)題?！?/p>

構(gòu)件在正常工作情況下，變形不超過(guò)一定限度。這就需要構(gòu)件具有足夠的剛度——構(gòu)件抵抗變形的能力。2．剛度問(wèn)題×

×

3．穩(wěn)定性問(wèn)題構(gòu)件在正常工作情況下，保持原有的平衡狀態(tài)。這就需要構(gòu)件具有足夠的穩(wěn)定性——構(gòu)件維持其原有的平衡狀態(tài)的能力。ק1-2材料力學(xué)基本假設(shè)一、變形固體的概念受力後其形狀和尺寸發(fā)生變化的物體稱為變形固體（簡(jiǎn)稱變形體）。若去掉外力後，物體完全恢復(fù)原有的形狀和尺寸稱為完全彈性體（或彈性體）；部分恢復(fù)原狀的稱為部分彈性體；完全不能恢復(fù)原狀的稱為塑性體。材料力學(xué)所研究的構(gòu)件均視作彈性體，其變形僅限於小變形。×

二、基本假設(shè)

1．連續(xù)、均勻性假設(shè)構(gòu)件內(nèi)部無(wú)間隙，且各處的力學(xué)性質(zhì)相同。根據(jù)該假設(shè)，只需從構(gòu)件中取出一小部分進(jìn)行研究，就可代替整個(gè)構(gòu)件。

2．各向同性假設(shè)材料沿各個(gè)方向的力學(xué)性質(zhì)均相同。沿各個(gè)方向的力學(xué)性質(zhì)不相同的材料稱為各向異性材料，材料力學(xué)所研究的構(gòu)件均視作各向同性材料。

3．彈性假設(shè)所研究的構(gòu)件當(dāng)外力不超過(guò)一定限度時(shí)均視作完全彈性體。×

§1-3桿件變形的基本形式一、軸向拉伸或壓縮FF拉伸FF壓縮×

二、剪切FF三、扭轉(zhuǎn)mm×

四、彎曲mm桿件的複雜變形均可由這四種基本變形組合而成?！痢?–4應(yīng)力截面上一點(diǎn)分佈內(nèi)力的集度稱為該點(diǎn)的應(yīng)力。kpm稱為

A面積上的平均應(yīng)力。p

稱為截面上k點(diǎn)的應(yīng)力。×

kp

將應(yīng)力p分解為與截面垂直和平行的兩個(gè)分量，與截面垂直的分量稱為正應(yīng)力，用

表示之，與截面平行的分量稱為切應(yīng)力，用

表示之。

應(yīng)力的單位為：ק2–2拉壓桿的應(yīng)力及強(qiáng)度條件

第二章軸向拉伸和壓縮§2-3材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)§2–1拉壓桿的內(nèi)力·軸力與軸力圖§2-4剪切與擠壓的強(qiáng)度計(jì)算

§2–1拉壓桿的內(nèi)力

·軸力與軸力圖FFFF拉伸壓縮

桿件在軸向荷載作用下，將發(fā)生軸向拉伸或壓縮。×

一、拉壓桿的內(nèi)力——軸力FFFFN拉壓桿橫截面的內(nèi)力沿桿的軸線，故稱為軸力。軸力以拉為正，以壓為負(fù)。×

二、軸力圖一般情況，拉壓桿各截面的的軸力是不同的，表示拉壓桿各截面的的軸力的圖象稱為軸力圖。

軸力圖的畫法步驟如下：

⒈畫一條與桿的軸線平行且與桿等長(zhǎng)的直線作基線；

⒉將桿分段，凡集中力作用點(diǎn)處均應(yīng)取作分段點(diǎn)；

⒊用截面法，通過(guò)平衡方程求出每段桿的軸力；畫受力圖時(shí)，截面軸力一定按正的規(guī)定來(lái)畫。

⒋按大小比例和正負(fù)號(hào)，將各段桿的軸力畫在基線兩側(cè)，並在圖上表出數(shù)值和正負(fù)號(hào)?！晾?畫圖示桿的軸力圖。⊕⊕○－軸力圖ⅠⅠⅡⅡⅢⅢⅠⅠFN1ⅡⅡFN2ⅢⅢFN3第一段:第二段:第三段:×

例2長(zhǎng)為l，重為W的均質(zhì)桿，上端固定，下端受一軸向拉力P作用，畫該桿的軸力圖。lPxPFN⊕軸力圖PP+W×

例3畫圖示桿的軸力圖。ABCD⊕⊕⊕○－○－軸力圖軸力圖×

一、橫截面的正應(yīng)力拉壓桿橫截面上只有正應(yīng)力而無(wú)剪應(yīng)力，忽略應(yīng)力集中的影響，橫截面上的正應(yīng)力可視作均勻分佈的，於是有正應(yīng)力正負(fù)的規(guī)定與軸力相同，以拉為正，以壓為負(fù)。例4已知A1=2000mm2，A2=1000mm2，求圖示桿各段橫截面上的正應(yīng)力。ABCDA1A2§2–2拉壓桿的應(yīng)力及強(qiáng)度條件×

ABCDA2解：⊕－○軸力圖A1×

二、斜截面的應(yīng)力FFmmmmFFNmmFA

——斜截面面積kק2–3

應(yīng)力集中的概念拉壓桿橫截面的應(yīng)力並不完全是均勻分佈的，當(dāng)橫截面上有孔或槽時(shí)，在截面曲率突變處的應(yīng)力要比其他處的應(yīng)力大得多，這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。PPPPP×

五、拉壓桿的強(qiáng)度條件拉壓桿在正常情況下不發(fā)生破壞的條件是：拉壓桿的最大工作應(yīng)力（橫截面的最大正應(yīng)力）不超過(guò)材料的容許應(yīng)力。其中[]為材料的容許應(yīng)力，其值為其中

u為材料破壞時(shí)的應(yīng)力，稱為極限應(yīng)力，由實(shí)驗(yàn)測(cè)得；n為安全係數(shù)?！?/p>

根據(jù)強(qiáng)度條件可進(jìn)行下述三種工程計(jì)算。⒈強(qiáng)度校核⑴等截面桿（A=常數(shù)）：⑵等軸力桿（FN=常數(shù)）：⑶變截面變軸力桿：分別計(jì)算各危險(xiǎn)截面的應(yīng)力，取其最大者進(jìn)行強(qiáng)度校核?！?/p>

⒉確定截面尺寸⒊確定容許荷載首先確定容許軸力再根據(jù)軸力與荷載的平衡關(guān)係計(jì)算容許荷載?！?/p>

例4已知A1=200mm2，A2=500mm2，A3=600mm2，[]=12MPa，試校核該桿的強(qiáng)度。A1A2A32kN2kN9kN2kN4kN5kN⊕⊕－○∴此桿安全。×

例5圖示結(jié)構(gòu)中，拉桿AB由等邊角鋼製成，容許應(yīng)力[]=160MPa，試選擇等邊角鋼的型號(hào)。。ABC1.8m2.4mCAFNFCxFCy解：取桿AC。由型鋼表查得∟45×45×5等邊角鋼×

例6圖示支架中，AB為圓截面鋼桿，直徑d=16mm，容許應(yīng)力[]1=150MPa；AC為方形截面木桿，邊長(zhǎng)l=100mm，容許應(yīng)力[]2=4.5MPa。求容許荷載[P]。1.5m2.0mABCPAPFN1FN2解:取結(jié)點(diǎn)A?！?/p>

1.5m2.0mABCPAPFN1FN2單考慮AB桿：?jiǎn)慰紤]AC桿：∴[P]=36kN×例7圖示結(jié)構(gòu)中，已知P=2kN，桿CD的截面面積A=80mm2，容許應(yīng)力[]=160MPa，試校核桿CD的強(qiáng)度並計(jì)算容許荷載。aaABPCDABPCFNFAxFAy解：∴CD桿安全×

aaABPCDABPCFNFAxFAy×

§2-3材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)工程中所用的材料多種多樣，不同的材料受力後所表現(xiàn)的力學(xué)性質(zhì)是不同的。只有掌握了材料的力學(xué)性質(zhì)，才能根據(jù)構(gòu)件的受力特徵選擇合適的材料。

根據(jù)材料的力學(xué)性質(zhì)可分為兩大類：拉斷時(shí)只有很小的塑性變形稱為脆性材料，如玻璃、陶瓷、磚石、鑄鐵等。拉斷時(shí)有較大的塑性變形產(chǎn)生稱為塑性材料，如鋼材、銅等?！?/p>

一、試件與試驗(yàn)儀器⒈標(biāo)準(zhǔn)試件。拉伸試件dh壓縮試件×二、材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)⒈低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)×⑴低碳鋼拉伸的應(yīng)力--應(yīng)變曲線(

--

圖)根據(jù)低碳鋼拉伸時(shí)記錄下來(lái)的拉力P與變形關(guān)係曲線可得應(yīng)力--應(yīng)變曲線(

--

圖)×

⑵低碳鋼拉伸的不同階段①?gòu)椥噪A段(oe段)

p--比例極限pe--曲線階段

op--比例階段

e--彈性極限×

②屈服(流動(dòng)）階段(es

段)

滑移線：塑性材料的失效應(yīng)力:

s。

B、卸載定律A、

ｂ---強(qiáng)度極限C、冷作硬化③強(qiáng)化階段(ｓｂ段)④頸縮（斷裂）階段×

1、延伸率:

2、截面收縮率：

＜5﹪為脆性材料＞5﹪為塑性材料×名義屈服應(yīng)力:

0.2--此類材料的失效應(yīng)力。⑶無(wú)明顯屈服現(xiàn)象的塑性材料

0.2

0.2×--鑄鐵拉伸強(qiáng)度極限（失效應(yīng)力）⒉鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)

鑄鐵拉伸時(shí)無(wú)比例階段、屈服階段、縮頸階段?！?/p>

三、材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)⒈低碳鋼壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)低碳鋼壓縮時(shí)的—曲線，在屈服階段之前與拉伸時(shí)基本相同，屬拉壓同性材料。只有在進(jìn)入強(qiáng)化階段之後，二者才逐漸分離?！?/p>

⒉鑄鐵壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)

ｂy---鑄鐵壓縮強(qiáng)度極限；

ｂy

（4—6）

ｂL鑄鐵壓縮時(shí)強(qiáng)度極限比拉伸時(shí)強(qiáng)度極限大得多，屬拉壓異性材料；脆性材料抗壓不抗拉。×

四、安全係數(shù)、容許應(yīng)力、極限應(yīng)力n1、容許應(yīng)力：2、極限應(yīng)力：3、安全係數(shù)：有明顯屈服階段的塑性材料無(wú)明顯屈服階段的塑性材料脆性材料×

§2–4剪切與擠壓的強(qiáng)度計(jì)算一、

剪切強(qiáng)度計(jì)算FFnn（合力）（合力）FPFP鉚接件×FnnFS剪切面nn（合力）（合力）FFQ為剪切面的內(nèi)力，稱為剪力?！罰

PQ設(shè)剪切面的剪力沿截面是均勻分佈的，則有

為剪切面的剪應(yīng)力，As為剪切面的面積。剪切強(qiáng)度條件為[]為容許切應(yīng)力，由材料破壞時(shí)的極限剪應(yīng)力除以安全係數(shù)。×二、

擠壓強(qiáng)度計(jì)算FPbs=F實(shí)際擠壓面計(jì)算擠壓面×P實(shí)際擠壓面計(jì)算擠壓面擠壓應(yīng)力Pbs為擠壓力，Abs為計(jì)算擠壓面的面積。擠壓強(qiáng)度條件[

bs]為容許擠壓應(yīng)力，由

極限擠壓應(yīng)力除以安全係數(shù)?！晾?圖示鉚接件，P=100kN，鉚釘?shù)闹睆絛=16mm，容許剪應(yīng)力[]=140MPa，容許擠壓應(yīng)力[bs]=200MPa；板的厚度t=10mm，b=100mm，容許正應(yīng)力[]=170MPa，試校核鉚接件的強(qiáng)度。PPdttPPb鉚釘（或螺栓）連接件要安全工作，鉚釘即要滿足剪切強(qiáng)度條件，又要滿足擠壓強(qiáng)度條件，同時(shí)板還要滿足拉壓強(qiáng)度條件?！罰PdttFbF/4F/4F/4F/4F/43F/4F⊕⊕⊕上板受力圖上板軸力圖F/4F/4鉚釘受力圖多鉚釘連接件，為計(jì)算方便，各鉚釘受力可視作相同?！零T釘剪應(yīng)力F/4F/4鉚釘擠壓應(yīng)力鉚釘滿足強(qiáng)度條件，安全?！罠bF/4F/4F/4F/4F/43F/4F⊕⊕⊕上板受力圖上板軸力圖112233bbddd2—2截面3—3截面t板也滿足拉壓強(qiáng)度條件，鉚接件安全。×[例2—2]已知圖示圓梯形桿D=32mm，d=20mm，h=12mm，材料的[]=100MPa，[bs]=200MPa。受拉力P=50kN作用，試校核此桿的強(qiáng)度

。dDhPP剪切面擠壓面×擠壓面剪切面Pdh解：剪切面面積：擠壓面面積：此桿安全。×FFFFabh[例2—3]木榫接頭如圖所示，寬b=20cm，材料[]=1MPa，[bs]=10MPa。受拉力P=40kN作用，試設(shè)計(jì)尺寸a、h。剪切面擠壓面剪切面面積：解：擠壓面面積：×FPabh剪切面擠壓面取接頭右邊，受力如圖?！痢?-1拉壓桿的變形虎克定律§3-2拉壓超靜定問(wèn)題

第三章軸向拉壓變形§3-1拉壓桿的變形虎克定律FFFF拉伸壓縮b’bbb’一、拉壓桿的變形×

橫向線變形：橫向線應(yīng)變：FFFF拉伸壓縮b’bbb’軸向線變形：軸向線應(yīng)變：×實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在彈性範(fàn)圍內(nèi)，橫向線應(yīng)變與軸向線應(yīng)變大小的比值為常數(shù)，即稱為泊桑比，表徵材料力學(xué)性質(zhì)的重要材料常數(shù)之一。無(wú)論是拉伸，還是壓縮，軸向線應(yīng)變與橫向線應(yīng)變總是正負(fù)號(hào)相反?！?/p>

二、虎克定律實(shí)驗(yàn)結(jié)果還表明，在彈性範(fàn)圍內(nèi)，桿件的線應(yīng)變與正應(yīng)力成正比，即或此關(guān)係稱為虎克定律，其中比例係數(shù)E稱為彈性模量。彈性模量也是表徵材料力學(xué)性質(zhì)的重要材料常數(shù)之一。將與代入上式得:該式是虎克定律的另一表達(dá)形式。其中EA

表徵桿件抵抗拉壓變形的能力，稱為桿的抗拉剛度?！?/p>

三、虎克定律的應(yīng)用⒈計(jì)算拉壓桿的變形例1已知A1=1000mm2，A2=500mm2，E=200GPa，試求桿的總伸長(zhǎng)。30kN50kN20kN0.5m0.5m0.5mA1A2ABCD×

20kN30kN⊕－○30kN50kN20kN0.5m0.5m0.5mA1A2ABCD×

lxFN(x)例2長(zhǎng)l=2m，重P=20kN的均質(zhì)桿，上端固定。桿的

橫截面面積A=10cm2，E=200GPa，試求桿自重下的伸長(zhǎng)。dxFN(x)+dN(x)×

⒉計(jì)算結(jié)點(diǎn)位移

aaABFCDABFCFNFAxFAy例3已知CD桿的抗拉剛度為EA，

=30°，AB為剛性桿，求在荷載F作用下B點(diǎn)的位移

B。

C″C′

B

CB′

l解：由變形的幾何關(guān)係圖得取桿AB，×例4求圖示結(jié)構(gòu)中剛性桿AB中點(diǎn)C的位移

C。

l①②EA2EAABCaaF

A

B

C解：由平衡方程得ק3-2拉壓超靜定問(wèn)題l①②EAEAABCaaFABFFN1FAxFAyCFN2例5圖示結(jié)構(gòu)中，AB為剛性桿，求①、②桿的軸力。解：取剛性桿AB，受力如圖所示。AB桿受平面任意力系作用，有4個(gè)未知數(shù)，3個(gè)平衡方程，屬一次超靜定問(wèn)題。僅用平衡方程求不出①、②桿的軸力，需增加一個(gè)補(bǔ)充方程才可解?！?/p>

l①②EAEAABCaaFABFFN1FAxFAxCFN2補(bǔ)充方程可根據(jù)變形的幾何關(guān)係和物理關(guān)係來(lái)建立。變形的協(xié)調(diào)條件:⑴

l1

l2⑵×

所謂物理關(guān)係是桿件的軸力與變形之間的關(guān)係，即滿足虎克定律。⑶將方程⑶代入⑵得補(bǔ)充方程⑷聯(lián)立方程⑴、⑷解得：×

解拉壓超靜定問(wèn)題的方法和步驟：

⑴畫變形的幾何圖；

⑵根據(jù)變形圖，建立變形的幾何方程；

⑶畫受力圖，其中桿件的軸力應(yīng)根據(jù)變形圖來(lái)畫，即變形為拉伸桿件的軸力按拉力畫，變形為壓縮桿件的軸力按壓力畫；

⑷根據(jù)受力圖，建立平衡方程；

⑸根據(jù)虎克定律，建立物理方程；

⑹將物理方程代入幾何方程得補(bǔ)充方程；

⑺聯(lián)立平衡方程與補(bǔ)充方程求解未知量?！晾?圖示結(jié)構(gòu)中，AB為剛性桿，求①、②桿的軸力。a①②a2alEAEAAOCB

l1

l2OCBFFFN1FN2FOyFOx解：畫變形的幾何圖幾何方程：取桿AB，畫受力圖平衡方程：⑴⑵A×⑶物理方程：將式⑶代入⑴得⑷聯(lián)立式⑵與⑷，解得⑵×例7畫圖示桿的軸力圖。aaPEA2EA

lACBFAFB解：畫變形圖幾何方程：畫受力圖平衡方程：ⅠⅠⅡⅡFAFNACFBFNBC⑴⑵×PACBFAFB物理方程：⑶⑶式代入⑴式得⑷由⑵式與⑷式聯(lián)立解得得：⊕○×裝配應(yīng)力⒈裝配應(yīng)力超靜定結(jié)構(gòu)，由於構(gòu)件製造誤差，在裝配時(shí)構(gòu)件內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生裝配應(yīng)力。靜定結(jié)構(gòu)不會(huì)產(chǎn)生裝配應(yīng)力。ll

靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)×ll

EAABFBFA幾何方程：平衡方程：物理方程：×例8圖示結(jié)構(gòu)，由於③桿的製造誤差，求裝配後各桿軸力。②EAEAABC①EA③ABCFN1FN2FN3

l1

l3

l2l

aa解：畫變形圖，幾何方程：畫受力圖，平衡方程：×②EAEAABC①EA③ABCFN1FN2FN3

l1

l3

l2l

aa物理方程：將物理方程代入幾何方程得補(bǔ)充方程：由平衡方程和補(bǔ)充方程解得：×⒉溫度應(yīng)力超靜定結(jié)構(gòu)，由於溫度的改變，在構(gòu)件內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生溫度應(yīng)力。靜定結(jié)構(gòu)不會(huì)產(chǎn)生溫度應(yīng)力。lltlRFF超靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)兩端固定的桿件，桿的熱膨脹係數(shù)為，當(dāng)溫度升高

t時(shí)桿的軸力。×lFFltlR幾何方程：平衡方程：物理方程：EA將物理方程代入幾何方程得補(bǔ)充方程：×

第四章扭轉(zhuǎn)§4–1扭轉(zhuǎn)的概念§4–2扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力—扭矩與扭矩圖§4–3薄壁筒扭轉(zhuǎn)§4–4圓截面桿扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度條件§4–5圓截面桿扭轉(zhuǎn)的變形及剛度條件§4–6矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)§4–7薄壁桿扭轉(zhuǎn)

§4–1扭轉(zhuǎn)的概念×直桿在外力偶作用下，且力偶的作用面與直桿的軸線垂直，則桿件發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。ABOmm

OBA

扭轉(zhuǎn)：——扭轉(zhuǎn)角（兩端面相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)的角度）——剪切角，剪切角也稱切應(yīng)變?！痢?–2扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力—扭矩與扭矩圖mmmTⅠⅠx一、扭矩圓桿扭轉(zhuǎn)橫截面的內(nèi)力合成結(jié)果為一合力偶，合力偶的力偶矩稱為截面的扭矩，用T表示之。扭矩的正負(fù)號(hào)按右手螺旋法則來(lái)確定，即右手握住桿的軸線，捲曲四指表示扭矩的轉(zhuǎn)向，若拇指沿截面外法線指向，扭矩為正，反之為負(fù)。×mTx扭矩的大小由平衡方程求得。二、扭矩圖各截面的扭矩隨荷載而變化，是截面座標(biāo)的函數(shù)，表示各截面扭矩的圖象稱為扭矩圖。扭矩圖的畫法步驟與軸力圖基本相同，具體如下：×

扭矩圖的畫法步驟：

⒈畫一條與桿的軸線平行且與桿等長(zhǎng)的直線作基線；

⒉將桿分段，凡集中力偶作用點(diǎn)處均應(yīng)取作分段點(diǎn)；

⒊用截面法，通過(guò)平衡方程求出每段桿的扭矩；畫受力圖時(shí)，截面的扭矩一定要按正的規(guī)定來(lái)畫。

⒋按大小比例和正負(fù)號(hào)，將各段桿的扭矩畫在基線兩側(cè)，並在圖上表出數(shù)值和正負(fù)號(hào)?！晾?畫圖示桿的扭矩圖3kN.m5kN.m2kN.m解：11223kN.mT1ABCAC段：BC段：2kN.mT2扭矩圖3kN.m2kN.m⊕○-×扭矩是根據(jù)外力偶矩來(lái)計(jì)算，對(duì)於傳動(dòng)軸，外力偶矩可通過(guò)傳遞功率和轉(zhuǎn)數(shù)來(lái)?yè)Q算。三、外力偶矩?fù)Q算其中：P—功率，千瓦（kW）n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（r/min）若傳動(dòng)軸的傳遞功率為P，每分鐘轉(zhuǎn)數(shù)為n，則每分鐘功率作功：力偶作功：×例2已知：一傳動(dòng)軸轉(zhuǎn)數(shù)n=300r/min，主動(dòng)輪輸入功率P1=500kW，從動(dòng)輪輸出功率P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L製扭矩圖。nABCDm2

m3

m1

m4解：①計(jì)算外力偶矩×112233②求扭矩（扭矩按正方向假設(shè)）nABCDm2

m3

m1

m4×③繪製扭矩圖BC段為危險(xiǎn)截面。nABCDm2

m3

m1

m44.78kN.m9.56kN.m6.37kN.m

––扭矩圖×例３畫圖示桿的扭矩圖。3m2m2m1m⊕⊕○_扭矩圖ק4–3薄壁筒扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒：壁厚（r0：為平均半徑）一、實(shí)驗(yàn)：1.實(shí)驗(yàn)前：①繪縱向線，圓周線；②兩端施加一對(duì)外力偶m?！?.實(shí)驗(yàn)後：①圓周線不變；②各縱向線長(zhǎng)度不變，但均傾斜了同一微小角度

。②縱向線變成螺旋線。3.結(jié)果：①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。圓周線實(shí)際代表一個(gè)橫截面，此結(jié)果表明橫截面仍保持平面，且大小、形狀不變，滿足平面假設(shè)。③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形?！炼⒈”谕睬袘?yīng)力

A0為平均半徑所作圓的面積。薄壁筒扭轉(zhuǎn)時(shí)，因長(zhǎng)度不變，故橫截面上沒(méi)有正應(yīng)力，只有切應(yīng)力。因筒壁很薄，切應(yīng)力沿壁厚分佈可視作均勻的，切應(yīng)力沿圓周切線，方向與扭矩轉(zhuǎn)向一致。T×acddxb

dy′′tz

三、切應(yīng)力互等定理：

這就是切應(yīng)力互等定理：在單元體相互垂直的兩個(gè)截面上，切應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直於兩平面的交線，其方向或共同指向交線，或共同背離交線?！了?、剪切虎克定律：

單元體的四個(gè)側(cè)面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。acddxb

dy′′tz

單元體ab的傾角稱為切應(yīng)變，切應(yīng)變是單元體直角的改變量。實(shí)驗(yàn)表明，在彈性範(fàn)圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即這就是剪切虎克定律，比例常數(shù)G

稱為剪切彈性模量?！良羟袕椥阅Ａ縂、與彈性模量E和泊松比一樣，都是表徵材料力學(xué)性質(zhì)的材料常數(shù)。對(duì)於各向同性材料，這三個(gè)材料常數(shù)並不是獨(dú)立的，它們存在如下關(guān)係。根據(jù)該式，在三個(gè)材料常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，就可求出第三個(gè)來(lái)。ק4–4圓截面桿扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度條件×3.縱向線變形後仍為平行。一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察1.橫截面變形後仍為平面，滿足平面假設(shè)；2.軸向無(wú)伸縮，橫截面上沒(méi)有正應(yīng)力；×二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)橫截面上的切應(yīng)力

RdxdxB’C’C’c’b’d

⒈變形的幾何條件橫截面上b點(diǎn)的切應(yīng)變：其中為單位長(zhǎng)度桿兩端面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角，稱單位扭轉(zhuǎn)角B’×⒉物理?xiàng)l件橫截面上b點(diǎn)的切應(yīng)力：⒊靜力條件O2

dAdAb

T其中稱為截面對(duì)圓心的極慣性矩?！领妒堑脵M截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力為Ip—截面對(duì)圓心的極慣性矩，純幾何量，無(wú)物理意義。式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過(guò)外力偶矩求得；

—求應(yīng)力那點(diǎn)到圓心的距離；×dD環(huán)形截面：極慣性矩的單位：m4D

d

O⒋極慣性矩×同一截面，扭矩T，極慣性矩IP為常量，因此各點(diǎn)切應(yīng)力

的大小與該點(diǎn)到圓心的距離

成正比，方向垂直於圓的半徑，且與扭矩的轉(zhuǎn)向一致。TT

max

max實(shí)心圓截面切應(yīng)力分佈圖空心圓截面切應(yīng)力分佈圖最大切應(yīng)力在外圓處。×⒌最大切應(yīng)力令：Wt

稱為抗扭截面模量，單位：m3實(shí)心圓截面空心圓截面×例4

已知空心圓截面的扭矩T

=1kN.m，D=40mm，d=20mm，求最大、最小切應(yīng)力。dDT

max

min解：×三、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件：其中容許切應(yīng)力[

]是由扭轉(zhuǎn)時(shí)材料的極限切應(yīng)力除以安全係數(shù)得到?！痢?–5圓截面桿扭轉(zhuǎn)的變形及剛度條件一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形當(dāng)T、GIP為常量時(shí)，長(zhǎng)為l一段桿兩端面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為其中GIP表示桿件抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為抗扭剛度。×二、剛度條件[

]稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。若許用單位扭轉(zhuǎn)角給的是，則上式改寫為×例５圖示圓軸，已知mA=1kN.m，mB=3kN.m，mC=2kN.m；l1

=0.7m，l2

=0.3m；[

]=60MPa，[]=0.3°/m，G=80GPa；試選擇該軸的直徑。ABCmAmB

mCl1l22kN.m1kN.m⊕○解：⑴按強(qiáng)度條件×ABCmAmB

mCl1l22kN.m1kN.m⊕○⑵按剛度條件該圓軸直徑應(yīng)選擇：d=83.5mm.×[例4—5]圖示圓軸，已知mA=1.4kN.m，mB=0.6kN.m，mC=0.8kN.m；d1

=40mm，d2

=70mm；l1

=0.2m，l2

=0.4m；[

]=60MPa，[]=1°/m，G=80GPa；試校核該軸的強(qiáng)度和剛度，並計(jì)算兩端面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。ABCmAmB

mCl1l20.6kN.m0.8kN.m⊕○解：⑴按強(qiáng)度核該d1d2×ABCmAmB

mCl1l20.6kN.m0.8kN.m⊕○d1d2滿足強(qiáng)度條件。⑴按剛度核該×ABCmAmB

mCl1l20.6kN.m0.8kN.m⊕○d1d2此軸不滿足剛度條件。×[例4—6]長(zhǎng)為l=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為

=0.8，G=80GPa，許用切應(yīng)力[

]=30MPa，試設(shè)計(jì)桿的外徑；[

]=2o/m，試校核此桿的剛度，並求右端面轉(zhuǎn)角。解：①設(shè)計(jì)桿的外徑×x×②剛度校核③右端面轉(zhuǎn)角×[練習(xí)2]圖示圓桿BC段為空心，已知D=50mm，d=25mm；a=250mm，b=150mm；G=80GPa；試求該桿的最大切應(yīng)力和自由端的扭轉(zhuǎn)角。ABCaabb

Dd0.5kN.m0.3kN.m0.8kN.m11223344解：本題應(yīng)分4段考慮?！罙BCaabb

Dd0.5kN.m0.3kN.m0.8kN.m○－○－0.8kN.m○－0.5kN.m1kN.m11223344×ABCaabb

Dd0.5kN.m0.3kN.m0.8kN.m○－○－0.8kN.m○－0.5kN.m1kN.m11223344ק4–6矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)

非圓截面等直桿：平面假設(shè)不成立。即各截面發(fā)生翹曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)推出的應(yīng)力、變形公式不適用，須由彈性力學(xué)方法求解?！羑3bht1T

t

max注意！b自由扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同。×h3bht1T

t

max注意！b一、矩形桿橫截面上的切應(yīng)力分佈

⒈形心與角點(diǎn)的切應(yīng)力等於零；

⒉周邊的切應(yīng)力與周邊相切，方向與扭矩的轉(zhuǎn)向一致；

⒊截面的最大切應(yīng)力發(fā)生在長(zhǎng)邊的中點(diǎn)，短邊的最大切應(yīng)力發(fā)生在短邊的中點(diǎn)?！炼⒆畲笄袘?yīng)力及單位扭轉(zhuǎn)角h3bht1T

t

max注意！b——相當(dāng)極慣性矩。截面最大切應(yīng)力：?jiǎn)挝慌まD(zhuǎn)角：其中：——抗扭截面模量。係數(shù)

、

隨長(zhǎng)短邊的比值m=h/b

而變化，可查表獲得?！痢?–7薄壁桿扭轉(zhuǎn)

⒈切應(yīng)力流的方向與扭矩方向一致。

⒉開口薄壁截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分佈如圖（a），厚度中點(diǎn)處，應(yīng)力為零。

⒊閉口薄壁截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分佈如圖（b），同一厚度處，應(yīng)力均勻分佈。×圖（c）d

xd

2d1t1t2圖（d）

⒋閉口薄壁截面桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力計(jì)算，在（c）圖上取單元體如圖（d）。dx

1

2×

A0為壁後中線所包圍的面積。××第五章彎曲內(nèi)力§5–1平面彎曲的概念§5–2梁的剪力和彎矩§5–3剪力圖和彎矩圖§5–4剪力、彎矩與荷載集度間的關(guān)係§5–5按疊加原理作彎矩圖

§5–1平面彎曲的概念一、彎曲的概念

1.彎曲:桿受垂直於軸線的外力或外力偶矩矢的作用時(shí),軸線變成了曲線，這種變形稱為彎曲。2.梁：以彎曲變形為主的構(gòu)件通常稱為梁。×3.工程實(shí)例×縱向?qū)ΨQ面MF1F2q二、平面彎曲桿件具有縱向?qū)ΨQ面，荷載作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁彎曲後軸線彎成一條平面曲線，稱為平面彎曲。在後幾章中，將主要研究平面彎曲的內(nèi)力，應(yīng)力及變形等?！寥⒑?jiǎn)單靜定梁懸臂梁簡(jiǎn)支梁外伸梁ק5–2梁的剪力和彎矩FABalFABFAxFAyFB荷載和支座反力皆屬外力，下麵研究橫截面的內(nèi)力?！罰ABal將梁從Ⅰ－Ⅰ位置截開，取左側(cè)。ⅠⅠxAFAyⅠⅠFsMx因內(nèi)力必須與外力平衡，故內(nèi)力簡(jiǎn)化結(jié)果為一力和一力偶。該力與截面平行，稱為截面的剪力，用Fs

表示之；該力偶的力偶矩稱為截面的彎矩，用M表示之。

⑴剪力正負(fù)的規(guī)定：使微段有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為正，反之為負(fù)；

⑵彎矩正負(fù)的規(guī)定：使微段下麵受拉、上面受壓變形的彎矩為正，反之為負(fù)?！哩扚sFs○－FsFs⊕○－MMMM剪力正負(fù)的規(guī)定彎矩正負(fù)的規(guī)定內(nèi)力通過(guò)平衡方程計(jì)算。AFAyⅠⅠFsMx×

計(jì)算梁內(nèi)力的步驟：⒈取整體，求支座反力（懸臂梁此步可?。?；⒉將梁在要求內(nèi)力的部位截開，選簡(jiǎn)單一側(cè)作研究對(duì)象；⒊畫受力圖，截面的剪力、彎矩一定要按正的規(guī)定畫；⒋列平衡方程

Fx=0，求剪力FS

；

m=0，求彎矩?！晾?求圖示梁1、2、3、4截面的內(nèi)力。ABCD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344解：取整體，F(xiàn)AFB1－1截面FA11Fs1M1A由1－1截面的內(nèi)力計(jì)算可得結(jié)論：桿端無(wú)力偶作用，緊挨桿端截面的彎矩M=0。×CP=12kN2－2截面FA22Fs2M2AFA33Fs3M3A3－3截面ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFB×D2233PFs3M3Fs2M2由2、3截面的內(nèi)力計(jì)算可得如下結(jié)論：⑴集中力（包括支座反力）兩側(cè)截面的的彎矩相等；⑵集中力（包括支座反力）兩側(cè)截面的的剪力不等，左右截面剪力之差等於集中力（集中力以向下為正）。ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFB×C44M4Fs44－4截面由4－4截面的內(nèi)力計(jì)算可得如下結(jié)論：⑴自由端無(wú)集中力作用，端截面剪力等於零：F=0；

⑵自由端無(wú)集中力偶作用，端截面彎矩等於零：M=0。ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFB×例2求圖示梁1、2、3截面的內(nèi)力。ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m解：取整體，1－1截面FA11Fs1AM1m1×FA22Fs2M2A33Fs3M3Bm12－2截面3－3截面FBABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m×由2、3截面的內(nèi)力計(jì)算可得如下結(jié)論：⑴集中力偶兩側(cè)截面的的剪力相等；⑵集中力偶兩側(cè)截面的的彎矩不等，左右截面彎矩之差等於集中力偶矩（集中力偶矩以逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正）。C2233Fs3M3FS2M2m2ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m×例3求圖示梁1、2、3截面的內(nèi)力。ABC2m1mm=12kN.mq=6kN/m33112FAFB23m解：取整體1－1截面FA11Fs1M1A×BFA22Fs2M2Am2－2截面33Fs3M3FBq3－3截面BABC2m1mm=12kN.mq=6kN/m33112FAFB23mק5–3剪力圖和彎矩圖qxql-xlFs(x)M(x)圖示梁任一截面的內(nèi)力。截面剪力是截面座標(biāo)的函數(shù)，稱為剪力方程。截面彎矩也是截面座標(biāo)的函數(shù)，稱為彎矩方程?！羜xl剪力方程的函數(shù)圖象稱為剪力圖。正的剪力畫在基線上側(cè)，負(fù)的畫在下側(cè)。剪力圖qlxFs⊕彎矩方程的函數(shù)圖象稱為彎矩圖。按工程規(guī)定彎矩圖畫在桿的受拉一側(cè)，因此正的彎矩畫在基線下側(cè)，負(fù)的畫在上側(cè)。xMql2/2○－彎矩圖ק5–4剪力、彎矩與荷載集度間的關(guān)係ABdxxq(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)M(x)dxo取微段dx，受力如圖?！罙Bdxx略去高階微量得：q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)dxo×

⑴

當(dāng)q=0，F(xiàn)s

=常數(shù)，F(xiàn)s

圖為平直線；

M為一次函數(shù)，M圖為斜直線；

⑵

當(dāng)q=常數(shù)，F(xiàn)s為一次函數(shù)，F(xiàn)s

圖為斜直線；

M為二次函數(shù)，M圖為拋物線；當(dāng)M圖為拋物線時(shí)，畫M圖需確定拋物線頂點(diǎn)的位置和頂點(diǎn)的彎矩值。由：可知彎矩拋物線頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)於剪力圖等於零的位置。根據(jù)M、Fs與q之間的關(guān)係，可不必列剪力方程和彎矩方程，即可畫出剪力圖和彎矩圖。×根據(jù)M、Fs與q之間的關(guān)係畫剪力圖和彎矩圖的步驟如下：⒈取整體，求支座反力（懸臂梁此步可省）；⒉將梁分段：凡是集中力、集中力偶作用點(diǎn)，分佈荷載兩端，支座處都應(yīng)取作分段點(diǎn)；⒊用截面法求出每段梁兩端截面的剪力和彎矩，由Q=0確定彎矩拋物線頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的截面位置，並求出該截面的彎矩值；⒋用直線，均布荷載下彎矩圖用拋物線將各截面剪力、彎矩連起來(lái)。並在圖上標(biāo)出正負(fù)號(hào)，各控制截面的剪力值和彎矩值，以及彎矩拋物線頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的截面位置?！晾?畫圖示梁的剪力圖和彎矩圖。AC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FAFB34m11解：取整體Fs圖M圖FsM1234==00B×AC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kNFB=18kN34m11Fs圖M圖FsM12345==00FA22Fs2M2A66612B×Fs圖M圖FsM1234==0066-1812FA33Fs3M3Am24B44M4Fs4FB6FB=18kNAC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kN34m11B×AC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kNFB=18kN34m11Fs圖M圖FsM12345==0066-181224B66kN18kN⊕○－⊕3m5555Fs5M5FBq02712kN.m24kN.m27kN.mB×例5畫圖示梁的剪力圖和彎矩圖。AC2mF=6kNq=3kN/m66223FAFB32m11解：取整體Fs圖M圖FsM12345==002mB4455D6===×AC2mP=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=7kN32m11Fs圖M圖Fs

M12345==002mB4455D6===5-75FA33Fs3M3AP-1-1-11010⊕○－5kN1kN7kN⊕10kN.m×AC2mP=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=7kN32m11Fs

圖M圖FsM12345==002mB4455D6===5-75RA44Fs

4M4AP-1-1-11010⊕○－5kN1kN7kN⊕10kN.m8kN.m88×例6畫圖示梁的內(nèi)力圖。ABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344解：取整體，F(xiàn)BmAFs圖M圖Fs

M1234==00844×ABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344FB=12kNFs圖M圖Fs

M1234==00844mA=8kN.mP=4kN22FBFs2M2-8-8-8⊕○－4kN8kN⊕○－8kN.m8kN.mCB×例7畫圖示梁的內(nèi)力圖。ABCD3m4m2mF=3kNq=1kN/m11223366解：取整體，F(xiàn)AFC4455m=6kN.mFs圖M圖(kN)(kN.m)×ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs

圖M圖(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－×ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs圖M圖(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－○－FA33Fs3M3Amq94×ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs圖M圖(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－○－FA22Fs2M7Aq9422.5mFA77Fs7Aq773.125M2⊕ק5–5按疊加原理作彎矩圖qmABlmABlqABl=+FA=m/lFB=m/lFA=ql/2FB=ql/2Fs圖M圖⊕⊕○－m/lm⊕○－ql/2ql/2ql2/8m/l+ql/2m/l-ql/2⊕○－mql2/8=++=⊕○－Mmax×PmABl/2mABAB=+FA=m/lFB=m/lRA=P/2FB=P/2Fs圖M圖⊕⊕○－m/lmP/2P/2Pl/4m/l+P/2m/l-P/2○－○－mPl/4=++=l/2l/2l/2l/2l/2P⊕○－⊕⊕×應(yīng)用疊加原理畫彎矩圖常用的兩種情況：l/2l/2ABMAMBPl/2l/2ABMAMBqPl/4○－⊕○－○－MAMBMBMA⊕○－ql2/8M圖(b)M圖(a)

⑴

AB段梁中間作用一集中力P，兩端彎矩為MA、MB，該段梁的彎矩圖如圖（a）所示；

⑵

AB段梁作用於均布荷載

，兩端彎矩為MA、MB，該段梁的彎矩圖如圖（b）所示?！晾?用疊加法畫圖示梁的彎矩圖。q=2kN/mAP=4kN6m2m11223344BCM圖解：將梁分為AB，BC兩段。8kN.m9kN.m○－⊕不必求支座反力?！晾?用疊加法畫圖示梁的彎矩圖。q=2kN/mAP=4kN4m2m11223344CBM圖2m8kN.m解：將梁分為AC，BC兩段。先求支座反力。FAFB×例10用疊加法畫圖示梁的彎矩圖。q=2kN/mAP=4kN4m2m11223344CBM圖16kN.m4kN.m⊕2m8kN.m⊕4kN.m8kN.mFA=6kNFB=6kN×例11用疊加法畫圖示梁的彎矩圖。3kN10kN2kN/m112233445566ABCD2m2m2m2mM

圖解：將梁分為AB、BC、CD三段。不必求支座反力。⊕○－○－6kN.m4kN.m10kN.m1kN.m5kN.m××第六章彎曲應(yīng)力§6–1概述

§6–2彎曲正應(yīng)力§6–3彎曲切應(yīng)力§6–4梁的強(qiáng)度計(jì)算§6–5提高梁強(qiáng)度的主要措施§6–6

彎曲中心§6–7組合梁§6–1

概述

一、平面彎曲縱向?qū)ΨQ面P1P2×PPaaABFsMxx二、純彎曲CD圖示梁AB段橫截面上只有彎矩，而無(wú)剪力，該段梁的彎曲稱為純彎曲。

C

A與BD段橫截面上即有彎矩，又有剪力，該兩段梁的彎曲稱為橫力彎曲。⊕⊕○－ק6–2彎曲正應(yīng)力一、純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力⒈實(shí)驗(yàn)觀察×abcdMMbdac

⑴縱向直線代表一層纖維，變形後為平行曲線。每層變成曲面，同層纖維變形相同。下層纖維受拉伸長(zhǎng)，上層纖維受壓縮短；層間變形連續(xù)，中間必有一層即不伸長(zhǎng)也不縮短，稱為中性層。

⑵橫線代表一橫截面，變形後仍為直線，但轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，且仍與縱線正交。橫截面與中性層的交線稱為中性軸?！立不炯僭O(shè)中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸⑴平面假設(shè)：梁的橫截面變形後仍為平面，且與梁變形後的軸線正交；

⑵層間纖維無(wú)擠壓?！立匙冃螏缀侮P(guān)係取一微段dxdxabcdo1k1k2o2oy

變形前變形後×⒋變形物理關(guān)係yyxzdAz其中y為橫截面上求應(yīng)力那點(diǎn)相對(duì)中性軸的座標(biāo)，

為中性層變形後的曲率半徑。欲求橫截面上一點(diǎn)應(yīng)力必須知道中性軸的位置和中性層的曲率半徑。⒌靜力關(guān)係橫截面正應(yīng)力滿足如下關(guān)係：×yyxzdAz由：必有Sz=0，z

軸過(guò)截面形心。由：C必有Syz=0，z

軸為形心主軸。×yyxzdAzC由：其中EIz

表徵桿件抵抗彎曲變形的能力，稱為抗彎剛度。於是得：×yyxzdAzC由該式可知橫截面上各點(diǎn)正應(yīng)力大小與各點(diǎn)到中性軸的距離成正比，中性軸上各點(diǎn)正應(yīng)力為零，離中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)正應(yīng)力最大。zzCC×令上式可改寫為Wz稱為抗彎截面模量，單位：m3。上述分析是在平面假設(shè)下建立的，對(duì)於橫力彎曲，由於橫截面上還有剪力，變形後截面會(huì)發(fā)生翹曲，平面假設(shè)不再成立。當(dāng)截面尺寸與梁的跨度相比很小時(shí)，翹曲很小，仍可按平面假設(shè)分析，上面公式仍可使用?！立啪匦谓孛姊茍A形截面⑶環(huán)形截面CzCzbdh/2h/2zdCD×例1求圖示矩形截面梁D截面上a、b、c三點(diǎn)的正應(yīng)力。ABCD2m2m2mF=12kNFAFBzcab5623(cm)解：取AD，AFADFsMD(上面受拉)(拉)(拉)×例2求圖示T形截面梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。ABCD0.3m0.3m0.2mP=20kNP=50kNC301103080解：畫梁的彎矩圖；⊕○－5.5kN.m4kN.mzy2y1確定中性軸的位置?！罙BCD0.3m0.3m0.2mP=20kNP=50kNC301103080⊕○－5.5kN.m4kN.mzy2y1截面形心主慣性矩：×ABCD0.3m0.3m0.2mP=20kNP=50kNC301103080⊕○－5.5kN.m4kN.mzy2y1D

截面下邊受拉，上邊受壓；B截面上邊受拉，下邊受壓。比較可知最大壓應(yīng)力在D

截面的上邊緣，而最大拉應(yīng)力可能發(fā)生在D

截面的下邊緣，也可能發(fā)生在B

截面的上邊緣。×ABCD0.3m0.3m0.2mP=20kNP=50kNC301103080⊕○－5.5kN.m4kN.mzy2y1×ABCD0.3m0.3m0.2mP=20kNP=50kNC301103080⊕○－5.5kN.m4kN.mzy2y1最大拉應(yīng)力發(fā)生在B

截面的上邊緣，最大壓應(yīng)力發(fā)生在D

截面的上邊緣。分別為×例3圖示矩

形截面梁，C截面處有一直徑d=40mm的圓孔，試求該截面的最大正應(yīng)力。ABC2m2m80404040解：×*§6–3彎曲切應(yīng)力橫力彎曲時(shí)，梁橫截面即有彎矩，也有剪力，相應(yīng)也必有切應(yīng)力。一、矩形截面切應(yīng)力基本假設(shè)：⑴截面上各點(diǎn)切應(yīng)力與剪力同向；⑵距中性軸等距離各點(diǎn)的切應(yīng)力相等。在梁上截一微段dx，再在微段上用水平截面mn截一微元。FsFsMM+dM1122dxmn×1‘

dx2mnzyh/212‘

yy1bdAFN1FN212dxmnyxz平衡條件：ב

yy1bdAN1N212dxmnyxz同理得因於是得×式中為截面求應(yīng)力那點(diǎn)到截面邊緣所圍面積對(duì)中性軸的靜矩。C*byy*h/2h/2z

max由此式可知，橫截面各點(diǎn)切應(yīng)力是各點(diǎn)座標(biāo)y的2次函數(shù)，切應(yīng)力的大小沿截面高度呈拋物線分佈。中性軸上切應(yīng)力最大，上下邊緣切應(yīng)力為零?！炼?、其他截面切應(yīng)力工字型截面腹板的切應(yīng)力翼板腹板bzb1

max

式中b1為工字型腹板的厚度?！羈b1z

max為中性軸一側(cè)截面對(duì)中性軸的靜矩。T型截面

maxz

max圓形截面環(huán)形截面

maxzz×例4圖示梁由三塊板膠合而成，橫截面尺寸如圖所示，求Ⅰ—Ⅰ截面的最大切應(yīng)力和膠縫的切應(yīng)力。AB2m2m60404040ⅠⅠ解：FA=6kNFB=6kNק6–4梁的強(qiáng)度計(jì)算梁要安全工作，必須同時(shí)滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和切應(yīng)力強(qiáng)度條件。⒈正應(yīng)力強(qiáng)度條件：對(duì)於等截面梁⒉切應(yīng)力強(qiáng)度條件：×簡(jiǎn)單截面的最大切應(yīng)力可用簡(jiǎn)化公式計(jì)算，即矩形截面圓形截面環(huán)形截面根據(jù)強(qiáng)度條件可進(jìn)行下述工程計(jì)算：⑴強(qiáng)度校核；⑵設(shè)計(jì)截面尺寸；⑶確定容許荷載。×利用強(qiáng)度條件進(jìn)行工程計(jì)算時(shí)，需首先確定梁的危險(xiǎn)截面。

⑴梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大截面離中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)處；

⑵梁的最大切應(yīng)力發(fā)生在剪力最大截面的中性軸上。一般來(lái)說(shuō)，梁的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力並不在同一截面上，彎矩圖上最大彎矩對(duì)應(yīng)於梁的最大正應(yīng)力所在截面，剪力圖上最大剪力對(duì)應(yīng)於梁的最大切應(yīng)力所在截面?！晾?圖示梁的的荷載及截面尺寸如圖所示，材料的容許拉應(yīng)力[

t]=40MPa、容許壓應(yīng)力[

c]=100MPa，容許切應(yīng)力[

]=20MPa。試校核該梁的強(qiáng)度。AB3m1m2mCDFB=30kNCz2002003030解：求支座反力；畫內(nèi)力圖；FD=10kNM圖20kN.m10kN.m○－⊕157.5計(jì)算截面慣性矩；⊕○－○－10kN10kN20kNFs圖×Cz2002003030157.5AB3m1m2mCDFB=30kNFD=10kNM圖20kN.m○－⊕⊕○－○－10kN10kN20kNFs圖10kN.mB截面最大拉應(yīng)力：B截面最大壓應(yīng)力：C截面最大拉應(yīng)力：C截面最大壓應(yīng)力：×Cz2002003030157.5AB3m1m2mCDFB=30kNFD=10kNM圖20kN.m○－⊕⊕○－○－10kN10kN20kNFs圖10kN.m經(jīng)比較可知，最大拉應(yīng)力發(fā)生在C截面的下邊緣；最大壓應(yīng)力發(fā)生在B截面的下邊緣；最大切應(yīng)力發(fā)生在B的左截面的中性軸上?！罜z2002003030157.5AB3m1m2mCDFB=30kNFD=10kNM圖20kN.m○－⊕⊕○－○－10kN10kN20kNFs圖10kN.m此梁安全×AB3m例6圖示工字形截面梁，已知容許正應(yīng)力[

]=170MPa，容許切應(yīng)力[

]=100MPa，試選擇工字鋼的型號(hào)。3m2mCD解：求支座反力；FB=29kNFD=13kN畫剪力圖和彎矩圖；M圖Fs圖⊕⊕○－○－○－13kN17kN12kN12kN.m39kN.m梁的強(qiáng)度主要由正應(yīng)力所控制，先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇工字鋼型號(hào)，再用切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核?！罙B3m3m2mCDFB=29kNFD=13kNM圖Fs圖⊕⊕○－○－○－13kN17kN12kN12kN.m39kN.m由型鋼表查選20a工字鋼，主要參數(shù)如下：×例7圖示梁由兩根木料膠合而成，已知木材的容許正應(yīng)力[

]=10MPa，容許切應(yīng)力[

]=1.0MPa，膠縫的容許切應(yīng)力[

1]=0.4MPa，試確定容許荷載集度[q]。AB3mFA=1.5qFB=1.5qz10010050M圖Fs圖⊕⊕○－1.5q1.125q解：求支座反力；畫剪力圖與彎矩圖；

⑴按正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定容許荷載；×AB3mFA=1.5qFB=1.5q10010050M圖Fs圖⊕⊕○－1.5q1.5qz

⑵按切應(yīng)力強(qiáng)度條件確定容許荷載；1.125q×AB3mFA=1.5qFB=1.5q10010050M圖Fs圖⊕⊕○－1.5q1.5qz1.125q

⑶按膠縫切應(yīng)力強(qiáng)度條件確定容許荷載；×例8圖示圓截面梁，直徑d=200mm，材料的容許正應(yīng)力[

]=10MPa，容許切應(yīng)力[

]=2MPa。試校核該梁的強(qiáng)度。AB3m1mFA=5kNdFB=10kN解：求支座反力；畫剪力圖和彎矩圖；Fs圖M圖⊕⊕⊕○－○－5kN3kN7kN1.25m3kN.m3.125kN.m最大正應(yīng)力發(fā)生在距A端1.25m截面的上下邊緣； 最大切應(yīng)力發(fā)生在B的左截面的中性軸上。 ×AB3m1mFA=5kNdFB=10kNFs圖M圖⊕⊕⊕○－○－5kN3kN7kN1.25m3kN.m3.125kN.m此梁安全?！?–5提高梁強(qiáng)度的主要措施梁的設(shè)計(jì)主要依據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件，即由正應(yīng)力強(qiáng)度條件可知，要提高梁的強(qiáng)度可從降低最大彎矩Mmax和增大抗彎截面模量Wz來(lái)考慮。一、選擇合理的截面形狀梁的抗彎截面模量Wz與截面尺寸和形狀有關(guān)，截面面積相同的情況下，Wz越大截面形狀越合理。下麵對(duì)矩形、方形、圓形截面加以比較?！羫hbCaaCzdzC矩形截面比方形截面好方形截面比圓形截面好×zzz以矩形截面梁為例，橫截面的正應(yīng)力沿截面高度線性分佈，當(dāng)上下邊緣的應(yīng)力達(dá)到容許應(yīng)力時(shí)，中性軸附近材料遠(yuǎn)比容許應(yīng)力，沒(méi)能充分發(fā)揮材料作用，若將這部分材料移到離中性軸較遠(yuǎn)處，就可極大地提高梁的承載能力。故工字形截面、槽形截面、T形截面均比矩形截面好。二、採(cǎi)用變截面梁對(duì)於等截面梁，按強(qiáng)度條件只有Mmax截面上的最大正應(yīng)力才達(dá)到[

]，而其他截面上的最大正應(yīng)力均沒(méi)達(dá)到[

]。若採(cǎi)用變截面梁，使各截面上的最大正應(yīng)力同時(shí)達(dá)到[

]，此梁工程上稱為等強(qiáng)度梁。等強(qiáng)度梁的抗彎截面模量設(shè)計(jì)如下：變截面梁懸臂涼臺(tái)AB吊車梁×三、改善梁的受力情況通過(guò)改善梁的受力情況，以降低梁的最大彎矩，從而提高梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。ABlql2/8AB2l/3l/6l/6ql2/72ql2/72ql2/24⊕⊕M圖M圖×ABl/2l/2PABl/4l/2Pl/4⊕⊕Pl/4Pl/8M圖M圖×例9由直徑為d的圓木截取一矩形截面梁，試按強(qiáng)度要求選擇最合理的高寬尺寸h、b。bzyhdC解：使所截矩形的Wz越大越好?！羀例6—8]吊裝一混凝土梁，索繩所系位置x為多少最安全。qlxx⊕○－○－qx2/2qx2/2q(l-2x)2/8-qx2/2解：梁的最大彎矩最小時(shí)最安全，當(dāng)梁的最大正彎矩與最大負(fù)彎矩相等時(shí)梁的最大彎矩最小，即ק6–6

彎曲中心一、開口薄壁截面梁的彎曲切應(yīng)力dxdx

ttN1N2

‘a(chǎn)abbccddb’c’d’b’c’前面已經(jīng)介紹了工字形截面腹板的切應(yīng)力，這裏再研究一下翼板的切應(yīng)力。從翼板上截一微元，受力如圖。hH×dxdx

ttN1N2

‘a(chǎn)abbccddb’c’d’b’c’式中為翼板微元abcd截面對(duì)中性軸z的靜矩，即hHzz翼板的切應(yīng)力為水準(zhǔn)，大小成比例。bb1×dxdx

ttN1N2

‘a(chǎn)abbccddb’c’d’b’c’hHzzbb1翼板根部切應(yīng)力：腹板端部切應(yīng)力：比較二式得：腹板與翼板接合部的切應(yīng)力關(guān)係與水管流量相似，故將截面切應(yīng)力流向稱為切應(yīng)力流。切應(yīng)力流×二、彎曲中心zzzyyyzyzyzyFs1Fs2Fs2′FsFs