人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修二)同步培優(yōu)講義專題4.7 等比數(shù)列的概念（重難點(diǎn)題型精講）（原卷版）

專題4.7等比數(shù)列的概念（重難點(diǎn)題型精講）1．等比數(shù)列的概念2．等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G(G≠0)，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).

若G是a與b的等比中項(xiàng)，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=ab，即G=SKIPIF1<0.3．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式若等比數(shù)列{SKIPIF1<0}的首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為q，則這個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0(SKIPIF1<0,q≠0).4．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系等比數(shù)列{SKIPIF1<0}的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0可以改寫為SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，等比數(shù)列{SKIPIF1<0}的圖象是指數(shù)型函數(shù)y=SKIPIF1<0的圖象上一些孤立的點(diǎn).5．等比數(shù)列的單調(diào)性已知等比數(shù)列{SKIPIF1<0}的首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為q，則

(1)當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，等比數(shù)列{SKIPIF1<0}為遞增數(shù)列；

(2)當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，等比數(shù)列{SKIPIF1<0}為遞減數(shù)列；

(3)當(dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列{SKIPIF1<0}為常數(shù)列(這個(gè)常數(shù)列中各項(xiàng)均不等于0)；

(4)當(dāng)q<0時(shí)，等比數(shù)列{SKIPIF1<0}為擺動數(shù)列(它所有的奇數(shù)項(xiàng)同號，所有的偶數(shù)項(xiàng)也同號，但是奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)異號).6．等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè){SKIPIF1<0}為等比數(shù)列，公比為q，則

(1)若m+n=p+q，m,n,p,qSKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.

(2)若m,n,p(m,n,pSKIPIF1<0)成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0成等比數(shù)列.

(3)數(shù)列{SKIPIF1<0SKIPIF1<0}(SKIPIF1<0為不等于零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列；

數(shù)列{SKIPIF1<0}是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列；

數(shù)列{SKIPIF1<0}是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列；

若數(shù)列{SKIPIF1<0}是公比為q'的等比數(shù)列，則數(shù)列{SKIPIF1<0}是公比為q·q'的等比數(shù)列.

(4)在數(shù)列{SKIPIF1<0}中，每隔k(kSKIPIF1<0)項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來的順序排列，所得數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為SKIPIF1<0.

(5)在數(shù)列{SKIPIF1<0}中，連續(xù)相鄰k項(xiàng)的和(或積)構(gòu)成公比為SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0)的等比數(shù)列.

(6)若數(shù)列{SKIPIF1<0}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列{SKIPIF1<0}(c>0且c≠1)是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列.【題型1等比數(shù)列的基本量的求解】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)所給條件，求解等比數(shù)列的基本量，即可得解.【例1】（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））在等比數(shù)列an中，a2+a4=3，A．4 B．±4 C．2 D．±2【變式1-1】（2022·陜西·高二階段練習(xí)）已知等比數(shù)列an中，a2=116，aA．±4 B．±22 C．2【變式1-2】（2022·甘肅·高三階段練習(xí)（理））在等比數(shù)列an中，a2a4=64，aA．2 B．±2 C．2或43 D．【變式1-3】（2022·云南昆明·高二期末）在等比數(shù)列an中，a1+a3=2，A．2 B．3 C．13 D．【題型2等比中項(xiàng)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，結(jié)合等比中項(xiàng)的定義，即可得解.【例2】（2022·黑龍江·高二期中）在等比數(shù)列an中，a1=18，q=2，則aA．±4 B．4 C．?2 D．?4【變式2-1】（2022·寧夏·高一期末）若等比數(shù)列的首項(xiàng)為4，公比為2，則數(shù)列中第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的等比中項(xiàng)為（

）A．32 B．?16 C．±32 D．±16【變式2-2】（2022·廣東·高二期中）若數(shù)列2,a,8是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．4 B．??4 C．【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列an為等比數(shù)列，a1=1，a5=4，命題p:a3=2，命題q:a3是A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【題型3等比數(shù)列的通項(xiàng)公式】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合所給數(shù)列的遞推關(guān)系，分析數(shù)列之間的規(guī)律關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解即可.【例3】（2022·湖南·高二期中）正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a1=2，a3=8A．2n?1 B．2n C．2【變式3-1】（2022·陜西·高二階段練習(xí)（文））在各項(xiàng)為正的遞增等比數(shù)列an?中，a1a2aA．2n+1? B．2C．3×2n?1? D．【變式3-2】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知在等比數(shù)列an中，a3=4，前三項(xiàng)和S3=12A．a(chǎn)n=C．a(chǎn)n=4 D．a(chǎn)【變式3-3】（2022·山西太原·高三期末（理））等比數(shù)列{an}中，a3=8,A．a(chǎn)n=C．a(chǎn)n=2n或1【題型4等比數(shù)列的單調(diào)性】【方法點(diǎn)撥】判斷單調(diào)性的方法：①轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性，如基本初等函數(shù)的單調(diào)性等，研究數(shù)列的單調(diào)性.②利用定義判斷：作差比較法，即作差比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小；作商比較法，即作商比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小，從而判斷出數(shù)列{SKIPIF1<0}的單調(diào)性.【例4】（2022·陜西·高二期中（理））數(shù)列an是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公比為q，則a1q?1<0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式4-1】（2022·遼寧·高二期中）設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則anA．a(chǎn)1>0，q>1 B．a(chǎn)C．a(chǎn)1lg【變式4-2】（2022·河南·高二階段練習(xí)（理））已知等比數(shù)列{an}的公比為q．若{anA．q<?1 B．?1<q<0 C．0<q<1 D．q>1【變式4-3】（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比數(shù)列an，下列選項(xiàng)能判斷an為遞增數(shù)列的是(A．a(chǎn)1>0，0<q<1 B．a(chǎn)C．a(chǎn)1<0，q=1 D．a(chǎn)【題型5等比數(shù)列的判定與證明】【方法點(diǎn)撥】只有定義法、遞推法(等比中項(xiàng)法)可用于證明等比數(shù)列，通項(xiàng)公式法與前n項(xiàng)和公式法只能用于小題中等比數(shù)列的判定；在用定義法與遞推法(等比中項(xiàng)法)證明等比數(shù)列時(shí)要注意SKIPIF1<0≠0.【例5】（2022·湖南省高二期中）在數(shù)列an中，a1=2(1)求證：an(2)求數(shù)列an【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1【變式5-2】（2022·福建省高三階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足an+1=12(1)求證：數(shù)列bn(2)若cn=?nb【變式5-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列{an}中，已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{(1)證明數(shù)列{a(2)若a1=15，【題型6等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】對于等比數(shù)列的運(yùn)算問題，可觀察已知項(xiàng)和待求項(xiàng)的序號之間的關(guān)系，利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度.【例6】（2021·廣西·高二階段練習(xí)）在等比數(shù)列{an}中，已知a3aA．4 B．6 C．8 D．10【變式6-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）己知在等