2023高考數(shù)學：圓錐曲線巧設直線必刷100題

2023高考數(shù)學：圓錐曲線巧設直線必刷100題

目錄

i.方法提示：.....................................................1

2.圓錐曲線技巧全覆蓋之直線的巧設，三種情況.......................1

3.一、單選題......................................................3

4.二、填空題....................................................35

5.三、解答題....................................................53

1.方法提示：

在圓錐曲線聯(lián)立與設線的問題當中，設直線的方法比較多.常見有幾下幾種類型:

①y-yo=%（x-Xo）

當題干中直接或者隱含直線過定點（X。,先）時，可設點斜式y(tǒng)-y。=A（x-x0）

局限性：不能表示垂直于x軸的直線，需要單獨討論.

②y=kx+b

當題干中含有過y軸上一定點（。力）時，或者在解題步驟中需要演⑦或占+修，需要

消掉九保留x時,設、=履+人會簡化解題步驟和計算量.

局限性：不能表示垂直于x軸的直線，需要單獨討論.

③x=ky+m,當題干中含有過X軸上一定點（機,0）時,或者在解題步驟中需要為?乃

或M+%,需要消掉x,保留N時，設x=ky+m會簡化解題步驟和計算量.

局限性：不能表示平行于x軸的直線,需要單獨討論.

2.圓錐曲線技巧全覆蓋之直線的巧設，三種情況

我們都知道在直線和橢圓、雙曲線、拋物線的焦點的問題中，我們會去設

直線的方程，然后聯(lián)立方程求解.在設直線的過程中一定要注意直線的斜率k是

否存在，如果斜率不存在，則這條直線的傾斜角為90度，這種情況則需要進

行單獨討論的.下面來講講我們怎么去設直線，在這里我分了3種情況：

第1頁共109頁

①如果直線過y軸上的一點(0,m),當斜率k存在時，此時直線可設為：

y=kx+m,并且這種情況是包含k=0這種情況的，此時y=m,其圖像是與x

軸平行的.但是不包含該直線傾斜角為90度這種情況的，即不包含與x軸垂直

的情況，這種情況如果存在，則需要單獨說明.

②如果直線過x軸上的一點則直線方程可以設為：x=ty+m,當t=0

時，直線與x軸垂直，但是不包含與x軸平行的情況，這種情況如果存在，則

需要單獨說明.

③如果直線過x軸上的一點且直線的斜率為k的直線方程為：

1

x=—v+in

K

這個式子實際是點斜式改寫的：

<*?o)1

v=k(x-m)=—v=x-in

k'

1

/.x=—y+m

那么為什么要這樣去改寫呢，因為有些題目這樣改寫聯(lián)立后計算就變得簡

單多了，特別是在拋物線的相關的題型當中，下面就用例題來說明一下.

設拋物線C:/=4x的焦點為尸，過點(-2,0)且斜率為三的直線與拋物線

交于兩點，則由?麗=()

A.5B.6C.7D.8

解：根據知拋物線的標準方程為：』=2小，所以p=2,而焦點坐標為[與.0；即焦點廣的坐

標為(L0),而過點(-2.0)且斜率已知的直與拋物線交于A1.N兩點，題目是求前.聲的值

此時需要把向量轉換為坐標之間的關系，但是點的坐標未知，所以我們可以設

河⑸")N區(qū)』)

根據向量坐標公式得：布=(演+2.門).而=(.?+2.必)

故.FM.FN=(Xi+2)(.?+2)+心打(])

=x1x2+2(力+工J+4+y\y2

第2頁共109頁

上面式子明顯和韋達定理(由于本題的解都為友好的整數(shù)，過程中可以不用

韋達定理來做)有關，所以下面的步驟就是要設出直線和拋物線方程聯(lián)立得出一

元二次方程，根據韋達定理就出上述參數(shù)的值(我們是這樣去想的，做題的過程

中根據得出結果的特點也可以靈活地去用其他更簡單的方法)，那么問題來了，

這個直線該怎么去設呢？

我這里給出兩種方法你們來比較一下，看看最后會用哪種方法。

方法①：設直線方程為：F=：('+2),方法②：設直線方程為：x=gy-2

v=—(.r+2；

聯(lián)立拋物線得：-3'聯(lián)立拋物線得：':『一

y2=4.Vy2=4,v

化簡得：化簡得:

'2

y(.X+2)-4x=0

4/,\

-(.V2+4.r+4)-4.v=0

4(.d+4x+4)-36x=0

4x2-20.V+16=0

,v:-5.V+4=0

得：X]=Lx：=4,得：J'I=2「=4,

下面的步驟就是一樣的了則一組坐標為河(L2).4)

帶入到(1)中得：前.聲=4-5+1+8=8,答案為D選項

因為本題中的坐標均為整數(shù)，兩種設法最后都可以比較快速的求出相應的

值，所以在本題中這兩種方法的差距還是不算明顯，但是單從計算復雜程度來

講的話，方法②還是肉眼可見的比方法①要簡單的,所以在拋物線與直線相關的

問題當中，一定要去考慮直線該怎們去設才能更快，更容易地把解求出來.我在

下一個例題中，再來繼續(xù)分析三種設法的區(qū)別，讓你們有一個更直觀的認識，

今天就講到這里了.

3.一、單選題

1.已知直線/：V=x-l與拋物線C:/=2px(p>0)相交于A、B兩點，若力8的中

第3頁共109頁

點為N,且拋物線。上存在點使得刀+麗=§的（。為坐標原點），則P的

值為（）

A.4B.2C.1D.}

【答案】B

【分析】

聯(lián)立直線與拋物線可求出中點N的坐標，由題干條件可得出麗=3而，從而求

出“點坐標，又點M在拋物線上，代入拋物線方程可求出夕值.

【詳解】

解：設”（不乂），8（匕,外）,聯(lián)立[）2一方?得：y2-2py-2P=0,解得：

[y=2px

玉+工2=22+2,必+%=2，因為N為/B的中點，所以N（P+Lp）,

又因為53+而=2麗，所以有麗=3而，即M（3p+3,3p）,點M在拋物線上，代

入可得9P2=2p（3p+3）,解得：p=2.

故選：B.

2.已知弦43經過拋物線產=2px（p>0）的焦點F,設力（XQJ,B（x2,y2）,則下

列說法中錯誤的是（）

A.當與x軸垂直時，|“用最小

11_2

B,\AF\+\BF\=~P

C.以弦力8為直徑的圓與直線x=-5相離

2

D.yty2=-p

【答案】C

【分析】

根據拋物線焦點弦的性質依次判斷各個選項即可得到結果.

【詳解】

力8與x軸垂直時，為拋物線的通徑，是最短的焦點弦，即|力卻最小，A正確；

p_

設方程為x=）+§，由+5得：y2-2pty-p2=0,

y2=2px

第4頁共109頁

2

：.yt+y2=2pt,y1y2=-p,D正確;

(乂+必)、2%%=4「y+2匚XX-y'y^-p'

X]+x=Tpt\p

22p2p2pgR-彳，

1111X+x.4-p

----1----=------1-------=------!--工——--------c24+292P(7+1)2十

網網再+[X+|x,x+1(x,+x)+^-22222一,B正

222P+Pt~p(z+l)P

確;

Q48中點到x=-^■的距離為ga+X2+p)=,8,

??.以48為直徑的圓與準線x=-5相切，C錯誤.

故選：C.

3.過點（0,-2）的直線與拋物線/=8x交于46兩點，若線段中點的橫坐標

為2,則|陽=（）

A.2后B.V17C.2折D.715

【答案】C

【分析】

設直線方程為了=區(qū)-2,聯(lián)立方程組根據線段N8中點的橫坐標為2,求得％=2,

結合根與系數(shù)的關系和弦長公式，即可求解.

【詳解】

設直線方程為y=H-2,/（XQ|）,8（%,力），

聯(lián)立方程組['「"：-2,整理得以-2）x+4=0,

[y=8x

因為直線與拋物線交于43兩點，所以A=16（k+2）2_16%2>0,解得左>7,

因為線段43中點的橫坐標為2,可得空?=2,所以％=2或"=-1（舍）,

所以4.d-16x+4=0,可得％+》2=4,x/2=1,

22

則|/同=dl+kJx]-x2|=-\/l+2-J（X[一4為々=心（4?-4）=2JTM.

故選：C.

4.若直線y=Ax+2與雙曲線--"=6的右支交于不同的兩點，則A的取值范

圍是（）

第5頁共109頁

A.（彎，將B.（。,半）

C.（-半，。）D?（-半,一1）

【答案】D

【分析】

根據雙曲線的方程求得漸近線方程，把直線與雙曲線方程聯(lián)立消去九利用判別

式大于0和A<T聯(lián)立求得左的范圍.

【詳解】

由消去齊整理得（--1）/+4h+10=0,

肉-1）/+4府+10=0的兩根為xi，X2，

?.?直線_y="+2與雙曲線x2-產=6的右支交于不同的兩點，

4k

X.+x,=—:——>（n）

1-F-1

：.\10、n，:，k<-1,

再"門>°

公-1*0

k<-\屈

2/,\=----<%<-1

△=（,4上7、-磯氏］）〉。3

故選：D.

5.已知過拋物線C：產=4x的焦點尸且傾斜角為30。的直線交C于/1,5兩點,

0為4B的中點，P為C上一點,則|PF|+|P0|的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】

設直線"的方程為彳=石>1,聯(lián)立卜：州+1,得到AB的中點坐標，然后過

y=4x

P作P”垂直準線于點"，再利用拋物線的定義，由0，尸，”三點共線時求得最小

值求解.

【詳解】

如圖所示：

第6頁共109頁

由題意，得E（l,0）,故直線N8的方程為》=百尹1,

聯(lián)立，*+l,Wy2-4y/3y-4=0>

、y=4x

設”（xi,yi）?B（X2,yi'）>

貝IJ“+V2=46,x\士X2=拒（yi+y2）+2=14,

所以Q（7,2A/3）,

過尸作P"垂直準線于點H,

由拋物線的定義得：|P6+|PQ=|「網+|尸。閆。*=7+1=8,

當。,P"三點共線時，等號成立，

所以|PR+|P0|的最小值為8,

故選：D.

6.已知拋物線產=4x,直線/與拋物線交于N、B兩點,若線段N5中點的縱

坐標為2,則直線AB的斜率為（）

A.2B.6C.—D.1

3

【答案】D

【分析】

設直線/的方程為x=/nj-〃，A（xi,j；i）,B（X2,/）,聯(lián)立直線與拋物線的

方程，由韋達定理及直線斜率公式即可求解.

【詳解】

設直線/的方程為彳=叩+〃，A（,x\,y\},B（X2,夕2）,

聯(lián)立直線/與拋物線方程化簡可得，/-4my-4〃=0,

第7頁共109頁

由韋達定理可得，yi+y2=4m,

..乂+%一二

*2~'

.,.4m=4,BPm=1,

.?.直線/的方程為y=x-〃，

.M=l.

故選：D

7.已知直線/與拋物線V=4x交于48兩點（點A在第一象限，點8在第四象限）,

與x軸交于點忖（九0）,若線段AB的中點的橫坐標為3,則m的取值范圍是（）

A.（0,3]B.（—,3]C.（0,6]D,0,6]

【答案】A

【分析】

設4（再,必）,8（右力），直線方程為x=w+機（加＞0）,然后拋物線標準方程與直線方

程聯(lián)立消X,得一個關于丁一元二次方程，又由線段48的中點的橫坐標為3,得

%+馬=6,轉化為機=3-2/，由此即可確定加的取值范圍.

【詳解】

解:設4（再,必）,8（%,必）,直線方程為x=W+Mm＞0）,

聯(lián)立]"丁："，消去x,得了2_4沙-4〃?=0,所以必+為=力，

Iy=?

所以X]+%=/&[+必）+為="+2m,

因為A、8中點橫坐標為3,所以玉+工2=6,

故加=3-2米3,又機＞0,所以加的取值范圍為（0,3].

故選：A.

8.平面直角坐標系》。夕中，已知直線/與拋物線V=x交于/、3兩點，OA、OB

的斜率分別為勺和右，滿足&?是拋物線的焦點，貝!U/8尸的面積的最

小值為（）

A.4亞B.2右C.V5D.日

【答案】D

【分析】

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A

設直線/：x=〃，y+〃.設Z（X"J,8（X2，%）,用“設而不求法”表示出桃2=-1得到

從而得到"BF的面積S=,|M-必|,由|必-%|=/（必+yj-4必為=VIrt+5W3即

可求出最小值.

【詳解】

因為直線/與拋物線/="交于4、B兩點，所以可設直線/：x=W+〃.

設“（X”必），8（々,%）,則有F-X,消去x得：y2-my-n=O,

x=my+n

所以'

1%為=-〃

由桃2=-1得：77'=-7?即普所以乂％=-〃=-；，即〃=；.

J人［人2，y\Z2，-4

即直線/與x軸交于P（jo）.

又拋物線/=X的焦點尸所以歸"|==1.

所以“BF的面積S=S,APF+S/=帆-V2|=2|.

因為［必_，所以|乂-閭=戊乂+%『_"必=1"+5N岳，

〔歹1'2—一〃

當〃尸0時，即直線/：x=J的斜率不存在時，取等號，

此時“BE的面積的最小值：S=-x75=—.

22

故選：D

9.已知拋物線爐=2px（p>0）,A和8分別為拋物線上的兩個動點，若NAOB=/

（。為坐標原點），弦小恒過定點（4,0）,則拋物線方程為（）

A.y2=2xB.y2=4x

C./=8xD.y2=16x

【答案】B

【分析】

設直線”的方程為工=皎+4,設4（%,乂）、8（々，%）,將直線的方程與拋物線

第9頁共109頁

的方程聯(lián)立，列出韋達定理，分析可得萬?麗=0,利用平面向量數(shù)量積的坐標

運算結合韋達定理求出P的值，即可得出拋物線的標準方程.

【詳解】

若直線相與X軸重合，此時直線48與拋物線V=2px（p>0）只有一個交點，不合

乎題意.

設點Z（x”M）、8（々,為），設直線”的方程為x=my+4,

聯(lián)立廣2々+4,消去x可得「-2吶-8p=0,

[y=2px

△=4/p2+32。>0,所以，%為=-8p,

因為N4°8=g,則OAOB=x,x2+yj,=（'"；）+必力=16-8p=0,解得P=2.

24P

因此，拋物線的方程為產=4x.

故選：B.

10.已知點方為拋物線C：/=4x的焦點，過點尸的直線/交拋物線C于4,B

兩點，若荏=3而，貝！][48|=（）

9

A.9B.472C.2&D.-

【答案】D

【分析】

設直線/的方程為》=為+1,聯(lián)立直線/與拋物線方程化簡可得/-4"-4=0,

設/（再,必），%）,由此可得凹刈二-4，結合方=3而可求的坐標，再由

焦點弦公式求|Z8].

【詳解】

因為焦點尸。，0），設直線/的方程為、=為+1,代入拋物線方程，得

，-4右-4=0.設4（西,凹）,B（x2,y2）,由韋達定理得%力=-4.因為懣=3而，

所以萬=2而，所以M=-2%.解得乂=-2>/1,y2=近或y、=2近,y2=-5/2,所

11Q

以司=2,》2=5，所以MM=X|+Xz+p=5+2+2=5.故選D.

11.已知拋物線C：/=2px（p>0）的焦點為人經過點尸的直線與拋物線。交于

45兩點，若的中點為則線段的長為（）

第10頁共109頁

7

B.4C.5D.4或5

2

【答案】D

【分析】

設/（不凹）,4馬,%）,由題意得到再+毛=3,凹+%=2,設直線方程為xiy+金

聯(lián)立方程組得到必當=-。2,根據48均為拋物線上的點，得到竹=產，兩式

相加得出關于P的方程，求得P的值，結合焦點弦的性質，即可求解.

【詳解】

設,（不必），8（/,%）,

因為43中點坐標為可得不+々=3,yt+y2=2,

因為直線AB過焦點廠怎，0），可設直線AB方程為x=〃y+5,

_p_

聯(lián)立直線23與拋物線方程*=""萬'，整理得/-2〃力-p2=0,則%為=-p2,

y2=2px

因為48均為拋物線上的點，可得[[=*,

[%=2PX]

兩式相加得乂2+父=2p（X1+z）=6p,

即（乂+%『=+資+=6。-2p2=4,解得P=1或P=2,

因為48=X1+x?+p=3+p,可得NB=4或Z8=5.

故選：D.

12.已知點廣為拋物線C：/=4x的焦點，過點尸的直/線交拋物線。于48兩點，

且"=f畫f>l）,網弋,則/=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】

設2（%,乂）,8伍，％）":x=Ay+1（2>0）,聯(lián)立拋物線方程，應用韋達定理有必力=~4，

由向量的數(shù)量關系得必=-仇，即可求加M,進而求知通，最后應用拋物線焦點

弦的性質知|//=演+9+。即可求，.

第11頁共109頁

【詳解】

，?焦點廠(1,0),設直線/為“外+1(八0),代入拋物線方程得/_44=0.

設血西,M),3(%,%),由韋達定理得:乂%=-4①.

由萬=/而，即(1-%,-凹)=依-1,%),有兇=-仇②

，由①②得：弦=3，乂=-2，或%=-亍，乂=2〃，即*=，用=；,

：

.".|/1S|=X|+x2+p=-+t+2=—,化簡得3/一1Of+3=0,

.r=3或/=；(舍).

故選：B.

13.已知過嗚，。]的直線與拋物線F=3x(x>0)交于A,8兩點，"為弦"的

中點，。為坐標原點，直線。河與拋物線的另一個交點為N,則兩點N、/縱坐

標的比值范圍是()

A.(2,+oo)B.(3,+oo)

C.[2,+oo)D.[3,+oo)

【答案】A

【分析】

首先設出直線叩=》-孑加工0),與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理求得中點

旭的坐標，并求出直線。河的方程，與拋物線聯(lián)立，求得點N的縱坐標，即可求

得近的范圍.

【詳解】

3c9

設直線沖=X-1(/MHO),代入/=3x(x>0)^y--3my--=0,

y}+y233323

=2=2m，X'1=myM+4=2W+4,

.K=%=2m

"0M2m2+1'

???直線OM:y=￡jx,代入%=3》)>0)得八=3(2、+l),

2m+1z,v9m

第12頁共109頁

.?.及=2+口>2

yM"

故選：A

14.橢圓x?+：=l上到直線2x-y-4=0距離最近的點的坐標是()

AInfV2也)

A?1亍一副B.6'一可

C圖4甘書

【答案】A

【分析】

設與直線2x-y=4平行且與橢圓相切的直線/的方程為：2x-y=f,與橢圓的方

程聯(lián)立化為關于x的一元二次方程，令△=(),進而解出點的坐標.

【詳解】

解：設與直線2xr=4平行且與橢圓/+1=i相切的直線/的方程為：2x-y=f,

,[2x—y=t.

由桂+"2,化為6—i+入2=0.(*)

A=-8z2+48=0,化為r=6,解得f=±&.

?.?直線2x-y-4=0在橢圓的下方，故直線2'-了=/系中靠近2x-y-4=0的直線

1>0,

取公灰，代入(*)可得：6X2-4V6X+4=0,解得x="，y=一旦.

33

故選：A.

15.過拋物線C：V=2*(p>0)焦點/的直線與拋物線相交于/,B兩點,

\AF\^2\BF\,O為坐標原點，且△/O8的面積為6近，則拋物線C的標準方程為

()

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y1=8x

【答案】D

【分析】

由題意設“8為苫=@+與，聯(lián)立拋物線結合韋達定理求得必+%=2切，

第13頁共109頁

再由線段的數(shù)量關系求公，最后由s△雙=；|。用"M-刈l列方程求P，寫出拋物

線方程即可.

【詳解】

由題設，令AB為x=ky+g聯(lián)立拋物線方程并整理得丁-2物-p2=0,

2

...若掰再,必）,8（芍,%）,則乂+%=23,yly2=-p>又14rl=2|四易得|凹|=2|%

二名=43,％=-2初，則-8公p2=-p2,即％2=：,

O

；?I必-%1=g+%>-4乂%=2p"、l,

又顯雙用"1=60,而|。尸吧，

二辿三二6五,即p2=i6,又p>0,貝lj0=4,故j?=8x.

2

故選：D

16.已知拋物線C：/=2px（p>0）的焦點尸到其準線的距離為2,過點鳳4,0）的直

線/與拋物線C交于A,B兩點，則M*+2|8用的最小值為（）

17

A.2及+3B.872+3C.—D.9

O

【答案】B

【分析】

根據拋物線的定義求得人進而求得拋物線方程.設出直線/的方程，并與拋物線

方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關系，結合基本不等式求得M用+2|8尸|的最小值.

【詳解】

因為拋物線C：r=2Px（p>0）的焦點F到其準線的距離為2,

所以。=2,拋物線C的方程為/=4x.設直線/的方程為x=my+4,

將此方程代入V=4x,整理得/-4切-16=0.

<2、/2、

設/"‘必，"已，%，則M%=-16,

所以|工用+2|8用=（9+1卜2（今+1]=4■43>2^S+3=8^+3

22

當且僅當?=/，即K=2及時等號成立.

第14頁共109頁

故選：B.

17.設尸為橢圓U9+/=l的右焦點，過點（2,0）的直線與橢圓C交于48兩點,

設直線”,8廣的斜率分別為心e（&2*0）,則3為（）

【答案】B

【分析】

設出直線43的方程，代入橢圓方程后寫出根與系數(shù)關系，計算尢+的=0，由此

求得3為定值-1.

【詳解】

a=y[2,h=c=\,

設/（為,必）,8（々,%）,由圖可知直線相的斜率存在且不為0.

設直線48:X=W+2,

代入橢圓方程并化簡得：（2+r）產+4沙+2=0.

-At2

所以乂+%=^^，必為=產豆?

=2明%+（弘+%）=”,―+―=0/.

（3+1）（優(yōu)+1）（例+1）（耽+1）

又尢他均不為0,故｝=T，即｝為定值-L

K2K2

故選：B

18.設拋物線C：V=2px（p>0）的焦點為尸，點尸（4,m）是拋物線C上一點，且

M=5.設直線/與拋物線C交于A、B兩點,若℃OB（。為坐標原點）.則

第15頁共109頁

直線/過定點（）.

A.（1,0）B.（2,0）C.（4,0）D.（3,0）

【答案】C

【分析】

先結合拋物線的定義求得拋物線方程，設出直線/的方程并與拋物線方程聯(lián)立，

化簡寫出根與系數(shù)關系，由列方程，化簡求得s=4,由此求得直線/過

定點（4,0）.

【詳解】

?.?尸（4,機）是拋物線C上一點，Kl^l=5..-.1+4=5,

解得P=2,即拋物線C的方程為V=4x.

依題意可知直線/的斜率不為0,設直線/的方程為x="+s,4（和必），B（x2,y2）,

由:消去“得/一4e一4s=°,則乂+%="‘乂?%=-4s.

因為。4_L08,所以看多+必?%=0,即".21+必.%=0.

44

化簡得乂?必=T6.由-4s=-16得s=4,所以直線/的方程為x=（y+4,

所以直線,經過定點（4,0）.

故選：C

19.過橢圓撩+￡=1（"…）的焦點尸（G0）的弦中最短弦長是（）

A.—B.—C.—D.—

abab

【答案】A

【分析】

由過橢圓焦點的最短弦所在直線不垂直y軸，設出其方程并與橢圓方程聯(lián)立求

出直線被橢圓所截弦長即可推理作答.

【詳解】

顯然過橢圓焦點尸（。，0）的最短弦所在直線/不垂直》軸，設/的方程為：x=my+c,

由=/〃消去”并整理得：（〃加2+〃2）f2+262c〃y_64=0,

第16頁共109頁

設直線/與橢圓交于點”區(qū)，乂），2區(qū),%）,則有乂+%~;

bm+abm+a

|2b2cm'2(b4、

則有\(zhòng)MN\=Vl+w2-J(必+%)?-4必力=J1+加2

*b2m2[b2m2+a2

lC1/1i2m2-}b2m2-Hi2

=2bW1+7n2?+7772-

y(Z?2w2+a2)21b2m2+a2V(b2m24-a2)2

=lb2a?"0+1,=lb2a------\2b1a?------\--―文口m也nu-+Hn

2222222

bm+ab2ta-bb+-b)a，當且僅當加=0時取

m2+1

于是，當m=0,即直線/垂直于x軸時，|腦\＜京=二，

a

所以過橢圓￡+1=1（4＞八0）的焦點尸（c,0）的最短弦是與焦點所在坐標軸垂直

ab

的弦，最短弦長是也.

a

故選：A

丁斯2

20.已知/是橢圓全+與=1的一個焦點，為過橢圓中心的一條弦，則ZU"

面積的最大值為（）

A.6B.15C.20D.12

【答案】D

【分析】

由直線不垂直y軸，設出直線N8方程，聯(lián)立直線N8與橢圓方程，求出弦

長，即可列式推理作答.

【詳解】

顯然直線不垂直y軸，橢圓中心為原點。設直線Z8的方程為：x=my,

由［；:：；5/=225消去丁得：（加+25）/=225,設場,凹）,8H,力），

由橢圓對稱性，不妨令必=/「'=，力=-1*《，焦點尸（4,0）,

，9〃廠+259m+25

△Z31的面積邑加=；Q尸卜3「為1=2-/30=60＜12，當且僅當加=0時

2

2y9nlz+25^9/?+25

取“="

第17頁共109頁

所以ZUB/7面積的最大值為12.

故選：D

22

21.過雙曲線十方=l（a>0,6>0）的右焦點尸作傾斜角為60。的直線交雙曲線右

支于A,8兩點,若/=5而，則雙曲線的離心率為（）

A.-B.也C.2D.§

【答案】D

【分析】

設直線方程為：x=3x+c,將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消X,根據萬=5而，

3

可得乂=-5%,利用韋達定理可得￥=75鼻，整理即可求解.

5b-3。

【詳解】

過右焦點F的直線的傾斜角60。，

不妨設直線方程為…邛…,

號+c

聯(lián)立方程

b2x2-a2y2=a2b2

得IT"2一"2卜+6知+/=0，

設工（國,M）,B（x2,y2）,F（c,0）,

因為萬^5屈，

所以弘=-5%,

.還b屋

乂包2=-4乂=---

lb2-a2

所以3

2bA

%為s=-5%=-;----

2

-b1-a

3

所以智志

所以12/一4〃=5c2,因為a2+從“2,

第18頁共109頁

所以12/-41一叫=5°2,所以16/=%2,

所以￡=所以￡=；

a~9a3

故選：D

22.若過點尸(。，2)的直線/與拋物線C:/=2x有且只有一個公共點，則這樣的直

線/的共有()

A.一條B.兩條C.三條D.四條

【答案】C

【分析】

過點(0,2)的直線1與拋物線V=2x有且只有一個交點，則需分直線與拋物線對稱

軸平行、直線與拋物線相切兩種情況討論，特別要注意直線的斜率是否存在.

【詳解】

解：(1)當過點(0,2)的直線斜率不存在時，顯然x=0與拋物線/=2x有且只有

一個交點，

(2)①當過點(0,2)且直線與拋物線產=2x的對稱軸平行，即斜率為0時，顯然

y=2與拋物線V=2x有且只有一個交點，

②當直線過點(0,2)且斜率存在且斜率不為0,與拋物線相切時，直線與拋物線只

有一個交點，設直線方程為歹=丘+2,代入到拋物線方程V=2x,消＞得：

k2x2+2(2k-\)x+4=0,

由己知有人#0,則4=4(201)2-16r=0,解得：*=1即直線方程為y=Jx+2,

44

綜上可得：過點(0,2)的直線1與拋物線產=2x有且只有一個交點的直線,共有3

條，

故選：C.

23.如圖，在拋物線必=2px的準線上任取一點P(異于準線與*軸的交點)，

連接P。并延長交拋物線于點A,過點P作平行于x軸的直線交拋物線于點8,則

直線相與x軸的交點坐標為()

第19頁共109頁

B.(2A0)

C.(p,o)D.川

【答案】D

【分析】

根據拋物線的標準方程求出準線方程，設出P點型標，可得直線尸。的方程，與

拋物線方程聯(lián)立可得交點A點坐標，然后求出B坐標，再求出直線”8的方程，

令P=0即可求出答案.

【詳解】

拋物線丁=2*的準線方程為x=設《-爭"，”0,則直線PO的方程為

2t

y=--x

P

所以直線"的斜率為3=小=忐.所以直線四的方程為

2p2t2

令尸0,解得x=f所以直線48與x軸的交點坐標為（勺0）.

故選：D

24.已知拋物線C："=8d（4>0）的焦點方與雙曲線。：三二-匕=1的一個焦

點重合，過點F的直線與拋物線C交于點A,B,則|/b|+2|8尸|的最小值為（)

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A.3+472B.6+4正C.7D.10

【答案】B

【詳解】

依題意得，2a=&a+2)+a,即2/—。-1=0,解得a=1或-;(負值舍去)，

.(2,0),設4(x1,y\),8(x2，聞，

則|力用=不+2=日+2,|8尸|=七+2=衛(wèi)+2.

設直線AB的方程為1=〃0+2(加翔)，

.fx=wy+2,.f

由:/=81.得a爐—8"沙—16=0，

?\ny2=_16?

從而|/+2|明=,+2+24+2)

=6+)+2右次+=6+4小，

88

當且僅當"=2我時取等號.

故選：B.

25.已知。為坐標原點，A、B分別是橢圓U《+?=l的左、右頂點，"是橢

圓c上不同于A、B的動點，直線/〃、5W分別與軸交于點尸、。.則|。斗|。。|=

()

A.4B.9C.16D.25

【答案】B

【分析】

設動點九),由橢圓方程可得A、B的坐標，求出力〃，BW所在直線方程,

可得尸與。的坐標，求得Q司歲口，再由動點“在橢圓c：=+《=l上，

|演)一1q169

得16%2=9(16-x02),則IOPI.I。01的值可求.

【詳解】

設動點材(%,%),由橢圓方程可得47,0),8(4,0),

第21頁共109頁

）

則K

A

（）十q

所以直線4M的方程為y=±（x+4）,直線的的方程為>=士。-4）,

X。+4%_4

由此可得尸（0,%）,。（°，-三），

所以|。即。2|=否?（_=/卜|喏^.

2222

因為動點"在橢圓C:^-+^-=l上，所以弓十2-=1,

169169

所以16%2=9（16-/2）,

則防1。。=篝14%^=9.

?XQ104010

故選：B.

26.已知點尸為拋物線C：V=4x的焦點，過點尸的直線/線交拋物線。于48兩

點，且N8=rF8（f>1）,|陽=印則f=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】

設直線方程，與拋物線聯(lián)立得出韋達定理，再結合向量的等式以及弦長H理即可

求解.

【詳解】

解：由焦點尸（1,0）,設直線/為》=辦+1（八0）,

代入拋物線方程得/_44=0.

設工（國,乂）,8（馬,必），由韋達定理得:凹必=-4①.

由萬=f施,即（1-不,-%）=［々-1,%）,有必=-仇②

二由①②得：%乂=-2〃或為=一1，乂=2〃，

所以MM=X1+X2+/7=y+/+2=y,

第22頁共109頁

化簡得3"-10/+3=0,

所以f=3或f(舍).

故選：B.

22

27.已知橢圓C：]+-=1上有一動點E(異于頂點)，點尸、G分別在x、V軸

94

上，使得E為FG的中點，若x軸上一點"，滿足FGLEH，貝!||G"|的最小值為

()

A.3B.g亞C.2亞D.5

35

【答案】B

【分析】

設G(0,⑼,尸(",0)且m,"0,可得嗎鄉(xiāng)，由點在橢圓上有川=16-常，進而求H

2,)

坐標，由題設易知用=|三薩|,最后利用基本不等式求最值，注意等號

成立條件.

【詳解】

令G(0,〃?),尸(〃,0)且見"0,則用片)，又E在橢圓上，

?〃22irn.l->[,4A〃2

..—+—=1,貝IJ〃/=16-------，

36169

此時直線班為y=K(x-g)+g,故〃(《工⑼，

m222/7

22

由尸GLEH,即EH是G尸垂直平分線，則歸川=用用=|與f-L

第23頁共109頁

綜上，網=盧+強,

n18

當〃>0時，@，|=芻+222、田豆=生叵，當且僅當〃=以叵時等號成立，

11w18Vw1835

當〃<0時，防=（當+（一當±2jn（一標攣,當且僅當〃=一隼時等號成

n18vw1835

立，

的最小值為半.

故選：B

28.已知橢圓E：￡+F=l,P為E的長軸上任意一點，過點P作斜率為！的直

線/與E交于M,N兩點，貝！||P河F+|PN|2的值為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】

設出點/和直線/的方程，聯(lián)立直線和橢圓方程得出韋達定理，結合兩點距離公

式和韋達定理化簡1pMl2+|'產即可求解.

【詳解】

設P（w,0）（-24w42）,直線/的方程為廣;（x-⑼,力），將直線方程

代入橢圓方程并化簡得到2/_2s+/-4=0,進而有再+々=見司々=告心，

所以|河尸|2+|「"|2=（再_機）2+療+&-""+代

2

=（[（再+W）2-2m（X]+X2）-2X,X2+-2m-（〃/一4）+2〃/]=5.

故選：B.

29.已知直線/過拋物線V=2px（P>0）的焦點尸，與拋物線交于A,B兩點.

若直線/的斜率為2,|第=5,以48為直徑的圓與x軸交于。，E,則口斗|閉=

（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】

第24頁共109頁

依題意表示出焦點廠的坐標，從而得到直線/的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，

消元列出韋達定理，根據拋物線焦點弦公式求出人即可得到拋物線方程，設N5

的中點為C,即可求出C的坐標，從而求出圓的方程，令>=0,即可求出圓與“

軸的交點的橫坐標，即可求出⑷斗|印；

【詳解】

解：拋物線V=2px(P>0)的焦點喑,0),則直線/為―1-夕則

2),消去了得(2x-p)'=2px,即4--6px+p2=0,所以5+〃=子,

,y2=2px

X/B=勺,所以|/8|=',+馬+。=￥+。=5，所以。=2,所以拋物線方程為爐=垢,

直線/:y=2x-2,所以/+Xy=3,設N8的中點為C,則％=當區(qū)=|,

人=2%-2=1,即4|,1),所以圓C的方程為卜-|J+b-l)2=(胃，令1=0,

解得『.4,小=|+早,所以|阻用=[1]|-手心字刊=5；

故選：C

22

30.已知拋物線E:f=4y和圓Ax+(y-l)=l,過戶點作直線