2023年全國碩士研究生招生考試《數(shù)學(xué)一》全真模擬卷一

2023年全國碩士研究生招生考試《數(shù)學(xué)一》全真模擬卷一

1.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)｛a,J與｛bj為兩(江南博哥)個數(shù)列，下列說法正確的是

().

A.若｛aj與瓜｝都發(fā)散，則｛ah｝一定發(fā)散

B.若｛aj與｛bn｝都無界，則｛ah｝一定無界

r若｛a.｝無界且lima11bli=0.則limA”=0

n若a,為無窮大,且lima也,=0?則生一定是無窮小

U.W?1

正確答案：D

參考解析：

(A)不對,例如:a”=2+(—1)”.〃“=2—顯然儲“｝與電｝都發(fā)散,但”.瓦=3,

顯然收斂；

(B).(C)都不對.例如：a“=”口+(-1尸]也=”口一(一D"],顯然｛*｝與也〉都無界，

但“力”=0,顯然｛a也｝有界且lim〃“*0；

故正確答案為(D).

1.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)｛4｝與｛bn｝為兩個數(shù)列，下列說法正確的是().

A.若｛aj與｛bj都發(fā)散，則｛ah｝一定發(fā)散

B.若｛aj與｛bj都無界,則｛ab｝一定無界

若｛"｝無界且lima/”=0,則lim”“=。

kry.n-??ft-?

n若明為無窮大，且lima/.=0,則b一定是無窮小

U.n?n

正確答案：D

參考解析：

(A)不對,例如:a”=2+(—1)F“=2-(一1尸,顯然S.｝與彷“｝都發(fā)散,但。也=3,

顯然億”仇｝收斂；

(B),(C)都不對.例如ta?=”口+(—1)"],/>“=n[l-(-1尸1顯然｛a.｝與汕“｝都無界，

但a”6“=0,顯然｛ae6“｝有界且r0；

n-*<*

故正確答案為(D).

2.【單項(xiàng)選擇題】

當(dāng)?傳時.“一4arccos盤"z與a(x-j)為等價無窮小，則().

A.a=4,b=2

B.a=-4,b=2

C.a=8,b=l

D.a=-8,b=l

正確答案：C

因。卜一打?yàn)镮f(y)"時的無窮小量.故”>0,又

4&

7：-4arccosJlx—212

PUm—飛—livm]b、==1,

參考解析：'(-r”卜一2).一)“〃卜一彳)

則6=1,因若不然，極限不為1,即

472

-(f)

于是a=8.6=1.選(C).

x3-1

設(shè)f(z)=[z-l''則在Z=1處”z)().

3.【單項(xiàng)選擇題】13.工=1,

A.不連續(xù)

B.連續(xù)但不可導(dǎo)

C.可導(dǎo)但不是連續(xù)可導(dǎo)

D.連續(xù)可導(dǎo)

正確答案：C

參考解析：

因?yàn)閘im/(z)=lim:-------=lim(_r?+z+D=3=/(I).所以/'(彳)在憶=1處連續(xù).

1—1x-?iT-117

因?yàn)閘im￡1)_/C)=|imE+A+/―3=3,所以/(x)在工=1處可導(dǎo).

LlX-1Z-11一1

當(dāng)工H1時./'(工)=21+1,因?yàn)?而/'(7>=3=/'(1),所以八工)在工=1處連續(xù)可導(dǎo),

x-*i

選(D).

4.【單項(xiàng)選擇題】

已知a>0,設(shè)函數(shù)u=f(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足等式K3一3w=0,

ox1oy2

d^U

使等式在變換C=2+ay,n='+珈下簡化為近而=0,則ah的值分別為

瓜

『3

A.a=3

B.

C.

D.

正確答案：B

-du=-dl-l-)--du-.

dx&<?n

d2ud2udlUdlU

----1-2----A-----.

dududu

T——a--Tb—,

oydrj

22

HldU.,tdu

°時+2ab麗"V'

將以上各式代入原等式,得

,d2ud2u

(1—3a*)—7+2(1—3ab)-----F(1—362)—r=0.

英“*叫djj'

由題意.1-31=0,1-361=0,1—3。6X。，解得

?冬g—日或a一與力=毋（舍去）.

參考解析：故正確答案為（B）.

5.【單項(xiàng)選擇題】

xdy—ydx

設(shè)5|x|+\y\=V2,取順時針方向，則/=1

L〃+獷

A.23T

B.—2n

C.n

D.0

正確答案：B

參考解析：

記「=一』?=—'，則箓一票=0,作〃：/+/=62（62充分?。?，

M+爐i+/oxoy

取裝時針方向，則由珞林公式，有/=一，赳=畔=--，坐華+，噌二竽

更/+峭/+必

JLJLX2+2/2

=ffOdxdy------（Ixdy-ydx=-----[[dxdy=-----n52=-2n

JJ82JL.52JJ52

D〃十/gb?

6.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A為mXn矩陣（m〈n）且r（A）=m,下列命題

①存在可逆矩陣P,使得PA=（Em|0）；

②存在可逆矩陣Q,使得AQ=（E,?|0）；

③方程組AX=b存在無數(shù)個解；

④若矩陣B滿足AB=0,這B=0

正確的為

A.①②

B.②③

C.①③

D.②④

正確答案：B

參考解析：①可逆矩陣左乘A,進(jìn)行行變換，可以保證前面的Em,沒辦法把后

面消為0,①錯誤，

因?yàn)閞(A)=m,即A行滿秩，所以A經(jīng)過有限次列變換可化為(Em|0),即存在可

逆矩陣Q，使得AQ=(Em|0),②正確

r(A|b)>r(A)=m,又r(A|b)為mX(n+1)矩陣，從而r(A|b)Wm,于是

r(A)=r(A|b)=m<n,方程組AX=b有無數(shù)個解,③正確。

由AB=0得r(A)+r(B)Wn,因?yàn)閞(A)=m〈n,所以r(B)不一定為零，即B不一定

是零矩陣，④錯誤。

7.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A,B為n階實(shí)對稱矩陣，且A,B均可逆，則下列結(jié)論不

正確的是

A.A與B等價.

B.AB與BA相似

C.A與B合同

D.A?與B?合同

正確答案：C

參考解析：因A,B為n階可逆矩陣，故r(A)=r(B),從而A與B等價，故(A)

正確；

因A可逆，故有A」(AB)A=BA,從而AB與BA相似，故(B)正確；

因A,B均為可逆矩陣，故。不是A,B的特征值，從而可得A?與B?的特征值均

大于0,又A?與B?也為實(shí)對稱矩陣，故A?與B?合同，故(D)正確；

但A,B的特征值正負(fù)個數(shù)卻不一定相同，故(C)錯誤，故應(yīng)選(C).

8.【單項(xiàng)選擇題】

(ax20<工<1,i

設(shè)隨機(jī)變址X的概率密度為人"且E(X)=/，

lo,其他，2

D(X)=ID則(a,6,c)=

(_111)

A,2,3,5，

(1.12)

B.'2，3,5，

5

C.(9,-9,萬)

正確答案：C

根據(jù)概率密度的性質(zhì)J二fGr)dr=1,及題設(shè)條件，可得

/二/⑺dr=J；(azJ+&r+c)dr=f+1+c=l,

參考解析：E(X)=匚>八"&=/>(-2+Ar+^=f+f+f=

D(X)=E(X1)-[E(X)?=j^/(x)dz-^=各

即Jx*(ar2+&r+c)dr=g+[+"§■=1解得a=9,6=—9,c=

9.【單項(xiàng)選擇題】

①(工)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，X,=/?乎(i=l,2,...,100),且P(4)=0.8,

11ASJE

100

相互獨(dú)立，令則白中心極照定理Y的分布面數(shù)尸(？)近似于()

X1,X2)...Xiooy=XX“

1=1

A.0(y)

B.呵巧嗎

C.①(16y+8)

D.①(4y+80)

正確答案：B

因?yàn)閄i,冬,...，Xioo相互獨(dú)立且同分布，｛:筐，所以E(XJ一0.8,

100

D(X,)-0.16,而丫=￡x?所以EY^80,DV-16,由中心板限定瑕D,

1=1

Y近似服從正態(tài)分布N(80,16),則Y的分布困數(shù)為力(乜譽(yù))

參考解析：

10.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)(X,Y)~N(0,0；1,1；-1/2),令U=2X-Y,V=X+Y,

則PX

1

A.3\/7

1

B.與

1

C.出

2

D,丫斤

正確答案：B

參考解析：由(X,Y)~N(0,0；1,1；-1/2)得X?N(0,1),Y~N(0,1)

且Pxy=-l/2

D(U)-Cov(2X-y,2X-y)=4D(X)-4Cov(X,Y)+D(y)=4-4XlXlX(-y)+l=7,

D(V)=Cov(X+y,X+Y)=D(X)+2Cdv(X,Y)+D(Y)-1+2X1X1X(--1)+1=1,

Cov(LZ,V)-Cov(2X-y,X+Y)=2D(X)+Cbv(X.Z)-D(y)=2--1-XlXl-l=y.

1

Cov(U,V)71

故Puv，應(yīng)選B.

VD(V)=8"2"

f1

--dx

2二

11.［填空題］l+cosx+si'n7

正確答案：

-----------------------Ar

1+cosx+sin—

3)+c.

參考解析：

12.【填空題】曲線r=l+cos0介于0W0Wn的弧長為

正確答案：

參考解析：4

【解析】

弧長為

n

2+(7')2d&=，(1+cos0)2+(—sin8)2dd

J0

X__________f?00?

—，2(1+cos-2cos—(10=4sin—=4.

Jo22Io

13.【填空題】設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(1,1)的梯度為gradf(l,

l)=i+2j,f(l,1)=1,則曲面z=f(2x-y,3x-2y)在點(diǎn)(1,1,1)處的切平面

方程為.

正確答案：

因?yàn)閒fradf(l,l)=i+2j,所以=1,/；(1,1)=2,對于法數(shù)z=f(2x-y,3x-2y)

-1(1,1,1)=2/i(2^~3x-2j/)+3/2(21-y,3x-2y)=8,

OX'7

=一方(2/-y,3x-2y)-2弘(2H-y,3x-2y)=-5,

故曲面z=f(2zy,3x2M在點(diǎn)(1,1,1)處的法向量為(8,5,1),

參考解析:曲面z=f(2xy,3x2y)在點(diǎn)(1,1,1)處的切平面方程為8工5yz2=0

設(shè)2,則/3)的關(guān)于1T的徽數(shù)為

14.【填空題】(2一'0、

正確答案：

向=77^=與+昌7，力=_]_(；_1)=多—工<2),

----^2=一+1)(工T)"(°<工<2),

(工-2)2￡

OC88

故f(x)=-￡3-l)n+2￡(n+l)(x-l)n=￡(2n+1)(1-l)n(0<x<2)

參考解析：iXa

15.【填空題】設(shè)3階矩陣k的特征值為1,2,3,AH,A22,A33是|A|的代數(shù)余

子式，則AU+A22+A33=.

正確答案：

參考解析：由A-1的特征值為1,2,3,知A的特征值1,1/2,1/3,故

|A|=l/6,

A*的特征值1/6、1/3,1/2,所以A11+A22+A33G

16.【填空題】

設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且都服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,則隨機(jī)變量Z=(的概率密度為

正確答案:

~~>0,

/z(z)=彳(1+z)’

參考解析：0.其他

【解析】

(e'?1〉0.

由題意可知X的概率密度為"/=；則

10,其4他n.

fz(z)=J|xI/(x)/(jx)d.r?

(.re'?e”,N>0,xar>0?1.re>0,N>0,

其中IxI/(x)/(JX)==

【0.其他lo,其他.

I|.rex5r，dj-fz>0.Ir■,,=>()?

所以fz(力==<(1+)

Io,其他Io.其他.

17.【解答題】

計算三重積分jjj(x2+j3+z4)drdydz,其中0：/+;/+/&2N,Z41.

n

由對稱性，得由jirdydz=0.運(yùn)用截面法，得

n

UJcx2+JF3+z4)dxAydz=JJ/2irdyck+jjjz4djcdydz

ann

=J.r2d.zJJdydc+Jz4diJJdrdy

Tq°4

=j?十M(l-〃)也+[0⑵-F)dz

2,434

=i^+ir=夜兀

參考解析:其中"，+d)2<1—4之&.4：/+842。-/?

18.【解答題】

計算曲面積分I=小*^+;r)dydz+(xe17*+y)dzdr+(2?rye1yt+N)dzdw其中S為曲面

r

z=1(x2+y)介于平面N=2與58之間部分的下側(cè).

"(ujjtCye^+Gtosa+(xe***+y)cos3+(2j-yc^+s)cos/JdS

=IT(X+h)?才+(工產(chǎn)+v)?y+(2-ryeZ+u八(-1)心

g/i+^+y

+n-+(/+y),,____

D..一.二十心=:-1+工？+—drdy

?〃+—+，g/i+v+y丫

參考解析：=1"+力3產(chǎn)紅司f=60x.

求黑函數(shù)I+2￡U"1的收斂域及和函數(shù)

乙-4n2—1

19.【解答題】n=i4n

因?yàn)槿鐋置卜㈣尋方匕i=P，

由于該茶級數(shù)缺偶次項(xiàng).則收斂半徑R=7巧-1.

當(dāng)工=-1時，級數(shù)成為一1+2￡￡1鼻.該級數(shù)收斂，

當(dāng)工=1時，級數(shù)成為】+22經(jīng)二.該級數(shù)收斂,因此，原都級數(shù)收斂域?yàn)閇-1,1].

“I4〃】

令SCr)=N+2€兀1工j則

S35+2當(dāng)田,…+24培1L

=1+2寸：(￡(-1尸/1)d<=14-2X￡7^7出

=1+2xarctanx?

又S(0)=。?則

=J。(1+2/arctanr)d<=(1+x2)arctanx.

參考解析:S<x)

20.【解答題】

某湖泊水員為V,每年排入湖泊中內(nèi)含污染物A的污水量為1.流入湖泊內(nèi)不含A的水量

0

為1.流出湖的水箕為設(shè)1999年底湖中A的含量為5〃八.超過國家規(guī)定指標(biāo).為了治

理污染，從2000年初開始,限定排入湖中含A污水的濃度不超過77.問至多經(jīng)過多少年.

V

湖中污染物A的含量降到，〃“以內(nèi)(設(shè)湖中A的濃度是均勻的)？

參考解析.設(shè)從2000年初開始,第,年湖中污染物A的總量為則濃度為名，

任取時間元索口排入湖中污染物人的含量為答入《義山=*山.流出湖的污染

物A的含量為令Xjxdr=￡山，則在此時間元素內(nèi)污染物A的改變量為

山〃=("T"—v)"?解得=等一Ce'?又由"?(0)=5,〃o,得C=—?于是

\634L4

m=y(l+9e〃，令帆=小“得，=61n3,即至多經(jīng)過7年，湖中污染物A的含量不超過,

21?【解答題】

二次型/(11,工2,工3)=XTAX=2a：i+(1+a2)?2+(3+a2)?1+2(1-。)陽工3+2(1-a)/2H3

的秩為2,4T=4.

(1)求Q的值

(II)求XTAX=2在正交變換X=Qy下曲面方程

參考解析:(I)由考A)析,可知|A1=5+1)26+3)=0,解得a=T

2o

(II)由已知及(I)?可知402

22

=A(A-2)(A-6)=0.

|-2-2X

得A的特征值為久=0.A：=2山=6.

由(?！闛J9a(I，1.1

由(2E0.得a(M.O)T.

T