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2023-2024學年湖北省宜昌縣域高中協(xié)同發(fā)展共同體高三上數(shù)學期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛馬羊,要求賠償五斗糧,三畜戶主愿賠償,牛馬羊吃得異樣.馬吃了牛的一半,羊吃了馬的一半.”請問各畜賠多少?它的大意是放牧人放牧時粗心大意,牛、馬、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食(1斗=10升),三畜的主人同意賠償,但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是馬的一半.問羊、馬、牛的主人應該分別向青苗主人賠償多少升糧食?()A. B. C. D.2.山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽國內(nèi)外.據(jù)統(tǒng)計,煙臺蘋果(把蘋果近似看成球體)的直徑(單位:)服從正態(tài)分布,則直徑在內(nèi)的概率為()附:若,則,.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.95443.已知集合,,,則()A. B. C. D.4.函數(shù)的圖象為C,以下結(jié)論中正確的是()①圖象C關(guān)于直線對稱;②圖象C關(guān)于點對稱;③由y=2sin2x的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C.A.① B.①② C.②③ D.①②③5.設(shè)非零向量,,,滿足,,且與的夾角為,則“”是“”的().A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.直線與拋物線C:交于A,B兩點,直線,且l與C相切,切點為P,記的面積為S,則的最小值為A. B. C. D.7.設(shè)直線的方程為,圓的方程為,若直線被圓所截得的弦長為,則實數(shù)的取值為A.或11 B.或11 C. D.8.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到的函數(shù)為偶函數(shù),則的值為()A. B. C. D.9.甲在微信群中發(fā)了一個6元“拼手氣”紅包,被乙?丙?丁三人搶完,若三人均領(lǐng)到整數(shù)元,且每人至少領(lǐng)到1元,則乙獲得“最佳手氣”(即乙領(lǐng)到的錢數(shù)多于其他任何人)的概率是()A. B. C. D.10.已知直線與圓有公共點,則的最大值為()A.4 B. C. D.11.已知雙曲線:的左、右兩個焦點分別為,,若存在點滿足,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.512.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的值為8,則框圖中①處可以填().A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在△ABC中,∠BAC=,AD為∠BAC的角平分線,且,若AB=2,則BC=_______.14.已知數(shù)列滿足對任意,若,則數(shù)列的通項公式________.15.已知隨機變量,且,則______16.在一塊土地上種植某種農(nóng)作物,連續(xù)5年的產(chǎn)量(單位:噸)分別為9.4,9.7,9.8,10.3,10.8.則該農(nóng)作物的年平均產(chǎn)量是______噸.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖所示,三棱柱中,平面,點,分別在線段,上,且,,是線段的中點.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若,,,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)在角中,角A、B、C的對邊分別是a、b、c,若.(1)求角A;(2)若的面積為,求的周長.19.(12分)在直角坐標系中,已知直線的直角坐標方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以直角坐標系原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線和直線的極坐標方程;(2)已知直線與曲線、相交于異于極點的點,若的極徑分別為,求的值.20.(12分)某中學的甲、乙、丙三名同學參加高校自主招生考試,每位同學彼此獨立的從五所高校中任選2所.(1)求甲、乙、丙三名同學都選高校的概率;(2)若已知甲同學特別喜歡高校,他必選校,另在四校中再隨機選1所;而同學乙和丙對五所高校沒有偏愛,因此他們每人在五所高校中隨機選2所.(i)求甲同學選高校且乙、丙都未選高校的概率;(ii)記為甲、乙、丙三名同學中選高校的人數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.21.(12分)已知數(shù)列和滿足:.(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項和.22.(10分)已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為,向量,,且.(1)求角的大小;(2)若,求的值
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,易知成等比數(shù)列,,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出答案.【詳解】設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,則成等比數(shù)列,且公比,則,故,,.故選:D.【點睛】本題考查數(shù)列與數(shù)學文化,考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了學生的運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
根據(jù)服從的正態(tài)分布可得,,將所求概率轉(zhuǎn)化為,結(jié)合正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由題意,,,則,,所以,.故果實直徑在內(nèi)的概率為0.8185.故選:C【點睛】本題考查根據(jù)正態(tài)分布求解待定區(qū)間的概率問題,考查了正態(tài)曲線的對稱性,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
求得集合中函數(shù)的值域,由此求得,進而求得.【詳解】由,得,所以,所以.故選:A【點睛】本小題主要考查函數(shù)值域的求法,考查集合補集、交集的概念和運算,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心和圖象變換的知識,判斷出正確的結(jié)論.【詳解】因為,又,所以①正確.,所以②正確.將的圖象向右平移個單位長度,得,所以③錯誤.所以①②正確,③錯誤.故選:B【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心,考查三角函數(shù)圖象變換,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
利用數(shù)量積的定義可得,即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:,,,解得,,,解得,“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應用,考查推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
設(shè)出坐標,聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用弦長公式求得,再由點到直線的距離公式求得到的距離,得到的面積為,作差后利用導數(shù)求最值.【詳解】設(shè),,聯(lián)立,得則,則由,得設(shè),則,則點到直線的距離從而.令當時,;當時,故,即的最小值為本題正確選項:【點睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應用,考查利用導數(shù)求最值的問題.解決圓錐曲線中的面積類最值問題,通常采用構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的方式,然后結(jié)合導數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來求解最值.7、A【解析】
圓的圓心坐標為(1,1),該圓心到直線的距離,結(jié)合弦長公式得,解得或,故選A.8、D【解析】
利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】將將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,可得函數(shù)又由函數(shù)為偶函數(shù),所以,解得,因為,當時,,故選D.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應用,其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換,合理應用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
將所有可能的情況全部枚舉出來,再根據(jù)古典概型的方法求解即可.【詳解】設(shè)乙,丙,丁分別領(lǐng)到x元,y元,z元,記為,則基本事件有,,,,,,,,,,共10個,其中符合乙獲得“最佳手氣”的有3個,故所求概率為,故選:B.【點睛】本題主要考查了枚舉法求古典概型的方法,屬于基礎(chǔ)題型.10、C【解析】
根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點,得到,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為表示圓,所以,解得,因為直線與圓有公共點,所以圓心到直線的距離,即,解得,此時,因為,在遞增,所以的最大值.故選:C【點睛】本題主要考查圓的方程,直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì),還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.11、B【解析】
利用雙曲線的定義和條件中的比例關(guān)系可求.【詳解】.選B.【點睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率,離心率求解時,一般是把已知條件,轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系式.12、C【解析】
根據(jù)程序框圖寫出幾次循環(huán)的結(jié)果,直到輸出結(jié)果是8時.【詳解】第一次循環(huán):第二次循環(huán):第三次循環(huán):第四次循環(huán):第五次循環(huán):第六次循環(huán):第七次循環(huán):第八次循環(huán):所以框圖中①處填時,滿足輸出的值為8.故選:C【點睛】此題考查算法程序框圖,根據(jù)循環(huán)條件依次寫出每次循環(huán)結(jié)果即可解決,屬于簡單題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由,求出長度關(guān)系,利用角平分線以及面積關(guān)系,求出邊,再由余弦定理,即可求解.【詳解】,,,,.故答案為:.【點睛】本題考查共線向量的應用、面積公式、余弦定理解三角形,考查計算求解能力,屬于中檔題.14、【解析】
由可得,利用等比數(shù)列的通項公式可得,再利用累加法求和與等比數(shù)列的求和公式,即可得出結(jié)論.【詳解】由,得,數(shù)列是等比數(shù)列,首項為2,公比為2,,,,,滿足上式,.故答案為:.【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式,遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵,利用累加法求通項公式,屬于中檔題.15、0.1【解析】
根據(jù)原則,可得,簡單計算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:隨機變量,則期望為所以故答案為:【點睛】本題考查正態(tài)分布的計算,掌握正態(tài)曲線的圖形以及計算,屬基礎(chǔ)題.16、10【解析】
根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計算即得.【詳解】由題得,.故答案為:10【點睛】本題考查求平均數(shù),是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)證明見詳解;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)取中點為,根據(jù)幾何關(guān)系,求證四邊形為平行四邊形,即可由線線平行推證線面平行;(Ⅱ)以為坐標原點,建立空間直角坐標系,求得直線的方向向量和平面的法向量,即可求得線面角的正弦值.【詳解】(Ⅰ)取的中點,連接,.如下圖所示:因為,分別是線段和的中點,所以是梯形的中位線,所以.又,所以.因為,,所以四邊形為平行四邊形,所以.所以,.所以四邊形為平行四邊形,所以.又平面,平面,所以平面.(Ⅱ)因為,且平面,故可以為原點,的方向為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,如下圖所示:不妨設(shè),則,所以,,,,.所以,,.設(shè)平面的法向量為,則所以可取.設(shè)直線與平面所成的角為,則.故可得直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】本題考查由線線平行推證線面平行,以及用向量法求解線面角,屬綜合中檔題.18、(1);(2)1.【解析】
(1)由正弦定理化簡已知等式可得sinAsinB=sinBcosA,求得tanA=,結(jié)合范圍A∈(0,π),可求A=.(2)利用三角形的面積公式可求bc=8,由余弦定理解得b+c=7,即可得解△ABC的周長的值.【詳解】(1)由題意,在中,因為,由正弦定理,可得sinAsinB=sinBcosA,又因為,可得sinB≠0,所以sinA=cosA,即:tanA=,因為A∈(0,π),所以A=;(2)由(1)可知A=,且a=5,又由△ABC的面積2=bcsinA=bc,解得bc=8,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得:25=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-24,整理得(b+c)2=49,解得:b+c=7,所以△ABC的周長a+b+c=5+7=1.【點睛】本題主要考查了正弦定理,三角形的面積公式,余弦定理在解三角形中的綜合應用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.19、(1),.(2)【解析】
(1)先將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標方程,即可代入公式化為極坐標;根據(jù)直線的直角坐標方程,求得傾斜角,即可得極坐標方程.(2)將直線的極坐標方程代入曲線、可得,進而代入可得的值.【詳解】(1)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去得,把,代入得,從而得的極坐標方程為,∵直線的直角坐標方程為,其傾斜角為,∴直線的極坐標方程為.(2)將代入曲線的極坐標方程分別得到,則.【點睛】本題考查了參數(shù)方程化為普通方程的方法,直角坐標方程化為極坐標方程的方法,極坐標的幾何意義,屬于中檔題.20、(1)(2)(i)(ii)分布列見解析,【解析】
(1)先計算甲、乙、丙同學分別選擇D高校的概率,利用事件的獨立性即得解;(2)(i)分別計算每個事件的概率,再利用事件的獨立性即得解;(ii),利用事件的獨立性,分別計算對應的概率,列出分布列,計算數(shù)學期望即得解.【詳解】(1)甲從五所高校中任選2所,共有共10種情況,甲、乙、丙同學都選高校,共有四種情況,甲同學選高校的概率為,因此乙、丙兩同學選高校的概率為,因為每位同學彼此獨立,所以甲、乙、丙三名同學都選高校的概率為.(2)(i)甲同學必選校且選高校的概率為,乙未選高校的概率為,丙未選高校的概率為,因為每位同學彼此獨立,所以甲同學選高校且乙、丙都未
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