2023-2024學(xué)年安徽省馬鞍山二中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年安徽省馬鞍山二中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．42．函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為（）A． B．C． D．3．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，，且成等比數(shù)列，則（）A．56 B．72 C．88 D．404．設(shè)、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則（）A． B．0 C．1 D．35．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．若函數(shù)，在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù)，，均存在以，，為邊長(zhǎng)的三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．設(shè)是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．8．已知拋物線C：，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（A在x軸上方），且滿足，則直線l的斜率為（）A．1 B．C．2 D．39．已知函數(shù)，則的最小值為()A． B． C． D．10．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍（）A． B． C． D．11．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（）．A． B． C． D．12．一袋中裝有個(gè)紅球和個(gè)黑球（除顏色外無(wú)區(qū)別），任取球，記其中黑球數(shù)為，則為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)的最小值為2，則_________．14．在中，角的平分線交于，，，則面積的最大值為_(kāi)_________．15．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若，則的值是______．16．曲線在處的切線方程是_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)實(shí)數(shù)滿足.（1）若，求的取值范圍；（2）若，，求證：.18．（12分）已知直線l的極坐標(biāo)方程為，圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（1）請(qǐng)分別把直線l和圓C的方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）求直線l被圓截得的弦長(zhǎng)．19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線的極坐標(biāo)方程為，射線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）寫出曲線的極坐標(biāo)方程，并指出是何種曲線；（Ⅱ）若射線與曲線交于兩點(diǎn)，射線與曲線交于兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.20．（12分）己知點(diǎn)，分別是橢圓的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，若與圓相切于點(diǎn)，且點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第二象限，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與垂直的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程，并指出其形狀；（2）曲線與曲線交于，兩點(diǎn)，若，求的值.22．（10分）△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

如圖所示：過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于，交軸于，則，設(shè)，，則，利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示：過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于，交軸于，則，設(shè)，，則，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中距離的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.2、A【解析】

根據(jù)圖像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊點(diǎn)求出，化簡(jiǎn)即得所求.【詳解】由圖像知，，，解得，因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn)，所以，，即，解得，因?yàn)?，所以?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

，將代入，求得公差d，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】由已知，，，故，解得或（舍），故，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，是一道容易題.4、C【解析】

先根據(jù)奇偶性，求出的解析式，令，即可求出。【詳解】因?yàn)?、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，用替換，得，化簡(jiǎn)得，即令，所以，故選C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用。5、D【解析】

將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)得,,即可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,即可得出結(jié)果.【詳解】，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng),難度容易.6、D【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上的最大值和最小，根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域?yàn)椋?，所以在上遞減，在上遞增，在處取得極小值也即是最小值，，，，，所以在區(qū)間上的最大值為.要使在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù)，，均存在以，，為邊長(zhǎng)的三角形，則需恒成立，且，也即，也即當(dāng)、時(shí)，成立，即，且，解得.所以的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查恒成立問(wèn)題的求解，屬于中檔題.7、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的乘法法則得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

設(shè)直線的方程為代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理可得,,由可知所以可得代入化簡(jiǎn)求得參數(shù),即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，（，）.易知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)為，則直線l的方程為.與拋物線方程聯(lián)立得，所以，.因?yàn)椋裕?，所以，即，，所?故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系,考查計(jì)算能力，屬于中檔題.9、C【解析】

利用三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正弦型三角函數(shù)，即可容易求得最小值.【詳解】由于，故其最小值為：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用降冪擴(kuò)角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)，以及求三角函數(shù)的最值，屬綜合基礎(chǔ)題.10、B【解析】

由,可得,結(jié)合在上單調(diào)遞增,易得,即可求出的范圍.【詳解】由,可得,時(shí),,而,又在上單調(diào)遞增,且,所以,則,即,故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

先化簡(jiǎn)求出，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以所以故選：A【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，注意計(jì)算的準(zhǔn)確度，屬于簡(jiǎn)單題目.12、A【解析】

由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，進(jìn)而可求得隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值.【詳解】由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，則，，，.因此，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先利用絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào)，之后再結(jié)合后邊的函數(shù)解析式，對(duì)照函數(shù)值等于2的時(shí)候?qū)?yīng)的自變量的值，從而得到分段函數(shù)的分界點(diǎn)，從而得到相應(yīng)的等量關(guān)系式，求得參數(shù)的值.【詳解】根據(jù)題意可知，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)或時(shí)是分界點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的解析式，可以判斷0不可能，所以只能是是分界點(diǎn)，故，解得，故答案是.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)最值的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14、15【解析】

由角平分線定理得,利用余弦定理和三角形面積公式，借助三角恒等變化求出面積的最大值.【詳解】畫(huà)出圖形：因?yàn)椋?，由角平分線定理得,設(shè)，則由余弦定理得：即當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)所以面積的最大值為15故答案為：15【點(diǎn)睛】此題考查解三角形面積的最值問(wèn)題，通過(guò)三角恒等變形后利用均值不等式處理，屬于一般性題目.15、1【解析】

由題得，解不等式得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以c=1.故答案為1【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.16、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】求導(dǎo)得，所以，所以切線方程為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）依題意可得，考慮到，則有再分類討論可得；（2）要證明，即證，即證.利用基本不等式即可得證；【詳解】解：（1）由及，得，考慮到，則有，它可化為或即或前者無(wú)解，后者的解集為，綜上，的取值范圍是.（2）要證明，即證，由，得，即證.因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)）.所以成立，故成立.【點(diǎn)睛】本題考查分類討論法解絕對(duì)值不等式，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.18、（1）．x2+y2＝1．（2）16【解析】

（1）直接利用極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程公式化簡(jiǎn)得到答案.（2）圓心到直線的距離為，故弦長(zhǎng)為得到答案.【詳解】（1），即，即，即.，故.（2）圓心到直線的距離為，故弦長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程，圓的弦長(zhǎng)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.19、（Ⅰ），曲線是以為圓心，為半徑的圓；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由曲線的參數(shù)方程能求出曲線的普通方程，由此能求出曲線的極坐標(biāo)方程．（Ⅱ）令，，則，利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡(jiǎn)，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)求出面積的取值范圍；【詳解】解：（Ⅰ）由（為參數(shù)）化為普通方程為，整理得曲線是以為圓心，為半徑的圓.（Ⅱ）令，，，，面積的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程的求法，考查三角形的面積的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．20、;.【解析】

連接，由三角形相似得，，進(jìn)而得出，，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；由得，，因?yàn)橹本€與橢圓相切于點(diǎn)，，解得，，因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，所以，，所以，設(shè)直線與垂直交于點(diǎn)，則是點(diǎn)到直線的距離，設(shè)直線的方程為，則，求出面積的取值范圍.【詳解】解：連接，由可得，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；由得，，因?yàn)橹本€與橢圓相切于點(diǎn)，所以，即，解得，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，所以，，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線與垂直交于點(diǎn)，則是點(diǎn)到直線的距離，設(shè)直線的方程為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值，所以，即面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查直線和橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，利用基本不等式，屬于難題.21、（1），以為圓心，為半徑的圓；（2）【解析】

（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，直接得到的直角坐標(biāo)方程并判斷形狀；（2）聯(lián)立直線參數(shù)方程與的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)直線參數(shù)方程中的幾何意義結(jié)合求解出的值.【詳解】解：（1）由，得，所以，即，.所以曲線是以為圓心，為半徑的圓.（2）將代入，整理得.設(shè)點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，.，解得，則.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化以及根據(jù)直線參數(shù)方程中的幾何意義求值，難度一般.（1）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式：；（2）若要使用直線參數(shù)方程中的幾何意義，要注意將直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程代入到對(duì)應(yīng)曲線的直角坐標(biāo)方程中，構(gòu)成關(guān)于的一元二次方程并結(jié)合韋達(dá)定理形式進(jìn)行分析求解.22、(1)(2).【解析】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計(jì)算出，從而求出角，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長(zhǎng)為.試題解析：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，故.由題設(shè)得，即.由