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2023-2024學年福建省三明市三明第一中學高三上數(shù)學期末考試試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)圖象的大致形狀是()A. B.C. D.2.已知函數(shù)的定義域為,且,當時,.若,則函數(shù)在上的最大值為()A.4 B.6 C.3 D.83.已知函數(shù),,若,對任意恒有,在區(qū)間上有且只有一個使,則的最大值為()A. B. C. D.4.已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.5.已知函數(shù),則的值等于()A.2018 B.1009 C.1010 D.20206.設,則““是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必條件7.一個圓錐的底面和一個半球底面完全重合,如果圓錐的表面積與半球的表面積相等,那么這個圓錐軸截面底角的大小是()A. B. C. D.8.一個四棱錐的三視圖如圖所示(其中主視圖也叫正視圖,左視圖也叫側(cè)視圖),則這個四棱錐中最最長棱的長度是().A. B. C. D.9.已知等差數(shù)列中,,則()A.20 B.18 C.16 D.1410.復數(shù),若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于虛軸對稱,則等于()A. B. C. D.11.設函數(shù)在定義城內(nèi)可導,的圖象如圖所示,則導函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.12.設命題:,,則為A., B.,C., D.,二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若x,y滿足,且y≥?1,則3x+y的最大值_____14.秦九韶算法是南宋時期數(shù)學家秦九韶提出的一種多項式簡化算法,如圖所示的框圖給出了利用秦九韶算法求多項式值的一個實例,若輸入,的值分別為4,5,則輸出的值為______.15.從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件,設事件抽到一等品,事件抽到二等品,事件抽到三等品,且已知,,,則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為________16.邊長為2的正方形經(jīng)裁剪后留下如圖所示的實線圍成的部分,將所留部分折成一個正四棱錐.當該棱錐的體積取得最大值時,其底面棱長為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖所示,在四棱錐中,∥,,點分別為的中點.(1)證明:∥面;(2)若,且,面面,求二面角的余弦值.18.(12分)已知函數(shù)(),是的導數(shù).(1)當時,令,為的導數(shù).證明:在區(qū)間存在唯一的極小值點;(2)已知函數(shù)在上單調(diào)遞減,求的取值范圍.19.(12分)在直角坐標系中,橢圓的左、右焦點分別為,點在橢圓上且軸,直線交軸于點,,橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過的直線交橢圓于兩點,且滿足,求的面積.20.(12分)甲、乙兩班各派三名同學參加知識競賽,每人回答一個問題,答對得10分,答錯得0分,假設甲班三名同學答對的概率都是,乙班三名同學答對的概率分別是,,,且這六名同學答題正確與否相互之間沒有影響.(1)記“甲、乙兩班總得分之和是60分”為事件,求事件發(fā)生的概率;(2)用表示甲班總得分,求隨機變量的概率分布和數(shù)學期望.21.(12分)已知拋物線的準線過橢圓C:(a>b>0)的左焦點F,且點F到直線l:(c為橢圓焦距的一半)的距離為4.(1)求橢圓C的標準方程;(2)過點F做直線與橢圓C交于A,B兩點,P是AB的中點,線段AB的中垂線交直線l于點Q.若,求直線AB的方程.22.(10分)如圖,在中,點在上,,,.(1)求的值;(2)若,求的長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
判斷函數(shù)的奇偶性,可排除A、C,再判斷函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值與的大小,即可得出答案.【詳解】解:因為,所以,所以函數(shù)是奇函數(shù),可排除A、C;又當,,可排除D;故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)表達式判斷函數(shù)圖像,屬于中檔題.2、A【解析】
根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)冪運算,可得;利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性,由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域為,且,則;任取,且,則,故,令,,則,即,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,令,,故,故函數(shù)在上的最大值為4.故選:A.【點睛】本題考查了指數(shù)冪的運算及化簡,利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性,賦值法在抽象函數(shù)求值中的應用,屬于中檔題.3、C【解析】
根據(jù)的零點和最值點列方程組,求得的表達式(用表示),根據(jù)在上有且只有一個最大值,求得的取值范圍,求得對應的取值范圍,由為整數(shù)對的取值進行驗證,由此求得的最大值.【詳解】由題意知,則其中,.又在上有且只有一個最大值,所以,得,即,所以,又,因此.①當時,,此時取可使成立,當時,,所以當或時,都成立,舍去;②當時,,此時取可使成立,當時,,所以當或時,都成立,舍去;③當時,,此時取可使成立,當時,,所以當時,成立;綜上所得的最大值為.故選:C【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點和最值,考查三角函數(shù)的性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,考查分類討論的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.4、B【解析】
求出導函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)的最值,根據(jù)零點存在定理可確定參數(shù)范圍.【詳解】,當時,,單調(diào)遞增,當時,,單調(diào)遞減,∴在上只有一個極大值也是最大值,顯然時,,時,,因此要使函數(shù)有兩個零點,則,∴.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)的零點,考查用導數(shù)研究函數(shù)的最值,根據(jù)零點存在定理確定參數(shù)范圍.5、C【解析】
首先,根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式,根據(jù)所求函數(shù)的周期性,得到其周期為4,然后借助于三角函數(shù)的周期性確定其值即可.【詳解】解:.,,的周期為,,,,,..故選:C【點睛】本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識,掌握輔助角公式化簡函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.6、B【解析】
解出兩個不等式的解集,根據(jù)充分條件和必要條件的定義,即可得到本題答案.【詳解】由,得,又由,得,因為集合,所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B【點睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷,其中涉及到絕對值不等式和一元二次不等式的解法.7、D【解析】
設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,再表達圓錐表面積與球的表面積公式,進而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選:D【點睛】本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎題.8、A【解析】
作出其直觀圖,然后結(jié)合數(shù)據(jù)根據(jù)勾股定定理計算每一條棱長即可.【詳解】根據(jù)三視圖作出該四棱錐的直觀圖,如圖所示,其中底面是直角梯形,且,,平面,且,∴,,,,∴這個四棱錐中最長棱的長度是.故選.【點睛】本題考查了四棱錐的三視圖的有關(guān)計算,正確還原直觀圖是解題關(guān)鍵,屬于基礎題.9、A【解析】
設等差數(shù)列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項與公差,進而求得即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為.由得,解得.所以.故選:A【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎題.10、A【解析】
先通過復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于虛軸對稱,得到,再利用復數(shù)的除法求解.【詳解】因為復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于虛軸對稱,且復數(shù),所以所以故選:A【點睛】本題主要考查復數(shù)的基本運算和幾何意義,屬于基礎題.11、D【解析】
根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性,從而得到在相應范圍上的符號和極值點,據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知,在上為增函數(shù),且在上存在正數(shù),使得在上為增函數(shù),在為減函數(shù),故在有兩個不同的零點,且在這兩個零點的附近,有變化,故排除A,B.由在上為增函數(shù)可得在上恒成立,故排除C.故選:D.【點睛】本題考查導函數(shù)圖象的識別,此類問題應根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來考慮導函數(shù)的符號與零點情況,本題屬于基礎題.12、D【解析】
直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題,所以,命題:,,則為:,.故本題答案為D.【點睛】本題考查命題的否定,特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系,是基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、5.【解析】
由約束條件作出可行域,令z=3x+y,化為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案.【詳解】由題意作出可行域如圖陰影部分所示.設,當直線經(jīng)過點時,取最大值5.故答案為:5【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.14、1055【解析】
模擬執(zhí)行程序框圖中的程序,即可求得結(jié)果.【詳解】模擬執(zhí)行程序如下:,滿足,,滿足,,滿足,,滿足,,不滿足,輸出.故答案為:1055.【點睛】本題考查程序框圖的模擬執(zhí)行,屬基礎題.15、0.35【解析】
根據(jù)對立事件的概率和為1,結(jié)合題意,即可求出結(jié)果來.【詳解】解:由題意知本題是一個對立事件的概率,抽到的不是一等品的對立事件是抽到一等品,,抽到不是一等品的概率是,故答案為:.【點睛】本題考查了求互斥事件與對立事件的概率的應用問題,屬于基礎題.16、【解析】
根據(jù)題意,建立棱錐體積的函數(shù),利用導數(shù)求函數(shù)的最大值即可.【詳解】設底面邊長為,則斜高為,即此四棱錐的高為,所以此四棱錐體積為,令,令,易知函數(shù)在時取得最大值.故此時底面棱長.故答案為:.【點睛】本題考查棱錐體積的求解,涉及利用導數(shù)研究體積最大值的問題,屬綜合中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)根據(jù)題意,連接交于,連接,利用三角形全等得,進而可得結(jié)論;(2)建立空間直角坐標系,利用向量求得平面的法向量,進而可得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:連接交于,連接,,≌,且,面面,面,(2)取中點,連,.由,面面面,又由,以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系,設,則,,,,,,為面的一個法向量,設面的法向量為,依題意,即,令,解得,所以,平面的法向量,,又因二面角為銳角,故二面角的余弦值為.【點睛】本題考查直線與平面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時要認真審題,注意中位線和向量法的合理運用,屬于基礎題.18、(1)見解析;(2)【解析】
(1)設,,注意到在上單增,再利用零點存在性定理即可解決;(2)函數(shù)在上單調(diào)遞減,則在恒成立,即在上恒成立,構(gòu)造函數(shù),求導討論的最值即可.【詳解】(1)由已知,,所以,設,,當時,單調(diào)遞增,而,,且在上圖象連續(xù)不斷.所以在上有唯一零點,當時,;當時,;∴在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故在區(qū)間上存在唯一的極小值點,即在區(qū)間上存在唯一的極小值點;(2)設,,,∴在單調(diào)遞增,,即,從而,因為函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴在上恒成立,令,∵,∴,在上單調(diào)遞減,,當時,,則在上單調(diào)遞減,,符合題意.當時,在上單調(diào)遞減,所以一定存在,當時,,在上單調(diào)遞增,與題意不符,舍去.綜上,的取值范圍是【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點、不等式恒成立問題,在處理恒成立問題時,通常是構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值來處理,本題是一道較難的題.19、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)離心率以及,即可列方程求得,則問題得解;(2)設直線方程為,聯(lián)立橢圓方程,結(jié)合韋達定理,根據(jù)題意中轉(zhuǎn)化出的,即可求得參數(shù),則三角形面積得解.【詳解】(1)設,由題意可得.因為是的中位線,且,所以,即,因為進而得,所以橢圓方程為(2)由已知得兩邊平方整理可得.當直線斜率為時,顯然不成立.直線斜率不為時,設直線的方程為,聯(lián)立消去,得,所以,由得將代入整理得,展開得,整理得,所以.即為所求.【點睛】本題考查由離心率求橢圓的方程,以及橢圓三角形面積的求解,屬綜合中檔題.20、(1)(2)分布列見解析,期望為20【解析】
利用相互獨立事件概率公式求解即可;由題意知,隨機變量可能的取值為0,10,20,30,分別求出對應的概率,列出分布列并代入數(shù)學期望公式求解即可.【詳解】(1)由相互獨立事件概率公式可得,(2)由題意知,隨機變量可能的取值為0,10,20,30.,,,,所以,的概率分布列為0102030所以數(shù)學期望.【點睛】本題考查相互獨立事件概率公式和離散型隨機變量的分布列及其數(shù)學期望;考查運算求解能力;確定隨機變量可能的取值,求出對應的概率是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.21、(1);(2)或.【解析】
(1)由拋物線的準線方程求出的值,確定左焦點坐標,再由點F到直線l:的距離為4,求出即可;(2)設直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,運用根與系數(shù)關(guān)系和弦長公式,以及兩直線垂直的條件和中點坐標公式,即可得到所求直線的方程.【詳解】(1)拋物線的準線方程為,,直線,點F到直線l的距離為,,所以橢圓的標準方程為;(2)依題
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