重難專題07 將軍飲馬之一點兩線與兩點兩線模型（原卷版）

2023-2024學年八年級數(shù)學上冊重難點突破專題07將軍飲馬之一點兩線與兩點兩線模型一、一點兩線模型條件：點P是∠AOB內部一定點，在OA上找一點M，在OB上找一點N，使得△PMN的周長最小。結論：作點P關于OA，OB的對稱點P'，P"，連接P'P"，分別交OA，OB于點M，N，此時△PMN的周長最小，最小值為P'P"的長。二、兩點兩線模型條件：點P，Q是∠AOB的內部兩定點，在OA上找點M，在OB上找點N，使得四邊形PQNM周長最小結論：作點P，Q關于OA，OB的對稱點P'，Q'，連接P'Q'，交OA，OB于點M，N，此時四邊形PQNM周長最小，最小值為P'Q'+PQ。如圖，點P是內任意一點，，點M和點N分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是．（1）如圖1，在直線AB的同一側有兩點C，D，在AB上找一點P，使C，D，P三點組成的三角形的周長最短，找出此點．（2）如圖2，在∠AOB內部有一點P，在OA，OB上是否分別存在點E，F(xiàn)，使得E，F(xiàn)，P三點組成的三角形的周長最短，找出E，F(xiàn)兩點．（3）如圖3，在∠AOB內部有兩點M，N，在OA，OB上是否分別存在點E，F(xiàn)，使得E，F(xiàn)，M，N四點組成的四邊形的周長最短，找出E，F(xiàn)兩點．（顯示找點的過程）一、單選題1．如圖，若∠AOB=44°，為∠AOB內一定點，點M在OA上，點N在OB上，當△PMN的周長取最小值時，∠MPN的度數(shù)為(

)A．82° B．84° C．88° D．92°2．如圖所示，點為內一定點，點，分別在的兩邊上，若的周長最小，則與的關系為（

）A． B．C． D．3．如圖，點P是∠AOB內任意一點，且∠AOB=40°，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，當PMN周長取最小值時，則∠MPN的度數(shù)為（

）A．140° B．100° C．80° D．50°4．如圖，在中，點、、的坐標分別為、和，則當?shù)闹荛L最小時，的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．35．在△ABC中，AB=BC，點D在AC上，BD=6cm，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的動點，△DEF周長的最小值為6cm，則(

)A．20° B．25° C．30° D．35°6．如圖，在等邊△ABC中，BF是AC邊上的中線，點D在BF上，連接AD，在AD的右側作等邊△ADE，連接EF，當△AEF周長最小時，∠CFE的大小是()A．30° B．45° C．60° D．90°二、填空題7．如圖，，點P為內一點，．點M、N分別在上．當△PMN周長最小時，下列結論：①等于；②等于；③等于；④周長最小值是5：⑤周長最小值是10；⑥周長最小值是15．其中正確結論的序號是．8．如圖，，，分別為射線，上的動點，為內一點，連接，，．若，則周長的最小值為．9．如圖，點P為內一點，分別作出P點關于、的對稱點，，連接交于M，交于N，若，則∠MPN的度數(shù)是．10．如圖，點P是∠AOB內任意一點，OP=5cm，點M、N分別是OB、OA邊上的點，當△PMN周長的最小值是5cm時，則∠AOB=．三、解答題11．（1）唐朝詩人李顧的詩古從軍行開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題：如圖所示，詩中大意是將軍從山腳下的點出發(fā)，帶著馬走到河邊點飲水后，再回到點宿營，請問將軍怎樣走才能使總路程最短？請你通過畫圖，在圖中找出點，使的值最小，不說明理由；（2）實踐應用，如圖，點為內一點，請在射線、上分別找到兩點、，使的周長最小，不說明理由；（3）實踐應用：如圖，在中，，，，，平分，、分別是、邊上的動點，求的最小值．12．如圖，直線是中BC邊的垂直平分線，點P是直線m上的一動點，若，，．(1)求的最小值，并說明理由．(2)求周長的最小值．13．已知：如圖，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一點，∠ABE＝∠ABC，過點C作CD⊥AB于D，交BE于點P．(1)直接寫出圖中除ABC外的所有等腰三角形；(2)求證：BD＝PC；(3)點H、G分別為AC、BC邊上的動點，當DHG周長取取小值時，求∠HDG的度數(shù)．14．已知點P在∠MON內．（1）如圖1，點P關于射線OM的對稱點是G，點P關于射線ON的對稱點是H，連接OG、OH、OP．①若∠MON=50°，則∠GO